2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)1.4周練卷3習(xí)題含解析新人教A版必修4

周練卷(三)一、選擇題(每小題5分，共35分)1．函數(shù)y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,2)))的最小正周期是(C)A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,4)C．2π D．π解析：函數(shù)y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(π,2)))＝2sinx，∴函數(shù)的最小正周期是2π.2．下列函數(shù)中，最小正周期為π的奇函數(shù)是(B)A．y＝sin(2x＋eq\f(π,2)) B．y＝cos(2x＋eq\f(π,2))C．y＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4)) D．y＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))解析：y＝sin(2x＋eq\f(π,2))＝cos2x是周期為π的偶函數(shù)，y＝cos(2x＋eq\f(π,2))＝－sin2x是周期為π的奇函數(shù)，y＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))是周期為π的非奇非偶函數(shù)，y＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))是周期為2π的非奇非偶函數(shù)．故選B.3．函數(shù)f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))的圖象的一條對(duì)稱軸方程為(A)A．x＝eq\f(π,12) B．x＝eq\f(5π,12)C．x＝eq\f(π,3) D．x＝eq\f(π,6)解析：令2x＋eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(π,12)，k∈Z，當(dāng)k＝0時(shí)，x＝eq\f(π,12)，故選A.4．函數(shù)f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]上的最小值為(B)A．－1 B．－eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),2) D．0解析：由x∈[0，eq\f(π,2)]得2x－eq\f(π,4)∈[－eq\f(π,4)，eq\f(3π,4)]，所以sin(2x－eq\f(π,4))∈[－eq\f(\r(2),2)，1]，故函數(shù)f(x)＝sin(2x－eq\f(π,4))在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]上的最小值為－eq\f(\r(2),2).5．若函數(shù)y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù)，則φ等于(C)A．0 B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,2) D．π解析：因?yàn)閥＝sinx的圖象的對(duì)稱軸為x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z，所以函數(shù)y＝sin(x＋φ)的圖象的對(duì)稱軸應(yīng)滿意x＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.又y＝sin(x＋φ)是偶函數(shù)，所以x＝0是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，所以φ＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.又0≤φ≤π，所以當(dāng)k＝0時(shí)，φ＝eq\f(π,2).6．若函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))(ω>0)圖象的兩條相鄰的對(duì)稱軸之間的距離為eq\f(π,2)，且該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(x0,0)成中心對(duì)稱，x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則x0＝(B)A.eq\f(π,12) B.eq\f(5π,12)C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,4)解析：依題意，T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，令2x＋eq\f(π,6)＝kπ，解得x＝－eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)，因?yàn)閒(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象關(guān)于點(diǎn)(x0,0)成中心對(duì)稱，x0∈[0，eq\f(π,2)]，所以x0＝eq\f(5π,12)，選擇B.7．若函數(shù)f(x)＝sinωx(ω>0)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上單調(diào)遞增，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))上單調(diào)遞減，則ω＝(C)A．3 B．2C.eq\f(3,2) D.eq\f(2,3)解析：因?yàn)楫?dāng)0≤ωx≤eq\f(π,2)時(shí)，函數(shù)f(x)為增函數(shù)，當(dāng)eq\f(π,2)≤ωx≤π時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，即當(dāng)0≤x≤eq\f(π,2ω)時(shí)，函數(shù)f(x)為增函數(shù)，當(dāng)eq\f(π,2ω)≤x≤eq\f(π,ω)時(shí)，函數(shù)f(x)為減函數(shù)，所以eq\f(π,2ω)＝eq\f(π,3)，所以ω＝eq\f(3,2).二、填空題(每小題5分，共20分)8．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的最小正周期為π.