安徽省A10聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期11月期中考試數學試卷（含解析）

2023級高二上學期11月期中考數學（人教A版）試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。滿分150分，考試時間120分鐘。請在答題卡上作答。第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題所給四個選項中，只有一項是符合題意的.1.在空間直角坐標系中，已知點，點，則（）A.點A和點B關于x軸對稱 B.點A和點B關于平面對稱C.點A和點B關于y軸對稱 D.點A和點B關于平面對稱2.已知空間向量，，，若，，共面，則實數m的值為（）A.1 B.0 C.-1 D.-23.已知入射光線所在的直線的傾斜角為，與y軸交于點（0，2），則經y軸反射后，反射光線所在的直線方程為（）A. B.C. D.4.若點（-2，1）在圓的外部，則實數a的取值范圍是（）A. B. C. D.5.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.6.已知橢圓C：（且），直線與橢圓C相交于A，B兩點，若（1，1）是線段的中點，則橢圓的焦距為（）A.2 B.4 C. D.7.古希臘數學家阿波羅尼奧斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他的著作《圓錐曲線論》是古代數學光輝的科學成果，阿氏圓（阿波羅尼斯圓）是其成果之一.在平面上給定相異兩點A，B，設點P在同一平面上，且滿足，當且時，點P的軌跡是圓，我們把這個軌跡稱之為阿波羅尼斯圓.在中，，且，當面積取得最大值時，（）A. B. C. D.8.已知點P在橢圓C：上（點P不是橢圓的頂點），，分別為橢圓C的左、右焦點，交y軸于點G，且，則線段的長為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知直線：，：，則下列說法正確的是（）A.若，則或B.若，則C.若直線不經過第四象限，則D.若直線與x軸負半軸和y軸正半軸分別交于點A，B，O為坐標原點，則面積的最小值是2010.已知橢圓C：的左、右焦點分別是，，左、右頂點分別是A，B，M是橢圓C上的一個動點（不與A，B重合），則（）A.離心率 B.的周長與點M的位置無關C. D.直線與直線的斜率之積為定值11.如圖，正方體的棱長為2，P為上底面內部一點（包括邊界），M，N分別是棱和的中點，則下列說法正確的是（）A.當直線和直線所成的角是30°時，點P的軌跡長度是B.若平面，則的最小值為C.若，則直線和底面所成的最大角是45°D.平面被正方體所截的截面形狀是六邊形第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.12.已知圓C過，兩點，且圓心C在直線上，則該圓的半徑為_________.13.已知實數x，y滿足，則的取值范圍為_________.14.已知橢圓：，，分別是橢圓的左、右焦點，若橢圓上存在點，滿足，則橢圓的離心率的取值范圍為_________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知直線過點，求滿足下列條件的直線的方程.（1）與直線：垂直；（2）兩坐標軸上截距相反.16.（15分）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，M，N分別為，的中點，，.（1）求證：異面直線和垂直；（2）求點A到平面的距離17.（15分）已知過點的直線與圓O：相交于A，B兩點.（1）若弦的長度為，求直線的方程；（2）在x軸正半軸上是否存在定點Q，無論直線如何運動，x軸都平分?若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.18.（17分）如圖1，在矩形中，，，連接，沿折起到的位置，如圖2，.（1）求證：平面平面；（2）若點M是線段的中點，求平面與平面夾角的余弦值.19.（17分）已知橢圓E：的左、右焦點分別為，，離心率，短軸長為4.（1）求E的標準方程；（2）過點的直線交E于P，Q兩點，若以為直徑的圓過E的右焦點，求直線的方程；（3）兩條不同的直線，的交點為E的左焦點，直線，分別交E于點A，B和點C，D，點G，H分別是線段和的中點，，的斜率分別為，，且，求面積的最大值（O為坐標原點）

