2025屆內(nèi)蒙古赤峰市巴林右旗大板三中高考數(shù)學五模試卷含解析

2025屆內(nèi)蒙古赤峰市巴林右旗大板三中高考數(shù)學五模試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖象在點處的切線為，則在軸上的截距為（）A． B． C． D．2．小王因上班繁忙，來不及做午飯，所以叫了外賣.假設小王和外賣小哥都在12：00~12：10之間隨機到達小王所居住的樓下，則小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率是（）A． B． C． D．3．已知集合，則元素個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．44．計算等于()A． B． C． D．5．設是虛數(shù)單位，若復數(shù)，則（）A． B． C． D．6．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E、F且EF=，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．AC⊥BE B．EF平面ABCDC．三棱錐A-BEF的體積為定值 D．異面直線AE,BF所成的角為定值7．數(shù)列{an}，滿足對任意的n∈N+，均有an+an+1+an+2為定值.若a7=2，a9=3，a98=4，則數(shù)列{an}的前100項的和S100=()A．132 B．299 C．68 D．998．已知向量滿足,且與的夾角為,則()A． B． C． D．9．設為等差數(shù)列的前項和，若，則A． B．C． D．10．已知是虛數(shù)單位，則復數(shù)（）A． B． C．2 D．11．已知命題：任意，都有；命題：，則有．則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．12．已知雙曲線的左、右焦點分別為，過作一條直線與雙曲線右支交于兩點，坐標原點為，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），，若函數(shù)恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍為________.14．函數(shù)的圖像如圖所示，則該函數(shù)的最小正周期為________.15．已知實數(shù)滿足，則的最大值為________.16．將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)在區(qū)間上的值域為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若，設，證明：，，使.18．（12分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，為其中心，為銳角三角形，且平面底面，為的中點，.（1）求證:平面；（2）求證:.19．（12分）設前項積為的數(shù)列，（為常數(shù)），且是等差數(shù)列.（Ｉ）求的值及數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設是數(shù)列的前項和，且，求的最小值.20．（12分）已知函數(shù)，直線是曲線在處的切線．（1）求證：無論實數(shù)取何值，直線恒過定點，并求出該定點的坐標；（2）若直線經(jīng)過點，試判斷函數(shù)的零點個數(shù)并證明．21．（12分）我們稱n（）元有序?qū)崝?shù)組（，，…，）為n維向量，為該向量的范數(shù).已知n維向量，其中，，2，…，n.記范數(shù)為奇數(shù)的n維向量的個數(shù)為，這個向量的范數(shù)之和為.（1）求和的值；（2）當n為偶數(shù)時，求，（用n表示）.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）若不等式的解集為，求的值.（2）若當時，，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

求出函數(shù)在處的導數(shù)后可得曲線在處的切線方程，從而可求切線的縱截距.【詳解】，故，所以曲線在處的切線方程為：.令，則，故切線的縱截距為.故選：A.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義以及直線的截距，注意直線的縱截距指直線與軸交點的縱坐標，因此截距有正有負，本題屬于基礎題.2、C【解析】

設出兩人到達小王的時間，根據(jù)題意列出不等式組，利用幾何概型計算公式進行求解即可.【詳解】設小王和外賣小哥到達小王所居住的樓下的時間分別為，以12：00點為開始算起，則有，在平面直角坐標系內(nèi)，如圖所示：圖中陰影部分表示該不等式組的所表示的平面區(qū)域，所以小王在樓下等候外賣小哥的時間不超過5分鐘的概率為：.故選：C【點睛】本題考查了幾何概型中的面積型公式，考查了不等式組表示的平面區(qū)域，考查了數(shù)學運算能力.3、B【解析】

