考點鞏固22 古典概型、相互獨立、條件概率及全概率公式(六大考點)2025年高考一輪復習(解析)

高中數(shù)學精編資源2/2考點鞏固卷22古典概型、相互獨立、條件概率及全概率公式(六大考點)考點01：互斥事件和對立事件互斥事件與對立事件1.互斥事件：在一次試驗中，事件和事件不能同時發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用下圖表示：如果，，…，中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．2.對立事件：若事件和事件在任何一次實驗中有且只有一個發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對立事件，事件的對立事件記為．3.互斥事件與對立事件的關系①互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生．②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．1．已知、分別為隨機事件A、的對立事件，，，則下列等式錯誤的是（

）A． B．C．若A、獨立，則 D．若A、互斥，則【答案】A【分析】結合互斥事件、對立事件的定義，根據(jù)條件概率性質(zhì)，逐個判斷.【詳解】由，故選項A錯誤，選項B正確；若A、獨立，則，，故選項C正確；若A、互斥，則，，故選項D正確.故選：A.2．一袋子中裝有5個除顏色外完全相同的小球，其中3個紅球，2個黑球，從中不放回的每次取出1個小球，連續(xù)取兩次，則取出的這兩個小球顏色不同的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分第一次取出為紅球和黑球兩種情況求解即可.【詳解】由題意，第一次取出可能為紅球或黑球，故連續(xù)取兩次，則取出的這兩個小球顏色不同的概率為.故選：D3．現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名同學同時到三個不同的社區(qū)參加公益活動，每個社區(qū)至少分配一名同學.設事件“恰有兩人在同一個社區(qū)”，事件“甲同學和乙同學在同一個社區(qū)”，事件“丙同學和丁同學在同一個社區(qū)”，則下面說法正確的是（

）A．事件與相互獨立 B．事件與是互斥事件C．事件與相互獨立 D．事件與是對立事件【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件、互斥事件、對立事件的意義逐項判斷即得.【詳解】對于A，依題意，甲、乙、丙、丁中必有兩人在同一社區(qū)，即事件是必然事件，，顯然，，因此事件與相互獨立，A正確；對于B，由，得事件與不是互斥事件，B錯誤；對于C，顯然事件事件與不可能同時發(fā)生，即，而，事件與相互不獨立，C錯誤；對于D，顯然事件與可以同時不發(fā)生，如甲丙在同一社區(qū)，因此事件與不是對立事件，D錯誤.故選：A4．甲袋中有3個紅球，3個白球和2個黑球；乙袋中有2個紅球，2個白球和4個黑球.先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋，分別以，，表示事件“取出的是紅球”、“取出的是白球”、“取出的是黑球”；再從乙袋中隨機取出一球，以表示事件“取出的是白球”，則下列結論中不正確的是（

）A．事件，，是兩兩互斥的事件 B．事件與事件為相互獨立事件C． D．【答案】B【分析】由互斥事件，互相獨立事件的概念以及條件概率的計算公式逐項判斷即可.【詳解】由題意可得，，，顯然事件，，是兩兩互斥的事件，故A正確；，故D正確；，，所以，故事件與事件不是相互獨立事件，故B錯誤；，故C正確；故選：B.5．質(zhì)地均勻的正四面體模型四個表面分別標有，，，四個數(shù)字，將這個模型拋擲一次，并記錄與地面接觸面上的數(shù)字，記事件“數(shù)字為的倍數(shù)”為事件，“數(shù)字是的倍數(shù)”為事件，“數(shù)字是的倍數(shù)”為事件，則下列選項正確的是（

）A．事件兩兩互斥 B．事件與事件對立C． D．事件兩兩相互獨立【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件的定義判斷A，根據(jù)對立事件的定義及事件的運算判斷B，根據(jù)古典概型求，判斷C，根據(jù)獨立事件定義判斷D.【詳解】事件包含基本事件“數(shù)字為”，“數(shù)字為”，事件包含基本事件“數(shù)字為”，“數(shù)字為”，事件包含基本事件“數(shù)字為”，“數(shù)字為”，事件可能同時發(fā)生，所以事件不是互斥事件，A錯誤；事件包含基本事件“數(shù)字為”，“數(shù)字為”，“數(shù)字為”，事件包含基本事件“數(shù)字為”，所以事件與事件不是互斥事件，故也不是對立事件；B錯誤；，，，事件包含基本事件“數(shù)字為”，，所以，C錯誤；事件包含基本事件“數(shù)字為”，事件包含基本事件“數(shù)字為”，事件包含基本事件“數(shù)字為”，所以，又，由獨立事件定義可得事件兩兩相互獨立，D正確；故選：D.6．某疾病全球發(fā)病率為，該疾病檢測的漏診率（患病者判定為陰性的概率）為，檢測的誤診率（未患病者判定為陽性的概率）為，則某人檢測成陽性的概率約為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別求得非患者檢測為陽性的概率與患者檢測為陽性的概率，可求得結論.【詳解】由題意，未患病者判定為陽性的概率為，患病者判定為陽性的概率為，某人檢測成陽性包含兩種情況：①非患者檢測為陽性的概率為；②患者檢測為陽性的概率為，所以某人檢測成陽性的概率為．故選：D.7．在一個有限樣本空間中，假設，且A與B相互獨立，A與C互斥，以下說法中，正確的個數(shù)是（