解析：由sin[2(x＋π)－eq\f(π,3)]＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)＋2π))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，可知函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))的最小正周期為π.9．函數(shù)y＝eq\r(sinx－cosx)的定義域?yàn)閧x|2kπ＋eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,4)，k∈Z}．解析：要使函數(shù)式有意義，必需有sinx－cosx≥0.在同始終角坐標(biāo)系中畫出[0,2π]內(nèi)y＝sinx和y＝cosx的圖象，如圖所示．在[0,2π]內(nèi)，滿意sinx＝cosx的x為eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)，結(jié)合正、余弦函數(shù)的周期是2π，可得所求定義域?yàn)閧x|2kπ＋eq\f(π,4)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,4)，k∈Z}．10．當(dāng)x∈[eq\f(π,6)，eq\f(7π,6)]時(shí)，函數(shù)y＝3－sinx－2cos2x的最小值是eq\f(7,8)，最大值是2.解析：∵x∈[eq\f(π,6)，eq\f(7π,6)]，∴－eq\f(1,2)≤sinx≤1，y＝3－sinx－2cos2x＝1－sinx＋2(1－cos2x)＝2sin2x－sinx＋1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,4)))2＋eq\f(7,8)，當(dāng)sinx＝eq\f(1,4)時(shí)，ymin＝eq\f(7,8)；當(dāng)sinx＝1或sinx＝－eq\f(1,2)時(shí)，ymax＝2.11．定義在R上的奇函數(shù)f(x)對(duì)于隨意x∈R，有f(x)＝f(2－x)，若tanα＝eq\f(1,2)，則f(－10sinαcosα)的值為0.解析：∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，由f(x)＝f(2－x)，得f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)的最小正周期為4.又∵tanα＝eq\f(1,2)，∴α為第一或第三象限角．當(dāng)α為第一象限角時(shí)，sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosα＝eq\f(2\r(5),5)，當(dāng)α為第三象限角時(shí)，sinα＝－eq\f(\r(5),5)，cosα＝－eq\f(2\r(5),5)，∴－10sinα·cosα＝－4，∴f(－10sinαcosα)＝f(－4)＝f(0)＝0.三、解答題(本大題共3小題，共45分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)12．(15分)已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)是奇函數(shù)，且0<φ<2π.(1)求φ；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間．解：(1)方法一：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以對(duì)隨意的x都有f(x)＝－f(－x)，即sin(2x＋φ)＝－sin(－2x＋φ)＝sin(2x－φ)，依據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得2x＋φ＝2x－φ＋2kπ，即φ＝kπ，k∈Z.依據(jù)0<φ<2π，可得φ＝π.方法二：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，則f(0)＝0，即sinφ＝0，所以φ＝kπ，k∈Z.依據(jù)0<φ<2π，可得φ＝π.(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋π)＝－sin2x，它的單調(diào)增區(qū)間實(shí)質(zhì)是y＝sin2x的單調(diào)減區(qū)間[kπ＋eq\f(π,4)，kπ＋eq\f(3π,4)](k∈Z)．13．(15分)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))＋1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間[0，eq\f(π,2)]上的最大值和最小值．解：(1)因?yàn)閒(x)＝eq\r(2)sin(2x＋eq\f(π,4))＋1，所以函數(shù)f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)當(dāng)x∈[0，eq\f(π,2)]時(shí)，2x＋eq\f(π,4)∈[eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)]，由正弦函數(shù)y＝sinx在[eq\f(π,4)，eq\f(5π,4)]上的圖象知，當(dāng)2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,8)時(shí)，f(x)取最大值eq\r(2)＋1；當(dāng)2x＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,4)，即x＝eq\f(π,2)時(shí)，f(x)取最小值0.綜上，f(x)在[0，eq\f(π,2)]上的最大值為eq\r(2)＋1，最小值為0.14．(15分)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))．(1)利用“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；(2)當(dāng)x∈[－eq\f(π,2)，eq\f(π,8)]時(shí)，方程f(x)－a＝0有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：(1)按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表如下：X＝2x－eq\f(π,4)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(π,8)eq\f(3π,8)eq\f(5π,8)eq\f(7π,8)eq\f(9π,8)f(x)＝eq\r(2)sin(2x－eq\f(π,4))