作出兩集合所表示的點的圖象，可得選項.【詳解】由題意得，集合A表示以原點為圓心，以2為半徑的圓，集合B表示函數(shù)的圖象上的點，作出兩集合所表示的點的示意圖如下圖所示，得出兩個圖象有兩個交點:點A和點B，所以兩個集合有兩個公共元素，所以元素個數(shù)為2，故選：B.【點睛】本題考查集合的交集運算，關鍵在于作出集合所表示的點的圖象，再運用數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎題.4、A【解析】

利用誘導公式、特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合對數(shù)運算，求得所求表達式的值.【詳解】原式.故選：A【點睛】本小題主要考查誘導公式，考查對數(shù)運算，屬于基礎題.5、A【解析】

結(jié)合復數(shù)的除法運算和模長公式求解即可【詳解】∵復數(shù)，∴，，則，故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的除法、模長、平方運算，屬于基礎題6、D【解析】

A．通過線面的垂直關系可證真假；B．根據(jù)線面平行可證真假；C．根據(jù)三棱錐的體積計算的公式可證真假；D．根據(jù)列舉特殊情況可證真假.【詳解】A．因為，所以平面，又因為平面，所以，故正確；B．因為，所以，且平面，平面，所以平面，故正確；C．因為為定值，到平面的距離為，所以為定值，故正確；D．當，，取為，如下圖所示：因為，所以異面直線所成角為，且，當，，取為，如下圖所示：因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線所成角為，且，由此可知：異面直線所成角不是定值，故錯誤.故選：D.【點睛】本題考查立體幾何中的綜合應用，涉及到線面垂直與線面平行的證明、異面直線所成角以及三棱錐體積的計算，難度較難.注意求解異面直線所成角時，將直線平移至同一平面內(nèi).7、B【解析】

由為定值，可得，則是以3為周期的數(shù)列，求出，即求.【詳解】對任意的，均有為定值，，故，是以3為周期的數(shù)列，故，.故選：.【點睛】本題考查周期數(shù)列求和，屬于中檔題.8、A【解析】

根據(jù)向量的運算法則展開后利用數(shù)量積的性質(zhì)即可.【詳解】.故選：A.【點睛】本題主要考查數(shù)量積的運算，屬于基礎題.9、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，即，所以，故選C．10、A【解析】

根據(jù)復數(shù)的基本運算求解即可.【詳解】.故選：A【點睛】本題主要考查了復數(shù)的基本運算,屬于基礎題.11、B【解析】

先分別判斷命題真假，再由復合命題的真假性，即可得出結(jié)論.【詳解】為真命題；命題是假命題，比如當,或時，則不成立.則，，均為假.故選:B【點睛】本題考查復合命題的真假性，判斷簡單命題的真假是解題的關鍵，屬于基礎題.12、B【解析】

由題可知，，再結(jié)合雙曲線第一定義，可得，對有，即，解得，再對，由勾股定理可得，化簡即可求解【詳解】如圖，因為，所以.因為所以.在中，，即，得，則.在中，由得.故選：B【點睛】本題考查雙曲線的離心率求法，幾何性質(zhì)的應用，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，作出函數(shù)的圖象，設，若函數(shù)恰有4個零點，則等價為函數(shù)有兩個零點，滿足或，利用一元二次函數(shù)根的分布進行求解即可．【詳解】當時，，由得：，解得，由得：，解得，即當時，函數(shù)取得極大值，同時也是最大值，（e），當，，當，，作出函數(shù)的圖象如圖，設，由圖象知，當或，方程有一個根，當或時，方程有2個根，當時，方程有3個根，則，等價為，當時，，若函數(shù)恰有4個零點，則等價為函數(shù)有兩個零點，滿足或，則，即（1）解得：，故答案為：【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用換元法進行轉(zhuǎn)化一元二次函數(shù)根的分布以及．求的導數(shù)，研究函數(shù)的的單調(diào)性和極值是解決本題的關鍵，屬于難題．14、【解析】