）①

②

③若，則B與C互斥A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由與相互獨立，則，計算即可判斷①；由條件概率公式計算即可判斷②；由，可得，若互斥，則，滿足，可判斷③.【詳解】對于①，，且與相互獨立，則，故①錯誤；對于②，，，故，故②正確；對于③，，則，，故，即，若互斥，則，滿足上式，故，即與互斥，故③正確．故選：C．8．某校舉辦運動會，其中有一項為環(huán)形投球比寒，如圖，學生在環(huán)形投擲區(qū)內(nèi)進行投球.規(guī)定球重心投擲到區(qū)域內(nèi)得3分，區(qū)域內(nèi)得2分，區(qū)域內(nèi)得1分，投擲到其他區(qū)域不得分.已知甲選手投擲一次得3分的概率為0.1，得2分的概率為，不得分的概率為0.05，若甲選手連續(xù)投擲3次，得分大于7分的概率為0.002，且每次投擲相互獨立，則甲選手投擲一次得1分的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由已知條件確定，再計算即可得到結果.【詳解】由于甲選手投擲3次后，如果得分大于7分，則3次的得分必定是3，3，3或3，3，2（不考慮順序），所以其概率.而已知，故，所以.從而甲選手投擲一次得1分的概率為.故選：B.9．某型號新能源汽車參加碰撞測試和續(xù)航測試，該型號新能源汽車參加這兩項測試的結果相互不受影響．若該型號新能源汽車在碰撞測試中結果為優(yōu)秀的概率為，在續(xù)航測試中結果為優(yōu)秀的概率為，則該型號新能源汽車在這兩項測試中僅有一項測試結果為優(yōu)秀的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)獨立事件的概率公式與互斥事件的概率加法公式可求概率.【詳解】根據(jù)題意可得該型號新能源汽車在這兩項測試中僅有一項測試結果為優(yōu)秀的概率為．故選：C.10．某學生的QQ密碼是由前兩位是大寫字母，第三位是小寫字母，后六位是數(shù)字共九個符號組成．該生在登錄QQ時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，如果該生記住密碼的最后一位是奇數(shù)，則不超過兩次就輸對密碼的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設出事件，由已知根據(jù)互斥事件的運算性質(zhì)，以及條件概率的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設為“第次按對密碼”（），則事件“不超過2次就按對”可表示為，記“密碼的最后一位數(shù)字是奇數(shù)”為事件，由條件概率的性質(zhì)可得..故選：C.考點02：古典概型1.定義：一般地，若試驗具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等.稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.2.古典概型的概率公式一般地，設試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率.注：（1）解決古典概型的問題要注意清楚以下三個方面①本試驗是否具有等可能性；②本試驗的基本事件有多少個；③事件是什么．（2）一般解題步驟：①仔細閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；②判斷本試驗的結果是否為等可能事件，設出所求事件；③分別求出基本事件的個數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個數(shù)；④利用公式求出事件的概率．11．將除顏色外完全相同的2個紅球和1個白球隨機放入2個不同的盒子中，每個盒子中至少放入1個球，則2個紅球分別放入不同盒子中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析求出所有的基本事件，然后由古典概型的計算公式求解即可.【詳解】將除顏色外完全相同的2個紅球和1個白球隨機放入2個不同的盒子中，每個盒子中至少放入1個球，則基本事件有：（紅1，白紅2），（白，紅1紅2），（紅2，白紅1），則2個紅球分別放入不同盒子中包含了（紅1，白紅2），（紅2，白紅1），所以由古典概型的公式得概率為：.故選：A12．甲，乙兩名同學要從A、B、C、D四個科目中每人選取三科進行學習，則兩人選取的科目不完全相同的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】運用分步乘法原理，結合古典概型和對立事件概率公式求解.【詳解】兩人選取科目的方法共有種，科目完全相同的方法共有種，科目不完全相同方法共有12種，故所求概率為.故選：D.13．將1個0，2個1，2個2隨機排成一行，則2個1不相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用排列組合公式結合古典概型的概率公式即可求解．【詳解】將1個0，2個1，2個2隨機排成一行，共有種，其中，2個1不相鄰的情況有種，故所求概率為．故選：A.14．九九重陽節(jié)期間，甲?乙兩名同學計劃去敬老院做志愿者，若甲同學在初八、初九、初十這三天中隨機選一天，乙同學在初八、初九這兩天中隨機選一天，且兩名同學的選擇互不影響，則他們在同一天去的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】按照分步乘法計數(shù)原理求出基本事件總數(shù)，再求出符合題意的基本事件數(shù)，最后由古典概型的概率公式計算可得.【詳解】甲同學在三天中隨機選一天，共有3種情況，乙同學在兩天中隨機選一天，共有2種情況，所以一共有種情況，他們在同一天去共有2種情況，所以他們在同一天去的概率為.故選：B.15．在區(qū)間上任取一個整數(shù)，則使函數(shù)存在兩個不同零點的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用，可求有兩個零點的的范圍，進而可求概率.【詳解】因為函數(shù)存在兩個不同零點，所以有兩個不同的根，所以，解得或，在區(qū)間上任取一個整數(shù)，共有16種取法，能使使函數(shù)存在兩個不同零點的取法有13種，所以使函數(shù)存在兩個不同零點的概率為.故選：C.16．某考點在高考期間安排了高一、高二年級各兩名同學參與執(zhí)勤，電視臺從4名執(zhí)勤同學中隨機抽取2名同學采訪，則這兩名同學來自同一個年級的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別求出從4名執(zhí)勤同學中隨機抽取2名同學的方法數(shù)和兩名同學來自同一個年級的方法數(shù)即可根據(jù)古典概型的概率公式求解.【詳解】電視臺從4名執(zhí)勤同學中隨機抽取2名同學采訪共有種方法，由題這兩名同學可能同來自高一也可能同來自高二，所以這兩名同學來自同一個年級共有種方法，所以這兩名同學來自同一個年級的概率是.故選：C.17．從三個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中任取一個數(shù)，則該數(shù)為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出組成無重復的三位數(shù)的個數(shù)，再求出是偶數(shù)的三位數(shù)的個數(shù)，根據(jù)古典概型求出概率即可.【詳解】因為由1，2，3組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為；，由1，2，3組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的偶數(shù)的個數(shù)為：，所以由1，2，3組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，從中任取一個為偶數(shù)的概率為.故選：D18．從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)都是奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用列舉法結合古典概型分析求解.【詳解】從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取2張，總共包含，這10個基本事件，抽到的2張卡片上的數(shù)都是奇數(shù)包含其中這3個基本事件，所以抽到的2張卡片上的數(shù)都是奇數(shù)的概率為.故選：D.19．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和”，如，在不超過18的素數(shù)2，3，5，7，11，13，17中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于18的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】隨機選取兩個不同的數(shù)，基本事件總數(shù),利用列舉法能求出其和等于18包含的基本事件有2個，由此求出概率.【詳解】在不超過18的素數(shù)2，3，5，7，11，13，17中，隨機選取兩個不同的數(shù),基本事件總數(shù),其和等于18包含的基本事件有：，，共2個，所以和等于18的概率是；故選：B20．將2個a和3個b隨機排成一行，則2個a不相鄰的概率為（

