山東省濟南第三中學2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學試題

2024-2025學年山東省濟南三中高一（上）期中數(shù)學試卷及解析一、單選題（每小題5分，共40分）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0＜x≤2}，則A∪B＝（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|0＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜2}2．（5分）已知3∈{1，a，a﹣2}，則實數(shù)a的值為（）A．3 B．5 C．3或5 D．無解3．（5分）不等式的解集為（）A．{x|﹣4≤x≤1} B．{x|x＜﹣4或x≥1} C．{x|﹣4＜x≤1} D．{x|x≤﹣4或x≥1}4．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）的定義域為[﹣1，4]，則的定義域為（）A．[﹣5，5] B． C．（1，5] D．5．（5分）已知f（+1）＝x+3，則f（x）＝（）A．x2﹣2x+2（x≥0） B．x2﹣2x+4（x≥1） C．x2﹣2x+4（x≥0） D．x2﹣2x+2（x≥1）6．（5分）設，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a7．（5分）已知函數(shù)y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的圖像恒過定點A，且點A在直線y＝mx+n（m，n＞0）上，則的最小值為（）A．4 B．1 C．2 D．8．（5分）已知不等式恒成立，則2m+4n的最小值是（）A．+2 B．4 C． D．8二、多選題（每小題6分，共18分）（多選）9．（6分）對于任意實數(shù)a，b，c，d，有以下四個命題，其中正確的是（）A．若a＞b，c＞d，則ac＞bd B．若ac2＞bc2，則a＞b C．若a＞b，則 D．若a＞b，c＞d，則a﹣d＞b﹣c（多選）10．（6分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，則下列結論正確的是（）A．xy的最大值為 B．的最大值為4 C．x2+y2的最小值為 D．的最小值為0（多選）11．（6分）德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著，以其命名的函數(shù)，被稱為狄利克雷函數(shù)，其中R為實數(shù)集，Q為有理數(shù)集，則以下關于狄利克雷函數(shù)f（x）的結論中，正確的是（）A．函數(shù)f（x）滿足：f（﹣x）＝f（x） B．函數(shù)f（x）的值域是[0，1] C．對于任意的x∈R，都有f（f（x））＝1 D．在f（x）圖象上不存在不同的三個點A、B、C，使得△ABC為等邊三角形三、填空題（每小題5分，共15分）12．（5分）設U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2+mx＝0}，若?UA＝{1，2}，則實數(shù)m＝．13．（5分）已知函數(shù)滿足對任意的實數(shù)x1≠x2，都有，則a的取值范圍是．14．（5分）已知關于x的不等式x2﹣（a+2）x+a+5≤0在x∈（1，4]上有解，則實數(shù)a的取值范圍是．四、解答題（共77分）15．（13分）已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）當a＝3時，求A∩B；（2）“x∈A”是“x∈?RB”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．16．（15分）已知冪函數(shù)的圖像關于y軸對稱，且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（1）求m的值及函數(shù)f（x）的解析式；（2）若f（a﹣2）＜f（1+2a），求實數(shù)a的取值范圍．17．（15分）函數(shù)是定義在（﹣3，3）上的奇函數(shù)，且．（1）確定f（x）的解析式；（2）證明f（x）在（﹣3，3）上的單調(diào)性；（3）解關于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）．（1）若關于x的不等式f（x）≥b的解集為{x|1≤x≤2}，求實數(shù)a，b的值；（2）解關于x的不等式f（x）＞0．19．（17分）已知函數(shù)f（x）＝﹣4x+m?2x+1，x∈[﹣2，1]．（1）當m＝1時，求函數(shù)f（x）的值域；（2）設函數(shù)，若對任意x1∈[﹣2，1]，存在x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）≥g（x2），求實數(shù)m的取值范圍．

