2024高考一輪考點突破 08 導數(shù)構(gòu)造函數(shù)13種歸類（解析版）

08導數(shù)構(gòu)造函數(shù)十三種歸類

目錄

【題型一】利用x=(x)構(gòu)造型.............................................................1

【題型二】利用f(x)/x”構(gòu)造型.............................................................3

【題型三】利用enxf(x)構(gòu)造型.............................................................5

【題型四】利用f(x)/e型構(gòu)造型............................................................7

【題型五】利用sinx與f(x)構(gòu)造型.........................................................9

【題型六】利用cosx與fG)構(gòu)造型........................................................13

【題型七】復雜型：/與af(x)+bg(x)等構(gòu)造型.............................................16

【題型八】復雜型：(kx+b)與f(x)型.....................................................17

【題型九】復雜型：與In(kx+b)結(jié)合型....................................................20

【題型十】復雜型：基礎(chǔ)型添加因式型.......................................................23

【題型十一】復雜型：二次構(gòu)造.............................................................24

【題型十二】綜合構(gòu)造.....................................................................28

【題型十三】技巧計算型構(gòu)造...............................................................31

【題型一】利用/f(x)構(gòu)造型

【典例分析】

函數(shù)/(幻是定義在區(qū)間(0.—)上的可導函數(shù)，其導函數(shù)為尸(x),且滿足4'@)+2/(幻>。，則不等式

(?2。叱0+236)〈苦活解集為

5x+2016

A."㈤—2011}B.{x|x<-2011)

C.{x|-2011<x<0}D.{x|-2016<x<-2011}

【答案】D

【詳解】

設(shè)式幻=//(幻，則g3=2￥a)+x73=W(x)+2f(x)],由已知當x>0時,g'(x)>0,g(x)是增函

數(shù)，不等式"+2⑴⑴〃"+2。1⑴<5./Q)等價于J+2()16//司+2016)<5?/(5),所以0vx+2016V5,

5x+2016

解得一2016cxv-2011.

點睛：本題考查導數(shù)的綜合應用，解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)g(x)=d/(x),從而可以利用已知的不等式關(guān)系判

斷其導數(shù)的正負，以確定新函數(shù)的單調(diào)性，在構(gòu)造新函數(shù)時，下列構(gòu)造經(jīng)常用：g(x)=V(x),g*)=3,

X

g(x)=exf(x),g(x)=”,構(gòu)造新函數(shù)時可結(jié)合所要求的問題確定新函數(shù)的形式.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.對于力'(無)4/(工)〉0(<0),構(gòu)造g(x)=x*f(x),

2.對于M*〈x)+V(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=xk*f(x)

【變式演練】

i.已知定義域為/?的奇函數(shù)，(K)的導函數(shù)為r(x),當.go時，尸(”+犯>0,若

A

=?則AWJ的大小關(guān)系正確的是

A.a<b<cB.h<c<aC.a<c<bt>-c<a<b

【答案】c

【解析】

分析：構(gòu)造函數(shù)g(x)=4(x),利用」知條件確定g'(x)的正負，從而得其單調(diào)性.

詳解；設(shè)￡。)=必“)，則&。)=，(回+切?2.??/33>0,即礦")+"幻=葭(幻>0,?.?當天<0

XXX

時,g3<0,當x>0時,g'a)>0,g(x)遞增.又〃%)是奇函數(shù)，，g(x)=MW是偶函數(shù)，Jg(-2)=g⑵,

g(lng)=g(Tn2)=g(ln2)，：0<In2v2,；?g(g)<g(ln2)<g(2),即a<cy〃.

故選C.

2.已知/(x)的定義域為(0,+?),f'(x)為/⑸的導函數(shù)，且滿足/(x)v-W'(x),則不等式

的解集是()

A.(0,1)B.(2,+?)C.(1,2)D.(1,+?)

【答案】B

【分析】

根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù))，=葉(外，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式，即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)尸MXx),.re(0,+oo),則.v'=/(x)+礦(幻<0,

所以函數(shù)y=4(x)的圖象在(。，+8)上單調(diào)遞減.

又因為/’(%+1)>(l一1)/'，-1),所以(％+1)/@+1)>(爐-1)/(/一1),

所以0<x+l一1,解得x>2或為<一1(舍).