）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7【答案】C【分析】求出所有的樣本點，然后由古典概型的概率公式求解即可.【詳解】2個a和3個b隨機排成一行的樣本空間為:，共個樣本點，其中2個a不相鄰的樣本點有，共個，所以所求概率為：.故選：C考點03：獨立事件的概率相互獨立事件的概念及性質(zhì)（1）相互獨立事件的概念對于兩個事件，，如果，則意味著事件的發(fā)生不影響事件發(fā)生的概率．設，根據(jù)條件概率的計算公式，，從而．由此我們可得：設，為兩個事件，若，則稱事件與事件相互獨立．（2）概率的乘法公式由條件概率的定義，對于任意兩個事件與，若，則．我們稱上式為概率的乘法公式．（3）相互獨立事件的性質(zhì)如果事件，互相獨立，那么與，與，與也都相互獨立．（4）兩個事件的相互獨立性的推廣兩個事件的相互獨立性可以推廣到個事件的相互獨立性，即若事件，，…，相互獨立，則這個事件同時發(fā)生的概率．（二）事件的獨立性（1）事件與相互獨立的充要條件是．（2）當時，與獨立的充要條件是．（3）如果，與獨立，則成立．21．假設是兩個事件，且，則下列結論一定成立的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用條件概率的概率公式以及相互獨立事件的概率公式，對選項逐一分析判斷即可.【詳解】對于A選項，由，，可知，故A正確；對于B選項，成立的條件為是兩個獨立事件，故B錯誤；對于C選項，由，，故當時才有，故C錯誤；對于D選項，若要成立，需要，即成立的條件為是兩個獨立事件，故D錯誤.故選：A．22．若，，，則事件A與事件B的關系是（

