2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十章概率10.1隨機(jī)事件與概率10.1.3古典概型學(xué)案含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE1-10.1.3古典概型[目標(biāo)]1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式；2.會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事務(wù)所含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)及事務(wù)發(fā)生的概率；3.駕馭利用概率的性質(zhì)求古典概型的概率的方法．[重點(diǎn)]古典概型的概率及其概率計(jì)算.[難點(diǎn)]應(yīng)用列舉法求古典概型的概率．要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)學(xué)問點(diǎn)古典概型[填一填]1．古典概型的特點(diǎn)①有限性：試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè)；②等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等．2．古典概型的概率公式對(duì)任何事務(wù)A，P(A)＝eq\f(事務(wù)A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)).[答一答]1．在區(qū)間[2013,2014]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)的試驗(yàn)，是不是古典概型？提示：不是，因?yàn)樵趨^(qū)間[2013,2014]上任取一個(gè)實(shí)數(shù)，是無限的．不符合試驗(yàn)結(jié)果有有限個(gè)的古典概型特點(diǎn)．2．?dāng)S一枚不勻稱的骰子，求出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)點(diǎn)的概率，這個(gè)概率模型還是古典概型嗎？提示：不是．因?yàn)轺蛔硬粍蚍Q，所以每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性不相等，不滿意等可能性．3．如何用集合的觀點(diǎn)理解古典概型的概率公式？提示：在一次試驗(yàn)中，等可能出現(xiàn)的n個(gè)結(jié)果可以組成一個(gè)集合I，這n個(gè)結(jié)果就是集合I的n個(gè)元素．各個(gè)基本領(lǐng)件都對(duì)應(yīng)著集合I的只含1個(gè)元素的子集，包含m個(gè)結(jié)果的事務(wù)A就對(duì)應(yīng)著集合I的包含m個(gè)元素的子集A′.從集合的角度看，如圖所示，事務(wù)A的概率就是子集A′的元素個(gè)數(shù)card(A′)與集合I的元素個(gè)數(shù)card(I)之比，即P(A)＝eq\f(cardA′,cardI)＝eq\f(m,n).典例講練破題型類型一古典概型的推斷[例1]推斷下列試驗(yàn)是不是古典概型：(1)口袋中有2個(gè)紅球、2個(gè)白球，每次從中任取1球，視察顏色后放回，直到取出紅球；(2)從甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)中隨意抽取1名擔(dān)當(dāng)學(xué)生代表；(3)射擊運(yùn)動(dòng)員向一靶子射擊5次，脫靶的次數(shù)．[分析]運(yùn)用古典概型的兩個(gè)特征逐個(gè)推斷即可．[解](1)每次摸出1個(gè)球后，仍放回袋中，再摸1個(gè)球．明顯，這是有放回抽樣，依次摸出的球可以重復(fù)，且摸球可無限地進(jìn)行下去，即全部可能結(jié)果有無限個(gè)，因此該試驗(yàn)不是古典概型．(2)從5名同學(xué)中隨意抽取1名，有5種等可能發(fā)生的結(jié)果：抽到學(xué)生甲，抽到學(xué)生乙，抽到學(xué)生丙，抽到學(xué)生丁，抽到學(xué)生戊．因此該試驗(yàn)是古典概型．(3)射擊的結(jié)果：脫靶0次，脫靶1次，脫靶2次，…，脫靶5次．這都是樣本點(diǎn)，但不是等可能事務(wù)．因此該試驗(yàn)不是古典概型．1.古典概型的推斷方法：一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型，在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征，即有限性和等可能性，因而并不是全部的試驗(yàn)都是古典概型.2.下列三類試驗(yàn)都不是古典概型：1樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)有限，但不等可能；2樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無限，但等可能；3樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)無限，也不等可能.[變式訓(xùn)練1]下列試驗(yàn)中是古典概型的是(B)A．在相宜的條件下，種下一粒種子，視察它是否發(fā)芽B．口袋里有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同，從中任取一球C．向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，視察該點(diǎn)落在圓內(nèi)的位置D．射擊運(yùn)動(dòng)員向一靶心進(jìn)行射擊，試驗(yàn)結(jié)果為命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中0環(huán)解析：由古典概型的兩個(gè)特征易知B正確．