《畫法幾何與機(jī)械制圖》課件第3章

第3章投影變換3.1換面法的基本概念

3.2點(diǎn)的投影變換

3.3直線的投影變換

3.4平面的投影變換

3.5換面法的應(yīng)用舉例

3.1換面法的基本概念

圖3-1所示為一三角形鉛垂面，在V面和H面投影體系(以后簡(jiǎn)稱為V/H體系)中的兩個(gè)投影都不顯示實(shí)形。為使新投影顯示實(shí)形，取一平行于三角形平面且垂直于H面的新投影面V1，組成新投影體系V1/H，V1與H面的交線成為新投影軸，三角形在V1面上的投影就顯示三角形的實(shí)形。再以新投影軸為軸，使新投影面V1旋轉(zhuǎn)至與H面重合，就得到了V1/H體系中的投影圖。圖3-1V/H體系變?yōu)閂1/H體系由此可知，新投影面的選擇必須符合下面兩個(gè)基本條件：

(1)新投影面必須和空間幾何元素處于有利于解題的位置；

(2)新投影面必須垂直于原投影面中的一個(gè)投影面。

前一條件是解題需要，后一條件是唯有這樣才能應(yīng)用兩投影面體系中的投影規(guī)律。

3.2點(diǎn)的投影變換

點(diǎn)是一切幾何形體的基本元素，因此必須首先掌握點(diǎn)的投影變換規(guī)律。

3.2.1點(diǎn)的一次變換

現(xiàn)在研究以新投影面V1更換正立投影面V時(shí)，點(diǎn)的投影變換規(guī)律。

如圖3-2(a)所示，點(diǎn)A在V/H體系中，正面投影為a′，水平投影為a。現(xiàn)令H面保持不動(dòng)，用V1面代替V面(V1⊥H)，形成新投影體系V1/H，V1面與H面的交線稱為新投影軸，以X1表示。由于H面為不變投影面，因此A點(diǎn)的水平投影a的位置不變，稱為不變投影。圖3-2點(diǎn)的一次變換(更換V面)根據(jù)正投影原理，過點(diǎn)A向V1面作垂線，得到了A點(diǎn)在新投影體系中的投影a1′，a1′?稱為新投影，則a和a1′代替了原兩面投影體系中的投影a和a′，然后將新投影面繞新投影軸X1按箭頭方向旋轉(zhuǎn)至與H面為同一平面，這樣就得到了點(diǎn)A在新投影體系中的投影圖(圖3-2(b))。由點(diǎn)的投影規(guī)律可知，aa1′必定垂直于X1軸。這和aa′⊥X軸的性質(zhì)是一樣的。

由于新、舊投影體系具有公共的水平面H，因此點(diǎn)A到H面的距離不變，即a′aX＝Aa＝a1′aX1。根據(jù)以上分析，得出點(diǎn)的投影變換規(guī)律:

(1)點(diǎn)的新投影和不變投影的連線，必垂直于新投影軸;

(2)點(diǎn)的新投影到新投影軸的距離等于被更換掉的舊投影到舊投影軸的距離。

圖3-2(b)表示按上述規(guī)律，由V/H體系的投影求V1/H體系的投影的作圖。

具體作圖步驟如下：

(1)按有利于解題的要求在適當(dāng)位置畫出新投影軸X1，則確定了新投影面在投影圖上的位置。

(2)過a作aa1′⊥X1，并與X1交于aX1。

(3)在aa1′上截取a1′aX1＝a′aX?。

則a1′?即為所求的新投影。

圖3-3表示更換H面，由點(diǎn)A在V/H體系中的投影(a′，a)，求其在新體系V/H1中的投影(a′，a1)的作圖過程。圖3-3點(diǎn)的一次變換(更換H面)3.2.2點(diǎn)的二次變換

在用換面法解決實(shí)際問題時(shí)，更換一次投影面有時(shí)不足以解決問題，而必須更換兩次或多次，稱為二次變換或多次變換。由于新投影面的選擇必須符合前述的兩個(gè)基本條件，因此二次變換或多次變換需遵循下列原則：

