《MATLAB遺傳算法工具箱及應(yīng)用》課件第9章

第九章使用MATLAB直接搜索工具 9.1直接搜索工具概述

與遺傳算法一樣，直接搜索算法工具也可以作為其他優(yōu)化方法的一個(gè)補(bǔ)充，用來尋找最佳起始點(diǎn)，繼而可以通過使用傳統(tǒng)的優(yōu)化技術(shù)來進(jìn)一步找出最優(yōu)解。

直接搜索工具函數(shù)可以通過圖形界面或MATLAB命令行來訪問。所有算法工具函數(shù)都是用MATLAB語言編寫的，對(duì)用戶開放，因此可以查看算法、修改源代碼或生成用戶函數(shù)。

工具箱中的直接搜索算法實(shí)現(xiàn)的是模式搜索方法。大多數(shù)傳統(tǒng)優(yōu)化方法通過使用梯度或高階導(dǎo)數(shù)的方法來搜尋優(yōu)化點(diǎn)，而模式搜索方法可搜索出最大最小正基模式。它可以處理邊界約束、線性等式、線性不等式，并且不需要函數(shù)可微或連續(xù)。

（１）表決方法——用來決定怎樣產(chǎn)生和估計(jì)模式中的點(diǎn)數(shù)以及每一步生成的最大點(diǎn)數(shù)。可以通過控制點(diǎn)的表決順序來提高效率。

（２）搜索方法——用來選擇比表決步效率更高的搜索方法?？梢栽谝粋€(gè)模式內(nèi)或整個(gè)搜索空間中執(zhí)行搜索。與遺傳算法相似，全局搜索方法可以用來獲得一個(gè)好的起始點(diǎn)。

（３）網(wǎng)格——用來迭代過程中控制模式如何變化；對(duì)于各維尺度不同的問題還需要調(diào)整網(wǎng)格?？梢赃x擇初始網(wǎng)格尺寸，網(wǎng)格細(xì)分因子或網(wǎng)格收縮因子。網(wǎng)格加速器加快了最小值附近的收斂速度。

（４）緩存器——用來存儲(chǔ)優(yōu)化過程中的計(jì)算量大的目標(biāo)函數(shù)的估計(jì)點(diǎn)?？梢灾付Ｊ剿阉魉惴ㄖ芯彺嫫鞯拇笮『腿莶?，還可以在計(jì)算過程中調(diào)整緩存器容差，以提高尋優(yōu)的速度和效率。

通過命令行或圖形用戶界面可修改上述任一選項(xiàng)。 9.2直接搜索算法

9.2.1何謂直接搜索

直接搜索（Directsearch）是一種求解優(yōu)化問題的方法，它不要求任何目標(biāo)函數(shù)梯度的信息。與使用梯度或高階導(dǎo)數(shù)信息來搜索優(yōu)化點(diǎn)的較傳統(tǒng)的優(yōu)化算法相反，直接搜索算法搜索當(dāng)前點(diǎn)周圍的一系列點(diǎn)，尋找目標(biāo)函數(shù)值低于當(dāng)前點(diǎn)值的那些點(diǎn)。我們可以使用直接搜索算法來求解那些目標(biāo)函數(shù)不可微、甚至不連續(xù)的問題。直接搜索工具實(shí)現(xiàn)一類特殊的直接搜索算法，稱為模式搜索（patternsearch）算法。模式搜索算法確定一個(gè)點(diǎn)的序列，這個(gè)點(diǎn)序列呈現(xiàn)越來越接近理想點(diǎn)的趨勢(shì)。在每一步，該算法搜索在當(dāng)前點(diǎn)周圍的一系列點(diǎn)，稱為網(wǎng)格（mesh）。當(dāng)前點(diǎn)是指該算法在前一步計(jì)算出來的點(diǎn)。該算法通過把當(dāng)前點(diǎn)與一個(gè)稱為模式（pattern）的固定向量集的標(biāo)量倍數(shù)相加來構(gòu)成網(wǎng)格。如果算法在網(wǎng)格中找到一個(gè)新點(diǎn)，且在該點(diǎn)比在當(dāng)前點(diǎn)使目標(biāo)函數(shù)得到改善，則該算法在下一步就將新點(diǎn)作為當(dāng)前點(diǎn)。9.2.2執(zhí)行模式搜索

本節(jié)簡(jiǎn)要介紹模式搜索工具和實(shí)現(xiàn)模式搜索的圖形用戶界面（GUI）。主要內(nèi)容包括：從命令行調(diào)用模式搜索；使用模式搜索工具GUI。

1.從命令行調(diào)用模式搜索

為了在命令行上對(duì)無約束問題執(zhí)行模式搜索，可以用下面的語法調(diào)用函數(shù)patternsearch

[xfval]=patternsearch(@objfun,x0)

其中：@objfun——目標(biāo)函數(shù)句柄；x0——模式搜索的起始點(diǎn)。

返回的結(jié)果為：fval——目標(biāo)函數(shù)的最終值；x——獲得最終值的點(diǎn)。

2.模式搜索工具GUI

為了打開模式搜索工具GUI，在MATLAB7.x可鍵入

psearchtool

為了打開模式搜索工具GUI，在MATLAB8.x可鍵入

(1)

optimtool(‘patternsearch’)或者psearchtool

這時(shí)打開的模式搜索工具如圖9.1所示。a）MATLAB7.x版本開始模式搜索

顯示結(jié)果輸入目標(biāo)函數(shù)輸入初始點(diǎn)單擊顯示參數(shù)描述b）MATLAB8.x版本圖9.1模式搜索工具為了使用模式搜索工具，首先必須輸入下列信息：

(1)ObjectiveFunction（目標(biāo)函數(shù)）——想要最小化的目標(biāo)函數(shù)。輸入目標(biāo)函數(shù)的形式為@objfun，這里objfun.m是計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的一個(gè)M文件。符號(hào)“@”產(chǎn)生objfun的函數(shù)句柄。

(2)Startpoint（起始點(diǎn)）——即開始點(diǎn)，算法從該點(diǎn)開始進(jìn)行優(yōu)化。

在“Constraints（約束）”窗格輸入對(duì)問題的約束。如果問題是無約束的，則該字段應(yīng)保持為空。

然后，點(diǎn)擊“Start（開始）”按鈕。模式搜索工具隨即在“Statusandresults（狀態(tài)與結(jié)果）”窗格顯示出優(yōu)化的結(jié)果。

我們也可以在“Options（選項(xiàng)）”窗格改變模式搜索的選項(xiàng)。為了查看某一類選項(xiàng)，可點(diǎn)擊與之連接的加號(hào)“＋”。

“尋找函數(shù)的最小值”一節(jié)給出了使用模式搜索工具的一個(gè)實(shí)例。9.2.3尋找函數(shù)最小值

本節(jié)介紹使用模式搜索來尋找函數(shù)最小值的一個(gè)實(shí)例，主要內(nèi)容有：目標(biāo)函數(shù)；尋找函數(shù)的最小值；繪制目標(biāo)函數(shù)值和網(wǎng)格尺寸的圖形。

1.目標(biāo)函數(shù)

本例使用目標(biāo)函數(shù)ps_example，它包含在直接搜索工具箱之中。鍵入下列命令就可以查看該函數(shù)的代碼：

typeps_example

圖9.2顯示出該函數(shù)的圖形細(xì)節(jié)。圖9.2目標(biāo)函數(shù)ps_exampl

2.尋找函數(shù)的最小值

為了尋找ps_example的最小值，進(jìn)行如下步驟：

(1)在MATLAB7.x環(huán)境下鍵入

psearchtool

在MATLAB8.x環(huán)境下鍵入

optimtool或者psearchtool

選擇模式搜索工具。

(2)在優(yōu)化工具的“Objectivefunction（目標(biāo)函數(shù)）”字段，輸入@ps_example。

(3)在“Startpoint（起始點(diǎn)）”字段，輸入[2.11.7]。打開優(yōu)化工具后的這兩步操作，即輸入目標(biāo)函數(shù)與起始點(diǎn)，如圖9.3所示。因?yàn)樵搯栴}是無約束的，所以讓Constraints字段保持為空白。圖9.3為模式搜索工具輸入目標(biāo)函數(shù)與起始點(diǎn)