）A．事件A與事件B互斥 B．事件A與事件B互為對立C．事件A與事件B相互獨立 D．事件A與事件B互斥又獨立【答案】C【分析】根據(jù)積事件概率不為零可確定A與B能同時發(fā)生，不互斥，得不對立，可得ABD錯誤；根據(jù)獨立事件概率公式可知C正確.【詳解】對于A,D,∵，∴A與B能同時發(fā)生，不互斥，故A,D錯誤；對于B，∵，∴，又∵，，∴事件A與事件B不是對立事件，故B錯誤；對于C,∵，∴，∴事件A與事件B相互獨立，故C正確，故選：C．23．一個正八面體的八個面上分別標以數(shù)字1到8，將其隨機拋擲兩次，記與地面接觸面上的數(shù)字依次為x1，x2，事件A=“x1=3”，事件B=“x2=6”，事件C=“x1+x2=9”，則（

）A．AB=C B．A+B=C C．A，B互斥 D．B，C相互獨立【答案】D【分析】利用互斥事件和對立事件的定義判斷可得出結果.【詳解】對于A:事件發(fā)生時，事件AB不一定發(fā)生，所以A錯；對于B:發(fā)生時，不一定發(fā)生，所以B錯；對于C:時，同時發(fā)生，所以C錯；對于D:，所以D正確.故選：D24．設A，B是兩個隨機事件，且，，則下列正確的是（

）A．若，則A與B相互獨立 B．C． D．A與B有可能是對立事件【答案】A【分析】對A：借助相互獨立事件定義計算即可得；對B：借助概率公式計算即可得；對C：借助條件概率公式計算即可得；對D：借助對立事件定義即可得.【詳解】對A：由，故，則有，故與相互獨立，故與相互獨立，故A正確；對B：，故B錯誤；對C：，由未定，故C錯誤；對D：，故與不是對立事件，故D錯誤.故選：A.25．已知隨機事件A，B相互獨立，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)A，B相互獨立可得，再根據(jù)計算即可.【詳解】因為事件A，B相互獨立，且，可得，所以=.故選：B.26．某班元旦晚會中設置了抽球游戲，盒子中裝有完全相同的3個白球和3個紅球.游戲規(guī)則如下：①每次不放回的抽取一個，直至其中一種顏色的球恰好全部取出時游戲結束；②抽取3次完成游戲為一等獎，抽取4次完成游戲為二等獎.則甲同學獲得二等獎的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記第i次取到的是紅球為事件，分類求解即可.【詳解】記第i次取到的是紅球為事件，則二等獎的概率為.故選：C27．甲?乙兩人獨立地對同一目標各射擊一次，命中率分別為和，在目標被擊中的情況下，甲?乙同時擊中目標的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，記甲擊中目標為事件，乙擊中目標為事件，目標被擊中為事件，由相互獨立事件的概率公式，計算可得目標被擊中的概率，再由條件概率公式計算可得.【詳解】據(jù)題意，記甲擊中目標為事件，乙擊中目標為事件，目標被擊中為事件，甲?乙同時擊中目標為事件，則，，所以，，則在目標被擊中的情況下，甲、乙同時擊中目標的概率為.故選：C.28．設A，B為隨機事件，則的充要條件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)互斥事件和獨立事件的概念可判斷AB；取特例可判斷C；由PA=PAB+P【詳解】對于A，由可知A，B為互斥事件，概率不一定相等，A錯誤；對于B，由可知A，B相互獨立，與概率大小無關，B錯誤；對于C，拋擲一顆骰子，記擲出點數(shù)為事件A，擲出點數(shù)為事件B，則事件表示擲出點數(shù)為，為不可能事件，所以，，，顯然，由推不出，C錯誤；對于D，，，若，則，即，反之亦然，故的充要條件是，D正確.故選：D29．拋擲一枚質(zhì)地均勻的正四面骰子（骰子為正四面體，四個面上的數(shù)字分別為1，2，3，4），若骰子與桌面接觸面上的數(shù)字為1或2，則再拋鄭一次，否則停止拋擲（最多拋擲2次）．則拋擲骰子所得的點數(shù)之和至少為4的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分拋擲次數(shù)為及拋擲次數(shù)為，利用列舉法及概率乘法公式計算即可得.【詳解】拋擲次數(shù)為的概率為，點數(shù)可能為或，拋擲次數(shù)為的概率為，此時基本事件有、、、、、、、共八種，其中點數(shù)之和至少為4的情況有、、、、共五種，故拋擲骰子所得的點數(shù)之和至少為4的概率為.故選：A.30．已知隨機事件，發(fā)生的概率分別為，，則下列說法正確的是（