(1)一次只能更換一個(gè)投影面，新投影面必須與不變投影面垂直，使之構(gòu)成一個(gè)新的投影面體系。

(2)換面要交替進(jìn)行，即如果第一次以V1代替V，則第二次必須以H2代替H。

(3)每一次變換后構(gòu)成的新投影體系,是在前一次的兩面體系的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此在由V1/H→V1/H2的變換過程中，V1/H2是新投影體系，其交線X2是新投影軸，而V1/H便成了舊投影體系，X1軸便成了舊投影軸。點(diǎn)在H2面上的投影是新投影，在V1面上的投影便成了不變投影，而在H面上的投影則是被更換掉的舊投影。

點(diǎn)在一次變換時(shí)所得出的作圖規(guī)律也適用于二次變換或多次變換。圖3-4為由V/H體系經(jīng)過V1/H體系而變換成V1/H2體系的立體圖和投影圖，當(dāng)然變換次序也可以是V/H→V/H1→V2/H1。圖3-4點(diǎn)的二次變換 3.3直線的投影變換

直線是由兩點(diǎn)所決定的，因此當(dāng)直線進(jìn)行變換時(shí)，只要把直線上的任意兩點(diǎn)的投影加以變換，即可求得直線的新投影。

3.3.1直線的一次變換

1．將一般位置直線變?yōu)橥队懊娴钠叫芯€

在圖3-5(a)中，線段AB在V/H體系中為一般位置，若求AB的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)H面的傾角α，則可用一個(gè)平行于AB且垂直于H面的V1面來(lái)代替V面，此時(shí)AB在V1/H體系中成為V1面的平行線，它在V1面上的投影a1′b1′反映AB的實(shí)長(zhǎng)，a1′b1′與X1軸的夾角即為AB對(duì)H面的傾角α。圖3-5一般位置直線變換為投影面平行線(求實(shí)長(zhǎng)和傾角α)圖3-5(b)表示投影圖作法，具體步驟如下：

(1)作X1軸∥ab，X1與ab的距離可任取。

(2)根據(jù)點(diǎn)的投影變換規(guī)律，作出A、B兩點(diǎn)的新投影a1′、b1′。

(3)連a1′、b1′即得a1′b1′，它反映AB的實(shí)長(zhǎng)，與X1軸的夾角反映AB對(duì)H面的傾角α。

若求AB的實(shí)長(zhǎng)及其對(duì)V面的傾角β，則應(yīng)更換H面，將AB變?yōu)镠1面的平行線。圖3-6表示其投影圖作法。

由上述可知，若求線段實(shí)長(zhǎng)，則變換V面或H面均可；若求線段對(duì)某一投影面的傾角，則必須使該投影面為不變投影面，而更換另一個(gè)投影面。圖3-6一般位置直線變換為投影面平行線(求實(shí)長(zhǎng)和傾角β)

2．將投影面平行線變換為投影面垂直線

將投影面平行線變換為投影面垂直線，其目的是使線段的投影具有積聚性，以便于求解某些度量問題。

在圖3-7(a)中，AB在V/H體系中為一正平線，用一垂直于AB的H1面(它必然垂直于V面)來(lái)替換H面，則AB在V/H1體系中就成為新投影面H1的垂直線，它在H1面上的投影a1b1積聚為一點(diǎn)。圖3-7(b)表示其投影圖作法，具體步驟如下：

(1)作新軸X1，使X1⊥a′b′。

(2)根據(jù)點(diǎn)的投影變換規(guī)律，求出AB在H1面上的投影a1b1，則a1b1積聚為一點(diǎn)。圖3-7將投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€3.3.2直線的二次變換

垂直于一般位置直線的平面一定是一般位置平面，因此，欲把一般位置直線變換為投影面的垂直線，僅一次變換是不行的，必須連續(xù)地變換兩次投影面，稱為直線的二次變換。如圖3-8(a)所示，第一次把一般位置直線變?yōu)橥队懊娴钠叫芯€，第二次再把投影面的平行線變換為投影面的垂直線。圖3-8將一般位置直線變?yōu)橥队懊?H2)的垂直線圖3-8(b)表示其投影圖的作法，具體步驟如下：

