專題1.3 集合的基本運(yùn)算（6類必考點(diǎn)）（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

專題1.3集合的基本運(yùn)算TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考點(diǎn)1：集合的并集】 1【考點(diǎn)2：集合的交集】 2【考點(diǎn)3：全集與補(bǔ)集】 3【考點(diǎn)4：含參數(shù)的集合運(yùn)算】 5【考點(diǎn)5：集合的實(shí)際應(yīng)用】 7【考點(diǎn)6：集合的新定義】 10【考點(diǎn)1：集合的并集】【知識(shí)點(diǎn)：并集】一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱作集合A與集合B的并集，記作A∪B．1．（2022?浙江）設(shè)集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，則A∪B＝（）A．{2} B．{1，2} C．{2，4，6} D．{1，2，4，6}【分析】利用并集運(yùn)算求解即可．【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，∴A∪B＝{1，2，4，6}，故選：D．2．（2022春?浙江期中）已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{0，1}，則A∪B＝（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|0≤x≤1} C．{x|0＜x≤2} D．{x|0≤x≤2}【分析】根據(jù)并集概念即可求解．【解答】解：∵集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{0，1}，∴A∪B＝{x|0≤x≤2}．故選：D．3．（2022春?錫山區(qū)校級(jí)期中）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，則A∪B＝（）A．{x|0≤x＜1} B．{x|﹣2＜x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|0＜x＜1}【分析】由并集的定義求解即可．【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}．∴A∪B＝{x|﹣2＜x≤2}．故選：B．4．（2022?浙江模擬）已知集合A＝{x|x2＝2x}，集合B＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}，則A∪B＝（）A．{0，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{x|0≤x＜2} D．{x|﹣2＜x≤2}【分析】分別求出集合A，B中的元素，求出A，B的并集即可．【解答】解：∵A＝{x|x2＝2x}＝{0，2}，B＝{x∈Z|﹣2＜x＜2}＝{﹣1，0，1}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}，故選：B．【考點(diǎn)2：集合的交集】【知識(shí)點(diǎn)：交集】一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱作集合A與集合B的交集，記作A∩B．1．（2022春?鎮(zhèn)海區(qū)校級(jí)期末）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，8}，則A∩B＝（）A．∞ B．{2} C．{1，2，4} D．{1，2，3，4，8}【分析】直接利用交集運(yùn)算的概念得答案．【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，4，8}，∴A∩B＝{1，2，3}∩{2，4，8}＝{2}．故選：B．2．（2022春?江蘇期末）已知集合A＝{1，2}，B＝{a﹣1，a2+2}，若A∩B＝{1}，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由已知可得a﹣1＝1，由此求得a值．【解答】解：∵A＝{1，2}，B＝{a﹣1，a2+2}，且A∩B＝{1}，又a2+2≠1，∴a﹣1＝1，即a＝2，此時(shí)B＝{1，6}，符合題意．故選：C．3．（2022春?開(kāi)福區(qū)校級(jí)月考）已知集合M＝{1，2，3}，N＝{x|x2﹣4x+a＝0，a∈M}，若M∩N≠?，則a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．1或2【分析】代入a的值，解方程求出N，從而判斷a的值即可．【解答】解：∵集合M＝{1，2，3}，a＝1時(shí)，解方程x2﹣4x+1＝0，得x＝2±3，故N＝{2+3，2?故M∩N＝?，故a≠1，a＝2時(shí)，解方程x2﹣4x+2＝0，得x＝2±2故N＝{2+2，2?故M∩N＝?