）A．若，則，相互獨立B．若，相互獨立，則C．若，則D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)相互獨立事件的定義判斷A，根據(jù)條件概率公式判斷B、C、D.【詳解】對于A：因為，所以與不獨立，故A錯誤；對于B：若，相互獨立，則，故B錯誤；對于C：因為，所以，故C錯誤；對于D：若，則，所以，故D正確.故選：D考點04：條件概率適用條件及應用條件概率（一）定義一般地，設，為兩個事件，且，稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率．注意：（1）條件概率中“”后面就是條件；（2）若，表示條件不可能發(fā)生，此時用條件概率公式計算就沒有意義了，所以條件概率計算必須在的情況下進行．（二）性質(zhì)（1）條件概率具有概率的性質(zhì)，任何事件的條件概率都在和1之間，即．（2）必然事件的條件概率為1，不可能事件的條件概率為．（3）如果與互斥，則．注意：（1）如果知道事件發(fā)生會影響事件發(fā)生的概率，那么；（2）已知發(fā)生，在此條件下發(fā)生，相當于發(fā)生，要求，相當于把看作新的基本事件空間計算發(fā)生的概率，即．31．某大學一宿舍4名同學參加2024年研究生招生考試，其中兩人順利上初試線，還有兩人差幾分上線，這兩名學生準備從A，B，C，D，E，F(xiàn)這6所大學中任選三所大學申請調(diào)劑，則這兩名學生在選擇了相同大學的條件下，恰好選擇了兩所相同大學的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出這兩名學生恰好選擇了兩所相同大學的方法總數(shù)，再求出這兩名學生選擇了相同大學的方法總數(shù)，可得概率.【詳解】依題意，這兩名學生恰好選擇了兩所相同大學的方法總數(shù)為：，這兩名學生選擇了相同大學的方法總數(shù)為：，所以所求概率.故選：C32．在某電路上有C，D兩個獨立工作的元件，每次通電后，需要更換C元件的概率為0.3，需要更換D元件的概率為0.2，則在某次通電后C，D有且只有一個需要更換的條件下，C需要更換的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】記事件E：在某次通電后C，D有且只有一個需要更換，事件F：C需要更換，由條件概率的計算公式求解即可.【詳解】記事件E：在某次通電后C，D有且只有一個需要更換，事件F：C需要更換，則，由條件概率公式可得．故選：C．33．某校高二年級學生中有60%的學生喜歡打籃球，40%的學生喜歡打排球，80%的學生喜歡打籃球或排球．在該校高二年級的學生中隨機調(diào)查一名學生，若該學生喜歡打籃球，則他也喜歡打排球的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】應用條件概率公式計算即可.【詳解】設在該校高二年級的學生中隨機調(diào)查一名學生，若該學生喜歡打籃球為事件A,在該校高二年級的學生中隨機調(diào)查一名學生，則他也喜歡打排球為事件B,,.故選：A.34．現(xiàn)有1000個蘋果，其中900個是大果，100個是小果，現(xiàn)想用一臺水果分選機篩選出來．已知這臺分選機把大果篩選為小果的概率為，把小果篩選為大果的概率為經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在從這臺分選機篩選出來的“大果”里面隨機抽出一個，則這個“大果”是真的大果的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：設抽取的果是大果為事件，經(jīng)過分選機篩選后是“大果”為事件，利用全概率公式求得，再由條件概率公式得到所求概率；法二：具體到有1000個蘋果，計算出真正的“大果”的個數(shù)和篩選出的“大果”的個數(shù)，由古典概型得到所求概率.【詳解】法一：設抽取的果是大果為事件，經(jīng)過分選機篩選后是“大果”為事件，則由題意可知，所以，所以這顆“大果”是真的大果的概率為，A正確；法二：根據(jù)題意，從1000個蘋果中機器篩選出的大果有個，而這些機選“大果"中真正的大果有下個，所以這顆“大果”是真的大果的概率為：，A正確；故選：A．35．已知A細胞有0.4的概率會變異成細胞，0.6的概率死亡；細胞有0.5的概率變異成A細胞，0.5的概率死亡，細胞死亡前有可能變異數(shù)次．下列結論成立的是（

