專題05 五類圓錐曲線題型-2025年高考數(shù)學最后沖刺大題秒殺技巧及題型專項練習（新高考專用）（解析版）

專題05五類圓錐曲線題型2025年高考數(shù)學大題秒殺技巧及專項練習（解析版）圓錐曲線問題一般分為五類：類型1：圓錐曲線中的軌跡方程問題；類型2：圓錐曲線中的中點弦問題；類型3：圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題；類型4：圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題；類型5：圓錐曲線中的向量問題；下面給大家對每一個類型進行秒殺處理.類型1：圓錐曲線中的軌跡方程問題；1、曲線方程的定義一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個關系：①曲線上的點的坐標都是方程的解；②以方程的解為坐標的點都是曲線上的點．此時，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．2、求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担ㄈ绻呀o出，本步驟省略）；（2）設曲線上任意一點的坐標為；（3）根據(jù)曲線上點所適合的條件寫出等式；（4）用坐標表示這個等式，并化簡；（5）確定化簡后的式子中點的范圍．上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍．3、求軌跡方程的方法：3.1定義法：如果動點的運動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。3.2直接法：如果動點的運動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點滿足的等量關系易于建立，則可以先表示出點所滿足的幾何上的等量關系，再用點的坐標表示該等量關系式，即可得到軌跡方程。3.3代入法（相關點法）：如果動點的運動是由另外某一點的運動引發(fā)的，而該點的運動規(guī)律已知，（該點坐標滿足某已知曲線方程），則可以設出，用表示出相關點的坐標，然后把的坐標代入已知曲線方程，即可得到動點的軌跡方程。3.4點差法：圓錐曲線中與弦的中點有關的軌跡問題可用點差法，其基本方法是把弦的兩端點的坐標代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關系式，由于弦的中點的坐標滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點的軌跡方程.圓錐曲線中的軌跡方程問題專項訓練1．在平面直角坐標系中，點分別在軸，軸上運動，且，動點滿足．(1)求動點的軌跡的方程；(2)設圓上任意一點處的切線交軌跡于點兩點，試判斷以為直徑的圓是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標．若不過定點，請說明理由．【答案】(1)(2)以為直徑的圓過定點.【詳解】（1）設由得①由得所以代入①式得整理得，所以動點的軌跡的方程為.（2）①當切線斜率不存在時，切線方程為（i）當切線方程為時，以為直徑的圓的方程為②（ii）當切線方程為時，以為直徑的圓的方程為，③由②③聯(lián)立，可解得交點為.②當過點且與圓相切的切線斜率存在時，設切線方程為，則，故由聯(lián)立并消去整理得因為所以切線與橢圓恒有兩個交點，設，則所以所以，即以為直徑的圓過原點綜上所述，以為直徑的圓過定點.2．已知雙曲線與直線：有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸，軸于，兩點，點坐標為，當點坐標為時，點坐標為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)當點運動時，求點的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.【答案】(1)(2)且，軌跡是去掉頂點的雙曲線.【詳解】（1）由題設，，令，則，令，則，所以，，故，所以，可得，即且過，則，所以，代入并整理得，則，即，又，所以，，故.（2）由（1）聯(lián)立雙曲線與直線，則，所以，則，整理得，故，，而，令，則，令，則，所以，顯然，故點的軌跡方程為，即且（注意：的斜率存在），所以軌跡是去掉頂點的雙曲線.3．在平面直角坐標系中，動點到的距離之和為4.(1)求動點的軌跡的方程；(2)已知點，若點是曲線上異于頂點的兩個不同的點，且，記的面積為，問是否定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由.【答案】(1)(2)是定值，定值為1【詳解】（1）由題意易知，動點的軌跡是以為焦點的橢圓，且動點的軌跡的方程為：.（2）顯然直線的斜率存在，設的方程為：聯(lián)立得：，設，則得：，，由可設的方程為,，聯(lián)立得：，，，，法1：,故為定值1，法2：的方程為：，即，到的距離為，，后同解法1.4．已知，直線相交于，且直線的斜率之積為2.(1)求動點的軌跡方程；(2)設是點軌跡上不同的兩點且都在軸的右側(cè)，直線在軸上的截距之比為，求證：直線經(jīng)過一個定點，并求出該定點坐標.【答案】(1)；(2)證明見解析，定點.【詳解】（1）設，則直線的斜率是，直線的斜率是，所以，化簡整理得：，所以動點的軌跡方程是.（2）設直線在軸上的截距為，則直線在軸上的截距為，顯然，直線的方程為，即，直線的方程為，即，又雙曲線的漸近線方程為，顯然直線與雙曲線兩支各交于一點，直線與雙曲線右支交于兩點，則有，且，于是，由消去化簡整理得：，設點，則，解得，有，由消去化簡整理得：，設點，則，解得，有，，，于是，設直線上任意一點，則，顯然，因此，即，整理得，顯然直線恒過定點，所以直線經(jīng)過定點.5．在平面直角坐標系中，已知點，點的軌跡為.(1)求的方程；(2)設點在直線上，為的左右頂點，直線交于點（異于），直線交于點（異于），交于，過作軸的垂線分別交?于，問是否存在常數(shù)，使得.【答案】(1)(2)存在常數(shù)，使得.【詳解】（1）因為、，，所以點的軌跡以為焦點的橢圓，這里，，，所以，所以橢圓的方程為.（2）設，代入，得，即，得：，設，代入，得，即，得：，，由得，得，得.代入，得，代入，得，因為，所以.所以存在常數(shù)，使得.類型2：圓錐曲線中的中點弦問題1、相交弦中點（點差法）直線與曲線相交，涉及到交線中點的題型，多數(shù)用點差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實際情況處理該式子。主要有以下幾種問題：（1）求中點坐標；（2）求中點軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點，，2、點差法設直線和曲線的兩個交點，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點差法，式子可以整理成：設直線和曲線的兩個交點，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：圓錐曲線中的中點弦問題專項訓練6．已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為，其短軸的一個端點到焦點的距離為．(1)求橢圓的標準方程；(2)若為的中點，為橢圓上一點，過且平行于的直線與橢圓相交于，兩點，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【詳解】（1）由題意，得，又，所以，所以，故橢圓的標準方程為；（2），，若直線的斜率不存在，則，，由，得，若直線的斜率存在，設直線的方程為，由消去，得，，設，，則，，由題意，，所以由題意知，直線的方程為，由消去，得，設，則，所以，由，得，綜上，存在實數(shù)，使得成立．7．已知斜率為的直線l與拋物線相交于P，Q兩點．(1)求線段PQ中點縱坐標的值；(2)已知點，直線TP，TQ分別與拋物線相交于M，N兩點（異于P，Q）．則在y軸上是否存在一定點S，使得直線MN恒過該點？若存在，求出點S的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，的坐標為【詳解】（1）設，，其中．由，得．化簡得．