2023級高二上學期11月期中考數學（人教A版）參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題的四個選項中，只有一項是最符合題目要求的.題號12345678答案BDACABDC1.B已知點A和點B的橫坐標互為相反數，縱坐標和豎坐標相等，所以點A和點B關于平面對稱.故選B.2.D由題意得，，即，所以，解得.故選D.3.A由題意得，所求直線的斜率為，且與y軸交于點（0，2），則所求直線的方程為，即.故選A.4.C由點（-2，1）在圓的外部，得，解得，故選C.5.A向量在向量上的投影向量為.故選A.6.B設，，則，將A，B的坐標代入橢圓方程得：，，兩式相減，得：，變形為，又直線的斜率為，所以，即，因此橢圓的焦距為，故選B.7.D由題意設，，，由得：，化簡得.∵，∴當時，面積最大，此時不妨設，則，.∴.故選D.8.C根據對稱，不妨設，.由題意得，，，則離心率，左準線方程為，所以，因為，所以由角平分線定理得，即，解得，所以.故選C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.題號91011答案BDBCDAB9.BD若，則，解得或，經檢驗時，這兩條直線重合，故A錯誤；若，則，解得，故B正確；若直線：不經過第四象限，則，解得，故C錯誤；，，則，解得，，令，則，當且僅當，即時，等號成立，故D正確.故選BD.10.BCD由題意得，，，，則離心率，故A錯誤；∵M是橢圓C上的動點（不與A，B重合），∴，故B正確；，即，故C正確；不妨設，，，則，所以，故D正確.故選BCD.11.AB對于A，易得，在中，，，則，所以點P的軌跡長度是，故A正確；對于B，如圖1，分別取棱和的中點H，K，連接，，，，易證平面平面，若平面，則點P在線段上運動，故的最小值即到的距離，即，故B正確；對于C，由得點P在線段上，過點P作底面，連接，所以為直線和底面所成的角，則，當最大時最小，易得點Q在線段上，故，，則直線和底面所成的最小角是45°，故C錯誤；對于D，如圖2，延長，分別交，的延長線于點G，L，連接，，分別交，于點V，R，則平面被正方體所截的截面是五邊形，故D錯誤.故選AB.三、填空題：本小題共3小題，每小題5分，共15分.12.由題意得，的中點為，，則線段的垂直平分線為，即，聯(lián)立，解得，即，所以該圓的半徑為.13.因為，所以，其表示為圓的上半部分.設半圓上一動點，表示的幾何意義為點P與點連接的直線的斜率.當直線和半圓相切時，直線的斜率取最大值，設直線的方程為，即，所以，解得或（舍去），則直線的斜率的最大值為；當點P為（2，1）時，則直線的斜率取最小值，為的取值范圍為綜上，解得.14.，即，又，則，即，即，解得.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）（1）因為，所以，則直線的方程為，即.（2）當兩坐標軸上截距為0時，設直線的方程為，將代入，得，解得，∴，即.當兩坐標軸上截距不為0時，設直線的方程為，將代入，得，解得，∴，即.綜上，直線的方程為或.16.（15分）（1）以為坐標原點，，，分別為x，y，軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，，.易得，，所以，所以異面直線和垂直.（2）易得，.設平面的法向量為，則，即，令，則.因為，所以點到平面的距離為.17.（15分）（1）當直線的斜率不存在時，直線的方程為，不妨得，，則，與題意不符，舍去.當直線的斜率存在時，設直線的方程為，即.由弦長公式得圓心到直線的距離為，所以，解得，故直線的方程為或.（2）當直線軸時，直線的方程為，不妨得，，此時x軸平分.當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，，.聯(lián)立，得，，所以，.若x軸平分，則，即，，，，解得.綜上，當點Q為（4，0）時，能使得x軸平分恒成立.18.（17分）（1）過點P，B分別向直線作垂線，垂足分別為點O，E.因為，，所以，，，因為，，所以，即，所以，所以.因為，，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）如圖，以（1）中的點為坐標原點建立空間直角坐標系，則，，，，，所以，，，，設平面的法向量為，則，即，取，則，，所以.設平面的法向量為，則，即，取，則，，所以.設平面與平面所成銳二面角為，則.19.（17分）（1）由題意得，，所以.因為短軸長為4，所以，解得，所以，所以E的標準方程為.（2）由（1）知，.當直線的斜率不存在時，不妨得，，此時以為直徑的圓的