專題49 直線與橢圓、雙曲線原卷版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)P(yáng)age專題49直線與橢圓、雙曲線（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)1】直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系 3【考點(diǎn)2】中點(diǎn)弦及弦長(zhǎng)問(wèn)題 5【考點(diǎn)3】直線與橢圓、雙曲線的綜合問(wèn)題 7【分層檢測(cè)】 9【基礎(chǔ)篇】 9【能力篇】 12【培優(yōu)篇】 12真題自測(cè)真題自測(cè)一、解答題1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且軸．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，證明：軸．2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過(guò)作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，.3．（2023·全國(guó)·高考真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．4．（2023·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.5．（2022·全國(guó)·高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過(guò)P且斜率為的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.6．（2022·全國(guó)·高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系一、解答題1．（2024·安徽·三模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，C在點(diǎn)處的切線l分別交直線和直線于兩點(diǎn)．(1)求證：直線與C相切；(2)探究：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）橢圓的焦點(diǎn)為和，短軸長(zhǎng)為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓上、下頂點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（不與、兩點(diǎn)重合）.①求證：與的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值；②已知直線，求直線、、圍成的三角形面積最小值.3．（2025·廣東·一模）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.直線相交于點(diǎn)，且它們的斜率之積是.設(shè)點(diǎn)的軌跡方程為.(1)求;(2)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，且直線與直線的斜率之積是，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn).4．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）已知點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線的兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，且為線段ST的中點(diǎn).（i）證明：直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；（ii）求證：是定值.5．（2024·安徽·一模）已知雙曲線C：的離心率為2.且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求C的方程；(2)若直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，且（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的取值范圍.6．（2024·上海浦東新·三模）已知雙曲線，點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，Ax1,y1、B(1)求右焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離；(2)若，求直線的方程；(3)若，其中A、B兩點(diǎn)均在x軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍.反思提升：1.判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí)，通常將直線l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同時(shí)為0)代入圓錐曲線C的方程F(x，y)＝0.消去y(或x)得到一個(gè)關(guān)于變量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0).(1)當(dāng)a≠0時(shí)，則Δ＞0時(shí)，直線l與曲線C相交；Δ＝0時(shí)，直線l與曲線C相切；Δ＜0時(shí)，直線l與曲線C相離.(2)當(dāng)a＝0時(shí)，即得到一個(gè)一次方程，則l與C相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，若C為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線平行；若C為拋物線，則直線l與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合.2.對(duì)于過(guò)定點(diǎn)的直線，也可以通過(guò)定點(diǎn)在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點(diǎn).【考點(diǎn)2】中點(diǎn)弦及弦長(zhǎng)問(wèn)題一、解答題1．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，過(guò)點(diǎn)作兩條直線，直線與交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．(1)求的方程；(2)若的面積為，求的方程；(3)若與交于兩點(diǎn)，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．2．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）已知直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率記為.(1)證明：；(2)若，焦距為.①求橢圓的方程；②若點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，，且直線與軸圍成底邊在軸上的等腰三角形，求直線的方程.3．（2024·廣東廣州·三模）一般地，當(dāng)且時(shí)，方程表示的橢圓稱為橢圓的相似橢圓．已知橢圓，橢圓（且）是橢圓C的相似橢圓，點(diǎn)P為橢圓上異于其左，右頂點(diǎn)M，N的任意一點(diǎn)．(1)當(dāng)時(shí)，直線與橢圓C，自上而下依次交于R，Q，S，T四點(diǎn)，探究，的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)當(dāng)（e為橢圓C的離心率）時(shí)，設(shè)直線與橢圓C交于點(diǎn)A，B，直線與橢圓C交于點(diǎn)D，E，求的值．4．（2025·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，記的軌跡為曲線，直線交右支于，兩點(diǎn)，直線交右支于，兩點(diǎn)，．(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)證明：；(3)若直線過(guò)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，記，的中點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作兩條漸近線的垂線，垂足分別為，，求四邊形面積的取值范圍．5．（2024·安徽池州·二模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)，離心率為，過(guò)F的直線交于點(diǎn)兩點(diǎn)，過(guò)與垂直的直線交于兩點(diǎn).(1)當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，求由四點(diǎn)圍成的四邊形的面積；(2)直線分別交于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，證明：為的中點(diǎn).6．（2023·廣西南寧·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線()經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其漸近線方程為．(1)求雙曲線C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，P能否是線段AB的中點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．反思提升：1.弦及弦中點(diǎn)問(wèn)題的解決方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系：直線與橢圓或雙曲線方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點(diǎn)；(2)點(diǎn)差法：利用弦兩端點(diǎn)適合橢圓或雙曲線方程，作差構(gòu)造中點(diǎn)、斜率間的關(guān)系.若已知弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，可求弦所在直線的斜率.2.弦長(zhǎng)的求解方法(1)當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解.