2024-2025學年山東省濟南三中高一（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、單選題（每小題5分，共40分）1．（5分）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0＜x≤2}，則A∪B＝（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|﹣1＜x≤2} C．{x|0＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜2}【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用集合并集的概念與運算，即可求解．【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0＜x≤2}，則A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}．故選：B．2．（5分）已知3∈{1，a，a﹣2}，則實數(shù)a的值為（）A．3 B．5 C．3或5 D．無解【答案】B【分析】根據(jù)元素與集合的關系進行判斷．【解答】解：3∈{1，a，a﹣2}，當a＝3時，那么：a﹣2＝1，違背集合元素的互異性，不滿足題意．當a﹣2＝3時，a＝5，集合為{1，5，3}滿足題意．∴實數(shù)a的值為5．故選：B．3．（5分）不等式的解集為（）A．{x|﹣4≤x≤1} B．{x|x＜﹣4或x≥1} C．{x|﹣4＜x≤1} D．{x|x≤﹣4或x≥1}【答案】C【分析】由分式不等式的求解方法計算即可．【解答】解：原不等式可化為，解得﹣4＜x≤1．故選：C．4．（5分）已知函數(shù)y＝f（x）的定義域為[﹣1，4]，則的定義域為（）A．[﹣5，5] B． C．（1，5] D．【答案】B【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域和具體函數(shù)定義域求法直接構造不等式求解即可．【解答】解：∵y＝f（x）的定義域為[﹣1，4]，∴，解得：，∴的定義域為．故選：B．5．（5分）已知f（+1）＝x+3，則f（x）＝（）A．x2﹣2x+2（x≥0） B．x2﹣2x+4（x≥1） C．x2﹣2x+4（x≥0） D．x2﹣2x+2（x≥1）【答案】B【分析】采用換元法，令t＝+1≥1，則x＝t2﹣2t+1，再代入f（+1）＝x+3中，化簡即可得解．【解答】解：令t＝+1≥1，則x＝t2﹣2t+1，∵f（+1）＝x+3，∴f（t）＝t2﹣2t+1+3＝t2﹣2t+4（t≥1），即f（x）＝x2﹣2x+4（x≥1）．故選：B．6．（5分）設，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)的比較大小即可．【解答】解：∵在R上單調(diào)遞增，∴30.8＞30.7＞30，∴a＞b＞1，∵y＝0.8x在R上單調(diào)遞減，∴0.80.7＜0.80＝1，∴a＞b＞c．故選：A．7．（5分）已知函數(shù)y＝ax﹣1+1（a＞0，a≠1）的圖像恒過定點A，且點A在直線y＝mx+n（m，n＞0）上，則的最小值為（）A．4 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得定點坐標，代入直線方程得m，n的關系，然后由基本不等式求得最小值．【解答】解：由x﹣1＝0，解得x＝1，又f（1）＝2，所以函數(shù)y＝ax﹣1+1過定點為A（1，2），代入直線y＝mx+n中，得m+n＝2，所以，當且僅當時等號成立，所以+的最小值為2．故選：C．8．（5分）已知不等式恒成立，則2m+4n的最小值是（）A．+2 B．4 C． D．8【答案】D【分析】由不等式恒成立，可得mn≥2（m＞0，n＞0），利用基本不等式可求得2m+4n的最小值．【解答】解：∵恒成立，∴，解得mn≥2（m＞0，n＞0），∴2mn≥4（m＞0，n＞0），≥2（m＞0，n＞0），∴2m+4n＝2m+22n≥2≥2≥2＝8（當且僅當m＝2n＝2，即m＝2，n＝1時取等號）．即2m+4n的最小值是8．故選：D．二、多選題（每小題6分，共18分）（多選）9．（6分）對于任意實數(shù)a，b，c，d，有以下四個命題，其中正確的是（）A．若a＞b，c＞d，則ac＞bd B．若ac2＞bc2，則a＞b C．若a＞b，則 D．若a＞b，c＞d，則a﹣d＞b﹣c【答案】BD【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可判斷出正誤．【解答】解：A．不一定成立；B．由ac2＞bc2，則c2＞0，可得：a＞b．C．不一定成立，例如a＝2，b＝﹣1．D．a(chǎn)＞b，c＞d，即﹣d＞﹣c，則a﹣d＞b﹣c，成立．故選：BD．