所以不等式/(x+l)>(x-l)/(/-l)的解集是(2,內(nèi)).

故選：B.

3.設(shè)函數(shù)/(x)在R上可導，其導函數(shù)為且2八此+才。)>0.則下列不等式在R上恒成立的是()

A.fM>0B./U)<0C./(X)>xD./(X)<X

【答案】A

【分析】

根據(jù)給定不等式構(gòu)造函數(shù)g*)=f/a)，利用導數(shù)探討ga)的性質(zhì)即可判斷作答.

【詳解】

依題意，令函數(shù)g(x)=x2f(x),則短(x)=2xf(x)+x2f\x)=M2/(X)+礦(x)],

因2f(x)+H(x)>0,于是得x<0時g'(x)<0,x>0時g'(x)>0,

從而有g(shù)(x)在(，肛0)上單調(diào)遞減，在(。，”)上單調(diào)遞增，

因此得：VxeR,x2f(x)=>j>(0)=0,而/(0)>。，即人幻不恒為0,

所以/(x)20恒成立.故選：A

【題型二】利用f(x)/x”構(gòu)造型

【典例分析】

函數(shù)/(“在定義域"+?)內(nèi)恒滿足：①②2/("<礦("<3/"),其中/(?)為/(X)的導函

數(shù)，則

1/(1)11

A丁<荷<5Bn.而<祠％c-丁荷5D-尸荷1

【答案】D

【詳解】令g(x)=以xe(0,3),gM)=Xx)；2/(x),

XJC

VVxe(0,+co),2/(x)<xf'(x)<3/(x),/./(x)>0,g、x)>0,

???函數(shù)g(x)在xt(0,y)上單調(diào)遞增，???g⑴vg(2),即4〃ljv/(2),嫖<；，

令人(x)="：),xe(o.+x>).//(r)

=~~~4~~~,

?XX

Vyxe(0,+co),2f(x)<xf1(x)<3/(x),/f(x)<0,

???函數(shù)〃(力在xw(0,y)上單調(diào)遞減，???力(1)>〃(2),BP/(1)>Z12),g<儒，故選D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

g(x)在R上單調(diào)遞增,可得g(l)=e,g(x)Ng⑴可得原不等式的解集.

【詳解】

解：因為+所以/(x)+/'(x)+l>l,即f(x)+/'(x)>0.

令g(x)="?/(x),則g'")=e[/(x)+ra)]>0,所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增.又因為g(l)=e,不等

式/(力之3一，可變形為小/(力*，即g(x)Ng⑴，所以北1,即不等式/(力之*、的解集為[1,包).

故選：C.

【題型三】利用?nxf(x)構(gòu)造型

【典例分析】

己知函數(shù)/(X)在R上可導，其導函數(shù)為若/⑺滿足：當XH1時，(x-1)[/'(力+/(切>0,

22x

f(x)=e-f(2-x)t則下列判斷一定正確的是

A./(l)</(O)B.^/(4)</(0)C.^(2)>/(0)D.^/(3)>/(0)

【答案】D

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)e，,結(jié)合導函數(shù)，判定g(x)的單調(diào)性，由g(2-x)=g(x),得g(x)的對稱軸,對選項判斷即

可.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)ex,計算導函數(shù)得到且(司=叫/。)+/(切，由(x-l)[/'(x)+/(x)]>0,得當x>L

/'(x)+/(x)>。，當xvl時,r(x)+/(x)〈O.所以g(x)在(1,+8)單調(diào)遞增，在(fj)單調(diào)遞戒而

g(2-x)=f(2-x)e2-x=?-e2-x=f(x)ex=g(x),^flUg(x)^Tx=lXt^,Jfc

e'

g(3)=e3.3)=g(T)>g(0)=〃0),得到e3f(3)>f(0),故選:D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1?對于/'(』)■叭x)>0(<0)，構(gòu)造g(x)=ex.f(x),

2.對方'*)+曠*)>0(<0),構(gòu)造g(x)=ekx.f(x)

【變式演練】

1.已知〃力是R上可導的圖象不間斷的偶函數(shù)，導函數(shù)為r(x),且當x>()時，滿足r(工

則不等式>/(-X)的解集為()

A.*8

B.C.(Y0,。)D.(0,+oo)

【答案】R

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/f(%),根據(jù)尸(x)+R(x)>0,結(jié)合題意可知函數(shù)g(x)是偶函數(shù),且在(0,+8)

上是增函數(shù)，由此根據(jù)結(jié)論，構(gòu)造出X的不等式即可.

