河南省平頂山市葉縣高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試卷含答案及解析

2024~2025學(xué)年上學(xué)期高二年級(jí)9月月考數(shù)學(xué)試題全卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂，黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內(nèi)容：選擇必修第一冊(cè)第一章~第二章2.4.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.圓的圓心與半徑分別為（）A.， B.，C.， D.，2.兩平行直線(xiàn)和之間的距離為（）A. B.2 C. D.33.已知點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.4.經(jīng)過(guò)直線(xiàn)和交點(diǎn)，且傾斜角是直線(xiàn)的傾斜角的兩倍的直線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.5.已知向量，且平面平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為（）A或 B.或1 C.或2 D.6.直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為（）A B. C. D.7.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離為（）A B. C. D.8.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，若平面，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度的最小值為（）A. B. C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.已知向量，則下列向量中與共面的向量是（）A. B. C. D.10.已知?jiǎng)狱c(diǎn)分別在直線(xiàn)與上移動(dòng)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離可能為（）A. B. C. D.11.如圖，在四棱錐中，底面，底面為邊長(zhǎng)為2的菱形，，為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.三棱錐的外接球的半徑為C.當(dāng)異面直線(xiàn)和所成的角為時(shí)， D.點(diǎn)F到平面與到平面的距離相等三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等直線(xiàn)方程是_______________13.已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與線(xiàn)段相交，則直線(xiàn)l的傾斜角的取值范圍為_(kāi)______，直線(xiàn)l的斜率的取值范圍為_(kāi)______．14.如圖，在三棱柱中，，為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，和相交于點(diǎn)P，則_______．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.15.已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是.（1）求的面積（2）求外接圓的方程16.在中，頂點(diǎn)A在直線(xiàn)上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為邊的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為邊的垂直平分線(xiàn)的斜率為．（1）求直線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B，且點(diǎn)A、點(diǎn)C到直線(xiàn)l的距離相等，求直線(xiàn)l的方程．17.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，.（1）證明：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.18.已知直線(xiàn)與x軸，y軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求的最小值；（2）求的最小值．19.如圖，在四棱錐中，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍．

2024~2025學(xué)年上學(xué)期高二年級(jí)9月月考數(shù)學(xué)試題全卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫(xiě)在試卷?草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂，黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內(nèi)容：選擇必修第一冊(cè)第一章~第二章2.4.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.圓的圓心與半徑分別為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的一般方程求得圓心和半徑.【詳解】圓心為，即，半徑為.故選：C2.兩平行直線(xiàn)和之間的距離為（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】利用平行線(xiàn)間距離公式計(jì)算即得.【詳解】平行直線(xiàn)和之間的距離.故選：A3.已知點(diǎn)，且四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為．結(jié)合平行四邊形的一組對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)和空間向量的相等向量的計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為，由題意得，因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，解得，故選：A4.經(jīng)過(guò)直線(xiàn)和的交點(diǎn)，且傾斜角是直線(xiàn)的傾斜角的兩倍的直線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用二倍角的正切公式求出直線(xiàn)的斜率即可求解.【詳解】由，解得，即所求方程的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，令直線(xiàn)的傾斜角為，則，顯然是銳角，因此所求方程的直線(xiàn)斜率，所以所求的直線(xiàn)方程為，即.故選：C5.已知向量，且平面平面，若平面與平面的夾角的余弦值為，則實(shí)數(shù)的值為（）A.或 B.或1 C.或2 D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的夾角公式列方程求解即可【詳解】因?yàn)樗裕驗(yàn)槠矫嫫矫?，若平面與平面的夾角的余弦值為，所以，化簡(jiǎn)得，解得或1．故選：B6.直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解方程組求出兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，再求出直線(xiàn)上的點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即可求解.【詳解】由，解得，則直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，在直線(xiàn)上取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，依題意，，整理得，解得，即點(diǎn)，直線(xiàn)的方程為，即，所以直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程為.故選：D7.在空間直角坐標(biāo)系中，已知，則點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量法求出點(diǎn)到直線(xiàn)距離即可.【詳解】，，.故選：A.8.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，，若平面，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，用表示出，證明平面，求得平面的法向量，由條件得到，將的表達(dá)式整理成二次函數(shù)，利用其最小值即得.【詳解】如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線(xiàn)為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則有,依題意，，,于，.又因平面，平面,則,又,平面，故平面,故平面的法向量可取為，因平面，故，即.則，因，故當(dāng)時(shí)，.故選：D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分9.已知向量，則下列向量中與共面的向量是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)共面向量定理，設(shè)出表達(dá)式，由方程組的解的情況確定是否與共面即得.【詳解】對(duì)于A(yíng)，設(shè)，則得，解得，即，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則得，該方程組無(wú)解，故不存在的值滿(mǎn)足，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)，則得，解得，即，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則得，該方程組無(wú)解，故不存在的值滿(mǎn)足，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知?jiǎng)狱c(diǎn)分別在直線(xiàn)與上移動(dòng)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離可能為（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)Ax1,y【詳解】令A(yù)x1,y1、Bx2,y設(shè)AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則有：，兩式相加得：，所以，則原點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離，大于該值的都有可能.