(4)點(diǎn)擊Start按鈕運(yùn)行模式搜索。

在“StatusandResults”窗格顯示模式搜索的結(jié)果，如圖9.4所示。圖9.4目標(biāo)函數(shù)ps_example的模式搜索結(jié)果

3.繪制目標(biāo)函數(shù)值和網(wǎng)格尺寸的圖形

為了查看模式搜索的性能，可以顯示每一次迭代時(shí)的最佳函數(shù)值與網(wǎng)格尺寸。首先，在“繪圖（Plots）”窗格（參見圖9.5所示）選中下列復(fù)選框：Bestfunctionvalue（最佳函數(shù)值）。Meshsize（網(wǎng)格尺寸）。圖9.5繪圖窗口圖9.6ps_example的最佳函數(shù)值與網(wǎng)格尺寸9.2.4模式搜索術(shù)語

本節(jié)解釋模式搜索的3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)術(shù)語，包括：模式（Patterns）、網(wǎng)格（Meshes）和表決（Polling）。

1.模式

Patterns是若干向量{vi}的一個(gè)集合，向量由算法來使用，以確定在每次迭代時(shí)要搜索哪一點(diǎn)。例如，如果在某優(yōu)化問題中存在兩個(gè)獨(dú)立變量，則缺省模式由下面的向量組成：一個(gè)N+1正基準(zhǔn)由下列默認(rèn)的模式向量組成。

2.網(wǎng)格在每一步，模式搜索算法搜索一組點(diǎn)，稱為mesh，以尋找使目標(biāo)函數(shù)得到改善的點(diǎn)。該算法形成網(wǎng)格的方法是：給模式向量乘以一個(gè)標(biāo)量，稱為網(wǎng)格尺寸（meshsize）。

2.網(wǎng)格

在每一步中，模式搜索算法搜索一組點(diǎn)（稱為網(wǎng)格（mesh）），以尋找使目標(biāo)函數(shù)得到改善的點(diǎn)。該算法

形成網(wǎng)格的方法是：

(1)給模式向量乘以一個(gè)標(biāo)量，稱為網(wǎng)格尺寸（meshsize）。

(2)把結(jié)果向量與當(dāng)前點(diǎn)相加。當(dāng)前點(diǎn)是指在前一步找到的具有最佳目標(biāo)函數(shù)值的點(diǎn)。

例如，假定當(dāng)前點(diǎn)是［1.63.4］，模式由下列向量組成：

v1=［10］

v2=［01］

v3=［-10］

v4=［0-1］

當(dāng)前網(wǎng)格尺寸是4。算法給模式向量乘以4，并且把它們與當(dāng)前點(diǎn)相加，從而獲得下面的網(wǎng)格：

［1.63.4］+4*［10］=［5.63.4］

［1.63.4］+4*［01］=［1.67.4］

［1.63.4］+4*［-10］=［-2.43.4］

［1.63.4］+4*［0-1］=［1.6-0.6］9.2.5模式搜索如何工作

模式搜索算法可以找到一個(gè)點(diǎn)序列，x0，x1，x2，...，它們逐漸逼近理想點(diǎn)。序列中的每一點(diǎn)到下一點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值逐漸減少。本節(jié)以前面所描述的目標(biāo)函數(shù)ps_exampl為例，說明模式搜索算法是如何工作的，主要內(nèi)容包括：SuccessfulPoll（成功選舉）；AnUnsuccessfulPoll（不成功選舉）；顯示每次迭代的結(jié)果；更多的迭代；模式搜索的停止條件。

為了使解釋簡(jiǎn)明起見，假定在這里描述模式搜索算法如何工作的時(shí)候，選項(xiàng)“Mesh”中的參數(shù)Scale設(shè)置為Off。

1.成功選舉

對(duì)于目標(biāo)函數(shù)ps_exampl，模式搜索從所提供的起始點(diǎn)x0開始。在本例中，起始點(diǎn)x0=［2.11.7］。下面敘述模式搜索算法的工作過程。

1)第1次迭代

在第1迭代時(shí)，網(wǎng)格尺寸為1，模式搜索算法把模式向量與起始點(diǎn)x0=［2.11.7］相加，計(jì)算出下列網(wǎng)格點(diǎn)：

［10］+x0=［3.11.7］

［01］+x0=［2.12.7］

［-10］+x0=［1.11.7］

［0-1］+x0=［2.10.7］圖9.8目標(biāo)函數(shù)在起始點(diǎn)和各網(wǎng)格點(diǎn)的值在第1迭代時(shí)，網(wǎng)格尺寸為1，模式搜索算法把模式向量與起始點(diǎn)x0=［2.11.7］相加，計(jì)算出下列網(wǎng)格點(diǎn)：

［10］+x0=［3.11.7］

［01］+x0=［2.12.7］

［-10］+x0=［1.11.7］

［0-1］+x0=［2.10.7］

算法以上面顯示的順序計(jì)算各網(wǎng)格點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)。圖9.8顯示出ps_example在起始點(diǎn)和各網(wǎng)格點(diǎn)的值。圖9.8目標(biāo)函數(shù)在起始點(diǎn)和各網(wǎng)格點(diǎn)的值該算法通過計(jì)算各網(wǎng)格點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值來表決選取各網(wǎng)格點(diǎn)，直到它找到其函數(shù)值小于x0點(diǎn)的函數(shù)值4.6347的點(diǎn)。在本例中，它找到的第一個(gè)這樣的點(diǎn)是［1.11.7］，目標(biāo)函數(shù)在該點(diǎn)的值是4.5146，故迭代1的選取獲得成功。算法設(shè)置序列中的下一點(diǎn)為

x1=［1.11.7］

注意：按照缺省，模式搜索算法一旦找到其目標(biāo)函數(shù)值小于當(dāng)前點(diǎn)的一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)時(shí)，就停止當(dāng)前的迭代。因此，該算法不可能選出所有的網(wǎng)格點(diǎn)。我們可以通過設(shè)置“Completepoll”選項(xiàng)為On,而使算法選取所有網(wǎng)格點(diǎn)。

2)第2次迭代

在一次成功選舉之后，該算法把當(dāng)前網(wǎng)格尺寸乘以2，這是“Mesh”選項(xiàng)窗格中的“Expansionfactor（擴(kuò)張因子）”的缺省值。因?yàn)槌跏季W(wǎng)格尺寸是1，在第二次迭代時(shí)網(wǎng)格尺寸為2。第二次迭代時(shí)的網(wǎng)格包含下列點(diǎn)：