(1)先作X1軸∥ab，求得AB在V1面上的新投影a1′b1′。

(2)再作X2軸⊥a1′b1′，得出AB在H2面上的投影a2(b2)，這時(shí)a2與b2積聚為一點(diǎn)。

圖3-9表示先更換H面、再更換V面將直線變成V2面的垂直線的作圖過程。圖3-9將一般位置直線變?yōu)橥队懊?V2)的垂直線

3.4平面的投影變換

平面的投影變換就是把確定平面的幾何元素的投影加以變換，從而得到平面在新體系中的投影。

3.4.1平面的一次變換

1．將一般位置平面變換為投影面的垂直面

將一般位置平面變換為投影面的垂直面，目的是使平面的投影具有積聚性，以便于求解某些度量(如求平面與投影面的夾角及與平面有關(guān)的距離)和定位等問題。圖3-10(a)表示一般位置平面△ABC，要把它變換為投影面的垂直面，只要把△ABC內(nèi)的任一直線變換為投影面的垂直線即可。由直線的變換知道，一般位置直線變?yōu)橥队懊娴拇怪本€時(shí)，必須連續(xù)交替更換兩次投影面，而將平行線變?yōu)榇怪本€時(shí)，則只需更換一次投影面。因此，為作圖簡(jiǎn)便，在△ABC上任取一投影面平行線AK作為輔助線，把它變?yōu)樾峦队懊娴拇怪本€，則△ABC就變成了新投影面的垂直面。圖3-10(b)表示把△ABC變?yōu)樾麦w系的正垂面的作圖方法，具體步驟如下：

(1)在△ABC內(nèi)任取一水平線CK(ck，c′k′)。

(2)作新投影軸X1⊥ck。

(3)求出△ABC在V1/H體系中V1面上的投影a1′b1′c1′，它們積聚成一直線，該直線與X1軸的夾角即為△ABC對(duì)H面的傾角α。圖3-10將一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?求夾角α)如要求△ABC對(duì)V面的夾角β，可在△ABC內(nèi)取一正平線為輔助線，并用H1代替H，則△ABC的H1面投影與X1軸的夾角即為平面對(duì)V面的夾角β，如圖3-11所示。圖3-11將一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵?求夾角β)由上述可知，求平面與某投影面的夾角時(shí)，必須保持該投影面不變，并在平面上取該投影面的平行線作為輔助線，而更換另一個(gè)投影面，才能求得。

2．將投影面垂直面變?yōu)橥队懊娴钠叫忻?/p>

其目的是為了求平面的實(shí)形和解決同一平面內(nèi)的有關(guān)圖解問題。

由于投影面垂直面已經(jīng)垂直于一個(gè)投影面，因此只要建立一個(gè)與已知平面平行的新投影面，即可在新體系中得到該平面的實(shí)形。

圖3-12表示把鉛垂面△ABC變?yōu)樾峦队懊嫫叫忻娴淖鲌D方法：

(1)根據(jù)平行面的投影特點(diǎn)，作新投影軸X1∥△ABC有積聚性的投影(即水平投影abc)。

(2)根據(jù)投影變換規(guī)律，求出△ABC的新投影△a1′b1′c1′，△a1′b1′c1′?反映△ABC的實(shí)形。圖3-12將投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻?.4.2平面的二次變換

平面的二次變換主要用于把一般位置平面變換為投影面的平行面。因?yàn)槠叫杏谝话阄恢闷矫娴钠矫嫒詾橐话阄恢闷矫妫员仨氝B續(xù)交替更換兩次投影面才行，即第一次將一般位置平面變換為投影面的垂直面，第二次將投影面垂直面變換為投影面的平行面。如圖3-13所示，先使△ABC⊥V1面，再使△ABC∥H2面。具體作圖步驟如下：

(1)在△ABC內(nèi)任取一水平線CK，作新投影面V1⊥CK，即作X1軸⊥ck，然后作出△ABC在V1面上的投影a1′b1′c1′，它積聚為一直線。

(2)作新投影面H2平行于△ABC，即作X2軸∥a1′b1′c1′，然后求出△ABC在H2面上的投影△a2b2c2，△a2b2c2反映三角形平面的實(shí)形。圖3-13將一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻? 3.5換面法的應(yīng)用舉例

