湖南省多校聯(lián)考2024-2025學年高三上學期11月月考數(shù)學試題 含解析

高三數(shù)學考生注意：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號填寫在試卷和答題卡上，并將考生號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1設集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（）A.–4 B.–2 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由題意首先求得集合A,B，然后結合交集的結果得到關于a的方程，求解方程即可確定實數(shù)a的值.【詳解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故選：B.【點睛】本題主要考查交集的運算，不等式的解法等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得到，結合模長公式進而可求解.【詳解】由，可得：，所以，故選：C3.將某班一次數(shù)學考試的成績（都是正整數(shù)，滿分150分）統(tǒng)計整理后得到如下的表格：成績范圍0~89分90~99分100~109分110~119分120~129分130~150分人數(shù)71010267則該班這次數(shù)學考試成績的分位數(shù)可能是（）A.93 B.108 C.117 D.128【答案】D【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的求法確定分位數(shù)所在的分數(shù)區(qū)間，即可得答案.【詳解】由題設，總人數(shù)有人，則，結合表格數(shù)據(jù)知，這次數(shù)學考試成績的分位數(shù)在120~129分內.故選：D4.已知是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，且，則B.若，且，則C.若，且，則D.若，且，則【答案】C【解析】【分析】利用空間直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關系逐項判斷可得結論.【詳解】對于A，若，且，則或與相交，故A錯誤；對于B，在正方體中，取為，為，平面為，平面為，符合題意，但，故B錯誤；對于C，因為，所以直線的方向向量是平面的法向量，直線的方向向量是平面的法向量，又，所以兩直線的方向向量垂直，即兩平面的法向量垂直，所以，故C正確；對于D，在正方體中，取為，為，平面為，平面為，此時符合題設，但與不垂直，故D錯誤.故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由積化和差公式及余弦二倍角公式化簡即可求解.【詳解】由，可得：，即，又，結合平方差公式可得：.故選：A6.若函數(shù)及其導函數(shù)滿足，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得，可得，結合已知即可求解.【詳解】因為，所以，所以，因為，所以，解得，所以，令，可得，解得.故選：D.7.設數(shù)列滿足為的前項和，則數(shù)列中的項不包括（）A.54 B.232 C.610 D.1596【答案】C【解析】【分析】根據(jù)遞推關系推導數(shù)列的前項，由此判斷出正確答案.【詳解】，，，所以不包括.故選：C8.已知三棱錐的三個側面的面積分別為5，5，6，底面積為8，且每個側面與底面形成的二面角大小相等，則三棱錐的體積為（）A.4 B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】過向底面作垂線，垂足為，分別過向三邊作垂線，垂足分別為，連接，由題意可得，可得為三角形的內心，進而計算可得的邊的值，進而可求三棱錐的高，可求體積.【詳解】過向底面作垂線，垂足為，分別過向三邊作垂線，垂足分別為，連接，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，同理可得為二面角的平面角，為二面角的平面角，因為每個側面與底面形成的二面角大小相等，所以，所以，所以為三角形的內心，由三棱錐的三個側面的面積分別為5，5，6，所以，設三邊的長為，則邊上的高長為，由底面的面積為8，所以，解得，設內切圓的半徑為，則，所以，由側面的面積為6，所以，所以，所以，所以，所以.