2*［10］+x1=［3.11.7］

2*［01］+x1=［1.13.7］

2*［-10］+x1=［-0.91.7］

2*［0-1］+x1=［1.1-0.3］

目標(biāo)函數(shù)ps_example在當(dāng)前點(diǎn)x1和各網(wǎng)格點(diǎn)的相應(yīng)值如圖9.9所示。圖9.9目標(biāo)函數(shù)在x1點(diǎn)和各網(wǎng)格點(diǎn)的值算法檢測(cè)各網(wǎng)格點(diǎn)，尋找其函數(shù)值小于當(dāng)前點(diǎn)x1處值4.5146的一個(gè)點(diǎn)。它找到的第一個(gè)滿足條件的點(diǎn)是［-0.91.7］，目標(biāo)函數(shù)在該點(diǎn)處的值是3.25，故迭代2的選取再次成功。該算法設(shè)置序列中的第二個(gè)點(diǎn)為

x2=［-0.91.7］

因?yàn)檫x取成功，算法把當(dāng)前網(wǎng)格尺寸乘以2，得到第三次迭代的網(wǎng)格尺寸為4。

(3)第3次迭代

到第三次迭代時(shí)，當(dāng)前點(diǎn)是

x2=［-0.91.7］且網(wǎng)格尺寸為4，所以網(wǎng)格由下列點(diǎn)組成：

4*［10］+x3=［3.11.7］

4*［-10］+x3=［-4.91.7］

4*［01］+x3=［-0.95.7］

4*［0-1］+x3=［-0.9-2.3］

算法選取各網(wǎng)格點(diǎn)，找到其值小于x2處值的第一個(gè)點(diǎn)［-4.91.7］，該點(diǎn)處目標(biāo)函數(shù)的值是-0.2649，故迭代3的選取再次成功。該算法設(shè)置序列中的第三個(gè)點(diǎn)為

x3=［-4.91.7］

因?yàn)檫x取成功，算法把當(dāng)前網(wǎng)格尺寸再乘以2，得到第三次迭代后的網(wǎng)格尺寸為8。

2.不成功選舉

到第四次迭代時(shí)，當(dāng)前點(diǎn)是x3=［-4.91.7］，網(wǎng)格尺寸為8，所以網(wǎng)格由下列點(diǎn)組成：

8*［10］+x3=［3.11.7］

8*［-10］+x3=［-12.91.7］

8*［01］+x3=［-4.99.7］

8*［0-1］+x3=［-4.9-6.3］

圖9.10顯示出各網(wǎng)格點(diǎn)以及它們的目標(biāo)函數(shù)值。圖9.10在x3點(diǎn)與各網(wǎng)格點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值這次迭代，不存在其目標(biāo)函數(shù)值小于x3處值的網(wǎng)格點(diǎn)，故選取不成功。在本例中，算法不改變下次迭代的當(dāng)前點(diǎn)。即

x4=x3

下次迭代時(shí)，算法對(duì)當(dāng)前網(wǎng)格尺寸乘以0.5，這是“Mesh”選項(xiàng)窗格中的“Contractionfactor（收縮因子）”的缺省值。因此，下次迭代的網(wǎng)格尺寸為4。這樣，算法的選舉具有了較小的網(wǎng)格尺寸。

3.顯示每次迭代的結(jié)果

通過設(shè)置在“Displaytocommandwindow（顯示到命令窗口）”選項(xiàng)中的Levelofdisplay（顯示級(jí)別）為“iterative（迭代）”，就可以顯示出每次迭代時(shí)模式搜索的結(jié)果。這使得我們可以評(píng)估模式搜索的進(jìn)展，在必要時(shí)可以改變相關(guān)選項(xiàng)。

有了這樣的設(shè)置，模式搜索在命令行顯示每次迭代的信息。對(duì)于本例，顯示的前幾行如下：

Iterf-countf(x)

MeshSizeMethod

014.634741

144.51464

2SuccessfulPoll

273.254SuccessfulPoll

310-0.2649058SuccessfulPoll

414-0.2649054RefineMesh

在Method（方法）之下顯示的信息“SuccessfulPoll”表明當(dāng)前迭代是成功的。例如，第2次迭代的選舉是成功的。因此，在第2次迭代中計(jì)算出來的那一點(diǎn)的、顯示在f(x)下面的目標(biāo)函數(shù)值，小于在第1次迭代中計(jì)算出來的值。

在第4次迭代中，Method之下的信息“RefineMesh（改善網(wǎng)格）”告訴我們，選舉是不成功的。因此，第4次迭代的函數(shù)值仍然保持第3次迭代的函數(shù)值不變。

注意：模式搜索在每次成功選舉之后使網(wǎng)格尺寸加倍，而在每次不成功的選舉之后使網(wǎng)格尺寸減半。

4.更多的迭代

對(duì)于本例，模式搜索在停止之前執(zhí)行60次迭代。圖9.11顯示出模式搜索的前13次迭代計(jì)算序列中的若干點(diǎn)。

在各個(gè)點(diǎn)下面的數(shù)字表示該算法找到該點(diǎn)時(shí)的迭代次數(shù)。這個(gè)圖只顯示出與成功選舉相對(duì)應(yīng)的迭代次數(shù)，因?yàn)樵谝淮尾怀晒Φ倪x舉之后最佳點(diǎn)不發(fā)生變化。例如，第4次迭代和第5次迭代的最佳點(diǎn)就與第3次迭代的最佳點(diǎn)相同。圖9.11模式搜索在前13次迭代的點(diǎn)

5.模式搜索的停止條件

模式搜索算法運(yùn)行的停止要遵循一定的停止標(biāo)準(zhǔn)。這些標(biāo)準(zhǔn)列寫在模式搜索工具的“Stoppingcriteria（停止標(biāo)準(zhǔn)）”窗格中，如圖9.12所示。

當(dāng)下列任何一個(gè)條件出現(xiàn)時(shí)，模式搜索算法停止：

(1)網(wǎng)格尺寸小于Meshtolerance（網(wǎng)格容限）。

(2)算法執(zhí)行的迭代次數(shù)達(dá)到Maxiterations（最大迭代）規(guī)定的值。

(3)算法完成的目標(biāo)函數(shù)評(píng)估的總次數(shù)達(dá)到Maxfunctionevaluations（最大函數(shù)評(píng)估）規(guī)定的值。

(4)算法運(yùn)行時(shí)間達(dá)到它所完成需要的Timelimit(時(shí)間限制)。圖9.12停止標(biāo)準(zhǔn)窗口

(5)一次成功選舉所找到的點(diǎn)與下一次成功選舉所找到的點(diǎn)之間的距離小于X的容限（Xtolerance）。

(6)從一次成功選舉到下一次成功選舉的目標(biāo)函數(shù)的改變小于Functiontolerance（函數(shù)容限）。

(7)“Bindtolerance（綁定容限）選項(xiàng)，用來識(shí)別有約束問題的現(xiàn)行約束，并不用來作為一種停止標(biāo)準(zhǔn)(MATLAB7.x中)。

（8）Nonlinearconstrainttolerance(非線性約束容限)不是作為停止標(biāo)準(zhǔn)，它是用來判定非線性約束可行性的（MATLAB8.x中）。

9.3使用直接搜索工具

本節(jié)詳細(xì)介紹直接搜索工具及其使用方法，主要包括：瀏覽模式搜索工具、從命令行運(yùn)行直接搜索、模式搜索算法舉例和patternsearch調(diào)用的參數(shù)化函數(shù)。

9.3.1瀏覽模式搜索工具

在這里首先瀏覽一下模式搜索工具的圖形用戶界面(GUI)，內(nèi)容包括：打開模式搜索工具；在模式工具箱中定義問題；運(yùn)行模式搜索；求解有約束條件的問題；暫停和停止算法；圖形顯示；在模式搜索工具中設(shè)置參數(shù)；輸入、輸出參數(shù)和問題；生成一個(gè)M文件。