【詳解】由題意:不等式可化為：/(x-l)>/(x)e2jt-1,

兩邊同乘以*“.得：e(x1'/(%-1)>exf(x)?令〃(x)=e'/(x),易知該函數(shù)為偶函數(shù)，

因為“(X)=ex'[f(x)+2M'(切，/'(工)+2#(A)>0,所以/f(x)>0,(x>0)

所以〃(x)在(0,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，又因為〃(x)為偶函數(shù)，

故(工―解得：X</.故選：B.

2.設(shè)函數(shù)/(*)的定義域為R,是其導函數(shù)，若/(A-)+/(x)>-eVU)，/(0)=?，則不等式/。)>各

的解集是()

A.(0,+o))B.(1,-KX))C.(f，0)D.(0.1)

【答案】A

【分析】

構(gòu)造函數(shù)以x)=(e'+l)/(x),通過求導判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性，利用函數(shù)g("的單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】令g0)=(e'+l)/(x),貝iJg'")=e7Xr)+(e'+l)/'(x),

因為/a)+/(x)>—e-"'(x),所以/(x)+(l+eT)f(x)>0,化簡可得廿八外+(1+1)/(幻>0,

即g'(x)>0,所以困數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，因為/(工)〉321?，化簡得(中+1)/。)>2,

因為g(O)=2,f(O)=2,g(x)=("+1)/(x),所以g(x)>g(0),解得x>0,

2

所以不等式.7?(%)>—的解集是(。，+8).故選：A

3.已知定義在R上的函數(shù)/(x)的導函數(shù)為了'(X),若/(1)=1,m[〃x)+T(x)+l]>0,則不等式

的解集為()

A.(-oo,l]B.(F,e]C,[1,-KC)D.[^,+co)

【答案】C

【分析】

由】n[/(x)+r(x)+i]>(),可得/(力+/'(工)>0,令人力="/(力，對其求導可得/(力>。，可得函數(shù)

g(x)在H上單調(diào)遞增,可得g⑴=e,g(?Ng(l)可得原不等式的解集.

【詳解】

解:因為in[/(x)+r(x)+i]>。，所以/(x)+r(x)+i>i,即/a)+r")>o.

令履x)=，?/(x),則g'(x)=e[/(x)+r(x)]>0,所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增.又因為g(l)=e,不等

式可變形為夕?/(同次，即g(x)Ng⑴，所以X8，即不等式/(力之*、的解集為[1,m).

故選:C.

【題型四】用f(x)/px構(gòu)造型

【典例分析】

已知函數(shù)/(X)是定義在R上的可導函數(shù)，且對于VxeR,均有/(x)>/'(x),則有

A.e2O,7(-2017)(/(0),y(2017)je2O,7(0)

B.e刈7(-2017)<f(0))(2017)<^,7/(0)

C.e20l7(-2017)>/(0),/(2017)>e2°，7(0)

D.e2O,7(-2017)>/(0),/(2017)<e20,7/(0)

【答案】D

【分析】

通過構(gòu)造函數(shù)g(x)=牛，研究以外=綽函數(shù)的單調(diào)性進而判斷出大小關(guān)系.

ee

exf\x^\ex\f(x)

【詳解】因為/(x)>/'(x)。所以/(x)—)(x)<0,即-----尸，——<0

構(gòu)造函數(shù)煎=,所以夕(行<0,即g(x)=〃2在R上為單調(diào)遞減函數(shù)

ee

所以里嘉豆>華，化簡得冷》(一2017)>/(0)。同理7)〈平,化簡得了(2017)<**八0)

e'ee'e

所以選D

【提分秘籍】

基本規(guī)律

f(X)

1?對于/'(x)/(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=-----，

ex

f(X)