（多選）10．（6分）已知x＞0，y＞0，且x+y＝1，則下列結論正確的是（）A．xy的最大值為 B．的最大值為4 C．x2+y2的最小值為 D．的最小值為0【答案】ACD【分析】利用基本不等式判斷A，利用基本不等式“1”的妙用判斷B，利用完全平方公式與基本不等式判斷C，利用代入消元法，結合基本不等式判斷D，從而得解．【解答】解：對于A，因為x＞0，y＞0，且x+y＝1，所以，當且僅當時取等號，故A正確；對于B，，當且僅當，即，時取等號，故B錯誤；對于C，因為2（x2+y2）＝x2+y2+x2+y2≥x2+y2+2xy＝（x+y）2＝1，對℃，因為2（x2+y2）＝x2+y2+x2+y2≥x2+y2+2xy＝（x+y）2＝1，所以，當且僅當時，等號成立，故C正確；對于D，由x＞0，y＞0，且x+y＝1，可知0＜y＜1，x＝1﹣y，所以，當且僅當，即，時，等號成立，故D正確．故選：ACD．（多選）11．（6分）德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著，以其命名的函數(shù)，被稱為狄利克雷函數(shù)，其中R為實數(shù)集，Q為有理數(shù)集，則以下關于狄利克雷函數(shù)f（x）的結論中，正確的是（）A．函數(shù)f（x）滿足：f（﹣x）＝f（x） B．函數(shù)f（x）的值域是[0，1] C．對于任意的x∈R，都有f（f（x））＝1 D．在f（x）圖象上不存在不同的三個點A、B、C，使得△ABC為等邊三角形【答案】AC【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的解析式，結合函數(shù)的三要素、函數(shù)的奇偶性，對選項A、B、C三項依次分析，可得這三項的正誤；然后通過取特殊點進行說明，判斷出D項的正誤，可得答案．【解答】解：對于選項A，根據(jù)狄利克雷函數(shù)的解析式，若x∈Q，則﹣x∈Q，可得f（﹣x）＝1＝f（x）；若x∈?RQ，則﹣x∈?RQ，可得f（﹣x）＝0＝f（x）．綜上所述，對于任意x∈R，總有f（﹣x）＝f（x）成立，故A項正確，對于選項B，f（x）的函數(shù)值只可能是0或1，所以f（x）的值域為{0，1}，而不是[0，1]，故B項錯誤，對于選項C，若x∈Q，則f（x）＝1，可得f（f（x））＝f（1）＝1，若x∈?RQ，則f（x）＝0，可得f（f（x））＝f（0）＝1，故C項正確，對于選項D，取，此時，可知△ABC為等邊三角形．所以f（x）圖象上存在不同的三點A、B、C，使得△ABC為等邊三角形，故D項不正確．故選：AC．三、填空題（每小題5分，共15分）12．（5分）設U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2+mx＝0}，若?UA＝{1，2}，則實數(shù)m＝﹣3．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)全集U和?UA，容易求出集合A，再根據(jù)已知集合A的等式判斷出m的值【解答】解：∵U＝{0，1，2，3}，?UA＝{1，2}∴A＝{0，3}而∵A＝{x∈U|x2+mx＝0}，∴0，3為x2+mx＝0的兩個根解得m＝﹣3故答案為﹣313．（5分）已知函數(shù)滿足對任意的實數(shù)x1≠x2，都有，則a的取值范圍是[，）．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）為減函數(shù)，進而可得關于a的不等式組，解可得a的取值范圍，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，若函數(shù)f（x）滿足對任意的實數(shù)x1≠x2都有，則函數(shù)f（x）R上為減函數(shù)，則有，解可得≤a＜，即a的取值范圍為[，）；故答案為：[，）．14．（5分）已知關于x的不等式x2﹣（a+2）x+a+5≤0在x∈（1，4]上有解，則實數(shù)a的取值范圍是[4，+∞）．【答案】[4，+∞）．【分析】把關于x的不等式x2﹣（a+2）x+a+5≤0在x∈（1，4]上有解的問題，利用分離參數(shù)求最值轉化為，在x∈（1，4]上有解，再求，x∈（1，4]的最小值即可．【解答】解：關于x的不等式x2﹣（a+2）x+a+5≤0在x∈（1，4]上有解，轉化為，在x∈（1，4]上有解，令，x∈（1，4]，轉化為求，x∈（1，4]上的最小值，則，當且僅當，即x＝3時等號成立，故x＝3時，tmin＝4，因此要使不等式x2﹣（a+2）x+a+5≤0在x∈（1，4]上有解，則a≥4．故答案為：[4，+∞）．四、解答題（共77分）15．（13分）已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）當a＝3時，求A∩B；（2）“x∈A”是“x∈?RB”的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）A∩B＝{x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}；（2）a＜1．