專題53 最值、范圍問題原卷版-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義知識(shí)梳理、考點(diǎn)突破和分層檢測(cè)

Page專題53最值、范圍問題（新高考專用）目錄目錄【真題自測(cè)】 2【考點(diǎn)突破】 3【考點(diǎn)1】最值問題 3【考點(diǎn)2】范圍問題 4【分層檢測(cè)】 6【基礎(chǔ)篇】 6【能力篇】 8【培優(yōu)篇】 9真題自測(cè)真題自測(cè)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（

）．A． B． C． D．二、解答題2．（2024·天津·高考真題）已知橢圓的離心率．左頂點(diǎn)為，下頂點(diǎn)為是線段的中點(diǎn)，其中．(1)求橢圓方程．(2)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)．在軸上是否存在點(diǎn)使得．若存在求出這個(gè)點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．3．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．4．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知橢圓．設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，直線分別交直線于C，D兩點(diǎn)．(1)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；(2)求的最小值．考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破【考點(diǎn)1】最值問題一、解答題1．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）已知橢圓：的離心率為，右頂點(diǎn)與的上，下頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為．(1)求的方程．(2)不過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與交于，兩點(diǎn)，直線與的斜率之積恒為．（i）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）求面積的最大值．2．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且，過(guò)點(diǎn)作兩條直線，直線與交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．(1)求的方程；(2)若的面積為，求的方程；(3)若與交于兩點(diǎn)，且的斜率是的斜率的2倍，求的最大值．3．（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)且.(1)求雙曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；(3)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線左右兩支分別交于點(diǎn)，求證：.4．（2024·山東濟(jì)南·二模）已知點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn).(1)求雙曲線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)過(guò)且斜率非負(fù)的直線與的左?右支分別交于.過(guò)做垂直于軸交于（當(dāng)位于左頂點(diǎn)時(shí)認(rèn)為與重合）.為圓上任意一點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知為拋物線：上的一點(diǎn)，直線交于A，B兩點(diǎn)，且直線，的斜率之積為2.(1)求的準(zhǔn)線方程；(2)求的最小值.6．（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且.(1)求的方程；(2)是上兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），以為直徑的圓過(guò)點(diǎn)為的中點(diǎn)，求直線斜率的最大值.反思提升：處理圓錐曲線最值問題的求解方法圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過(guò)利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.【考點(diǎn)2】范圍問題一、解答題1．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓E：，直線與E交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段MN上（不含端點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)P的另一條直線與E交于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，，點(diǎn)A在第二象限，求直線的斜率；(3)若直線MA，MB的斜率之和為2，求直線的斜率的取值范圍.2．（2024·重慶·三模）已知F，C分別是橢圓的右焦點(diǎn)、上頂點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，滿足．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)橢圓的下頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，這兩條直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，設(shè)直線的斜率為的面積為，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍．3．（2025·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知P為雙曲線C：上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段OP的垂直平分線與雙曲線C相切．(1)若點(diǎn)P是直線與圓的交點(diǎn)，求a；(2)求的取值范圍．4．（2024·貴州貴陽(yáng)·三模）已知為雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于D、E兩點(diǎn).(1)若，試求直線的斜率;(2)記雙曲線的兩條漸近線分別為，過(guò)曲線的右支上一點(diǎn)作直線與，分別交于M、N兩點(diǎn)，且M、N位于軸右側(cè)，若滿足，求的取值范圍（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.5．（2024·重慶·三模）設(shè)圓D：與拋物線C：交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，已知(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l：與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)點(diǎn)A在第一象限，動(dòng)點(diǎn)異于點(diǎn)A，在拋物線C上，連接MB，過(guò)點(diǎn)A作交拋物線C于點(diǎn)N，設(shè)直線AM與直線BN交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P在直線l的左邊時(shí)，求：①點(diǎn)P的軌跡方程；②面積的取值范圍.6．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到點(diǎn)(0，1)距離與點(diǎn)P到直線距離的差為﹣1，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W.(1)求W的方程；(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.（i）求W在點(diǎn)P處的切線的斜率(用表示)；（ii）直線l與W分別交于點(diǎn)A，B．若，求直線l的斜率的取值范圍(用表示).反思提升：解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個(gè)方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.分層分層檢測(cè)【基礎(chǔ)篇】一、單選題1．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓：與拋物線：交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若的外接圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則等于（

）A． B． C．2 D．42．（2024·河南·三模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)在橢圓上，若的最大值是最小值的3倍，則橢圓的焦距為（

）A．3 B．4 C．1 D．23．（2021·云南文山·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)P，Q，右頂點(diǎn)為A，線段的中點(diǎn)為E，直線交x軸于，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．（2021·江西九江·一模）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上一點(diǎn)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知橢圓，且兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上任意一點(diǎn)，以下結(jié)論正確的是（

）A．橢圓的離心率為 B．的周長(zhǎng)為12C．的最小值為3 D．的最大值為166．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線：過(guò)點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，，且一條漸近線的方程為，點(diǎn)為雙曲線上任意一點(diǎn)，則（

）A．雙曲線的方程為 B．C．點(diǎn)到兩漸近線的距離的乘積為 D．的最小值為17．（2020·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)不在拋物線上（）A．若直線過(guò)點(diǎn)，且與軸垂直，則B．若的最小值為3，則C．若直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，則直線，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率，滿足D．若過(guò)，所作的拋物線的兩條切線互相垂直，且，兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和的最小值為2，則三、填空題8．（23-24高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知，點(diǎn)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值為．9．（2021·山東德州·二模）已知，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)作平分線的垂線，垂足為，則點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是．10．（2022·山東濟(jì)南·二模）已知拋物線方程為，直線，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離的最小值為．四、解答題11．（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M是拋物線的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求p的值和拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，且，求直線l在x軸上截距b的取值范圍．12．（23-24高三上·天津南開·期末）設(shè)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且其左焦點(diǎn)坐標(biāo)為.(1)求橢圓的方程；(2)對(duì)角線互相垂直的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在上，且兩條對(duì)角線均過(guò)的右焦點(diǎn)，求的最小值.【能力篇】一、單選題1．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，滿足在橢圓上存在一點(diǎn)到直線的距離均為，則的最大值是（

）A． B． C． D．二、多選題2．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓，圓，為圓上任意一點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn).過(guò)作橢圓的兩條切線，，當(dāng)，與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，記兩切線斜率分別為，，則（

）A．橢圓的離心率為 B．的最小值為1C．的最大值為 D．三、填空題3．（2021·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線是雙曲線的兩條漸近線，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，若點(diǎn)到漸近線的距離的取值范圍是，則點(diǎn)到漸近線的距離的取值范圍是．四、解答題4．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為2，P是E的右支上一點(diǎn)，且，的面積為3．(1)求E的方程；(2)若E的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)點(diǎn)的直線l與E的右支交于M，N兩點(diǎn)，直線AM和BN的斜率分別即為和，求的最小值．【培優(yōu)篇】一、單選題1．（2024·河南信陽(yáng)·三模）已知橢圓，P為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作與直線和平行的直線，分別交，交于M，N兩點(diǎn)，則MN的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題2．（2024·廣東廣