2.對于>0(<0),構(gòu)造g(x)=-r—

e

【變式演練】

L已知/("是定義在R上的偶函數(shù)，當”之()時，2f\x)-f(x)<0(其中為的導函數(shù))，若

〃2)=e,貝!的解集為()

A.(-2,2)B.1因)C.卜利。.(別

【答案】A

【分析】

由［京利=扁,結(jié)合已知條件有偶函數(shù);蘇在［0,48)上單調(diào)減，(Y,0)上單調(diào)增，再由

得>1=湍即可求解鬼

【詳解】由［r=2/*)/。),而2/'(x)-/(x)<o知：在。+8)上單調(diào)減，

而f(2)=e,即§=1,又知：^,

，在。+8)上有0Wxv2,又/(力是定義在R上的偶函數(shù)，則比京在R上為偶函數(shù),

..而?在(TO,。)上單調(diào)增，即兩^,礪7,可得—2<x<0,

綜上，有-2c工<2,故選：A

2.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的可導函數(shù)，且對于VxeR,均有則有

A.e2o,7(-2O17)(/(O),/(2O17)}e2°，7(O)

B.e20,7f(-2017)<f(0),f(2017)<e20,7f(0)

C.e刈7/(—2017)>〃0)J(2017)>/”/(())

D.e2O,7(-20l7)>/(0),/(2017)<e2O,7/(0)

【答案】D

【分析】

通過構(gòu)造函數(shù)前幻二旦°,研究晨工)二旦2函數(shù)的單調(diào)性進而判斷出大小關(guān)系.

ee

exf\x^\ex\fM

【詳解】因為"x)>/'(x)“所以/'(工)一丁(工)<0,即一一廣J—<0

(明

構(gòu)造函數(shù)ga)=4。，所以短(力<0,即且。)二華在R上為單調(diào)遞減函數(shù)

ee

所以華，化簡得￡刈7/(_2017)>〃())。同理與祖<華，化簡得八2017)<*7/(0)

所以選D

3.已知定義在R上的可導函數(shù)"r）滿足：/V）+/（x）＜0,則與/⑴的大小關(guān)系是

A.也”2>/⑴B.巫02</⑴c./（打一機2）

>/(1)0.不確定

【答案】A

【詳解】

令g(x)=exf(x),則g'(x)=ex[f\x)+/(A)]<0,所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減.

因為m2一〃?+1>0,所以〃?一〃/(1n)}g⑴ne,n~m'f[m-nr)>//⑴n>/⑴，選A.

-nt八

點睛：利用導數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導數(shù)研窕對應函數(shù)單調(diào)性，而對應函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助

函數(shù)常根據(jù)導數(shù)法則進行：如/'&）＜/a）構(gòu)造前幻二華，八幻+/（幻＜。構(gòu)造g*）=e，/*）,

e

爪?＜/U）構(gòu)造g）=9’爪）+/⑶＜°構(gòu)造?。?”造

【題型五】利用sinx與f（x）構(gòu)造型

【典例分析】

已知定義在（（）4）上的函數(shù)，f（.x）為其導函數(shù)，且工也恒成立，則

2sinxcosx

A./A>2/AB.局中＞0嗎）

2o

7F

c?后恥崎…⑴yi

【答案】C

【詳解】令g(x)=%，則g'(x)=f'(x)sinx-/(x)cosx＞0,所以g（x）在（（），］）上單調(diào)遞增，因此

sinxsin2x

/吟)/令/（1）/吟）廣兀廠兀

6<J=＞物恥嗎）,g（；）

.n.it兀兀43

sin-sin-sin—sin—

6343

聘)

1r/(7)

<-

.n

sin—sin—

62

,說)

舄=2而"6＜/⑴,所以選C.

<g⑴n—

.7T

sm

6

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.對于$由*?/'(%)+8$*?/(%)>0(<0),構(gòu)造g(x)=f(x)?sinx,

f(x)

2.對于sinx?/'(x)-cosx?/(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=-----

sinx

3.對于正切型，可以通分(或者去分母)構(gòu)造正弦或者余弦積商型

【變式演練】

1.己知奇函數(shù)“X)的導函數(shù)為門㈤，且“X)在(0微)上恒有.fa)cos_r-/S)sinx<()成立，則下列不等

式成立的()

【答案】B

【分析】

構(gòu)造函數(shù)?。)=黑，由已知可得出外力在(()仁)上為增函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義得出產(chǎn)(%)為

偶函數(shù)，由此逐一判斷選項可得答案.