，故a≠2，a＝3時(shí)，解方程x2﹣4x+3＝0，得x＝1或3，故N＝{1，3}，故M∩N＝{1，3}≠?，故a＝3，故選：C．4．（2022?海淀區(qū)校級(jí)三模）已知集合A＝{x|x≥a}，B＝{﹣1，0，1，2}，則A∩B＝{1，2}，則a的最大值為（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【分析】由已知結(jié)合交集運(yùn)算得答案．【解答】解：∵A＝{x|x≥a}，B＝{﹣1，0，1，2}，且A∩B＝{1，2}，則a的最大值為1，故選：C．5．（2022?煙臺(tái)三模）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，則A∩B的子集個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用交集定義、集合的子集個(gè)數(shù)直接求解．【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝{0，1}，則A∩B的子集個(gè)數(shù)為22＝4．故選：D．【考點(diǎn)3：全集與補(bǔ)集】【知識(shí)點(diǎn)：全集】一般地，如果一個(gè)集合含有所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱這個(gè)集合為全集，通常記作U．【知識(shí)點(diǎn)：補(bǔ)集】對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合成為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，記作．1．（2021?大綱版Ⅱ）設(shè)全集U＝{x∈N+|x＜6}，集合A＝{1，3}，B＝{3，5}，則?U（A∪B）＝（）A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} D．{2，5}【分析】由全集U＝{x∈N+|x＜6}，可得U＝{1，2，3，4，5}，然后根據(jù)集合混合運(yùn)算的法則即可求解．【解答】解：∵A＝{1，3}，B＝{3，5}，∴A∪B＝{1，3，5}，∵U＝{x∈N+|x＜6}＝{1，2，3，4，5}，∴?U（A∪B）＝{2，4}，故選：C．2．（2022?沈陽(yáng)模擬）已知全集U＝{x∈N|﹣1＜x≤3}，A＝{1，2}，?UA＝（）A．{3} B．{0，3} C．{﹣1，3} D．{﹣1，0，3}【分析】利用列舉法表示U，再由補(bǔ)集運(yùn)算得答案．【解答】解：∵U＝{x∈N|﹣1＜x≤3}＝{0，1，2，3}，A＝{1，2}，∴?UA＝{0，3}．故選：B．3．（2022?林州市校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知全集A＝{x|1≤x≤6}，集合B＝{x|1＜x＜5}，則?AB＝（）A．{x|x≥5} B．{x|5＜x≤6或x＝1} C．{x|x≤1或x≥5} D．{x|5≤x≤6}∪{1}【分析】利用補(bǔ)集的定義，求解即可．【解答】解：∵全集A＝{x|1≤x≤6}，集合B＝{x|1＜x＜5}，∴?AB＝{x|5≤x≤6}∪{1}，故選：D．4．（2022?閔行區(qū)二模）設(shè)全集U＝{x|x3﹣x＝0}，集合A＝{0，1}，則?UA＝{﹣1}．【分析】求解一元三次方程化簡(jiǎn)U，再由補(bǔ)集的概念得答案．【解答】解：全集U＝{x|x3﹣x＝0}＝{﹣1，0，1}，集合A＝{0，1}，則?UA＝{﹣1}．故答案為：{﹣1}．5．（2021?重慶）若U＝{n|n是小于9的正整數(shù)}，A＝{n∈U|n是奇數(shù)}，B＝{n∈U|n是3的倍數(shù)}，則?U（A∪B）＝{2，4，8}．【分析】先求出滿足條件的全集U，進(jìn)而求出滿足條件的集合A與集合B，求出A∪B后，易根據(jù)全集U求出?U（A∪B）．【解答】解：∵U＝{n|n是小于9的正整數(shù)}，∴U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，則A＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}，所以A∪B＝{1，3，5，6，7}，所以?U（A∪B）＝{2，4，8}．【考點(diǎn)4：含參數(shù)的集合運(yùn)算】1．（2022?金華模擬）已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x≤1}，若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．0＜a≤1 B．a(chǎn)＞0 C．a(chǎn)≤0 D．a(chǎn)≤0或a≥1【分析】由集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x≤1}，A∩B＝?，利用交集定義能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|0＜x≤1}，A∩B＝?，∴a≤0，故選：C．2．（2021秋?