3.5.1求解距離問題

【例3-1】

如圖3-14(a)所示，已知平面△ABC及面外一點(diǎn)M的兩面投影，求M點(diǎn)到平面△ABC的距離及其投影。

【解】

當(dāng)平面變換成投影面垂直面時(shí)，問題得解。如圖3-14(b)所示，當(dāng)平面變成V1面的垂直面時(shí)，反映點(diǎn)至平面的垂線MK為一V1面的平行線，它在V1面上的投影m1′k1′?顯示實(shí)長(zhǎng)。一般位置平面變換成垂直面時(shí)，只需一次變換即可。設(shè)新投影面V1垂直于H面，以代替V面。圖3-14用換面法求點(diǎn)到平面的距離作圖步驟(見圖3-14(c))：

(1)在△ABC上取水平線AD(ad，a′d′?)。

(2)作新投影軸X1⊥ad，在V1/H體系中求出新投影a1′b1′c1′和m1′。

(3)過m1′作a1′b1′c1′的垂線，垂足為k1′，則m1′k1′顯示點(diǎn)到△ABC的真實(shí)距離。

(4)過點(diǎn)m作mk∥X1，并據(jù)k1′求得k，最后據(jù)k求得k′，連接m′k′，完成作圖。

【例3-2】

如圖3-15(a)所示，已知直線AB及線外一點(diǎn)M的兩面投影，求作點(diǎn)M到直線AB的距離及其投影。

【解】

將直線變換成投影面的垂直線時(shí)，在該投影面上就能直接反映出點(diǎn)到直線的距離，如圖3-15(b)所示。為此，必須將一般位置直線AB經(jīng)兩次變換變?yōu)橥队懊娴拇怪本€，M點(diǎn)也隨之變換兩次，即可求出距離的實(shí)長(zhǎng)。(b)空間情況分析(c)作圖過程及結(jié)果圖3-15用換面法求點(diǎn)到直線的距離作圖步驟(見圖3-15(c))：

(1)選取新投影面V1代替V面，作X1∥ab，求得AB和點(diǎn)M的新投影a1′b1′、m1′。

(2)再取新投影面H2代替H，作X2⊥a1′b1′，求得AB和M在H2面上的新投影a2b2，k2、a2、b2重合為一點(diǎn)。

(3)連接m2

和a2(b2)，即為點(diǎn)M到直線AB的距離實(shí)長(zhǎng)(垂足K的投影與a2b2重合)。

(4)過點(diǎn)m1′作直線m1′k1′∥X2得垂足k1′，再根據(jù)K點(diǎn)從屬于直線AB，由k1′求出k，由k求出k′，連mk、m′k′，即完成全圖。

【例3-3】

求兩交叉直線AB、CD的公垂線實(shí)長(zhǎng)及投影(圖3-16)。

【解】

兩交叉直線之間的最短距離就是它們的公垂線，因此，如果把兩交叉直線之一變換成投影面的垂直線，例如將CD變?yōu)榇怪庇贖2面(圖3-16(b))，則公垂線MN必為H2面的平行線，故m2n2＝MN。據(jù)上述分析，實(shí)質(zhì)上是把一般位置直線變換成投影面的垂直線的作圖問題。作圖步驟(見圖3-16(c))：

(1)作投影軸X1∥cd，在V1面中求出a1′b1′和c1′d1′。

(2)作投影軸X2⊥c1′d1′，在H2面中求出a2b2和c2d2。

(3)過c2d2向a2b2作垂線得m2n2，m2n2即顯示公垂線實(shí)長(zhǎng)。

(4)由m2求得m1′，過m1′作n1′m1′∥X2得交點(diǎn)n1′，再由n1′、m1′依次求得n、m和n′、m′，連接n、m和n′、m′即為公垂線MN的投影，完成作圖。圖3-16用換面法求兩交叉直線的公垂線及投影3.5.2求解角度問題

【例3-4】

如圖3-17(a)所示，已知兩一般位置平面△ABC和△ABD的兩面投影，試用換面法求兩平面之夾角

。

【解】

任何不平行兩平面必相交，其相交之夾角稱為二面角。當(dāng)兩個(gè)平面同時(shí)垂直于某一投影面時(shí)，它們?cè)谠撈矫嫔系耐队熬e聚為直線，此兩直線間的夾角就反映出兩平面間的真實(shí)夾角。要使兩平面同時(shí)變換為新投影面的垂直面，必須把它們的交線變換為新投影面的垂直線。從圖3-17(a)、(b)中知道，AB是兩平面的交線，為一般位置直線，故需要兩次變換投影面，才可求出兩平面的夾角φ。圖3-17用換面法求兩平面之夾角作圖步驟(見圖3-17(c))：