1.打開模式搜索工具

在MATLAB7.x工作區(qū)輸入：

psearchtool[HT]將打開模式搜索工具，初始界面如圖9.13(a)所示。模式搜索工具的右半部是選項(xiàng)參數(shù)區(qū)，包含各種選項(xiàng)窗格，單擊與之相關(guān)的加號(hào)“+”，可以將其展開，方便地進(jìn)行參數(shù)設(shè)置。其左半部是操作顯示區(qū)，包括各種運(yùn)行參數(shù)的設(shè)置及各種狀態(tài)、結(jié)果的顯示，從上到下依次為：Objectivefunction(目標(biāo)函數(shù))、Startpoint(起始點(diǎn))、Constraints(窗格)、Plots(窗格)、Runsolver(運(yùn)行求解器)、Statusandresults(顯示窗格)、Finalpoint(窗格)，最下面還包含一個(gè)命令按鈕“ExporttoWorkspace”。圖9.13模式搜索工具初啟時(shí)的界面在MATLAB8.x工作區(qū)輸入：

optimtool(′patternsearch′)[HT]將打開模式搜索工具，初始界面如圖9.13(b)所示?；蛘咻斎雘ptimtool，在Solver下拉菜單中選擇patternsearch，打開模式搜索工具，也可以直接從MATLAB的工具條中選擇。模式搜索工具的右半部是擴(kuò)展幫助區(qū)，中間部分是選項(xiàng)參數(shù)區(qū)，包含各種選項(xiàng)窗格，單擊與之相關(guān)的加號(hào)“+”，可以將其展開，方便地進(jìn)行參數(shù)設(shè)置。其左半部是操作顯示區(qū)，包括各種運(yùn)行參數(shù)的設(shè)置及各種狀態(tài)、結(jié)果的顯示，從上到下依次為：Solver(求解器)窗格、Problem(求解問題)窗格、Constraints(約束條件)窗格、Runsolverandviewresults(運(yùn)行求解器并查看結(jié)果)窗格和Finalpoint窗格。

2.在模式工具中定義問題

用模式搜索工具求解問題時(shí)，要在下列區(qū)域中定義要解決的問題：

(1)Objectivefunction——目標(biāo)函數(shù)是最小化問題。在此輸入要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的M文件的函數(shù)句柄。

(2)Startpoint——模式搜索算法的起始點(diǎn)。

在模式搜索工具中定義待求解的問題，亦即設(shè)置目標(biāo)函數(shù)和起始點(diǎn)的情形，如圖9.14所示。圖9.14目標(biāo)函數(shù)、起始點(diǎn)和約束條件輸入窗口注意：在運(yùn)行模式搜索工具時(shí)，不要使用“Editor/Debugger（編輯/調(diào)試）”功能來調(diào)試目標(biāo)函數(shù)的M文件。如果這樣做，在命令窗口會(huì)產(chǎn)生Java的多余信息，并使得調(diào)試更加困難。因而應(yīng)該從命令行直接調(diào)用目標(biāo)函數(shù)，或者把它傳遞patternsearch函數(shù)。為了快速調(diào)試，可以從模式搜索工具把問題輸出到MATLAB工作空間。

對(duì)于有約束條件的問題，要在Constraints窗格中設(shè)置好相應(yīng)的約束條件。在“Constraints”窗格的下列區(qū)域，可以輸入任何約束條件：

(1)Linearinequalities（線性不等式）——在下列文本框中輸入不等式約束條件Ax≤b：

在文本框A=中，輸入矩陣A。

在文本框b=中，輸入矩陣向量b。

(2)Linearequalities（線性等式）——在下列文本框中輸入等式約束條件Aeqx=beq：

在文本框Aeq=中，輸入矩陣Aeq。

在文本框beq=中，輸入矩陣向量beq。

(3)Bounds（邊界）——在下列文本框中輸入邊界約束條件lb≤x，x≤UB：

在文本框Lower=中，輸入向量的下界LB。

在文本框Upper=中，輸入向量的上界UB。

沒有對(duì)應(yīng)約束條件的文本框設(shè)置為空。

3.運(yùn)行模式搜索

運(yùn)行模式搜索的方法在MATLAB7.x和MATLAB8.x中基本相同，在此以MATLAB8.x為例進(jìn)行介紹。

在Runsolverandviewresults(運(yùn)行求解器并查看結(jié)果)”窗格中，單擊“Start”按鈕，運(yùn)行模式搜索。這時(shí)，“Currentiteration（當(dāng)前迭代）”區(qū)域顯示當(dāng)前迭代次數(shù)，“viewresults”區(qū)域顯示信息“Patternsearchrunning（模式搜索運(yùn)行）”。

當(dāng)模式搜索停止時(shí)，“viewresults”區(qū)域顯示：

(1)信息“Patternsearchrunning”。

(2)最終點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值。

(3)模式搜索停止的原因。

(4)最終點(diǎn)的坐標(biāo)。圖9.15模式搜索算法顯示的狀態(tài)與結(jié)果

4.求解有約束條件的問題

1)線性約束問題

在這里，提供一個(gè)模式搜索的例子，是帶有約束條件的求函數(shù)最小值問題。目標(biāo)函數(shù)為式中，約束條件為其中，運(yùn)行模式搜索工具來求解這個(gè)問題，在MATLAB7.x中，輸入:

psearchtool在MATLAB8.x中，則輸入:

optimtool(′patternsearch′)打開模式搜索工具。然后設(shè)置“Objectivefunction”為@lincontest7——在工具箱中包含一個(gè)計(jì)算這個(gè)目標(biāo)函數(shù)值的M文件lincontest7.m。因?yàn)橛镁仃嚭拖蛄慷x起始點(diǎn)和約束條件太大，所以在MATLAB工作空間中分別把它們?cè)O(shè)置為變量，然后在模式搜索工具中輸入這些變量的名稱，這樣做是非常方便的。下面輸入：

x0=［210910］；

Aineq=［-873-490］；

bineq=［7］；

Aeq=［718333；505158；267118；100000］；

beq=［8462651］；

(1)設(shè)置“Startpoint”為x0。

(2)在“Linearinequalities”中設(shè)置：

“A=”為Aineq

“b=”為bineq

“Aeq=”為Aeq

“beq=”為beq在模式搜索工具中設(shè)置的這些參數(shù)如圖9.16所示。圖9.16設(shè)置有約束問題的目標(biāo)函數(shù)、起始點(diǎn)和約束條件圖9.17求解有約束問題的狀態(tài)與結(jié)果

2)非線性約束問題

假設(shè)現(xiàn)在需要求一個(gè)簡(jiǎn)單目標(biāo)函數(shù)的最小值，該函數(shù)含有兩個(gè)變量x1和x2：并且受以下非線性不等式條件和邊界約束：(非線性約束條件)(非線性約束條件)(邊界)(邊界)第一步，從目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)開始計(jì)算。首先，創(chuàng)建名為simple_objective.m的M文件：

functiony=simple_objective(x)

y=(4-2.1*x(1)^2+x(1)^4/3)*x(1)^2+x(1)*x(2)+(-4+4*x(2)^2)*x(2)^2；

模式搜索器假設(shè)目標(biāo)函數(shù)只有一個(gè)輸入x，而x包含的元素個(gè)數(shù)和問題中的變量個(gè)數(shù)一致。目標(biāo)函數(shù)計(jì)算函數(shù)值并返回一個(gè)標(biāo)量值y。然后，創(chuàng)建一個(gè)名為simple_constraint.m的M文件，包含以下約束條件：

function［c，ceq］=simple_constraint(x)

c=［1.5+x(1)*x(2)+x(1)-x(2)；

-x(1)*x(2)+10］；

ceq=［］；

模式搜索器假設(shè)約束函數(shù)只有一個(gè)輸入x，而x包含的元素個(gè)數(shù)和問題中的變量個(gè)數(shù)一致。約束函數(shù)計(jì)算所有等式和不等式約束條件并返回兩個(gè)獨(dú)立的向量c和ceq。

第二步，要使用patternsearch函數(shù)最小化目標(biāo)函數(shù)，需要向目標(biāo)函數(shù)傳遞一個(gè)函數(shù)句柄，同時(shí)選定一個(gè)起始點(diǎn)作為第二個(gè)變量。上下界分別以LB和UB表示。此外，也需要向非線性約束函數(shù)傳遞一個(gè)函數(shù)句柄：ObjectiveFunction=@simple_objective；

x0=［00］；%起始點(diǎn)

lb=［00］；%下界

ub=［113］；%上界

ConstraintFunction=@simple_constraint；

［x，fval］=patternsearch(ObjectiveFunction，x0，［］，［］，［］，［］，...lb，ub，ConstraintFunction)[JP]