羅莊區(qū)校級(jí)月考）若集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，且A∪B＝B，則a的取值范圍為（）A．a(chǎn)≤2 B．a(chǎn)≤1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)≥2【分析】推導(dǎo)出A?B，由此能求出a的取值范圍．【解答】解：∵集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，且A∪B＝B，∴A?B，∴a≥2，∴a的取值范圍為a≥2．故選：D．17．（2022春?虹口區(qū)校級(jí)月考）已知A＝{x|a≤x≤a+3}，b＝{x|﹣1＜x＜5}，A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【分析】直接由A∩B＝?，得到關(guān)于a的不等式，再求出a的取值范圍．【解答】解：∵A＝{x|a≤x≤a+3}，b＝{x|﹣1＜x＜5}，A∩B＝?，∴a≥5或a+3≤﹣1，解得a≥5或a≤﹣4，故答案為：a≥5或a≤﹣4．18．（2022春?雞東縣校級(jí)期中）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．（1）若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若A∪B＝A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【分析】（1）當(dāng)B＝?時(shí)，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；當(dāng)B≠?時(shí)，m+1≤2m?12m?1＜?2或m+1≤2m?1m+1＞5，由此能求出實(shí)數(shù)（2）A∪B＝A，B?A，當(dāng)B＝?時(shí)，m+1＞2m﹣1，當(dāng)B≠?時(shí)，m+1≤2m?1m+1≥?22m?1≤5，由此能求出實(shí)數(shù)【解答】解：（1）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，A∩B＝?，∴當(dāng)B＝?時(shí)，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；當(dāng)B≠?時(shí)，m+1≤2m?12m?1＜?2或m+1≤2m?1解得m＞4，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是m＜2或m＞4；（2）∵A∪B＝A，∴B?A，當(dāng)B＝?時(shí)，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；當(dāng)B≠?時(shí)，m+1≤2m?1m+1≥?22m?1≤5，解得2≤綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≤3．19．（2021秋?沈陽(yáng)期末）已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，U＝R．（1）若A∪?UB＝U，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若A∩B≠?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【分析】（1）由題意得B?A，然后對(duì)B是否為空集進(jìn)行分類討論可求；（2）當(dāng)A∩B＝?時(shí)，結(jié)合B是否為空集進(jìn)行分類討論可求m的范圍，然后結(jié)合補(bǔ)集思想可求滿足條件的m的范圍．【解答】解：（1）A∪?UB＝U，所以B?A，當(dāng)B＝?時(shí)，m+1＞2m﹣1，即m＜2，當(dāng)B≠?時(shí)，2m?1≥m+1m+1≥?2解得2≤m≤3，綜上，m的取值范圍為{m|m≤3}；（2）當(dāng)A∩B＝?時(shí)，當(dāng)B＝?時(shí)，m+1＞2m﹣1，即m＜2，當(dāng)B≠?時(shí)，2m?1≥m+12m?1＜?2或2m?1≥m+1解得，m＞4，綜上，A∩B＝?時(shí)，m＞4或m＜2，故當(dāng)A∩B≠?時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．20．（2021秋?湖北期末）已知集合A＝{x|﹣3≤x＜4}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}．（1）若B?A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【分析】（1）①當(dāng)B為空集時(shí)，m+1＜2m﹣1，②當(dāng)B不是空集時(shí)，B?A，m+1≥2m?12m?1≥?3m+1＜4，由此能求出實(shí)數(shù)（2）當(dāng)B為空集時(shí)，m+1＜2m﹣1，當(dāng)B不是空集時(shí)，m+1≥2m?1m+1＜?3或2m?1≥4，由此能求出實(shí)數(shù)m【解答】解：（1）①當(dāng)B為空集時(shí)，m+1＜2m﹣1，m＞2成立．