【詳解】構(gòu)造函數(shù)尸(處=票，由””在(0，、)上恒有:(x)sinx-f(x)cosx>0,

???小)=_W吧>0，.仆)在(。馬上為增函數(shù)，

又由尸(T)=』^=S^=F(X),”(可為偶函數(shù)，./信］〈尸佰)，...d<乂工

sin(-x)-sinx64\6JI4J.4.乃

sin—sin—

64

故A錯誤.7偶函數(shù)F(x)在(0馬上為增函數(shù)，"(x)在［宗。)上為減函數(shù),

兀

，故B正確;

3>13”卜外后Cl

兀

_同(_訃_拉/(-司

c錯誤;

(分同圖故D錯誤.

34

故選:B.

2.已知偶函數(shù)/3)是定義在上的可導函數(shù)，當xF-1,0)時，/V)cosA+/(A)sin.r>0,若

cos-?+1)/(?)f(a+l)costz,則實數(shù)〃的取值范圍為()

B.[-1,--]C.D.[-i+co)

A.［-2,-1］

J乙乙

【答案】C

【分析】

構(gòu)造函數(shù)尸(x)=3,可得尸")是偶函數(shù),求導可得出尸(X)在［TO)上單調(diào)遞增,在(0函上單調(diào)遞減，由

COSX

COSS+1)/3)>f(a+l)cosa可得F(|a|)>F(|a+11),列出不等式即可求解.

【詳解】

令/(x)=3,則當一IKKWI時，F(xiàn)(-x)=-^^-=^=F(x),

COSXCOS(-X)ccs.v

所以函數(shù)F(x)是定義在［-1,1］卜的偶函數(shù).

當xc［—l,0)時，…”小巾>0,

cos'X

所以函數(shù)尸(X)在［-1，0)上單調(diào)遞增，在(0,1］上單調(diào)遞減.

又cos(a+l)>。，cos?>(),

可得幽之31

所以由COS(A+1)/3)之j\a+1)cos?,

cost/cos(t/+1)

]〃閆〃+1]

艮PF(a)之尸(a+1),所以「(|a|)N*a+l|),所以,解得」WaKO,

2

-l<a+l<l

所以實數(shù)，的取值范圍為弓。］，故選：C.

3.設(shè)小)是定義在卜奈0卜(0,9上的奇函數(shù)，其導函數(shù)為/'(X),當代傳)時，尸⑴-/㈤第<0,

則不等式/（x）＜sinx的解集為（)

【答案】B

【分析】

令卜織，易得，?"）=鋁是定義在卜奈°）=（°最）上的偶函數(shù)，因為/"W-/W黑＜o,可知

”（H）在（°段）上單調(diào)遞減，在（-去。）上單調(diào)遞增，從而可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，確定不等式的解.

【詳解】

令'（"）=密，：/（x）是定義在卜三，0）=（。，5）I:的奇函數(shù)，

??"（力=這是定義在（-9。14°3上的偶函數(shù).

sinxI2/l

/\

當xe0,￡時，sinx＞0,由，得/（x＞sinx-f（x）.cosxv0,

I2）sinx

???l（x）=，（[＞皿小）＜2＜0,則g）在伍小上單調(diào)宛減.

sinxk2）

將”f（x）〈苧/閨sinx化為鑒＜4^,即Mx）＜〃圖，則,嘮

sin

3

又力（6=這是定義在Jg,o]u[o,f]上的偶函數(shù).

sinxI2/12/

???力（力在1]。）上單調(diào)遞增，且力（。卜力卜。.

當[J-Ro）時，sinx＜0,將巳]sinx化為紅?〉二^

3

⑺加sin￡

3

即力（外＞/（彳）="（-彳），則-]＜4＜0.綜上，所求不等式的解集為，￡o）u（gA）?故選：B

\37\5）5\37\5L）

【題型六】利用COSX與f（X）構(gòu)造型

【典例分析】

已知函數(shù)/("的定義域為|、-會句，其導函數(shù)是/'").有r*)8sx+/(x)sinx<0,則關(guān)于x的不等式

6f(x)<2/(￡|cosx的解集為()

B.D.