故選：B.【點睛】關鍵點點睛：關鍵在于利用二面角相等，得到在平面的投影是三角形的內心，據(jù)此計算可求得體積.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.記等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A.的公差為2 B.C.的最大值為35 D.的最小值為【答案】BD【解析】【分析】由已知可得，可求判斷A；可求得數(shù)列的通項公式，進而計算判斷B；由通項公式可知前6項為非負數(shù)的項，故前6項和最大，求解可判斷C；，利用換元法求得最小值判斷D.【詳解】由，可得，所以，所以，所以，又，所以，解得，故A錯誤；所以等差數(shù)列的通項公式為，所以，所以，故B正確；令，解得，所以前6項為非負項，其和最大，又，公差，所以最大值為，故C錯誤；因為，所以，令且，可得，所以，因為在單調遞減，在上單調遞減，所以當時，，當時，，所以的最小值為，故D正確.故選：BD.10.設直線，則下列說法正確的是（）A.當時，的傾斜角為B.使得過點的有兩個C.存在定點，使得點到的距離為定值D.從所有直線中選3條圍成正三角形，則正三角形的面積為定值【答案】ABC【解析】【分析】代入求解可判斷AB；點到直線的距離為定值判斷C；結合C選項可得這樣的三角形有兩類，兩類的面積不等判斷D.【詳解】對于A，當時，直線的方程為，即，直線的斜率為，所以的傾斜角為，故A正確；對于B，當直線過點時，可得，所以，兩邊平方得，所以，解得或或或，經(jīng)檢驗與是增根，所以或，故B正確；對于C，點到直線的距離為，所以存在定點，使得點到的距離為定值，故C正確；對于D，由C可知，直線是以為圓心，為半徑的圓的切線，從所有直線中選3條圍成正三角形，這樣的正三角形有兩類，如圖所示，一類是圓的外切三角形，這一類三角形的面積相等，一類是在圓的同一側，這一類三角形的面積相等，但兩類三角形的面積不等，故D錯誤.故選：ABC.11.設是定義在上的非常值函數(shù)，若，則下列說法正確的是（）A.若，且，則是偶函數(shù)B.若，且，則是周期函數(shù)C.若，則存在非零實數(shù)，使得D.若，且的值域為，則【答案】AD【解析】【分析】分別將每個選項的特殊情況代入條件，采用恰當?shù)馁x值判斷命題的正確性即可得到答案.【詳解】對于A，B，此時有.取，得，故，由于fx不是常值函數(shù)，所以一定存在使得，故.重新取x=0，得，即，故，所以A正確；注意到滿足給定的條件，但此時fx不是周期函數(shù)，所以B錯誤；對于C，D，此時有.假設存在使得，則.取，得，所以.重新取x=0，得，所以fx是偶函數(shù).在中用替換，可得，故.與相加，可知，所以.再中取，就得到，所以，這與fx不是常值函數(shù)矛盾，所以C錯誤；而對于D，若fx的值域是，假設存在使得，設.由于fx不是常數(shù)函數(shù)，故可以取使得，并考慮數(shù)列，則，.再中取，可知，故.所以.從而存在實數(shù)，使得.所以.分別用替換該式中的并相加，可得.所以，我們有.總之，存在實數(shù)，使得.由于，故.所以對任意整數(shù)都有.若，則該不等式在時不成立，矛盾，所以.同時注意到.對進行類似討論，同理可以得到，故，這與矛盾.所以假設不成立，故，所以D正確.故選：AD.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點在于對已知條件進行適當?shù)馁x值.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某中學每次升國旗儀式由1名旗手和4名護旗手進行，旗手需要掌握?旗、展旗等技術，每名護旗手也各有不同的職責．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5人升國旗，其中甲和乙能擔任旗手或護旗手，其他人只能擔任護旗手，則不同的安排方法種數(shù)為________．【答案】48【解析】【分析】先由甲乙一人擔任旗手，再其余全排即可；【詳解】先甲乙選一人擔任旗手，再將其余全排，可得不同安排方法種數(shù)為種，故答案為：48.13.計算：________．【答案】【解析】【分析】令，兩邊取對數(shù)，根據(jù)對數(shù)的運算性質得到，即可得解.【詳解】令，顯然，所以，即，令，因為，，所以，則，即，所以，又在定義域上單調遞增，所以，即，所以.