Optimizationterminated:meshsizelessthanoptions.TolMesh

andconstraintviolationislessthanoptions.TolCon.

x=

0.812212.3122

fval=

9.1324e+004

第三步，繪制結(jié)果圖像。用psoptimset函數(shù)調(diào)用兩個(gè)繪圖函數(shù)創(chuàng)建一個(gè)參數(shù)結(jié)構(gòu)體（optionsstructure）。第一個(gè)繪圖函數(shù)psplotbestf繪制每次迭代得到的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。第二個(gè)繪圖函數(shù)psplotmaxconstr繪制每次迭代的最大約束容忍度。

注意：也可以通過“Display”選項(xiàng)將算法的演化過程展現(xiàn)在“CommandWindow”窗格中。

options=psoptimset(′PlotFcns′，{@psplotbestf，@psplotmaxconstr}，′Display′，′iter′)

［x，fval］=patternsearch(ObjectiveFunction，x0，［］，［］，［］，［］，lb，ub，ConstraintFunction，options)

options=psoptimset('PlotFcns',{@psplotbestf,@psplotmaxconstr},'Display','iter');

[x,fval]=patternsearch(ObjectiveFunction,X0,[],[],[],[],LB,UB,ConstraintFunction,options)

Iterf-countf(x)maxconstraintMeshSizeMethod

010100.8919

12811358000.001Increasepenalty

2105913241.782e-0071e-005Increasepenalty

3192913241.188e-0111e-007Increasepenalty

Optimizationterminated:meshsizelessthanoptions.TolMesh

andconstraintviolationislessthanoptions.TolCon.

x=

0.812212.3122

fval=

9.1324e+004圖9.18每次迭代的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值和約束條件最大容忍度

5.暫停和停止算法

當(dāng)模式搜索正在運(yùn)行時(shí)，可以

(1)單擊“Pause（暫停）”按鈕暫停運(yùn)行，這時(shí)按鈕的名稱更改為“Resume（恢復(fù)）”，再單擊“Resume”，即從暫停處繼續(xù)運(yùn)行。

(2)單擊“Stop（停止）”按鈕停止運(yùn)行。單擊“Stop”按鈕時(shí)，“Runsolverandviewresults”窗口顯示當(dāng)前點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值。

6.圖形顯示

在“Plotsfunctions（繪圖）”窗格（參見圖9.19）中，通過選擇來控制顯示模式搜索運(yùn)行結(jié)果的圖形。在MATLAB7.x版本中為Plots（窗格）。

選擇需要顯示圖形的復(fù)選框，例如，可以選擇“Bestfunctionvalue（最佳函數(shù)值）”和“Meshsize（網(wǎng)格尺寸）”。運(yùn)行前面敘述的目標(biāo)函數(shù)ps_example，所顯示的圖形如圖9.20所示。圖9.19繪圖窗格圖9.20目標(biāo)函數(shù)ps_example模式搜索結(jié)果

7.在模式搜索工具中設(shè)置參數(shù)

設(shè)置模式搜索工具使用時(shí)的選項(xiàng)參數(shù)有兩種方法：一種是在模式搜索工具GUI的“Options（選項(xiàng)）”窗格中直接進(jìn)行設(shè)置，另一種是在MATLAB工作空間中通過命令行方式進(jìn)行設(shè)置。

在“Options”窗格中設(shè)置模式搜索的各種運(yùn)行參數(shù)，如圖9.21所示。每一類參數(shù)對(duì)應(yīng)有一個(gè)窗格，單擊該類參數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)窗格展開。例如，單擊“Poll”參數(shù)選項(xiàng)，表決窗格展開，可以逐一設(shè)置其中的參數(shù)項(xiàng)，如Pollmethod、是否Completepoll、Pollingorder（表決次序）等。圖9.21模式搜索選項(xiàng)參數(shù)此外，其他選項(xiàng)參數(shù)類還有：Search（搜索）、Mesh、Cache（緩存）、Stoppingcriteria（停止標(biāo)準(zhǔn)）、Output（輸出）、Displaytocommandwindow（顯示到命令窗口）、Vectorize（向量化）等。這些選項(xiàng)參數(shù)類各自對(duì)應(yīng)一個(gè)參數(shù)窗格，單擊后相應(yīng)窗格隨即展開，可以進(jìn)行參數(shù)項(xiàng)的設(shè)置。

所有變量參數(shù)的含義及詳細(xì)描述，可參見9.4.1節(jié)“模式搜索參數(shù)”。

我們可以在MATLAB工作空間把參數(shù)設(shè)置為變量。可以通過在相應(yīng)的編輯框復(fù)制參數(shù)的值，或者通過在包含參數(shù)值的MATLAB工作空間，輸入變量的名稱，直接設(shè)置多個(gè)變量。在MATLAB工作空間，定義大矩陣或向量值作為變量，是非常方便的。

8.輸入、輸出參數(shù)和問題結(jié)構(gòu)

參數(shù)和問題結(jié)構(gòu)可以從模式搜索工具中輸出到MATLAB工作空間，并且此后在工具箱的工作期間可以把它們導(dǎo)入進(jìn)來。這樣，就為模式搜索工具在以后活動(dòng)期間保存自己所做的工作提供了一個(gè)簡(jiǎn)單途徑。下面描述如何輸入、輸出參數(shù)和問題結(jié)構(gòu)。

1)輸出參數(shù)、問題和結(jié)果

使用模式搜索工具求解一個(gè)問題時(shí)，可以輸出下列信息到MATLAB工作空間：

（1）問題定義，包括：目標(biāo)函數(shù)；起始點(diǎn)；問題的約束條件。

（2）當(dāng)前的選項(xiàng)參數(shù)。

（3）算法運(yùn)行的結(jié)果。圖9.22輸出到工作空間對(duì)話框?qū)υ捒蛱峁┫铝羞x項(xiàng)：

(1)在MATLAB結(jié)構(gòu)中保存目標(biāo)函數(shù)和參數(shù)。選擇“ExportproblemandoptionstoaMATLABstructurenamed（輸出問題與參數(shù)到已命名的MATLAB結(jié)構(gòu)）”，可以在MATLAB結(jié)構(gòu)中保存目標(biāo)函數(shù)和參數(shù)，這時(shí)，需要在右面的文本框中輸入一個(gè)MATLAB結(jié)構(gòu)的名字。如果需要在當(dāng)前任務(wù)活動(dòng)期間運(yùn)行模式搜索，可選擇“Includeinformationneededtoresumethisrun（包括所需要的信息以重新開始本次運(yùn)行）”，這樣，最近一次搜索的最終點(diǎn)將保存在“Startpoint”的位置。如果隨后想以最近一次搜索的最終點(diǎn)來運(yùn)行模式搜索，可使用這個(gè)參數(shù)。

(2)在MATLAB結(jié)構(gòu)中保存參數(shù)。選擇“ExportoptionstoaMATLABstructurenamed”，可以在MATLAB結(jié)構(gòu)中保存參數(shù)。這時(shí)，在這個(gè)選項(xiàng)后面的文本框中，輸入該參數(shù)結(jié)構(gòu)的名字。

(3)在MATLAB結(jié)構(gòu)中保存算法的最后運(yùn)行結(jié)果。選擇“ExportresultstoaMATLABstructurenamed”，可以在MATLAB結(jié)構(gòu)中保存算法的最后運(yùn)行結(jié)果。這時(shí)，在這個(gè)選項(xiàng)后面的文本框中，輸入這個(gè)結(jié)果結(jié)構(gòu)的名稱。

