安徽省合肥錦繡中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

合肥錦繡中學(xué)高二上學(xué)期期中檢測(cè)（數(shù)學(xué)）試卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上．寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．5．考試范圍選擇性必修第一冊(cè)第一章、第二章．第Ⅰ卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．1．在空間四邊形中，等于（）A． B． C． D．2．已知是空間一個(gè)基底，，一定可以與向量構(gòu)成空間另一個(gè)基底的是（）A． B． C． D．3．已知點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為3，則實(shí)數(shù)等于（）A．3 B． C．0或3 D．0或4．經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的傾斜角為60°，則的值為（）A． B． C． D．5．若方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知空間三點(diǎn)，則下列命題正確的是（）A．若為的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為B．若四邊形為平行四邊形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為C．向量與向量夾角為120°D．以為鄰邊的平行四邊形面積為7．如圖，在長(zhǎng)方體中，，若點(diǎn)在平面上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（）A． B． C． D．8．如圖，在兩條異面直線(xiàn)上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，使，且．已知°，，則線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說(shuō)法正確的有（）A．設(shè)是空間向量，若與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，則與共線(xiàn)B．若兩個(gè)非零向量與滿(mǎn)足，則∥C．零向量與任何向量都共線(xiàn)D．兩個(gè)單位向量一定是相等向量10．判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）A．相交且直線(xiàn)過(guò)圓心 B．相交但直線(xiàn)不過(guò)圓心C．相切 D．相離11．若圓，圓，則（）A．當(dāng)時(shí)，若圓與圓有且僅有三條公切線(xiàn)，則B．當(dāng)時(shí)，若圓與圓有且僅有兩條公切線(xiàn)，則C．當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得圓與圓無(wú)公切線(xiàn)D．若存在實(shí)數(shù)，使得圓與圓有且僅有三條公切線(xiàn)，則第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共3題，每小題5分，共15分．12．已知直線(xiàn)，則直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)__________．13．已知，與的夾角60°，則與夾角的余弦值為_(kāi)_________．14．已知圓，是軸上的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)分別與圓相切于點(diǎn)．若為中點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)________．四、解答題：本大題共5小題，滿(mǎn)分77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿(mǎn)分13分）如圖，在空間四邊形中，已知、分別是線(xiàn)段、的中點(diǎn)．（1）設(shè)，試用向量、、表示和；（2）若空間四邊形是棱長(zhǎng)為2的正四面體，求直線(xiàn)和夾角的余弦值．16．（本小題滿(mǎn)分15分）已知正三棱錐中，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且．（1）求邊長(zhǎng)；（2）求正三棱錐內(nèi)切球的半徑．17．（本小題滿(mǎn)分15分）2023年暑期檔動(dòng)畫(huà)電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的熱情，出塞詩(shī)是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分，唐代詩(shī)人李頎的邊塞詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”，即將軍在觀(guān)望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營(yíng)所在位置為，河岸線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為．（1）求將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營(yíng)（“將軍飲馬”）的最短總路程；（2）設(shè)“將軍飲馬”路程最短時(shí)的飲馬點(diǎn)為，在△中，求邊中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程．18．（本小題滿(mǎn)分17分）如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），．（1）若點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，證明：平面；（2）若直線(xiàn)與平面所成角為，（i）求的值；（ii）求二面角的余弦值．19．（本小題滿(mǎn)分17分）如圖所示，圓與軸的交點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn).（1）記直線(xiàn)的斜率分別為，求的值；（2）設(shè)為直線(xiàn)與的交點(diǎn)，△，△的面積分別為，求的取值范圍．合肥錦繡中學(xué)高二上學(xué)期期中檢測(cè)數(shù)學(xué)·答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．1．C2．B3．D4．B5．C6．D7．C8．A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．BC10．ACD11．ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（3，2）13．14．．四、解答題：本題共5小題，共77分．15．（1），，（2），又△和△均為等邊三角形，∴．設(shè)向量與的夾角為，則∴直線(xiàn)和夾角的余弦值為．16．（方法1：幾何法）取中點(diǎn)為，連接，如圖所示，∵三棱錐為正三棱錐，∴，又，平面，∴平面，∵平面，∴，又平面，∴平面，∴，∴正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，∴，∴在△中，由，得，∴．（方法2：向量法）∵三棱錐為正三棱錐，∴，設(shè)，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，整理得，解得，∴．（2）由（1）得，設(shè)點(diǎn)為△的重心，則，∴，設(shè)正三棱錐內(nèi)切球的半徑為，設(shè)為正三棱錐內(nèi)切球的球心，∵∴，∴，解得．17．（1）由題意可知在的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為三點(diǎn)共線(xiàn)滿(mǎn)足題意，點(diǎn)為使得總路程最短的“最佳飲水點(diǎn)”，則，解得，即，此時(shí)“將軍飲馬”走過(guò)的總路程為．（2）由（1）知直線(xiàn)的方程是，聯(lián)立，解得，即將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為，邊的中點(diǎn)，則，即，∴直線(xiàn)斜率，∴直線(xiàn)的方程為，整理得．∴△中邊中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為．18．（1）取的中點(diǎn)，連接，∵平面，平面，∴，同理，又，結(jié)合題設(shè)，可得，易知，∴，則．∵平面，∴平面，又平面，∴，∵平面，∴平面．（2）（i）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則．設(shè)平面的法向量為，則，取，則設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，則，化簡(jiǎn)得，解得或．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意．∴，∴．（ii）由（i）得面平面的一個(gè)法向量為，同理計(jì)算可得平面的一個(gè)法向量為，∴．由圖可知二面角為鈍角，故余弦值為．19．（1）（方法1）設(shè)由題知，．①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)方程為，如圖所示，將，代入，解得，∴，∴，∴．②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)斜率為，則直線(xiàn)方程為，設(shè)，則，聯(lián)立，消去得，，∴，，連接，由圓的性質(zhì)可得，∴，∴