②當(dāng)B不是空集時(shí)，∵B?A，∴m+1≥2m?12m?1≥?3m+1＜4，解得﹣1≤m≤2，綜上①②，（2）①當(dāng)B為空集時(shí)，m+1＜2m﹣1，m＞2，成立．②當(dāng)B不是空集時(shí)，m+1≥2m?1m+1＜?3或2m?1≥4解得m＜﹣4．綜上：m＞2或m＜﹣4．【考點(diǎn)5：集合的實(shí)際應(yīng)用】1．（2022春?西安期中）某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96名學(xué)生喜歡足球或游泳，60名學(xué)生喜歡足球，82名學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生有（）名．A．62 B．56 C．46 D．42【分析】根據(jù)韋恩圖中集合的關(guān)系運(yùn)算即可求解．【解答】解：由題意可得如下所示韋恩圖：60名學(xué)生喜歡足球，82名學(xué)生喜歡游泳，96名學(xué)生喜歡足球或游泳，既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生有60+82﹣96＝46，故選：C．2．（2022?甘肅模擬）建黨百年之際，影片《1921》《長(zhǎng)津湖》《革命者》都已陸續(xù)上映，截止2021年10月底，《長(zhǎng)津湖》票房收入已超56億元，某市文化調(diào)查機(jī)構(gòu)，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，得知其中觀看了《1921》的有51人，觀看了《長(zhǎng)津湖》的有60人，觀看了《革命者》的有50人，數(shù)據(jù)如圖，則圖中a＝9；b＝8；c＝10．【分析】根據(jù)韋恩圖，結(jié)合看每部電影的人數(shù)可構(gòu)造方程組求出結(jié)果．【解答】解：由題意得28+a+b+6=5135+a+c+6=60解得a＝9，b＝8，c＝10．故答案為：9，8，10．3．（2021秋?廊坊期末）某班有學(xué)生45人，參加了數(shù)學(xué)小組的學(xué)生有31人，參加了英語(yǔ)小組的學(xué)生有26人．已知該班每個(gè)學(xué)生都至少參加了這兩個(gè)小組中的一個(gè)小組，則該班學(xué)生中既參加了數(shù)學(xué)小組，又參加了英語(yǔ)小組的學(xué)生有12人．【分析】利用集合中元素個(gè)數(shù)、交集性質(zhì)直接求解．【解答】解：某班有學(xué)生45人，參加了數(shù)學(xué)小組的學(xué)生有31人，參加了英語(yǔ)小組的學(xué)生有26人．該班每個(gè)學(xué)生都至少參加了這兩個(gè)小組中的一個(gè)小組，則該班學(xué)生中既參加了數(shù)學(xué)小組，又參加了英語(yǔ)小組的學(xué)生有：31+26﹣45＝12．故答案為：12．4．（2021秋?宿遷期末）立德中學(xué)有35人參加“學(xué)黨史知識(shí)競(jìng)賽”若答對(duì)第一題的有20人，答對(duì)第二題的有16人，兩題都答對(duì)的有6人，則第一、二題都沒(méi)答對(duì)的有5人．【分析】設(shè)兩題都沒(méi)有答對(duì)的有x人，作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合列出方程，能求出一、二兩題都沒(méi)答對(duì)的人數(shù)．【解答】解：某班有35人參加了“學(xué)黨史知識(shí)競(jìng)賽”．答對(duì)第一題的有20人，答對(duì)第二題的有16人，兩題都答對(duì)的有6人，設(shè)兩題都沒(méi)有答對(duì)的有x人，則作出韋恩圖，得：由題意得x+14+6+10＝35，解得x＝5．∴一、二兩題都沒(méi)答對(duì)的有5人．故答案為：5．5．（2021?涿鹿縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）某班有學(xué)生55人，其中體育愛(ài)好者43人，音樂(lè)愛(ài)好者34人，還有4人既不愛(ài)好體育也不愛(ài)好音樂(lè)，求該班既愛(ài)好體育又愛(ài)好音樂(lè)的有人數(shù)．【分析】根據(jù)條件設(shè)該班既愛(ài)好體育又愛(ài)好音樂(lè)的有人數(shù)為x人，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：設(shè)該班既愛(ài)好體育又愛(ài)好音樂(lè)的有人數(shù)為x人，則（43﹣x）+x+（34﹣x）＝55﹣4，得x＝26．答：該班既愛(ài)好體育又愛(ài)好音樂(lè)的有人數(shù)為26人．6．（2021秋?