類型二簡潔的古典概型的問題[例2]有編號(hào)為A1，A2，…，A10的10個(gè)零件，測量其直徑(單位：cm)，得到下面數(shù)據(jù)：編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直徑1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內(nèi)的零件為一等品．(1)從上述10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取1個(gè)，求這個(gè)零件為一等品的概率；(2)從這些一等品中，隨機(jī)抽取2個(gè)零件，①用零件的編號(hào)列出樣本空間；②求這2個(gè)零件直徑相等的概率．[分析]首先，閱讀題目，收集題目中的各種信息；其次，推斷事務(wù)是否為等可能事務(wù)，并用字母A表示所求事務(wù)；再次，求出事務(wù)的樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)n及事務(wù)A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)m；最終，利用公式P(A)＝eq\f(A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù))＝eq\f(m,n)，求出事務(wù)A的概率．[解](1)由題表知一等品共有6個(gè)，設(shè)“從10個(gè)零件中，隨機(jī)抽取1個(gè)為一等品”為事務(wù)A，則P(A)＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(2)①一等品的編號(hào)為A1，A2，A3，A4，A5，A6，從這6個(gè)一等品中隨機(jī)抽取2個(gè)，樣本空間Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15個(gè)樣本點(diǎn)．②將“從一等品中，隨機(jī)抽取的2個(gè)零件直徑相等”記為事務(wù)B，則B包含的樣本點(diǎn)有(A1，A4)，(A1，A6)，(A4，A6)，(A2，A3)，(A2，A5)，(A3，A5)，共6個(gè)，∴P(B)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).依據(jù)古典概型概率公式P(A)＝eq\f(A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù),樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù))＝eq\f(m,n)進(jìn)行解題．[變式訓(xùn)練2]將一枚質(zhì)地勻稱的正方體骰子先后拋擲兩次視察出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的狀況．(1)一共有多少個(gè)不同的樣本點(diǎn)？(2)點(diǎn)數(shù)之和為5的樣本點(diǎn)有多少個(gè)？(3)點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是多少？解：(1)將一枚質(zhì)地勻稱的正方體骰子拋擲一次，得到的點(diǎn)數(shù)有1,2,3,4,5,6，共6個(gè)樣本點(diǎn)，故先后將這枚骰子拋擲兩次，一共有6×6＝36(個(gè))不同的樣本點(diǎn)．(2)點(diǎn)數(shù)之和為5的樣本點(diǎn)有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4個(gè)．(3)正方體骰子是質(zhì)地勻稱的，將它先后拋擲兩次所得的36個(gè)樣本點(diǎn)是等可能出現(xiàn)的，其中點(diǎn)數(shù)之和為5(記為事務(wù)A)的樣本點(diǎn)有4個(gè)，因此所求概率P(A)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).類型三較困難的古典概型問題[例3]在一次口試中，考生要從5道題中隨機(jī)抽取3道進(jìn)行回答，答對(duì)其中2道題為優(yōu)秀，答對(duì)其中1道題為及格，某考生能答對(duì)5道題中的2道題，試求：(1)他獲得優(yōu)秀的概率為多少；(2)他獲得及格及及格以上的概率為多少．[分析]這是一道古典概率問題，須用列舉法列出樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．[解]設(shè)這5道題的題號(hào)分別為1,2,3,4,5，其中，該考生能答對(duì)的題的題號(hào)為4,5，則從這5道題中任取3道回答，該試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10個(gè)樣本點(diǎn)． (1)記“獲得優(yōu)秀”為事務(wù)A，則隨機(jī)事務(wù)A中包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，故P(A)＝eq\f(3,10).(2)記“獲得及格及及格以上”為事務(wù)B，則隨機(jī)事務(wù)B中包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為9，故P(B)＝eq\f(9,10).解決有序和無序問題應(yīng)留意兩點(diǎn)1關(guān)于不放回抽樣，計(jì)算樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，既可以看作是有依次的，也可以看作是無依次的，其最終結(jié)果是一樣的.但不論選擇哪一種方式，視察的角度必需一樣，否則會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤.2關(guān)于有放回抽樣，應(yīng)留意在連續(xù)取出兩次的過程中，因?yàn)橄群笠来尾煌詀1，b，b，a1不是同一個(gè)樣本點(diǎn).[變式訓(xùn)練3]甲、乙兩個(gè)勻稱的正方體玩具，各個(gè)面上分別刻有1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字，將這兩個(gè)玩具同時(shí)擲一次．(1)若甲上的數(shù)字為十位數(shù)，乙上的數(shù)字為個(gè)位數(shù)，問可以組成多少個(gè)不同的數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字均相同的數(shù)字的概率是多少？