湖南省益陽市2024屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

益陽市2024屆高三4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（時(shí)量：120分鐘滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)為虛數(shù)單位，且，則（）A. B. C. D.2.已知，，則是方程的解的充要條件是（）A. B.C D.3.頂角為的等腰三角形，常稱為“最美三角形”．已知，則“最美三角形”的底邊長(zhǎng)與腰長(zhǎng)的比為（）A. B.C. D.4.已知數(shù)列滿足且，則（）A.128 B.64 C.32 D.165.已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.7 C.8 D.96.2023年某一天某紅酒廠商為了在線出售其紅酒產(chǎn)品，聯(lián)合小Y哥直播間，邀請(qǐng)某“網(wǎng)紅”來現(xiàn)場(chǎng)帶貨．在帶貨期間，為吸引顧客光臨直播間、增加客流量，發(fā)起了這樣一個(gè)活動(dòng)：如果在直播間進(jìn)來的顧客中，出現(xiàn)生日相同的顧客，則獎(jiǎng)勵(lì)生日相同的顧客紅酒1瓶．假設(shè)每個(gè)隨機(jī)來訪的顧客的出生日期都是相互獨(dú)立的，并且每個(gè)人都等可能地出生在一年（365天）中任何一天（2023年共365天），在遠(yuǎn)小于365時(shí)，近似地，，其中．如果要保證直播間至少兩個(gè)人的生日在同一天的概率不小于，那么來到直播間的人數(shù)最少應(yīng)該為（）A.21 B.22 C.23 D.247.如圖所示，4個(gè)球兩兩外切形成的幾何體，稱為一個(gè)“最密堆壘”．顯然，即使是“最密堆壘”，4個(gè)球之間依然存在著空隙．材料學(xué)研究發(fā)現(xiàn)，某種金屬晶體中4個(gè)原子的“最密堆壘”的空隙中如果再嵌入一個(gè)另一種金屬原子并和原來的4個(gè)原子均外切，則材料的性能會(huì)有顯著性變化．記原金屬晶體的原子半徑為，另一種金屬晶體的原子半徑為，則和的關(guān)系是（）A. B.C. D.8.已知定義域?yàn)槭堑膶?dǎo)函數(shù)，且，，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．9.下列命題中，正確是（）A.函數(shù)與表示同一函數(shù)B.函數(shù)與是同一函數(shù)C.函數(shù)的圖象與直線的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)D.函數(shù)，則010.如圖1所示，為曲桿道閘車庫出入口對(duì)出入車輛作“放行”或“阻攔”管制的工具．它由轉(zhuǎn)動(dòng)桿與橫桿組成，為橫桿的兩個(gè)端點(diǎn)．在道閘抬起的過程中，橫桿始終保持水平．如圖2所示，以點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向?yàn)檩S正方向建立平面直角坐標(biāo)系．若點(diǎn)距水平地面的高度為1米，轉(zhuǎn)動(dòng)桿的長(zhǎng)度為1.6米，橫桿的長(zhǎng)度為2米，繞點(diǎn)在與水平面垂直的平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，與水平方向所成的角（）A.則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為（其中）B.則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為（其中）C.若繞點(diǎn)從與水平方向成角勻速轉(zhuǎn)動(dòng)到與水平方向成角，則橫桿距水平地面的高度為米D.若繞點(diǎn)從與水平方向成角勻速轉(zhuǎn)動(dòng)到與水平方向成角，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度為米11.在中，角，，所對(duì)的邊依次為，，，已知，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.為鈍角三角形C.若．則的面積是D.若的外接圓半徑是，內(nèi)切圓半徑為，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)且，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)所形成的曲線的方程為______．13.已知，且，則滿足且的的最大值為______．14.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋畬?duì)任意的恒有，且，．則______．四、解答題：本題共5小題，共77分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知為正實(shí)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)．若曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求的值；（2）求證：．16.新鮮是水果品質(zhì)的一個(gè)重要指標(biāo).某品牌水果銷售店，為保障所銷售的某種水果的新鮮度，當(dāng)天所進(jìn)的水果如果當(dāng)天沒有銷售完畢，則第二天打折銷售直至售罄．水果銷售店以每箱進(jìn)貨價(jià)50元、售價(jià)100元銷售該種水果，如果當(dāng)天賣不完，則剩下的水果第二天將在原售價(jià)的基礎(chǔ)上打五折特價(jià)銷售，而且要整體支付包裝更換與特別處理等費(fèi)用30元．這樣才能保障第二天特價(jià)水果售罄，并且不影響正價(jià)水果銷售，水果銷售店經(jīng)理記錄了在連續(xù)50天中該水果的日銷售量x（單位：箱）和天數(shù)y（單位：天）如下表所示：日銷售量x（單位：箱）2223242526天數(shù)y（單位：天）10101596（1）為能減少打折銷售份額，決定地滿足顧客需求（即在100天中，大約有70天可以滿足顧客需求）．請(qǐng)根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)，確定每天此種水果的進(jìn)貨量的值.（以箱為單位，結(jié)果保留一位小數(shù)）（2）以這50天記錄日需求量的頻率作為日需求量的概率，設(shè)（1）中所求的值滿足，請(qǐng)以期望作為決策依據(jù)，幫銷售店經(jīng)理判斷每天購進(jìn)此種水果是箱劃算還是箱劃算？17.如圖所示，四邊形為梯形，，，，以為一條邊作矩形，且，平面平面．（1）求證：；（2）甲同學(xué)研究發(fā)現(xiàn)并證明了這樣一個(gè)結(jié)論：如果兩個(gè)平面所成的二面角為，其中一個(gè)平面內(nèi)的圖形在另一個(gè)平面上的正投影為，它們的面積分別記為和，則．乙同學(xué)利用甲的這個(gè)結(jié)論，發(fā)現(xiàn)在線段上存在點(diǎn)，使得．請(qǐng)你對(duì)乙同學(xué)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論進(jìn)行證明．18.已知直線與橢圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．（1）設(shè)點(diǎn)到直線的距離分別為，求的取值范圍；（2）已知橢圓在點(diǎn)處的切線為．（i）求證：切線的方程為；（ii）設(shè)射線交于點(diǎn)，求證：為等腰三角形．19.我們知道，二維空間（平面）向量可用二元有序數(shù)組表示；三維空間向盤可用三元有序數(shù)組表示．一般地，維空間