2024-2025學(xué)年度上學(xué)期普通高中聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)解析版

2024—2025學(xué)年度上學(xué)期普通高中聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高三數(shù)學(xué)試解析版滿分150分，考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．設(shè)集合，，若，則（

）A．2 B．1 C． D．-2【答案】A【詳解】由，得.若，則，不符合題意；又，所以，解得.故選：A2．已知等差數(shù)列的前和為Sn，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由等差數(shù)列，可得前項(xiàng)和為，又因?yàn)?，所以，所以，即得，所以，則.故選：A.3．在單位圓中，已知角是第二象限角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊與單位圓交于點(diǎn)，所以，因?yàn)榻鞘堑诙笙藿牵?，所以，故選：C.4．在展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是6，則（

）A．6 B．3 C．3 D．6【答案】B【詳解】由題可得含的項(xiàng)為，所以.故選：B.5．已知平面向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】若與的夾角為鈍角，則且與不共線，可得，解得且，因?yàn)槭堑恼孀蛹?，所以“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B.6．已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若，AB的中點(diǎn)到軸的距離為，則p的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，由對(duì)稱性，不妨令點(diǎn)在第一象限，過(guò)分別作，垂足分別為，過(guò)作于，交于，令，，，由，得，即，則，線段中點(diǎn)，過(guò)作于，則，由AB的中點(diǎn)到軸的距離為，得，因此，所以.故選：B7．如圖，一個(gè)正八面體的八個(gè)面分別標(biāo)以數(shù)字1到8，任意拋擲一次這個(gè)正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字，得到樣本空間為，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)不大于4”，記事件“得到的點(diǎn)數(shù)為質(zhì)數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．事件與互斥，與相互對(duì)立B．C．但不滿足兩兩獨(dú)立D．且兩兩相互獨(dú)立【答案】C【詳解】因?yàn)槭录臉颖军c(diǎn)為：，事件所含的樣本點(diǎn)為：，事件所含的樣本點(diǎn)為：.因?yàn)槭录?，都包含樣本點(diǎn)2,3，所以，不互斥，故A錯(cuò)誤；因?yàn)樗臉颖军c(diǎn)為：，所以，故B錯(cuò)誤；因?yàn)樗臉颖军c(diǎn)為：，所以，又，所以.又事件所含的樣本點(diǎn)為：，所以，又，所以，所以事件不獨(dú)立，即兩兩獨(dú)立錯(cuò)誤，所以C正確，D錯(cuò)誤.故選：C8．若，，，其中表示，，中的最大者，表示，，中的最小者，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．當(dāng)時(shí)，有C．不等式的解集為D．當(dāng)時(shí)，有【答案】C【詳解】若，解得或，結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)知，若，解得或，結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)知，所以，畫出的圖象，如圖：結(jié)合圖象及知為偶函數(shù)，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，所以成立，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，令，則，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得或，又，所以，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，故，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，不等式的解集為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)，令，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，，則等價(jià)于，結(jié)合選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，有成立，故D正確.故答案：C二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）9．設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，任意復(fù)數(shù)都可以表示為三角形式，其中為復(fù)數(shù)的模，是以軸的非負(fù)半軸為始邊，以所在的射線為終邊的角（也被稱為的輻角）．利用復(fù)數(shù)的三角形式可以進(jìn)行復(fù)數(shù)的指數(shù)運(yùn)算，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫佛發(fā)現(xiàn)，我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫佛定理．根據(jù)以上信息，若復(fù)數(shù)滿足，則可能的取值為（

）A． B．C． D．【答案】BD【詳解】設(shè)，其中，則，故，而，故，故，故，故BD正確，AC錯(cuò)誤；故選：BD.10．已知函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若關(guān)于的不等式的解集是或，則B．若集合有且僅有兩個(gè)子集，則的最大值為C．若，則的最大值為D．若，且關(guān)于x的不等式的解集中有且僅有三個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】ACD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是或，則和是兩根.由韋達(dá)定理，，解得，.則，所以A選項(xiàng)正確.對(duì)于B選項(xiàng)，運(yùn)用集合有且僅有兩個(gè)子集，則方程有一個(gè)根，所以判別式，即，可得.把代入得：所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，即.令，則.所以.令，則.對(duì)求最大值，.根據(jù)均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，所以C選項(xiàng)正確.