(2)兩個(gè)玩具的數(shù)字之和共有多少種不同結(jié)果？其中數(shù)字之和為12的有多少種狀況？數(shù)字之和為6的共有多少種狀況？分別計(jì)算這兩種狀況的概率．解：(1)甲有6種不同的結(jié)果，乙也有6種不同的結(jié)果，故樣本點(diǎn)總數(shù)為6×6＝36(個(gè))．其中十位數(shù)字共有6種不同的結(jié)果，若十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同，十位數(shù)字確定后，個(gè)位數(shù)字也即確定．故共有6×1＝6(種)不同的結(jié)果，即概率為eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).(2)兩個(gè)玩具的數(shù)字之和共有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12共11種不同結(jié)果．出現(xiàn)數(shù)字之和為12的只有一種狀況，故其概率為eq\f(1,36).出現(xiàn)數(shù)字之和為6的共有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)五種狀況，所以其概率為eq\f(5,36).課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典1．一個(gè)袋中裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從袋中取出1個(gè)球，然后放回袋中再取出1個(gè)球，則取出的2個(gè)球同色的概率為(A)A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,5)解析：把紅球標(biāo)記為紅1、紅2，白球標(biāo)記為白1、白2，本試驗(yàn)的樣本點(diǎn)共有16個(gè)，其中2個(gè)球同色的樣本點(diǎn)有8個(gè)：(紅1，紅1)，(紅1，紅2)，(紅2，紅1)，(紅2，紅2)，(白1，白1)，(白1，白2)，(白2，白1)，(白2，白2)，故所求概率為P＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).2．甲、乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A，B，C可以參與，若每人必需參與并且僅能參與一個(gè)學(xué)習(xí)小組(兩人參與各小組的可能性相同)，則兩人參與同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的概率為(A)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析：甲、乙兩人參與學(xué)習(xí)小組，若以(A，B)表示甲參與學(xué)習(xí)小組A，乙參與學(xué)習(xí)小組B，則一共有(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9種情形，其中兩人參與同一個(gè)學(xué)習(xí)小組共有3種情形，依據(jù)古典概型概率公式，得P＝eq\f(1,3).3．先后拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為(C)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,12)C.eq\f(1,6) D.eq\f(5,36)解析：拋擲兩顆骰子，一共有36種結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)之和為7的共有6種結(jié)果，依據(jù)古典概型的概率公式，得P＝eq\f(1,6).4．從三男三女共6名學(xué)生中任選2名(每名同學(xué)被選中的概率均相等)，則2名都是女同學(xué)的概率為eq\f(1,5).解析：用A，B，C表示三名男同學(xué)，用a，b，c表示三名女同學(xué)，則從6名同學(xué)中選出2人的全部選法為(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(C，a)，(C，b)，(C，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共15種，2名都是女同學(xué)的選法為(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3種，故所求的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).5．海關(guān)對(duì)同時(shí)從A，B，C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如表所示．工作人員用分層隨機(jī)抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測.地區(qū)ABC數(shù)量50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率．解：(1)因?yàn)闃颖玖颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是eq\f(6,50＋150＋100)＝eq\f(1,50)，所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是50×eq\f(1,50)＝1,150×eq\f(1,50)＝3,100×eq\f(1,50)＝2，所以A，B，C三個(gè)地區(qū)的商品被抽取的件數(shù)分別為1,3,2.(2)設(shè)6件來自A，B，C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為A1；B1，B2，B3；C1，C2，則抽取的這2件商品構(gòu)成的全部樣本空間Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)}，共15個(gè)