故答案為：14.設為單位向量，向量滿足，則當與的夾角最大時，________．【答案】5【解析】【分析】令，，利用余弦定理及向量模長的坐標表示得，即，再由等面積法、向量數(shù)量積定義有與的夾角最大，即最小，進而由，即可求值.【詳解】因為為單位向量，向量滿足，所以可令，如下圖示，易知，若，故，而，即，所以，又，所以，要與的夾角最大，即最大，即最小，由，當且僅當時取等號，所以當與的夾角最大時，.故答案為：5【點睛】關鍵點點睛：利用正余弦定理及向量模長的坐標表示、及數(shù)量積的定義確定與的夾角最大，即最小為關鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知橢圓的離心率為，且過點為坐標原點．（1）求的方程；（2）過的右頂點且斜率為的直線交于兩點，求的面積；（3）在（2）的條件下，設是上不同于的點，且與的面積相等，請直接寫出所有滿足條件的點的坐標．【答案】（1）（2）（3）．【解析】【分析】（1）利用已知條件求得，可求橢圓方程；（2）求得直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立可求得點的坐標，進而可求得的面積；（3）由橢圓的對稱性可求得所有點的坐標.小問1詳解】設的半焦距為，由題意得，解得，故的方程為．小問2詳解】由（1）知的方程為，即，聯(lián)立，消去得，整理得，解得與，所以，所以．【小問3詳解】因為與的面積相等，所以到的距離與到的距離相等，由橢圓的對稱性可知所有滿足條件的點的坐標為．16.在中，內角的對邊分別為，已知．（1）若，求；（2）若，求的最小值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由三角恒等變換可得，可得，結合已知可求；（2）由（1）可得，所以，由正弦定理可得，進而可得，利用基本不等式可求最小值.【小問1詳解】因為，所以，所以，因為，，所以，所以，所以，故．【小問2詳解】由（1）知，又，所以．所以．由正弦定理，得，所以，當且僅當，即時取等號．所以最小值為．17.如圖，已知圓錐的高為為底面直徑，且．（1）求圓錐的表面積；（2）若是底面圓周上一點，且，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由圓錐的表面積公式計算即可；（2）建立如圖所示坐標系，分別求出平面和平面的一個法向量，代入空間二面角公式求解即可；【小問1詳解】由題可知母線長，底面半徑．故圓錐的表面積．【小問2詳解】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系．設點在上的射影為，則，所以．易知，則．設平面的一個法向量為，則，取，計算可得平面的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則，取，則平面的一個法向量為．所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．18.已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）若，且存在，滿足，證明：；（3）設函數(shù)，若，且與的圖象有兩個交點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析（3）．【解析】【分析】（1）求導可得，分，，，四種情況討論，可得函數(shù)的單調性；（2）對合（1）可得的單調性，由已知可得，令，求導可得Fx在R上單調遞增，從而可得，由的單調性可得結論；（3）據(jù)題意可得方程有兩個實根，令，可得有兩個實根，求解即可.【小問1詳解】由題意得，若，則在上單調遞減，在上單調遞增．若，令，得或，若，則在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增；若，則在R上單調遞增；若，則在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．【小問2詳解】由（1）可知，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，因為，所以．令，則，當時，，當時，，所以恒成立，F(xiàn)x在R上單調遞增．因為，所以，即，所以．又在上單調遞增，且，所以，即．【小問3詳解】由題意可得方程有兩個實根．設，當時，，則φx在0,+∞上單調遞增，令，則，所以關于的方程，即有兩個實根，令，則，當，，所以在上單調遞增，當，，，在上單調遞減，所以，且時，．所以，所以，即的取值范圍是．19.記數(shù)列的前項和為，若存在整數(shù)和正整數(shù)，使得恒成立，則稱為“數(shù)列”．（1）寫出一個既是等比數(shù)列又是“數(shù)列”的的通項公式．（2）已知數(shù)列滿足．（?。┳C明：是“數(shù)列”．（ⅱ）是否存在和，使得為數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．附：當正整數(shù)時，．【答案】（1）（答案不唯一）（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）不存在，理由見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)“數(shù)列”的定義、等比數(shù)列的知識進行舉例，從而確定正確答案.（2）（?。└鶕?jù)“數(shù)列”的定義，利用構造函數(shù)法，結合導數(shù)來證得結論成立.（ⅱ）根據(jù)重要不等式得到，然后利用累加法來進行說明.【小問1詳解】依題意，要求是：既是等比數(shù)列又是“數(shù)列”，即，如，，符合題意.或其他合理答案，需滿足，如：．【小問2詳解】（ⅰ）設的前項和為，要證明是“數(shù)列”，，即證明．因為，所以．由可得，且．設，易知恒成立，所以在上單調遞增，則，得，所以