【答案】B

【分析】

令F(X)=/H,根據(jù)題設(shè)條件，求得F(x)<0,得到函數(shù)小3=犯在［-需］內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，再

COSXCOSXV2

把不等式化為小“吆X)<—⑷,結(jié)合單調(diào)性和定義域，即可求解.

M喏

【詳解】由題意，函數(shù)/("滿足/'(x)cosx+/a)sinx<0,

令*x)=/kl,則尸⑴=在也翌但竺<0

cosxcosX

函數(shù)網(wǎng)上鑒是定義域(一資)內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，由于8Q。，關(guān)于，的不等式

、

Gf(x)<2dg]cosx可化為<啟〕7TLLt、l穴7tL71Arl/tJ九

-A1Z,即尸(力〈/，所以一彳且%>大，解得—>A->—,

16/cos.v6/22626

cos—

6

不等式扃*)<2/圖8sx的解集為信胃故選：B

【提分秘籍】

基本規(guī)律

1.對1cosx?/'(x)-sinx?f(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=f(x)-cosx>

f(X)

2.對于cosx?/'(x)+sinx?/(x)>0(<0),構(gòu)造g(x)=-----

cosx

3.對于正切型，可以通分(或者去分母)構(gòu)造正弦或者余弦積商型

【變式演練】

1.已知偶函數(shù)/⑸的定義域為送馬，其導函數(shù)為了'(X),當。時，有r(x)cosx+/(x)sinx<0成立,

則關(guān)于x的不等式/(x)<&/(?)cosx的解集為()

《冗式

J,2B.

【答案】B

【分析】由題意，設(shè)g*)=42,利用導數(shù)求得g(x)在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，再把不等式

cosx12J

/(x)<V2/|^jjcosx,轉(zhuǎn)化為g(x)<g(?),結(jié)合單調(diào)性，即可求解.

［詳解］由題意，設(shè)g(x)=3,則g，(x)=r(x)8s.t/(x)sinx,

cosxcosX

/\

當0<x<T時，因為r(x)cosx+/(x)sinx<0,則有g(shù)'(x)<0,所以g(x)在0彳上單調(diào)遞減，

又因為/(幻在上是偶函數(shù)，可得以70=與工=/也=8(幻，所以g(X)是偶函數(shù)，

V22Jcos(-x)cos%

/(兀)

由/0)<&/(g］cosx,可得衛(wèi)2<&/(￡),即&<」-,即以x)vg(f)

k47cosx4cosx￡4

4

又由g(幻為偶函數(shù)，且在上為減函數(shù)，且定義域為，則有1幻>￡,

I2Jk22J4

解得-3<x<-g或9cx<3,即不等式的解集為故選：B-

2442124，乙)

2.已知函數(shù)/⑴的定義域為［4國，其導函數(shù)為八r).若八x)=tan.「"(.r)+.r］,且/(0)=0,則下列結(jié)論

正確的是

A../V)是增函數(shù)B./(0是減函數(shù)C./(幻有極大值D./*)有極小值

【答案】A

【分析】對r(x)=ianx?［/(x)+x］化簡可得/⑴=如"⑷+而，即為

cosX

/(x)cosX-sinAf(x)=x?sinx,設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)?cosx,研究函數(shù)y=g(幻的性質(zhì)，從而得到

)，=/*)的單調(diào)性與極值，從而得到答案.

解：設(shè)函數(shù)g(x)=/(x)?cosX因為/'(x)=taw[/(x)+x]化簡可得r(x)=空三[/⑴+x],

cosx

即為了'(x)cosx-sin.J(x)=x?sinx,故g'(x)=x?sinx,因為xe(-三，一巳)

所以如“…i…。恒成憶所以尸心)在、e(咤’咤)上單調(diào)遞增'又因為/3=。,

所以g(o)=/(O)?COS0=0,所以當X￡(_?,o)時，g(x)<0,

J

當工€(0二)時，gCr)>0,/，(x)=[?]，=gQ)?d-)sin\

2cosxcos'x

當xw(-].。)時，g(%)<0,g'(x)>0,cosx>0.sinx<0,

故f，(x)=[W]，=g?cos1如)sinX>0恒成立；

cosXCOS'X

當與e(0,X)時，g(x)>0,，(x)>0,cosx>(),sinx>().