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，.因?yàn)椴坏仁降慕饧杏星覂H有三個(gè)正整數(shù)，令，則的解集中有且僅有三個(gè)正整數(shù).由二次函數(shù)對(duì)稱軸，且，，，.要使的解集中有且僅有三個(gè)正整數(shù)，，，則，即，解得，所以D選項(xiàng)正確.故選：ACD.11．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為，將沿AC翻折，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，如圖所示.記點(diǎn)為翻折過(guò)程中點(diǎn)的位置（不包含在點(diǎn)處的位置），則下列結(jié)論正確的是（

）A．不存在點(diǎn)，使得B．無(wú)論點(diǎn)在何位置，總有面PBDC．當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，直線AB與平面PBC所成角的余弦值為D．當(dāng)時(shí)，為PB上一點(diǎn)，則的最小值為2【答案】BC【詳解】對(duì)于A，的軌跡是以為軸的兩個(gè)同底的圓錐底面半圓弧，顯然圓錐軸截面的頂角為，大于，則存在兩條母線互相垂直，即存在點(diǎn)，使得，而翻折前，因此存在點(diǎn)，使得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，依題意，都是等邊三角形，取的中點(diǎn)，則，又平面，于是平面，又平面，因此，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，又，平面PBD，因此平面PBD，故B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，平面是二面角的平面角，三棱錐的體積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)平面，等腰的面積，設(shè)點(diǎn)到平面PBC的距離為，由，得，解得，設(shè)直線AB與平面所成的角為，則，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，三棱錐為正四面體，將，展開(kāi)在同一平面內(nèi)，如圖，顯然四邊形為菱形，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，故D錯(cuò)誤；故選：BC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．已知數(shù)列滿足，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，則．【答案】【詳解】由，得，又，所以是首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，可得，所以，，，兩式相減得，所以.故答案為：.13．若函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，關(guān)于對(duì)稱，若最小值為，可知，即可得；又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；若最小值為可得，即，解得；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：14．小王和爸爸玩卡片游戲，小王拿有2張標(biāo)有A和1張標(biāo)有B的卡片，爸爸有3張標(biāo)有B的卡片，現(xiàn)兩人各隨機(jī)取一張交換，重復(fù)n次這樣的操作，記小王和爸爸每人各有一張A卡片的概率記為，則，．【答案】；.【詳解】記n次這樣的操作小王恰有一張A卡片的概率為，有兩張A卡片的概率為，則，，有，而，重復(fù)n次這樣的操作，，所以，又，所以．故答案為：，四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）15.（本小題13分）已知數(shù)列滿足，(1)記，寫出，，并證明數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的前項(xiàng)和．【答案】(1)，，證明見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）顯然為偶數(shù)，則，．所以，即．且．所以是以5為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，于是，，．（2）記，則從而數(shù)列的前項(xiàng)和為：16.（本小題15分）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，外接圓的半徑為R．(1)求外接圓的面積；(2)圓經(jīng)過(guò)，且與圓關(guān)于直線對(duì)稱，圓被直線截得弦長(zhǎng)為8，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）由，根據(jù)正弦定理，得，因?yàn)?，所以，則，即，即，又，則，所以，即，則，即，所以外接圓的面積為.（2）由圓，圓心為，半徑為，設(shè)，由題意得，解得，即，則圓的方程為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，，則，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，到直線距離為，由，得，解得，則直線的方程為，即.綜上所述，直線的方程為或.17.（本小題15分）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意，不等式成立，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，得到，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，令，即，解得，，所以，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示，單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，，易知時(shí)，，，，此時(shí)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，令，即，解得，，若，即時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示，x單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，若，即時(shí)，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)在上單調(diào)遞增，若，即時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表所示，單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）當(dāng)，且時(shí)，由（2）知，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)閷?duì)于任意，不等式成立，所以，，．所以，得，，得；，得．因?yàn)椋?，所以a的取值范圍是．18.（本小題17分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，面為棱上的動(dòng)點(diǎn)．(1)若為棱中點(diǎn)，證明：面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)分別在棱上，，求三棱錐的體積的最大值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)存在滿足條件的點(diǎn)，；(3)【詳解】（1）連接交于，則為三角形中位線，易知，又因?yàn)樯?，面，所以面；?）以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，由為棱上一點(diǎn)，設(shè)，．設(shè)平面的法向量為，由可得令，則，則．取平面的法向量為，則二面角的平面角滿足：，化簡(jiǎn)得：，解得：或（舍去），故存在滿足條件的點(diǎn)，此時(shí)．（3）因?yàn)?，可知三棱錐體積最大時(shí)，即最大，在中，由余弦定理有：可得，設(shè)，則，由題可知：該方程有實(shí)根，則，解得，同理可得．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則由等體積法得到：，，解得：．當(dāng)最大時(shí)三棱錐體積最大，即三棱錐體積最大，最大體積為：．19.（本小題17分）已知橢圓，兩焦點(diǎn)和短軸一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的正三角形．(1)求橢圓方程；(2)設(shè)直線與橢圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，不過(guò)原點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為．記直線的斜率為，直線的斜率為．①求的值；②若，，，四點(diǎn)圍成的四邊形為平行四邊形，求的值．【答案】(1)(2)①；②