2)運(yùn)行模式搜索求解輸出問題

輸出問題的描述可參見前面求解有約束條件的問題的例子（參見9.3.1節(jié)）。對(duì)于這個(gè)例子，可在命令行調(diào)用patternsearch函數(shù)，運(yùn)行模式搜索。其具體步驟為

（1）打開“ExporttoWorkspace”對(duì)話框。

（2）在“ExporttoWorkspace”對(duì)話框的“ExportproblemandoptionstoaMATLABstructurenamed”右面的文本框中，輸入問題結(jié)構(gòu)的名字，例如my_psproblem。（3）用my_psproblem調(diào)用patternsearch函數(shù)：

［xfval］=patternsearch(my_psproblem)[HT]結(jié)果為

x=

1.0010-2.30279.5131-0.0474-0.19771.3083

fval=

2.1890e+003

3)輸入?yún)?shù)

為了在MATLAB工作空間為模式搜索輸入?yún)?shù)結(jié)構(gòu)，可以從“File”菜單中選擇“ImportOptions（輸入?yún)?shù)）”。打開一個(gè)對(duì)話框，在MATLAB工作空間，顯示一系列有效的模式搜索的參數(shù)結(jié)構(gòu)。當(dāng)選擇參數(shù)結(jié)構(gòu)，并單擊“Import”按鈕時(shí)，模式搜索工具重新設(shè)置它的參數(shù)為所輸入結(jié)構(gòu)的值。

注意：不能在包含任何無效參數(shù)區(qū)域輸入?yún)?shù)結(jié)構(gòu)。無效區(qū)域結(jié)構(gòu)在“ImportPatternSearchOptions（輸入模式搜索參數(shù)）”對(duì)話框中不顯示。創(chuàng)建參數(shù)結(jié)構(gòu)有兩種方法：

（1）用options調(diào)用psoptimset，作為輸出。

（2）在模式搜索工具中，從“ExporttoWorkspace”對(duì)話框保存當(dāng)前參數(shù)。

4)輸入問題

為了輸入以前從模式搜索工具中輸出的問題，可以從“File”菜單中選擇“ImportProblem”菜單項(xiàng)。打開一個(gè)對(duì)話框，在MATLAB工作空間，顯示一系列有效的模式搜索問題結(jié)構(gòu)。當(dāng)選擇了一個(gè)問題結(jié)構(gòu)并單擊“OK”按鈕時(shí)，模式搜索工具在輸入結(jié)構(gòu)內(nèi)重新設(shè)置問題的定義和參數(shù)值。另外，當(dāng)創(chuàng)建問題結(jié)構(gòu)時(shí)，選擇“Includeinformationneededtoresumethisrun（包括所需要的信息以重新開始本次運(yùn)行）”，則工具箱把最后一次運(yùn)行的最終點(diǎn)設(shè)置為下一次運(yùn)行的“Startpoint”，它比輸出結(jié)構(gòu)優(yōu)先。

9.生成一個(gè)M文件

為了生成一個(gè)運(yùn)行模式搜索的M文件，可以從“File”菜單中選擇“GenerateM[CD*2]File（生成M文件）”菜單項(xiàng)來進(jìn)行，生成的M文件可保存在MATLAB路徑的目錄中。這個(gè)M文件使用在模式搜索工具中指定的目標(biāo)函數(shù)和參數(shù)。在命令行調(diào)用這個(gè)M文件時(shí)，所返回的結(jié)果，與生成M文件時(shí)模式搜索工具在同一位置使用目標(biāo)函數(shù)和參數(shù)設(shè)置所返回的結(jié)果相同。9.3.2從命令行運(yùn)行模式搜索

使用模式搜索工具的另一個(gè)途徑是，在命令行調(diào)用patternsearch函數(shù)。本節(jié)詳細(xì)敘述這種使用方法，內(nèi)容包括：使用缺省參數(shù)值調(diào)用patternsearch函數(shù)；在命令行設(shè)置patternsearch的參數(shù)；從模式搜索工具中使用參數(shù)和問題。

1.使用缺省參數(shù)值調(diào)用patternsearch函數(shù)

這里描述如何使用缺省參數(shù)來運(yùn)行模式搜索。

1)無約束條件問題的模式搜索

對(duì)于無約束條件問題，用下面語句調(diào)用patternsearch函數(shù):

［xfval］=patternsearch(@objectfun，x0)其中，輸出變量：

x——最終點(diǎn)。

fval——目標(biāo)函數(shù)在x點(diǎn)的值。

需要輸入的變量：

@objectfun——標(biāo)函數(shù)objectfun的句柄，可以寫成一個(gè)M文件。參見8.1.2節(jié)“編寫待優(yōu)化函數(shù)的M文件”。

x0——模式搜索算法的起始點(diǎn)。對(duì)于前面描述的例子，即目標(biāo)函數(shù)為ps_example，在這里，要從命令行運(yùn)行模式搜索，可輸入：

［xfval］=patternsearch(@ps_example，［2.11.7］)運(yùn)行結(jié)果為

Optimizationterminated:meshsizelessthanoptions.TolMesh′.

x=

-4.7124-0.0000

fval=

-2.0000

2)有約束條件問題的模式搜索

如果問題帶有約束條件，則應(yīng)使用語句：

［xfval］=patternsearch(@objfun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub)其中，

A和b分別為代表不等式約束條件的矩陣和向量A·x≤b。

Aeq和beq分別為代表等式約束條件的矩陣和向量Aeq·x=beq。

lb和ub代表向量的邊界lb≤x，x≤ub。

在MATLAB8.x中，patternsearch函數(shù)多了一個(gè)輸入變量nonlcon，即

［xfval］=patternsearch(@objfun，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon)

nonlcon是一個(gè)函數(shù)，分別返回非線性等式向量c和非線性不等式向量ceq。通過令c(x)≤0且ceq(x)=0，使這個(gè)函數(shù)最小化。在這里，只需要輸入問題的約束條件部分。例如，如果沒有邊界約束條件，則使用下面的語句：

［xfval］=patternsearch(@objfun，x0，A，b，Aeq，beq)

對(duì)于沒有約束條件的輸入?yún)?shù)值，使用空的中括號(hào)‘［］’。例如，如果沒有不等式約束條件或者非線性約束函數(shù)，就使用下面語句:

［xfval］=patternsearch(@objfun，x0，［］，［］，Aeq，beq，lb，ub)

3)增加輸出參數(shù)

若要得到更多關(guān)于模式搜索運(yùn)行的性能信息，可以使用下面語句調(diào)用patternsearch函數(shù)：

［xfvalexitflagoutput］=patternsearch(@objfun，x0)除了x和fval外，還返回下面的輸出參數(shù)：

exitflag：整數(shù)，表示算法是否成功。

output：結(jié)構(gòu)，包含關(guān)于求解器的性能的信息。

2.在命令行設(shè)置模式搜索參數(shù)

通過將options結(jié)構(gòu)作為模式搜索函數(shù)patternsearch的輸入?yún)?shù)結(jié)構(gòu)，可以設(shè)置模式搜索工具中任何有效的參數(shù)值。MATLAB7.x中使用的語句為

［xfval］=patternsearch(@fitnessfun，nvars，A，b，Aeq，beq，lb，ub，options)

而MATLAB8.x中使用的語句為

［xfval］=patternsearch(@fitnessfun，nvars，…，A，b，Aeq，beq，lb，ub，nonlcon，options)

如果問題是無約束條件的，在約束條件輸入時(shí)必須使用空括號(hào)，這里MATLAB7.x和MATLAB8.x的方式是一致的。例如，使用語句：如果問題是無約束條件的，在約束條件輸入時(shí)必須使用空括號(hào)，這里MATLAB7.x和MATLAB8.x的方式是一致的。例如，使用語句：

