2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理課時(shí)作業(yè)31.3組合含解析北師大版選修2-3

課時(shí)作業(yè)3組合時(shí)間：45分鐘——基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．若Aeq\o\al(3,n)＝12Ceq\o\al(2,n)，則n等于(A)A．8B．5或6C．3或4D．4解析：Aeq\o\al(3,n)＝n(n－1)(n－2)，Ceq\o\al(2,n)＝eq\f(1,2)n(n－1)，所以n(n－1)(n－2)＝12×eq\f(1,2)n(n－1)，由n∈N＋，且n≥3，解得n＝8.2．甲、乙、丙3位同學(xué)從4門課程中選修課程，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有(C)A．36種B．48種C．96種D．192種解析：由乘法原理可知，甲選修2門，乙、丙各選修3門，不同的選修方案共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,4)＝96種．3．以一個(gè)正三棱柱的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有(B)A．6個(gè)B．12個(gè)C．18個(gè)D．30個(gè)解析：依據(jù)題意，知Ceq\o\al(4,6)－3＝Ceq\o\al(2,6)－3＝12個(gè)．4．從6位同學(xué)中選出4位參與一個(gè)座談會(huì)，要求張、王兩人中至多有一個(gè)人參與，則不同的選法種數(shù)為(A)A．9B．14C．12D．15解析：依據(jù)題意，參與座談會(huì)人員的選法可分兩類：第一類：張、王兩人都不參與，有Ceq\o\al(4,4)＝1(種)選法；其次類：張、王兩人只有1人參與，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)＝8(種)選法，故共有1＋8＝9(種)選法．5．在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為(B)A．10B．11C．12D．15解析：與信息0110至多有兩個(gè)位置上的數(shù)字對(duì)應(yīng)相同的信息包括三類：第一類：與信息0110只有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有Ceq\o\al(2,4)＝6個(gè)；其次類：與信息0110只有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有Ceq\o\al(1,4)＝4個(gè)；第三類：與信息0110沒有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同有Ceq\o\al(0,4)＝1個(gè)．∴與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息有6＋4＋1＝11個(gè)．6．25人排成5×5方陣，從中選出3人，要求其中隨意2人既不同行也不同列，則不同的選法有(D)A．60種B．100種C．300種D．600種解析：先把3人所在的三行和三列選出來，有Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,5)種選法，在這三行三列里確定人選的方法數(shù)有6種，依據(jù)乘法原理可得滿意題意的選法有6Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,5)＝600種．7．從不同號(hào)碼的五雙鞋中任取4只，其中恰好有一雙的取法種數(shù)為(A)A．120B．240C．360D．72解析：先取出一雙有Ceq\o\al(1,5)種取法，再從剩下的四雙鞋子中取出兩雙，而后從每雙中各取一只，有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)種不同的取法，共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝120種不同的取法．8．將7名學(xué)生安排到甲、乙兩個(gè)宿舍中，每個(gè)宿舍至少支配兩名學(xué)生，那么互不相同的支配方法共有(B)A．252種B．112種C．70種D．56種解析：完成這件事需分兩類：第一類：從7名學(xué)生中任選3人，分到兩個(gè)宿舍中的隨意一個(gè)，另4人再分到另一宿舍，有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(1,2)種方法．其次類：從7名學(xué)生中任選2人，分到兩個(gè)宿舍中的隨意一個(gè)，另5人再分到另一宿舍，有Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(1,2)種方法．依據(jù)加法原理，共有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(1,2)＝112種方法．二、填空題9．7名志愿者中支配6人在周六，周日兩天參與社區(qū)公益活動(dòng)，若每天支配不同的3人，則不同的支配方案共有140種．