）A．一個細胞為A細胞，其死亡前是A細胞的概率為0.75B．一個細胞為A細胞，其死亡前是細胞的概率為0.2C．一個細胞為細胞，其死亡前是A細胞的概率為0.35D．一個細胞為細胞，其死亡前是細胞的概率為0.7【答案】A【分析】設n次為（A或B）細胞的概率為，可知次為細胞概率，設n次為A細胞的概率為，為B細胞的概率為，則n次細胞死亡的概率，對于AB：可知，結合等比數(shù)列求相應概率，代入條件概率公式分析求解；對于CD：可知，結合等比數(shù)列求相應概率，代入條件概率公式分析求解.【詳解】設n次為（A或B）細胞的概率為，則一次變異不為細胞，兩次變異為細胞，可知次為細胞概率，設n次為A細胞的概率為，為B細胞的概率為，則n次細胞死亡的概率，對選項AB：若一個細胞為A細胞，可知奇數(shù)次為A細胞，偶數(shù)次為B細胞，則，可得，，則A細胞死亡的概率為，B細胞死亡的概率為，可得細胞死亡的概率為，所以其死亡前是A細胞的概率為，其死亡前是細胞的概率為，故A正確，B錯誤；對選項CD：若一個細胞為B細胞，可知奇數(shù)次為B細胞，偶數(shù)次為A細胞，則，可得，，則A細胞死亡的概率為，B細胞死亡的概率為，可得細胞死亡的概率為，所以其死亡前是A細胞的概率為，其死亡前是細胞的概率為，故CD錯誤；故選：A.36．某地的中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪，在該地的中學生中隨機調(diào)查一位同學，若該同學愛好滑雪，則該同學也愛好滑冰的概率為（

）A．0.8 B．0.4 C．0.2 D．0.1【答案】A【分析】根據(jù)題意，設某人愛好滑冰為事件，某人愛好滑雪為事件，由古典概型公式求出和，進而由條件概率公式計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，在該地的中學生中隨機調(diào)查一位同學，設選出的同學愛好滑冰為事件，選出的同學愛好滑雪為事件，由于中學生中有的同學愛好滑冰，的同學愛好滑雪，的同學愛好滑冰或愛好滑雪，則,而同時愛好兩個項目的占，即，則該同學愛好滑該同學也愛好滑冰的概率為．故選：A．37．如果分別是的對立事件，下列選項中不能判斷件與事件相互獨立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相互獨立事件的乘法公式和條件概率公式結合相互獨立事件的定義逐一判斷即可.【詳解】對于A，因為，所以相互獨立，故A正確；對于B，因為，所以，所以相互獨立，所以相互獨立，故B正確；對于C，，所以，所以無法判斷相互獨立，故C錯誤；對于D，，因為，所以相互獨立，故D正確.故選：C.38．已知甲、乙、丙三人參加射擊比賽，甲、乙、丙三人射擊一次命中的概率分別為，且每個人射擊相互獨立，若每人各射擊一次，則在三人中恰有兩人命中的前提下，甲命中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設甲、乙、丙三人射擊一次命中分別為事件，三人中恰有兩人命中為事件，結合相互獨立事件的概率乘法公式和條件概率的計算公式，即可求解.【詳解】設甲、乙、丙三人射擊一次命中分別為事件，每人各射擊一次，在三人中恰有兩人命中為事件，則，，則.故選：D．39．袋子中有9個除顏色外完全相同的小球，其中5個紅球，4個黃球．若從袋子中任取3個球，則在摸到的球顏色不同的條件下，最終摸球的結果為2紅1黃的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】記摸到的球顏色不同為事件，摸到2紅1黃為事件，由條件概率公式計算可得.【詳解】記摸到的球顏色不同為事件，摸到2紅1黃為事件，則，，所以.故選：B40．不透明的布袋里裝有不同編號且大小完全相同的紅色，白色，黑色，藍色的球各兩個，從中隨機選4個球，則在已有兩個球是同一顏色的條件下，另外兩球不同色的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用古典概型的概率公式求出至少有兩個球顏色相的概率，再求出兩球顏色相同，另外兩球顏色不同的概率，然后利用條件概率公式可求得結果.【詳解】記至少有兩個球顏色相同為事件，兩球顏色不同為事件，則，，所以在已有兩個球是同一顏色的條件下，另外兩球不同色的概率為,故選：B考點05：全概率公式（一）全概率公式（1）；（2）定理若樣本空間中的事件，，…，滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意事件，都有，且．注意：（1）全概率公式是用來計算一個復雜事件的概率，它需要將復雜事件分解成若干簡單事件的概率計算，即運用了“化整為零”的思想處理問題．（2）什么樣的問題適用于這個公式？所研究的事件試驗前提或前一步驟試驗有多種可能，在這多種可能中均有所研究的事件發(fā)生，這時要求所研究事件的概率就可用全概率公式．41．把一副洗好的牌（共52張）背面朝上地摞成一摞，然后依次翻開每一張牌，直到翻出第一張A．記事件A為“翻開第3張牌時出現(xiàn)了第一張A”，事件B為“翻開第4張牌時出現(xiàn)了第一張A”，事件C為“翻開的下一張牌是黑桃A”，事件D為“下一張翻開的牌是紅桃3”，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】A、C選項利用概率的乘法公式即可求解；B、D選項根據(jù)題意簡化模型，結合全概率公式分析判斷.【詳解】由題意得，故AC均錯誤；因為與其他牌無關，模型可以簡化為4張A和一張紅桃3，可知翻出第一張A有如下4種可能：第一張為黑桃A、第一張為非黑桃A也非紅桃3、第一張為紅桃3且第二張為黑桃A、第一張為紅桃3且第二張為非黑桃A，其相應的概率分別為，則，即，故B正確，D錯誤；故選：B.42．某汽修廠倉庫里有兩批同種規(guī)格的輪胎，第一批占，次品率為；第二批占，次品率為.現(xiàn)從倉庫中任抽取1個輪胎，則這個輪胎是合格品的概率是（