［xfval］=patternsearch(@fitnessfun，nvars，［］，［］，［］，［］，［］，［］，options)

還可以使用psoptimset函數(shù)生成options結(jié)構(gòu)。例如，MATLAB7.x中使用語句：

options=psoptimset返回一個(gè)帶缺省值的options參數(shù)結(jié)構(gòu)：

options=

TolMesh:1.0000e－006

TolX:1.0000e－006

TolFun:1.0000e－006

TolBind:1.0000e－003

MaxIteration:′100*numberofvariables′

MaxFunEvals:′2000*numberofvariables′

MeshContraction:0.5000

MeshExpansion:2

MeshAccelerator:′off′

MeshRotate:′on′

InitialMeshSize:1

ScaleMesh:′on′

MaxMeshSize:Inf

PollMethod:′positivebasis2n′

CompletePoll:′off′

PollingOrder:′consecutive′

SearchMethod:［］

CompleteSearch:′off′

Display:′final′

OutputFcns:［］

PlotFcns:［］

PlotInterval:1

Cache:′off′

CacheSize:10000

CacheTol:2.2204e－016

Vectorized:′off′在MATLAB8.x中使用語句：

options=psoptimset(@patternsearch)其返回值比MATLAB7.x多了以下4項(xiàng)：

TolCon:1.0000e－006

InitialPenalty:10

PenaltyFactor:100

UseParallel:′never′

如果沒有輸入options，則函數(shù)patternsearch使用缺省值。每一個(gè)參數(shù)值保存在options結(jié)構(gòu)成員中，例如options.MeshExpansion，即通過在options后面輸入成員的名字，可以顯示任何參數(shù)值。例如，如果要顯示模式搜索網(wǎng)格擴(kuò)展因子，可輸入：

options.MeshExpansion

ans=

2如果要生成與缺省值不同的options結(jié)構(gòu)，可以使用函數(shù)psoptimset來完成。例如，為了改變網(wǎng)格擴(kuò)展因子的值為3來代替其缺省值2，可輸入：

options=psoptimset(′MeshExpansion′，3)這時(shí)生成的options結(jié)構(gòu)，除了MeshExpansion值為3外，其他參數(shù)值都為缺省值。

如果現(xiàn)在調(diào)用輸入?yún)?shù)為options的patternsearch，則模式搜索使用的網(wǎng)格擴(kuò)展因子為3。如果再?zèng)Q定改變options結(jié)構(gòu)的另一個(gè)成員的值，例如，要設(shè)置PlotFcns為@psplotmeshsize，它是在每一次迭代中畫出網(wǎng)格尺寸的繪圖函數(shù)，則可以使用下面的語句來調(diào)用psoptimset函數(shù)：

options=psoptimset(options，′PlotFcns′，@psplotmeshsize)結(jié)果保存options結(jié)構(gòu)的所有成員的當(dāng)前值，而PlotFcns則被改變?yōu)锧plotmeshsize。

注意：如果省略options作為輸入?yún)?shù)，則psoptimset重新設(shè)置MeshExpansion為它的缺省值2.0。

也可以用一個(gè)命令同時(shí)設(shè)置MeshExpansion和PlotFcns值：

options=psoptimset(′MeshExpansion′，3，′PlotFcns′，@plotmeshsize)

3.從模式搜索工具中使用參數(shù)和問題

使用psoptimset來生成一個(gè)參數(shù)結(jié)構(gòu)，可以在模式搜索工具中設(shè)置參數(shù)的值，并在MATLAB工作空間輸出這些參數(shù)值。其詳細(xì)描述可參見前面的9.3.1節(jié)中的“輸入、輸出參數(shù)、問題和結(jié)果”。如果在模式搜索工具中輸出缺省參數(shù)，則options結(jié)構(gòu)的參數(shù)設(shè)置與由下面命令得到的參數(shù)設(shè)置相同：

options=psoptimset

但是，′Display′的缺省值被改變了：當(dāng)由psoptimset函數(shù)生成時(shí)′Display′為′final′；而在模式搜索工具中生成時(shí)′Display′為′none′。

也可以從模式搜索工具輸出整個(gè)問題，并且可以從命令行運(yùn)行它。9.3.3模式搜索算法舉例

本節(jié)通過實(shí)例說明如何運(yùn)用模式搜索算法來求解問題，如何設(shè)置模式搜索的參數(shù)等。

1.表決方法

在每一次迭代時(shí)，模式搜索在當(dāng)前網(wǎng)格中畫出這些點(diǎn)，就是說，它計(jì)算目標(biāo)函數(shù)在這些網(wǎng)格點(diǎn)的值，看哪些點(diǎn)的函數(shù)值比當(dāng)前點(diǎn)的函數(shù)值小。在前面介紹的內(nèi)容中，已經(jīng)多次涉及模式搜索的工作過程，也列舉了選舉過程的例子。在模式搜索中，所定義的網(wǎng)格可以通過“Pollmethod（選舉方法）”參數(shù)來指定，下面敘述其基本原理。缺省的模式“PositiveBasis（正基數(shù)）2N”由2N個(gè)向量組成，這里的N是目標(biāo)函數(shù)中獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)。這2N個(gè)向量為

［100…0］

［010…0］

…

［000…1］

［-100…0］

［0-10…0］

…

［000…-1］

例如，目標(biāo)函數(shù)有三個(gè)獨(dú)立變量，則模式由以下6個(gè)向量組成：

［100］

［010］

［001］

［-100］

［0-10］

［00-1］另外，如果設(shè)置“Pollmethod”為“PositiveBasisNP1”，則模式由下列N+1個(gè)向量組成：

［100…0］

［010…0］

…

［000…1］

［-1-1-1…-1］例如，如果目標(biāo)函數(shù)有3個(gè)獨(dú)立變量，則模式由下列4個(gè)向量組成：

［100］

［010］

［001］

［-1-1-1］模式搜索有時(shí)使用“PositiveBasisNP1”作為選舉方法運(yùn)行速度快，因?yàn)樗惴ㄔ诿恳坏兴阉鞯狞c(diǎn)較少。例如：運(yùn)行模式搜索來求解前面描述的有約束問題時(shí)，算法使用缺省選舉方法“PositiveBasis2N”將執(zhí)行2080次函數(shù)估計(jì)，但使用正基數(shù)NP1將只執(zhí)行1413次函數(shù)估計(jì)。

然而，如果目標(biāo)函數(shù)有許多局部最小值，使用“PositiveBasis2N”作為檢測(cè)方法有可能避免找到的是局部最小值即非全局最小值，因?yàn)檫@個(gè)搜索的每一迭代在當(dāng)前點(diǎn)周圍搜索了更多的點(diǎn)。

2.完全表決

按照缺省設(shè)置，模式搜索找到一個(gè)改進(jìn)目標(biāo)函數(shù)值的網(wǎng)格點(diǎn)時(shí)，算法就停止檢測(cè)，并設(shè)置這個(gè)點(diǎn)作為下一次迭代的當(dāng)前點(diǎn)。當(dāng)這種情況發(fā)生時(shí)，許多網(wǎng)格點(diǎn)并沒有得到檢測(cè)，這些沒有被檢測(cè)的點(diǎn)中的一些點(diǎn)可能具有比模式搜索最先找到的那個(gè)點(diǎn)更小的目標(biāo)函數(shù)值。

對(duì)于一些有局部最小值的問題，有時(shí)執(zhí)行的是使模式搜索在每一次迭代中檢測(cè)所有網(wǎng)格點(diǎn)，挑選一個(gè)具有最佳目標(biāo)函數(shù)值的點(diǎn)，這就使得模式搜索在每一次迭代中需要搜索更多的點(diǎn)，以避免潛在的局部最小值而非全局最小值的問題。要使模式搜索檢測(cè)整個(gè)網(wǎng)格，則需在Poll參數(shù)中設(shè)置“Completepoll”為on。