詳解見解析．【分析】可利用集合間的關系進行求解．【解答】解：（1）當a＝3時，A＝{x|﹣1≤x≤5}，所以A∩B＝{x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}，（2）由題可知，?RB＝{x|1＜x＜4}，因為“x∈A”是“x∈?RB”的充分不必要條件，所以A??RB，可得2﹣a＞2+a，或，解得a＜1．16．（15分）已知冪函數(shù)的圖像關于y軸對稱，且f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．（1）求m的值及函數(shù)f（x）的解析式；（2）若f（a﹣2）＜f（1+2a），求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）m＝2，f（x）＝x2；（2）．【分析】（1）由冪函數(shù)的單調(diào)性求得0＜m＜4，由m∈Z，通過檢驗即可求解；（2）由已知得|a﹣2|＜|1+2a|，兩邊平方，即可求解實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）由冪函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增知，，解得0＜m＜4，又m∈Z，則m＝1，2，3．當m＝1或m＝3時，，不符合f（x）的圖像關于y軸對稱，故舍去．當m＝2時，f（x）＝x2，圖像關于y軸對稱，符合題意．綜上所述，f（x）＝x2．（2）由（1）得f（x）＝x2為偶函數(shù)且在[0，+∞）上單調(diào)遞增，因為f（a﹣2）＜f（1+2a），所以|a﹣2|＜|1+2a|，兩邊平方，得a2﹣4a+4＜4a2+4a+1，化簡得3a2+8a﹣3＞0，解得a＜﹣3或，故實數(shù)a的取值范圍為．17．（15分）函數(shù)是定義在（﹣3，3）上的奇函數(shù)，且．（1）確定f（x）的解析式；（2）證明f（x）在（﹣3，3）上的單調(diào)性；（3）解關于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．【答案】（1）．（2）見解答過程．（3）．【分析】（1）由題意，根據(jù)f（0）＝0、f（1）＝，求出b和a的值，可得函數(shù)的解析式．（2）由題意，利用單調(diào)性函數(shù)的定義，證明函數(shù)的單調(diào)性．（3）由題意，利用函數(shù)的定義域和單調(diào)性解不等式，求得t的范圍．【解答】解：（1）∵函數(shù)是定義在（﹣3，3）上的奇函數(shù)，則，解可得b＝0．又由f（1）＝，則有，解可得a＝2，故．（2）由（1）的結論，，設﹣3＜x1＜x2＜3，則＝，再根據(jù)﹣3＜x1＜x2＜3，可得9+x1x2＞0，x1﹣x2＜0，，，故有f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），可得函數(shù)f（x）在（﹣3，3）上為增函數(shù)．（3）由（1）（2）知f（x）為奇函數(shù)，且在（﹣3，3）上為增函數(shù)，關于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，即式f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），可得，解可得：，即不等式的解集為．18．（17分）已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）．（1）若關于x的不等式f（x）≥b的解集為{x|1≤x≤2}，求實數(shù)a，b的值；（2）解關于x的不等式f（x）＞0．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)不等式與對應方程的關系，利用根與系數(shù)的關系列方程組求出a、b的值；（2）不等式化為（ax﹣1）（x﹣4）＞0，討論a的取值，從而求出不等式的解集．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R），不等式f（x）≥b化為ax2﹣（4a+1）x+4﹣b≥0，由該不等式的解集為{x|1≤x≤2}，所以a＜0，且1和2是方程ax2﹣（4a+1）x+4﹣b＝0的兩根，所以，解得a＝﹣1，b＝6；（2）不等式f（x）＞0，即（ax﹣1）（x﹣4）＞0．①當a＝0時，不等式為﹣x+4＞0，解得x＜4；②當a＜0時，不等式為（x﹣）（x﹣4）＜0，此時＜4，解得＜x＜4；③當a＞0時，不等式為（x﹣）（x﹣4）＞0，若0＜a＜，則＞4，解得x＜4或x＞；若a＝，則＝4，不等式為（x﹣4）2＞0，解得x≠4；若a＞，則＜4，解得x＜或x＞4；綜上知，a＝0時，不等式