(用數(shù)字作答)解析：由題意知，Ceq\o\al(3,7)·Ceq\o\al(3,4)＝140(種)．10．從4名男生和3名女生中選出4人擔(dān)當(dāng)奧運(yùn)會(huì)志愿者，若選出的4人中既有男生又有女生，則不同的選法共有34種．(用數(shù)字作答)解析：由題意知：Ceq\o\al(4,7)－Ceq\o\al(4,4)＝34(種)．11．把3名輔導(dǎo)老師與6名學(xué)生分成3個(gè)小組(每組1名老師，2名學(xué)生)開展試驗(yàn)活動(dòng)，但學(xué)生甲必需與老師A在一起，這樣的分組方法有30種．(用數(shù)字作答)解析：分別給A，B，C三位老師各支配2名學(xué)生(學(xué)生甲必需與老師A在一組)，一共有Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝30(種)不同的分組方法．三、解答題12．12件產(chǎn)品中，有10件正品，2件次品，從這12件產(chǎn)品中隨意抽出3件．(1)共有多少種不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少種？(3)抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種？解：(1)有Ceq\o\al(3,12)＝220種抽法．(2)分兩步：先從2件次品中抽出1件有Ceq\o\al(1,2)種方法；再從10件正品中抽出2件有Ceq\o\al(2,10)種方法，所以共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,10)＝90種抽法．(3)法一(干脆法)：分兩類：即包括恰有1件次品和恰有2件次品兩種狀況，與(2)小題類似共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,10)＝100種抽法．法二(間接法)：從12件產(chǎn)品中隨意抽出3件有Ceq\o\al(3,12)種方法，其中抽出的3件全是正品的抽法有Ceq\o\al(3,10)種方法，所以共有Ceq\o\al(3,12)－Ceq\o\al(3,10)＝100種抽法．13．一個(gè)小組有10名同學(xué)，其中4名女生，6名男生，現(xiàn)從中選出3名代表，其中至少有1名女生的選法有多少種？解：依據(jù)代表中女生的人數(shù)分類：第一類：3名代表中有1名女生，則選法種數(shù)為：Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)＝60(種)；其次類：3名代表中有2名女生，則選法種數(shù)為：Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)＝36(種)；第三類：3名代表中都是女生，則選法種數(shù)為：Ceq\o\al(3,4)＝4(種)．由分類計(jì)數(shù)原理，符合要求的代表的選法種數(shù)為：Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(3,4)＝60＋36＋4＝100(種)．——實(shí)力提升類——14．某幢樓房從2樓到3樓共10個(gè)臺(tái)階，上樓可以一步上1個(gè)臺(tái)階，也可一步上2個(gè)臺(tái)階，若規(guī)定從2樓到3樓用8步走完，則上樓的方法共有18種．解析：方法一：由于10÷8的余數(shù)為2，可以確定一步1個(gè)臺(tái)階6次，一步2個(gè)臺(tái)階2次，選定一步2個(gè)臺(tái)階或一步1個(gè)臺(tái)階，則有Ceq\o\al(6,8)＝Ceq\o\al(2,8)＝28種方法．方法二：從結(jié)果入手，問題就是6個(gè)1和2個(gè)2，不同的組合方案就構(gòu)成了不同的走法，需分兩類完成：第一類：2個(gè)2不相鄰，先排6個(gè)1構(gòu)成7個(gè)空位，在兩個(gè)空位分別插入2，有Ceq\o\al(2,7)種方法．其次類：2個(gè)2相鄰，先排6個(gè)1構(gòu)成7個(gè)空位，在一個(gè)空位插入2個(gè)2，有Ceq\o\al(1,7)種方法．依據(jù)加法原理，共有Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(1,7)＝28種方法．15．在某高校的小語種提前招生考試中，某中學(xué)共獲得了5個(gè)舉薦名額，其中俄語2名，日語2名，西班牙語1名，并且日語和俄語都要求必需有男生參與考試．學(xué)校通過選拔定下3男2女五個(gè)舉薦對(duì)象，求不同的舉薦方案共有多少種．解：第一類：三名男生被舉薦考試的語種各不相同，則男生的舉薦方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)種，女生的舉薦方法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)種，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，此時(shí)不同的舉薦方法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1