下面舉例說明在模式搜索中如何使用完全表決。本例使用的目標(biāo)函數(shù)如下：圖9.23顯示了這個(gè)函數(shù)的圖形。圖9.23目標(biāo)函數(shù)圖形函數(shù)的全局最小值在（0，0），其值是-25。然而，函數(shù)在（0，9）處有一局部最小值-16。

建立一個(gè)M文件來計(jì)算這個(gè)函數(shù)，復(fù)制和粘貼下列代碼到MATLAB編輯器中的新M文件中：

functionz=poll_example(x)

ifx(1)^2+x(2)^2<=25

z=x(1)^2+x(2)^2-25；

elseifx(1)^2+(x(2)-9)^2<=16

z=x(1)^2+(x(2)-9)^2-16；

else

z=0；

end

保存該M文件在MATLAB指定的一目錄中，文件名為poll_example.m。

為了對(duì)函數(shù)運(yùn)行模式搜索，在模式搜索工具中輸入以下內(nèi)容：

(1)設(shè)置“Solver”為patternsearch。（此項(xiàng)只在MATLAB8.x中設(shè)置）

(2)設(shè)置“Objectivefunction”為@poll_example。

(3)設(shè)置“Startpoint”為［0，5］。

(4)在“Displaytocommandwindow（顯示到命令窗口）”參數(shù)中設(shè)置“Levelofdisplay（顯示級(jí)別）”為Iterative。使用“Completepoll”的缺省值off，單擊“Start”按鈕運(yùn)行模式搜索，模式搜索工具在“Runsolverandviewresults”窗口中顯示狀態(tài)與結(jié)果信息，如圖9.24所示。

從運(yùn)行結(jié)果可以看出，模式搜索返回了在點(diǎn)（0，9）的局部最小值。

在起始點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)值是0，在第一次迭代中，算法檢測(cè)如下網(wǎng)格點(diǎn)：

f((0，5)+(1，0))=f(1，5)=0

f((0，5)+(0，1))=f(0，6)=-7圖9.24完全表決為off時(shí)函數(shù)poll_example的狀態(tài)與結(jié)果一旦算法檢測(cè)網(wǎng)格點(diǎn)（0，6），這點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值比起始點(diǎn)的值要小，就會(huì)立即停止當(dāng)前網(wǎng)格的檢測(cè)，并設(shè)置下一代的當(dāng)前網(wǎng)格點(diǎn)為（0，6）。在第一次迭代時(shí)，這個(gè)搜索朝局部最小點(diǎn)（0，9）移動(dòng)。在命令行顯示的頭兩行可看到如下內(nèi)容：

Iterf-countMeshSize

f(x)

Method

0

1

1

0

Startiterations

1

3

2

-7SuccessfulPoll

注意：模式搜索在第一次迭代中只執(zhí)行了兩次目標(biāo)函數(shù)計(jì)算，增加總的函數(shù)計(jì)數(shù)從1到3。設(shè)置“Completepoll”為on，并單擊“Start”按鈕，將在“Runsolverandviewresults”窗口中顯示的結(jié)果，如圖9.25所示。圖9.25完全表決為on時(shí)函數(shù)poll_example的狀態(tài)與結(jié)果這時(shí)，模式搜索找到全局最小值在（0，0）處。這一次和前一次不同的是“Completepoll”設(shè)置為on，模式搜索在第一次迭代中檢測(cè)了所有4個(gè)網(wǎng)格點(diǎn):

f((0，5)+(1，0))=f(1，5)=0

f((0，5)+(0，1))=f(0，6)=-7

f((0，5)+(-1，0))=f(-1，5)=0

f((0，5)+(0，-1))=f(0，4)=-9由于最后一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)具有最小目標(biāo)函數(shù)值，模式搜索選擇它作為下一次迭代的當(dāng)前點(diǎn)。在命令行顯示的頭兩行可看到如下內(nèi)容：

Iter

f-count

MeshSize

f(x)

Method

0

1

1

0

Startiterations

1

5

2

-9

SuccessfulPoll

在這種情況下，目標(biāo)函數(shù)在第一次迭代中被計(jì)算了4次。結(jié)果，模式搜索朝全局最小點(diǎn)（0，0）移動(dòng)。圖9.26完全表決為on和off時(shí)返回的點(diǎn)序列比較

3.不同表決方法效率比較

這個(gè)例子展示了在迭代和函數(shù)的全局進(jìn)化過程中幾個(gè)不同的表決參數(shù)是如何相互影響的。主要結(jié)果如下：

對(duì)于線性約束問題，GSS比GPS或MADS更有效。

盡管將CompletePoll設(shè)置為on影響了迭代次數(shù)，但它是增加還是降低了效率，還并不明確。

同樣的，2N表決法和Np1表決法哪個(gè)更有效也是不明確的。但是，最有效的表決方法是GSS

PositivebasisNp1，并且將Completepoll設(shè)置為on。效率最低的方法是MADSPositive

basisNp1，并且將Completepoll設(shè)置為on。

1)問題設(shè)置（ProblemSetup）

這里所指的線性約束問題與9.3.3節(jié)“模式搜索算法舉例（PerformingaPatternSearchontheExample）”中的問題是相同的。這個(gè)線性約束問題使用的是工具箱中自帶的lincontest7文件。

(1)在MATLAB工作區(qū)中鍵入以下內(nèi)容：

x0=［210910］；

Aineq=［-873-490］；

bineq=7；

Aeq=［718333；50-51-58；-2-67119；1-12-23-3］；

beq=［8462651］；

(2)通過命令行輸入optimtool打開模式搜索工具。

(3)選擇patternsearch求解器。

(4)以圖9.27所示的方式輸入問題和約束條件。圖9.27問題和約束條件設(shè)置(5)確定表決方法是GPSPositivebasis2N，如圖9.28所示。圖9.28表決方法設(shè)置

2)產(chǎn)生結(jié)果（GeneratetheResults）

產(chǎn)生的結(jié)果如下：

(1)運(yùn)行搜索如圖9.29所示。圖9.29運(yùn)行搜索

(2)選擇File菜單中的ExporttoWorkspace選項(xiàng)。

(3)將結(jié)果以名為gps2noffde的結(jié)構(gòu)體輸出，如圖9.30所示。圖9.30輸出結(jié)果

(4)將“Options”菜單的“Poll”窗格中的“Completepoll”設(shè)置為on，如圖9.31所示。圖9.31設(shè)置完全表決方法

(5)運(yùn)行搜索。

(6)將結(jié)果以名為gps2non的結(jié)構(gòu)體輸出。

(7)將Options→Poll→PollMethod設(shè)置為GPSPositivebasisNp1，Completepoll設(shè)置為off。

(8)運(yùn)行搜索。

(9)將結(jié)果以名為gpsnp1off的結(jié)構(gòu)體輸出。

(10)將Completepoll設(shè)置為on。

(11)運(yùn)行搜索。

(12)將結(jié)果以名為gpsnp1on的結(jié)構(gòu)體輸出。

(13)按同樣的方法，分別將Completepoll設(shè)置為on和off，為其他表決方法建立結(jié)果結(jié)構(gòu)體：gss2noff，gss2non，gssnp1off，gssnp1on，mads2noff，mads2non，madsnp1off和madsnp1on。

3)檢查結(jié)果（ExaminetheResults）

現(xiàn)在有12次優(yōu)化運(yùn)行的結(jié)果。表9.1通過全部函數(shù)計(jì)數(shù)和迭代次數(shù)來度量各次運(yùn)行的效