2024-2025學(xué)年江蘇省宿遷市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年江蘇省宿遷市高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.直線x?3y+1=0的傾斜角為A.2π3 B.5π6 C.π32.圓x2+y2+10x+10y=0與圓A.外離 B.外切 C.相交 D.內(nèi)切3.已知點(diǎn)A(2,3)與點(diǎn)B(?1,4)關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程為(

)A.3x?y+2=0 B.x+3y+2=0 C.x+3y?2=0 D.3x?y?2=04.設(shè)a為實(shí)數(shù)，若直線ax?4y+3=0與x?2y+1=0平行，則它們之間的距離為(

)A.510 B.55 C.5.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為(0,3)，(0,?3)，點(diǎn)(74,?3)在該橢圓上，則該橢圓的離心率為A.12 B.23 C.346.以雙曲線x216?yA.x216+y29=1 B.7.過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的弦AB，其中點(diǎn)A在第一象限，若AF=4BF，則直線AB的斜率為(

)A.2 B.233 C.8.已知橢圓x24+y23=1的上頂點(diǎn)為A，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F且斜率為33的直線交橢圓于A.10 B.8 C.63 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.設(shè)m為實(shí)數(shù)，直線l：x+my?2m?1=0，點(diǎn)M(2,3)，N(4,?5)，則下列說(shuō)法正確的有(

)A.直線l過(guò)定點(diǎn)(1,2)

B.若點(diǎn)M，N到直線l的距離相等，則m=23

C.直線l與x軸一定相交

D.若直線l10.設(shè)m為實(shí)數(shù)，方程x2+y2A.m>?1

B.若m=±12，則圓和兩坐標(biāo)軸均相切

C.若圓關(guān)于直線2x?y+5=0對(duì)稱，則m=1

D.無(wú)論11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，直線AO，BO分別交拋物線準(zhǔn)線于C，D兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有(

)A.BC//x軸 B.CF⊥DF

C.以AB為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線恒相交 D.△OAB面積的最小值為1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.設(shè)a為實(shí)數(shù)，直線l1：ax+3y?2=0，l2：x+(a?2)y+2=0，若l1⊥l13.圓x2+y2=r2上有且只有2個(gè)點(diǎn)到直線x?14.如圖1所示，雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)雙曲線鏡面反射，其反射關(guān)線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn).設(shè)a>0，若雙曲線E：x2a2?y28=1的左，右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，從F2發(fā)出的光線經(jīng)過(guò)圖2中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，D四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC的頂點(diǎn)B(3,1)，直線AC的方程為x?y+1=0，BC邊上的中線AM所在的直線方程為2x?3y+1=0．

(1)求頂點(diǎn)A，C的坐標(biāo)；

(2)求△ABC的面積．16.(本小題15分)

設(shè)a為實(shí)數(shù)，圓M的方程為x2+y2+2x?6y+a=0．

(1)若圓x2+y2=9和圓M的公共弦長(zhǎng)為26，求a的值；

(2)若過(guò)點(diǎn)(4,?1)17.(本小題15分)

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)F(1,0)的距離比到直線x+3=0的距離小2，過(guò)P作圓A：x2+(y?4)2=1的一條切線，Q為切點(diǎn)，過(guò)P作直線l：x+1=0的垂線，垂足為B．

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)，求線段PQ的長(zhǎng)；

(3)判斷滿足18.(本小題17分)

已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為E，實(shí)軸長(zhǎng)為4，過(guò)雙曲線C的左焦點(diǎn)F作直線l，當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，直線l與雙曲線C的兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，此時(shí)△MNE為等腰直角三角形．

(1)求雙曲線C的方程；

(2)當(dāng)直線l與雙曲線C的漸近線平行時(shí)，求直線l與雙曲線C的交點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)當(dāng)直線l與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)時(shí)，直線AE，BE分別交直線x+1=0于P，Q兩點(diǎn)，在x軸上是否存在定點(diǎn)D19.(本小題17分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)D(1,32)，離心率為32，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，右頂點(diǎn)為B．