2

故「a)=[圓2]，=g'(x)?cos-x)sinx>。恒成立；

COSXCOSX

所以y，=廣⑺>o在xe(一￡,一馬上恒成立，

22

故？=/(幻在xw(-1-1)上單調(diào)遞增，故函數(shù)沒有極值，不可能單調(diào)遞減。所以選A.

22

3.

【題型七】復雜型：e”與af(x)+bg(x)等構(gòu)造型

【典例分析】

設(shè)定義在R上的函數(shù)“X)的導函數(shù)為尸(“，若〃”+1(x)v2,/(())=2021,則不等式

，/(x)>2/+2019(其中。為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為()

A.(0,4-co)B.(2019,4-oo)

C.(-oo,0)D.(-oo,0)J(2019,+a>)

【答案】C

【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g(x)=e[/(x)-2],分析g(x)的單調(diào)性并計算g(0)的值，將e"(x)>2e'+2019

轉(zhuǎn)化為g(x)>2019,由此求解出不等式的解集.

【詳解】設(shè)&(大)=爐[/(力—2],所以解l)=e[/(x)十人(引一2],

因為)。)+/(")<2,所以g'(x)=，[/(x)+r(M-2]<0,

所以g(x)在及上單調(diào)遞減，且g(0)=lx(/(0)-2)=2019,

又因為e"(x)>2e'+2019等價于g(x)>2019,所以解集為(9,0),故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

對(<0),構(gòu)置(x)=e[/(x)-k]

【變式演練】

1.函數(shù)/*)是定義在(。,+8)上的可導函數(shù)，/'")為其導函數(shù)，若礦(％)+/*)=，(％-2)且/(3)=0,則不

等式fM<0的解集為.

【答案】(。,3)

【分析】

構(gòu)造函數(shù)^x)=xf(x),由題知—2)得至IJ〃'(工)在(0,+8)的最小值為0,得到尸(x)=MR在(0,+8)單

增，在(0,+8)上，/(幻<0等價于皿幻<(),利用尸")=葉。)單調(diào)性可解.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)內(nèi)(勸=4(%),在(0,2)上，f(x)〈0等價于尸(上=男。)<0,?,?礦(x)+“r)=<(x-2),

.?'(x)=e*(x-2)尸a)=e*(x-2)>0得％>2,產(chǎn)(幻在(2,e)上單增,在(0,2)上單減，

在(0,2]上，尸(幻<尸(0)=0恒成立，又/(3)=0,則產(chǎn)(3)=0

又在(2,+oo)上,/(勸<0等價于尸@)=皿%)<0,即尸(。<網(wǎng)3),則2Vx<3

■.不等式/*)<。的解集為(。，3)放答案為：(0,3)

2.函數(shù)“V)是定義在(0,+8)上的可導函數(shù)，/'(幻為其導函數(shù)，若礦*)+/*)=且/(2)=0,則

〃上)>0的解集為()

A.50,?B.(0,2)C.(L2)D.(1,4)

【答案】B

【分析】設(shè)g(x)=#(x)+(x-2)F,則g，(*)=0,g(2)=0,故g(x)=0,即/⑺=。t)J解不等式

得到答案.

【詳解】設(shè)屋力=4(力+(X一2)/,則夕(力=/(力+4'("—(1一幻"=0，

/(2)=0,故g(2)=0,故g(x)=0,即〃力=(2-；“二

即(2T).>0,八工(0,母)，故O〈x<2.故選：B.

x

3.設(shè)定義在R上的函數(shù)/")的導函數(shù)為/。)，若〃x)+r(x)>2,/(0)=2020,則不等式

e'/(x)>2Z+2018(其中。為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為

A.（0,+x-）B.（2018,-KO）

C.（2020,”）D.（^o,0）（2018,-w）

【答案】A

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=e"(x)-2e)則可判斷g")>0,故g(x)是R上的增函數(shù),結(jié)合g(0)=2018即可得出答

案.