(2)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線l與橢圓或雙曲線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長(zhǎng)公式的常見形式有如下幾種：①|(zhì)AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])；②|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(k≠0)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[（y1＋y2）2－4y1y2]).【考點(diǎn)3】直線與橢圓、雙曲線的綜合問(wèn)題一、解答題1．（2024·上?！じ呖颊骖}）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn).(1)若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求的長(zhǎng);(2)設(shè)的上、下頂點(diǎn)分別為、，記的面積為的面積為，若，求的取值范圍(3)若點(diǎn)在軸上方，設(shè)直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，是否存在軸上方的點(diǎn)，使得成立?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2．（2023·四川綿陽(yáng)·三模）在平面直角坐標(biāo)系?中：①已知點(diǎn)?，直線?，動(dòng)點(diǎn)?滿足到點(diǎn)?的距離與到直線?的距離之比?；②已知點(diǎn)?分別在?軸，?軸上運(yùn)動(dòng)，且?，動(dòng)點(diǎn)?滿?；③已知圓?的方程為?，直線?為圓?的切線，記點(diǎn)?到直線?的距離分別為?，動(dòng)點(diǎn)?滿足?．(1)在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，求動(dòng)點(diǎn)?的軌跡方程；(2)記（1）中動(dòng)點(diǎn)?的軌跡為?，經(jīng)過(guò)點(diǎn)?的直線?交?于?兩點(diǎn)，若線段?的垂直平分線與?軸相交于點(diǎn)?，求點(diǎn)?縱坐標(biāo)的取值范圍．3．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為，拋物線的焦點(diǎn)為點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作y軸的垂線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作拋物線的切線l交橢圓于B，C兩點(diǎn)，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D，BC的中點(diǎn)為E，BC的中垂線交x軸于點(diǎn)G，若，的面積分別記為，，且，點(diǎn)A在第一象限，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．4．（2025·黑龍江大慶·一模）已知雙曲線的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，漸近線方程為.(1)求的方程；(2)若互相垂直的兩條直線均過(guò)點(diǎn)，且，直線交于兩點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，分別為弦和的中點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，設(shè).①求；②記，，求.5．（2025·寧夏·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)T到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，記T的軌跡為曲線E，直線交E右支于A，B兩點(diǎn)，直線交右支于C，D兩點(diǎn)，.(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線過(guò)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，記AB，CD的中點(diǎn)分別為P，Q，過(guò)點(diǎn)Q作E兩條漸近線的垂線，垂足分別為M，N，求四邊形面積的取值范圍.6．（2024·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的上下焦點(diǎn)分別為，.已知點(diǎn)和都在雙曲線上，其中為雙曲線的離心率.(1)求雙曲線的方程;(2)設(shè)是雙曲線上位于軸右方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn).(i)若，求直線的斜率；(ii)求證：是定值.反思提升：1.求解直線與橢圓的綜合問(wèn)題的基本思想是方程思想，即根據(jù)題意，列出有關(guān)的方程，利用代數(shù)的方法求解.為減少計(jì)算量，在代數(shù)運(yùn)算中，經(jīng)常運(yùn)用設(shè)而不求的方法.2.直線方程的設(shè)法，根據(jù)題意，如果需要討論斜率不存在的情況，則設(shè)直線方程為x＝ty＋m避免討論；若所研究的直線的斜率存在，則可設(shè)直線方程為y＝kx＋b的形式；若包含平行于坐標(biāo)軸的直線，則不要忘記斜率不存在的情況的討論.分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（23-24高三下·廣東廣州·階段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2023·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知直線過(guò)橢圓C；的一個(gè)焦點(diǎn)，與C交于A，B兩點(diǎn)，與平行的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為P，MN的中點(diǎn)為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（）A． B．C． D．3．（2024·山東泰安·三模）已知為雙曲線（，）的右焦點(diǎn)，直線與的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，是面積為4的直角三角形，則的方程為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其中一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為，則C的離心率為(

)A． B． C． D．二、多選題5．（2024·四川·一模）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，則（

）A．B．C．當(dāng)不共線時(shí)，的周長(zhǎng)為D．設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則6．（22-23高二下·廣西·期中）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)P是這兩條曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．的周長(zhǎng)為16C．的面積為 D．7．（2022·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是該雙曲線的一條漸近線上的一點(diǎn)，并且以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．的面積為 B．點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或C．的漸近線方程為 D．以線段為直徑的圓的方程為三、填空題8．（2024·北京·高考真題）若直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的一個(gè)取值為．9．（2022·安徽蚌埠·三模）已知橢圓的離心率為,直線與橢圓交于,兩點(diǎn),當(dāng)?shù)闹悬c(diǎn)為時(shí),直線的方程為.10．（2024·黑龍江吉林·二模）橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)焦點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，設(shè)，，若的面積是4，則.四、解答題11．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，離心率為.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，求弦中點(diǎn)坐標(biāo).12．（2023·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：上任意一點(diǎn)Q（異于頂點(diǎn)）與雙曲線兩頂點(diǎn)連線的斜率之積為，E在雙曲線C上，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點(diǎn)，|EF|的最小值為.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)橢圓上任意一點(diǎn)P（P不在C的漸近線上）分別作平行于雙曲線兩條漸近線的直線，交兩漸近線于M，N兩點(diǎn)，且，是否存在m，n使得橢圓的離心率為？若存在，求出橢圓的方程，若不存在，說(shuō)明理由.【能力篇】一、單選題1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過(guò)點(diǎn)且與雙曲線交于兩點(diǎn)，若，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．雙曲線的離心率為B．雙曲線的漸近線方程為C．過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)且為的中點(diǎn)，則直線的方程為D．的面積為二、多選題2．（2024·新疆烏魯木齊·三模）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O作斜率為k的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且，則的可