宜興市校級(jí)期末）向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)A、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成A的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成，贊成B的比贊成A的多3人，其余的不贊成；另外，對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)A、B都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人．問(wèn)對(duì)A、B都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？【分析】首先畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系，然后分別對(duì)贊成和不贊成的人進(jìn)行分析，最后判斷都贊成的人和都不贊成的人．【解答】解：畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系．贊成A的人數(shù)為50×35=如圖，記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A；贊成事件B的學(xué)生全體為集合B．設(shè)對(duì)事件A、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x，則對(duì)A、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為x3贊成A而不贊成B的人數(shù)為30﹣x，贊成B而不贊成A的人數(shù)為33﹣x．依題意（30﹣x）+（33﹣x）+x+（x3+1）＝50，解得所以對(duì)A、B都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人．【考點(diǎn)6：集合的新定義】【解決集合新定義問(wèn)題的著手點(diǎn)】(1)正確理解新定義：耐心閱讀，分析含義，準(zhǔn)確提取信息是解決這類問(wèn)題的前提，剝?nèi)バ露x、新法則、新運(yùn)算的外表，利用所學(xué)的集合性質(zhì)等知識(shí)將陌生的集合轉(zhuǎn)化為我們熟悉的集合，是解決這類問(wèn)題的突破口．(2)合理利用集合性質(zhì)：運(yùn)用集合的性質(zhì)(如元素的性質(zhì)、集合的運(yùn)算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問(wèn)題的關(guān)鍵．在解題時(shí)要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，并合理利用．1．（2021秋?贛縣校級(jí)月考）設(shè)U＝{1，2，3，4}，A與B是U的兩個(gè)子集，若A∩B＝{3，4}，則稱（A，B）為一個(gè)“理想配集”，那么符合此條件的“理想配集”（規(guī)定：（A，B）與（B，A）是兩個(gè)不同的“理想配集”）的個(gè)數(shù)是（）A．7個(gè) B．8個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)【分析】由題意知，子集A和B不可以互換，即視為不同選法，從而對(duì)子集A分類討論，當(dāng)A是二元集或三元集或是四元集，B相應(yīng)的有4種：二元集或三元集或是四元集，根據(jù)計(jì)數(shù)原理得到結(jié)論．【解答】解：對(duì)子集A分類討論：當(dāng)A是二元集{3，4}時(shí)，此時(shí)B可以為{1，2，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{3，4}，共4結(jié)果；當(dāng)A是三元集{1，3，4}時(shí)，此時(shí)B可以為{2，3，4}，{3，4}，共2種結(jié)果；當(dāng)A是三元集{2，3，4}時(shí)，此時(shí)B可以為{1，3，4}，{3，4}，共2種結(jié)果；當(dāng)A是四元集{1，2，3，4}時(shí)，此時(shí)B取{3，4}，有1種結(jié)果，根據(jù)計(jì)數(shù)原理知共有4+2+2+1＝9種結(jié)果．故選：C．2．（2021秋?寧德期中）給定集合A，若對(duì)于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，則稱集合A為閉集合，給出如下四個(gè)結(jié)論：①集合A＝{0}為閉集合；②集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}為閉集合；③集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}為閉集合；④若集合A1、A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①③．【分析】根據(jù)新定義和集合知識(shí)綜合的問(wèn)題，分別判斷a+b∈A，且a﹣b∈A是否滿足即可得到結(jié)論．【解答】解：①0+0＝0，0﹣0＝0，