(1)選取投影面V1∥AB，求出a1′b1′，a1′b1′顯示AB的實(shí)長(zhǎng)。同時(shí)求得c1′、d1′，連a1′c1′、b1′c1′和a1′d1′、b1′d1′?！鱝1′b1′c1′和△a1′b1′d1′為兩平面在V1面上的新投影。

(2)選取投影面H2⊥AB(X2⊥a1′b1′),求得a2b2c2和a2b2d2，分別為兩平面有積聚性的投影，故a2b2c2和a2b2d2兩直線之夾角就是兩平面△ABC和△ABD的二面角

。

【例3-5】

如圖3-18(a)所示，已知四邊形ABCD和直線EF的兩面投影，用換面法求直線EF與平面ABCD夾角θ的真實(shí)大小。

【解】

作一新投影面和直線EF平行，且與平面ABCD垂直，則在該新投影面上的投影反映θ角。由于平面ABCD處于一般位置，因此，首先將它經(jīng)過二次變換變?yōu)橥队懊嫫叫忻?，然后，在其上作新投影面V3與之垂直，并與直線EF平行。故本題共需要變換三次投影面才能獲解。作圖步驟(見圖3-18(b))：

(1)經(jīng)過V/H→V1/H→V1/H2兩次變換，將一般位置平面ABCD變成投影面平行面，直線EF隨同一起變換。

(2)經(jīng)過V1/H2→V3/H2，將一般位置直線EF變成投影面平行線，平面ABCD也隨同變換，e3′f3′與a3′b3′c3′d3′之間的夾角θ即為所求。圖3-18用換面法求直線與平面之夾角3.5.3求解定位問題

前面已經(jīng)列舉了一些用換面法解決度量問題的例子，此外，換面法還可以用來(lái)求解直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置問題。

【例3-6】

如圖3-19所示，求一般位置直線DE與△ABC平面的交點(diǎn)。

【解】

如前所述，直線與平面的交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)，這一共有點(diǎn)可用換面法求出。

作圖步驟(見圖3-19(b))：

(1)在△ABC上取一條水平線AF，其V面和H面投影分別為a′f?′和af?;

(2)作X1軸垂直于AF的水平投影af，并作出△ABC和直線DE在V1面上的投影，即有積聚性的直線a1′b1′c1′和直線d1′e1′，二者的交點(diǎn)k1′就是平面△ABC和直線DE的交點(diǎn)在V1面上的投影。

(3)將點(diǎn)k1′返投至H面和V面，得投影k和k′。

(4)可見性可由V1面的投影直接判斷出來(lái)，線段d1′k1′在a1′b1′c1′之上，即DK在平面上方，所以dk段可見，而ke段被平面遮擋而不可見，畫成虛線。V面投影的可見性可利用對(duì)V面的重影點(diǎn)來(lái)判斷。圖3-19用換面法求直線與平面的交點(diǎn)

【例3-7】

如圖3-20(a)所示，求兩一般位置平面△ABC和△DEF的交線MN。

【解】

只要把兩平面之一變?yōu)橥队懊娲怪泵?，問題得解。

作圖步驟(見圖3-20(b))：

(1)在△ABC中作一水平線AG(ag，a′g′)。

(2)作V1⊥AG，AG在V1面上的投影積聚成一點(diǎn)，△ABC的V1面投影積聚為一直線a1′b1′c1′，△DEF的V1面投影為△d1′e1′f1′，直線m1′n1′即為兩平面交線在V1面上的投影。

(3)根據(jù)點(diǎn)和直線的從屬關(guān)系，由m1′、n1′逆變換求得m、n和m′、n′，mn、m′n′即為兩平面交線的投影。

(4)利用重影點(diǎn)可見性判斷規(guī)則可判斷平面的可見部分和不可見部分。圖3-20用換面法求兩一般位置平面的交線

【例3-8】

如圖3-21(a)所示，已知平面圖形的實(shí)形及一邊AB的投影，求作其正面投影和水平投影。

【解】

由平面換面的基本問題可知，將一般位置平面變換為投影面的平行面需經(jīng)兩次變換。因AB為一水平線，故可設(shè)一新投