）A．0.046 B．0.90 C．0.952 D．0.954【答案】D【分析】借助全概率公式計算即可得.【詳解】設事件為抽中第一批，事件為抽中合格品，則.故選：D.43．設某工廠購進10盒同樣規(guī)格的零部件，已知甲廠、乙廠、丙廠分別生產(chǎn)了其中的4盒、3盒、3盒．若甲、乙、丙三個廠家生產(chǎn)該種零部件的次品率依次為，，，現(xiàn)從這10盒中任取一盒，再從這盒中任取一個零部件，則取得的零部件是次品的概率為（

）A．0.08 B．0.075 C．0.07 D．0.06【答案】C【分析】由全概率公式計算即可求解．【詳解】根據(jù)題意，設任取一個零件，分別來自甲，乙，丙三廠的事件分別為，設任取一個零件為次品為事件，則，，所以，故選：C．44．甲、乙兩個工廠代加工同一種零件，甲加工的次品率為，乙加工的次品率為，加工出來的零件混放在一起．已知甲、乙工廠加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的，，任取一個零件，如果取到的零件是次品，則它是乙工廠加工的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先由全概率公式算出“任取一個零件，取到的零件是次品”的概率，再由貝葉斯公式即可求解.【詳解】設事件“任取一個零件，取到的零件是次品”，“任取一個零件，來自甲工廠”，“任取一個零件，來自乙工廠”，由題意得，，，．因為，所以．故選：D．45．隨著我國鐵路的發(fā)展，列車的正點率有了顯著的提高．據(jù)統(tǒng)計，途經(jīng)某車站的只有和諧號和復興號列車，且和諧號列車的列次為復興號列車的列次的2倍，和諧號的正點率為0.98，復興號的正點率為0.99，今有一列車未正點到達該站，則該列車為和諧號的概率為（

）A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.8【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式及條件概率公式計算即得.【詳解】令事件A：經(jīng)過的列車為和諧號；事件B，經(jīng)過的列車為復興號；事件C，列車未正點到達，則，于是，所以該列車為和諧號的概率為.故選：D46．已知事件滿足：，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求，再根據(jù)全概率公式及進行求解即可.【詳解】因為，所以，設，則，，所以.故選：B.47．羽毛球比賽水平相當?shù)募?、乙、丙三人舉行羽毛球比賽.規(guī)則為：每局兩人比賽，另一人擔任裁判.每局比賽結束時，負方在下一局比賽中擔任裁判.如果第1局甲擔任裁判，則第3局甲還擔任裁判的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由全概率公式即可求解.【詳解】由于甲、乙、丙三人的比賽水平相當，所以第二局乙或丙擔任裁判的概率都是，第二局若是乙當裁判，則第三局甲或丙擔任裁判的概率都是，第二局若是丙當裁判，則第三局甲或乙擔任裁判的概率都是，由全概率公式可知，如果第1局甲擔任裁判，則第3局甲還擔任裁判的概率為.故選：C.48．若，則（