根據(jù)圖象利用，先求出的值，結(jié)合求出，然后利用周期公式進行求解即可．【詳解】解：由，得，，，則，，，即，則函數(shù)的最小正周期，故答案為：8【點睛】本題主要考查三角函數(shù)周期的求解，結(jié)合圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關鍵．15、【解析】

作出不等式組所表示的平面區(qū)域，將目標函數(shù)看作點與可行域的點所構(gòu)成的直線的斜率，當直線過時，直線的斜率取得最大值，代入點A的坐標可得答案.【詳解】畫出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖所示，由得點，目標函數(shù)表示點與可行域的點所構(gòu)成的直線的斜率，當直線過時，直線的斜率取得最大值，此時的最大值為.故答案為：.【點睛】本題考查求目標函數(shù)的最值，關鍵在于明確目標函數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.16、【解析】

根據(jù)圖像的平移變換得到函數(shù)的解析式，再利用整體思想求函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)的圖像向右平移個單位得，，，.故答案為：.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖像的平移變換、值域的求解，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意整體思想的運用.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1），分，，，四種情況討論即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為，利用導數(shù)找到與即可證明.【詳解】（1）.①當時，恒成立，當時，；當時，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).②當時，，.當時，；當時，；當時，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).③當時，，則在上是減函數(shù).④當時，，當時，；當時，；當時，，所以，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).（2）由題意，得.由（1）知，當，時，，.令，，故在上是減函數(shù)，有，所以，從而.，，則，令，顯然在上是增函數(shù)，且，，所以存在使，且在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，，所以，所以，命題成立.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式的問題，考查學生邏輯推理能力，是一道較難的題.18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）通過證明，即可證明線面平行；（2）通過證明平面，即可證明線線垂直.【詳解】（1）連，因為為平行四邊形，為其中心，所以，為中點，又因為為中點，所以，又平面，平面所以，平面；（2）作于因為平面平面，平面平面，平面，所以，平面又平面，所以又，，平面，平面所以，平面，又平面，所以，.【點睛】此題考查證明線面平行和線面垂直，通過線面垂直得線線垂直，關鍵在于熟練掌握相關判定定理，找出平行關系和垂直關系證明.19、（Ⅰ），；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）當時，由，得到，兩邊同除以，得到.再根據(jù)是等差數(shù)列.求解.（Ⅱ），根據(jù)前n項和的定義得到，令，研究其增減性即可.【詳解】（Ⅰ）當時，，所以，即，所以.因為是等差數(shù)列.，所以，，令，，，所以，即；（Ⅱ），所以，，令，所以，，即，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，所以，即.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義，前n項和以及數(shù)列的增減性，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.20、（1）見解析，（2）函數(shù)存在唯一零點.【解析】

（1）首先求出導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出處的切線斜率，利用點斜式即可求出切線方程，根據(jù)方程即可求出定點.（2）由（1）求出函數(shù)，令方程可轉(zhuǎn)化為記，利用導數(shù)判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，根據(jù)，由零點存在性定理即可求出零點個數(shù).【詳解】所以直線方程為即，恒過點將代入直線方程，得考慮方程即，等價于記，則于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，又所以函數(shù)在區(qū)間上存在唯一零點，即函數(shù)存在唯一零點.【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義、直線過定點、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點存在性定理，屬于難題.21、（1），.（2），【解析】

（1）利用枚舉法將范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對都寫出來，再做和；（2）用組合數(shù)表示和，再由公式或?qū)⒔M合數(shù)進行化簡，得出最終結(jié)果.【詳解】解：（1）范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對有：，，，，它們的范數(shù)依次為1，1，1，1，故，.（2）當n為偶數(shù)時，在向量的n個坐標中，要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個數(shù)一定是奇數(shù)，所以可按照含0個數(shù)為：1，3，…，進行討論：的n個坐標中含1個0，其余坐標為1或，共有個，每個的范數(shù)為；的n個坐標中含3個0，其余坐標為1或，共有個，