故選：CD11.如圖，在四棱錐中，底面，底面為邊長(zhǎng)為2的菱形，，為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)．則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.三棱錐的外接球的半徑為C.當(dāng)異面直線(xiàn)和所成的角為時(shí)， D.點(diǎn)F到平面與到平面的距離相等【答案】ACD【解析】【分析】在菱形中，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用空間向量求出線(xiàn)線(xiàn)角判斷AC；求出點(diǎn)到平面距離判斷D；分析棱錐外接球球心并求出球半徑判斷B.【詳解】在菱形中，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，由底面，得直線(xiàn)兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，而，則，由，得，則，對(duì)于A(yíng)，，，則，于是，A正確；對(duì)于B，由，得三棱錐的外接球截平面所得截面圓圓心為，則球心在過(guò)垂直于平面的直線(xiàn)上，直線(xiàn)，顯然球心在線(xiàn)段的中垂面上，因此，三棱錐的外接球，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，由異面直線(xiàn)和所成的角為，得，整理得，而，解得，C正確；對(duì)于D，，設(shè)平面與平面的法向量分別為，，令，得，，令，得，而，則點(diǎn)F到平面的距離，點(diǎn)F到平面的距離，顯然，D正確.故選：ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線(xiàn)方程是_______________【答案】或.【解析】【分析】分截距為0以及截距不為0兩種情況分別求解即可.【詳解】當(dāng)截距為0時(shí),滿(mǎn)足在兩坐標(biāo)軸上的截距相等.此時(shí)設(shè)直線(xiàn)方程為,則,故,化簡(jiǎn)得.當(dāng)截距不為0時(shí),設(shè)直線(xiàn)方程為,則.故,化簡(jiǎn)可得.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)直線(xiàn)的截距關(guān)系式求解直線(xiàn)方程的問(wèn)題,需要注意分截距為0與不為0兩種情況進(jìn)行求解.屬于基礎(chǔ)題.13.已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與線(xiàn)段相交，則直線(xiàn)l的傾斜角的取值范圍為_(kāi)______，直線(xiàn)l的斜率的取值范圍為_(kāi)______．【答案】①.②.【解析】【分析】分別求得直線(xiàn)，的斜率，結(jié)合圖形可得的范圍，再由直線(xiàn)的斜率公式，可得傾斜角的范圍.【詳解】如圖所示：由點(diǎn)，可得直線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，由直線(xiàn)與線(xiàn)段相交，可得的范圍是；由斜率與傾斜角的正切圖象得傾斜角故答案為：；.14.如圖，在三棱柱中，，為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，和相交于點(diǎn)P，則_______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，可得，再利用空間向量的基底表示，然后利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即得.【詳解】在三棱柱中，連接，由分別為的中點(diǎn)，得，且，則，，，而，所以.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程及演算步驟.15.已知三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是.（1）求的面積（2）求外接圓的方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用斜率可得，則，由已知數(shù)據(jù)求解即可；（2）由，外接圓是以線(xiàn)段AB為直徑的圓，求出圓心和半徑即可得外接圓的方程.【小問(wèn)1詳解】三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率，則，即.，，.【小問(wèn)2詳解】由，外接圓是以線(xiàn)段AB為直徑的圓，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，半徑，所以外接圓的方程是.16.在中，頂點(diǎn)A在直線(xiàn)上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為邊的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為邊的垂直平分線(xiàn)的斜率為．（1）求直線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B，且點(diǎn)A、點(diǎn)C到直線(xiàn)l的距離相等，求直線(xiàn)l的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）求出直線(xiàn)方程，與直線(xiàn)方程聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出直線(xiàn)方程.（2）按直線(xiàn)過(guò)的中點(diǎn)及與平行求出方程即得.【小問(wèn)1詳解】由邊的垂直平分線(xiàn)的斜率為，得直線(xiàn)方程為，即，而邊中線(xiàn)所在的直線(xiàn)方程為，由，解得，則，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，于是，解得，即點(diǎn)，直線(xiàn)的斜率，所以直線(xiàn)的方程為，即.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，由直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B，且點(diǎn)A、點(diǎn)C到直線(xiàn)l的距離相等，得直線(xiàn)過(guò)邊的中點(diǎn)，或，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)時(shí)，直線(xiàn)的斜率為，方程為，即，當(dāng)直線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)的斜率為，方程為，即，所以直線(xiàn)l的方程為或.17.如圖，在長(zhǎng)方體中，，，.（1）證明：平面；（2）求直線(xiàn)與平面所成角正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）利用（1）中坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用線(xiàn)面角的向量求法求解即可.【小問(wèn)1詳解】在長(zhǎng)方體中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，有，，，，，，，則，，，，，因此，，又，，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，得，設(shè)直線(xiàn)與平面所成的角為，而則，所以直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.18.已知直線(xiàn)與x軸，y軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求的最小值；（2）求的最小值．【答案】（1）12（2）【解析】【分析】（1）先判斷直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)的截距式方程，代入得，利用基本不等式即可求得；（2）利用（1）的結(jié)論，借助于常值代換法和基本不等式即可求得【小問(wèn)1詳解】由整理得，，令，解得，即直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn).不妨設(shè)直線(xiàn)的方程為，則有（*）由（*）和基本不等式可得，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，的最小值為12；【小問(wèn)2詳解】因，由（1）得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，取得最小值.19.如圖，在四棱錐中，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)計(jì)算得出,取線(xiàn)段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）證明平面平面即得；（2）依題建系，設(shè)與軸成角，分別求得點(diǎn)坐標(biāo)和兩平面法向量，計(jì)算它們夾角的余弦值的表達(dá)式，求其值域即得.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，兩線(xiàn)交于點(diǎn)，因則，，在中，設(shè)，由余弦定理，，解得，則,由題意知：共線(xiàn)且，取線(xiàn)段的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），連接，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，故有,又平面，平面，故得，平面①因且，易知為菱形，故得，又平面