解:設(shè)履x)=e"(x)—2e",則8。)=打(力+"(力-3=叩(力+尸(同-2],

???〃力+7(力>2,->0,??.g")=e[/a)+/O)—2]>0.???g(x)是R上的增函數(shù),

又g(O)=/(O)-2=2O18,，g(jr)>2018的解集為(0,y),

即不等式e"(">2/+2018的解集為(0,+功.故選A.

【題型八】復雜型：(kx+b)與f(x)型

【典例分析】

已知函數(shù)/(x)的定義域為R,其圖象關(guān)于點(-M))中心對稱，其導函數(shù)/彳工)，當xv-I時，

(x+l)[/(x)+(x+1)r(x)]<0,則不等式^(工一1)>〃0)的解集為

A.(1,+?)B.Si)C.(-U)1).(TO,-

【答案】C

【詳解】由題意設(shè)g(x)=(x+1)/(6,則g'(x)=/(x)+(x+l)/'(x),?,?當xv-1時,

(x+l)[/(x)+(x+l)/O)]v(),當xv—l時，/(x)+(x+l)/'(x)>0,則g(x)在(F,-l)上涕增，.函數(shù)

/(A-)的定義域為R,其圖象關(guān)于點(-1,0)中心對稱，.??函數(shù)/(X-1)的圖象關(guān)于點(0.0)中心對稱，則函數(shù)

/6-1)是奇函數(shù),令人(力=8(1-1)=二(%-),，〃(力是區(qū)上的偶函數(shù),且在(?？，0)遞增,由偶函數(shù)的性

質(zhì)得；函數(shù)《V)在(0，+?)上遞減，如)=/(()),.??不等式獷(1一1)47(0)化為:/<v)>/2(1),即兇V1,

解得-.??不等式解集是故選C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

授課時，可以讓學生寫出尸kx+b與尸f(x)的加、減、乘、除各種

【變式演練】

1.設(shè)函數(shù)/(力在R上存在導函數(shù)7''("，對任意實數(shù)L都有〃工)=/(-x)+2x,當x<0時，rq)<2x+l,

若f(2-〃)</(-〃)-4a+6,則實數(shù)”的最小值是()

A.1B.—1C.gD.-g

【答案】A

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃x)—x,根據(jù)等式〃x)=/(-x)+2x可得出函數(shù)y=g(x)為偶函數(shù)，利用導數(shù)得知函

數(shù))，=且。)在(-8，。)上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的性質(zhì)得出該函數(shù)在(()，+8)上單調(diào)遞增，由

42—〃)《/(—a)-4a+2,得出g(2-a)Kg(-〃)，利用函數(shù))，=g(x)的單調(diào)性和偶函數(shù)的性質(zhì)解出該不等

式即可.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-f-x,對任意實數(shù)x,都有/(x)=/(r)+2x,

則月("=/(力47=/(-力-/+2-=/(-力+(-f-(-”=晨一)，

所以，函數(shù)y=g(x)為偶函數(shù)，?,g(x)=g(W).

當H<0時，g'(x)=r(x)—2x—1<0,則函數(shù)尸g(x)在(F。上單調(diào)遞減，

由偶函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)y=g("在(0,+8)上單調(diào)遞增，

J'(2-a)<f^-a)-4a+6,BPf(2-a)-(2-a)2-(2-a)<f(-a)-(-a)2-，

即g(2—a)?g(-a),則有g(shù)(|2-4)?月(同),

由于函數(shù))，=8(力在(0,+e)上單調(diào)遞增，.小一4區(qū)同，即(2—a)Z/,解得〃之1,

因此，實數(shù)，的最小值為1，故選A.

2.已知定義域為R的函數(shù)仆)滿足J'(x)-4x>0,其中/'(x)為〃力的導函數(shù)，則當閆0,2句

時，不等式/(cosx)-8s2x20的解集為()

【答案】D

【分析】

構(gòu)造函數(shù)雙力=/("-2/,由已知/(力>。，所以g(“在R上單調(diào)遞增，利用二倍角余弦公式化簡變形

(1\

/(cosx)-cos2x>0,/(cos.r)-2cos2x>-\,即g(cosx),利用單調(diào)性即可求解.

解：令g(x)=/(x)—2%2,因為r(x)-4x>。，所以<(x)=r(x)-4x>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增,

因為