(1)求橢圓C的方程；

(2)過(guò)點(diǎn)D的直線m與橢圓C的另外一個(gè)交點(diǎn)為E，當(dāng)△BDE的面積最大時(shí)，求直線m的方程；

(3)若點(diǎn)M、N是直線l上不同的兩點(diǎn)，則向量MN以及與它平行的非零向量都稱為直線l的方向向量，當(dāng)直線l′⊥l時(shí)，直線l′的方向向量稱為直線l的法向量.設(shè)k、?為實(shí)數(shù)，直線l：y=kx+?的一個(gè)法向量為t，H為直線l上任一點(diǎn)，點(diǎn)T為坐標(biāo)平面內(nèi)的定點(diǎn)，我們把t?HT|參考答案1.D

2.B

3.A

4.A

5.C

6.B

7.D

8.B

9.AC

10.ACD

11.ABD

12.3213.(0,2)

14.3

15.解：(1)由已知AC：x?y+1=0，AM：2x?3y+1=0，

則x?y+1=02x?3y+1=0，解得x=?2y=?1，即A(?2,?1)，

設(shè)C(a,b)，則BC中點(diǎn)M(a+32,b+12)，

又點(diǎn)C在直線AC上，點(diǎn)M在直線AM上，

即a?b+1=02?a+32?3?b+12+1=0，解得a=2b=3，即C(2,3)；

綜上所述：A(?2,?1)，C(2,3)；

(2)由(1)得AC=(2+2)16.解：(1)圓M的方程為x2+y2+2x?6y+a=0，圓O：x2+y2=9；

兩圓方程相減可得，2x?6y+a+9=0，即兩圓公共弦所在直線方程2x?6y+a+9=0，

圓x2+y2=9和圓M的公共弦長(zhǎng)為26，圓心O到直線2x?6y+a+9=0的距離為d=|a+9|22+62=|a+9|210，

所以9=(262)2+(|a+9|210)2，解得a=1或?19，

所以實(shí)數(shù)a的值為1或?19．

(2)過(guò)點(diǎn)(4,?1)的圓N與圓M相切，切點(diǎn)為(1,2)，

可將點(diǎn)A(1,2)代入圓M：x2+y2+2x?6y+a=0，可得a=5，

所以圓M的方程為x2+y2+2x?6y+5=0，即(x+1)2+(y?3)2=5，

所以圓M的圓心為(?1,3)，半徑為5，

設(shè)圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?m17.解：(1)由題意可知，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)F(1,0)的距離比到直線x+3=0的距離小2，可知，點(diǎn)P到點(diǎn)F(1,0)的距離等于點(diǎn)P到直線x=?1的距離，

點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線x=?1為準(zhǔn)線的方程，

設(shè)其方程為y2=2px，則p2=1，可得p=2，點(diǎn)P的軌跡方程為y2=4x．

(2)由過(guò)P作圓A：x2+(y?4)2=1的一條切線，Q為切點(diǎn)，過(guò)P作直線l：x+1=0的垂線，垂足為B.如圖，當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)A(0,4)，直線PB的方程為y=4，

聯(lián)立y2=4xy=4，解得x=y=4，此時(shí)，點(diǎn)P(4,4)，

則|PA|=(4?0)2+(4?4)2=4，

∵AQ⊥PQ，由勾股定理可得|PQ|=|PA|218.解：(1)由題意得2a=4a+c=b2ac2=a2+b2，

解得a=2b=23，

則雙曲線C的方程為x24?y212=1；

(2)易知雙曲線C的漸近線方程為y=3x，

當(dāng)直線l與y=3x平行時(shí)，

直線l的方程為y=3(x+4)，

聯(lián)立x24?y212=1y=3(x+4)，

解得x=?52y=332．

當(dāng)直線l與y=?3x平行時(shí)，

直線l的方程為y=?3(x+4)，

聯(lián)立x24?y212=1y=?3(x+4)，

解得x=?52y=?332，

所以直線l與雙曲線C的交點(diǎn)坐標(biāo)為(?52,332)或(?52,?332)；

(3)因?yàn)殡p曲線C的漸近線方程為y=±3x，

顯然直線AB不與x軸重合，

設(shè)直線AB的方程為x=my?4，A(x1,y1)，B(x2,y219.解：(1)由題意得1a2+34b2=1ca=32c2=a2?b2，

解得a=2b=1c=3，

則橢圓C的方程為x24+y2=1；

(2)易知B(2,0)，

所以直線BD的斜率為kBD=321?2=?32，

直線BD的方程為y=?32(x?2)，

即3x+2y?23=0，

若△BDE的面積最大，

此時(shí)點(diǎn)E到直線