）A．事件與互斥 B．事件與相互獨立C． D．【答案】B【分析】對于A，由即可判斷，對于B，由對立事件概率公式以及獨立乘法公式驗證；對于C，由即可判斷；對于D，由即可判斷.【詳解】對于AB，，從而，故A錯誤B正確；對于C，，故C錯誤；對于D，，故D錯誤.故選：B.49．甲?乙兩人進行一場友誼比賽，賽前每人記入3分．一局比賽后，若決出勝負，則勝的一方得1分，負的一方得分；若平局，則雙方各得0分．若干局比賽后，當一方累計得分為6時比賽結束且該方最終獲勝．令表示在甲的累計得分為i時，最終甲獲勝的概率，若在一局中甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結合全概率公式分析可得，進而可知是公比為的等比數(shù)列，利用累加法結合等比數(shù)列求和公式分析求解.【詳解】由題意可知：i的取值集合為，且，在甲累計得分為1時，下局甲勝且最終甲獲勝的概率為，在甲累計得分為1時，下局平局且最終甲獲勝的概率為，在甲累計得分為1時，下局甲敗且最終甲獲勝的概率為，根據(jù)全概率公式可得，整理得，變形得，因為，則，同理可得，所以是公比為的等比數(shù)列，所以，各項求和得，則，即，解得．故選：C.50．長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查，某學校學生中，大約有的學生每天玩手機超過，這些人近視率約為，其余學生的近視率約為，現(xiàn)從該校任意調(diào)查一名學生，他近視的概率大約是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)全概率公式計算可得.【詳解】設事件為“任意調(diào)查一名學生，每天玩手機超過”，事件為“任意調(diào)查一名學生，該學生近視”，則，，所以，則．故選：C考點06：貝葉斯公式貝葉斯公式（1）一般地，當且時，有（2）定理若樣本空間中的事件滿足：①任意兩個事件均互斥，即，，；②；③，．則對中的任意概率非零的事件，都有，且51．小明開始了自己的存錢計劃：起初存錢罐中沒有錢，小明在第天早上八點以的概率向存錢罐中存入100元，．若小明在第4天早上七點發(fā)現(xiàn)自己前3天晚上八點時存錢罐中的余額恰好成等差數(shù)列，則小明在第2天存入了100元概率是（

）A． B．15 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)貝葉斯公式求得正確答案.【詳解】余額恰好成等差數(shù)列，即，其中第天存入元的是，故所求概率為.故選：A52．英國數(shù)學家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機事件A，B存在如下關系：.若某地區(qū)一種疾病的患病率是0.05，現(xiàn)有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準確率為95%，即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現(xiàn)陽性；該試劑的誤報率為0.5%，即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現(xiàn)隨機抽取該地區(qū)的一個被檢驗者，已知檢驗結果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設出事件，利用條件概率和全概率公式得到，使用貝葉斯公式得到答案.【詳解】設檢驗結果呈現(xiàn)陽性為事件，此人患病為事件，，，則.故選：C53．越來越多的人喜歡參加戶外極限運動，據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，兩個地區(qū)分別有的人參加戶外極限運動，兩個地區(qū)的總人口數(shù)的比為．若從這兩個地區(qū)中任意選取一人，則此人參加戶外極限運動的概率為；若此人參加戶外極限運動，則此人來自地區(qū)的概率為，那么（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設事件,分別求出相關事件的概率，利用全概率公式求，利用貝葉斯公式求即可.【詳解】設“此人參加戶外極限運動”，“此人來自地區(qū)”，“此人來自地區(qū)”.依題意，,依題意，；.故選：D.54．假設甲袋中有3個白球和2個紅球，乙袋中有2個白球和2個紅球.現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，混勻后再從乙袋中任取2個球.已知從乙袋中取出的是2個白球，則從甲袋中取出的也是2個白球的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，先分析求解設從甲中取出個球，其中白球的個數(shù)為個的事件為，事件的概率為，從乙中取出個球，其中白球的個數(shù)為2個的事件為，事件的概率為，再分別分析三種情況求解即可【詳解】設從甲中取出個球，其中白球的個數(shù)為個的事件為，事件的概率為，從乙中取出個球，其中白球的個數(shù)為2個的事件為，事件的概率為，由題意：①，；②，；③，；根據(jù)貝葉斯公式可得，從乙袋中取出的是2個白球，則從甲袋中取出的也是2個白球的概率為故選：C55．某單位選派一支代表隊參加市里的辯論比賽，現(xiàn)