，即．線段PQ中點縱坐標的值為．（2）設y軸上存在定點，由題意，直線MN斜率存在且不為0，設直線，，，，．由，消去x，得．，．，．

，T，M三點共線，．解得．同理，可得．

又，

．解得．

直線MN恒過定點．8．已知斜率為k的直線l與橢圓交于A，B兩點，線段AB的中點為.(1)若，，求k的值；(2)若線段AB的垂直平分線交y軸于點，且，求直線l的方程.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題設，作差可得，又，故，所以.（2）由題意，直線斜率一定存在，令直線為，若時且，，此時中垂線與y軸重合，與題設中，垂直平分線與y軸交于矛盾，不合要求；若，由（1）知：，則，則中垂線為，即，又在該直線上，所以，得或，當時不滿足要求，故，故，即，聯(lián)立橢圓得：，整理得，所以，，則，而，由，則，解得，所以.綜上，直線l的方程為.9．已知動點T為平面內(nèi)一點，O為坐標原點，T到點的距離比點T到y(tǒng)軸的距離大1．設點T的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)設直線l：，過F的直線與C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，過M且與y軸垂直的直線依次交直線OA，OB，l于點N，P，Q，直線OB與l交于點E．記的面積為，△的面積為，判斷，的大小關系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)(2)，證明見解析【詳解】（1）設，由題意得，化簡得y2＝4x，故所求動點T的軌跡方程C：．（2），的大小相同，證明如下：設直線，，，由得：，，則，．線段AB的中點為M，則，，又直線，令，則，故，同理，則，，所以．又直線，令，則，即，綜上，．10．已知橢圓的下頂點，右焦點為為線段的中點，為坐標原點，，點與橢圓上任意一點的距離的最小值為.(1)求橢圓的標準方程；(2)直線與橢圓交于兩點，若存在過點的直線，使得點與點關于直線對稱，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）根據(jù)題意得:，∴，∴∴，∴橢圓的標準方程為.（2）根據(jù)題意得:的中垂線過點，由,化簡得:，，設，，，的中點，，∴的中垂線方程為:，代入點的坐標得:，故，代入且.類型3：圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題1、弦長公式（最常用公式，使用頻率最高）2、三角形面積問題直線方程：3、焦點三角形的面積直線過焦點的面積為注意：為聯(lián)立消去后關于的一元二次方程的二次項系數(shù)4、平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).5、范圍問題首選均值不等式，其實用二次函數(shù)，最后選導數(shù)均值不等式變式：作用：當兩個正數(shù)的積為定值時求出這兩個正數(shù)的和的最小值；當兩個正數(shù)的和為定值時求出這兩個正數(shù)的積的最大值注意：應用均值不等式求解最值時，應注意“一正二定三相等”圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：（1）（注意分三種情況討論）（2）當且僅當時，等號成立（3）當且僅當時等號成立.（4）當且僅當時，等號成立(5)當且僅當時等號成立.圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問題專項訓練11．已知雙曲線T：的離心率為，且過點．若拋物線C：的焦點F與雙曲線T的右焦點相同．(1)求拋物線C的方程；(2)過點且斜率為正的直線l與拋物線C相交于A，B兩點（A在M，B之間），點N滿足：，求與面積之和的最小值，并求此時直線l的方程．【答案】(1)(2)．【詳解】（1）由題意得：，解之得，即雙曲線的右焦點為，，所以；（2）根據(jù)題意不妨設直線l的方程為，，，，則由得∴∵，∴，又，同理，∴，當且僅當，時，“＝”成立，即，此時，直線l的方程為．12．雙曲線，最早由門奈赫莫斯發(fā)現(xiàn)，后來阿波羅尼茲進行了總結(jié)和完善.在他的著作中，雙曲線也被稱作“超曲線”.已知雙曲線的實半軸長為2，左?右頂點分別為，經(jīng)過點的直線與的右支分別交于兩點，其中點在軸上方.(1)若軸時，，設直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.【答案】(1)(2)【詳解】（1）如圖所示，法一：因為，所以，令得，所以，解得，所以的方程為，顯然直線與軸不垂直，設其方程為，聯(lián)立直線與的方程，消去得，當時，，設，則.因為，所以.法二：由題意得，解得，雙曲線的方程為.設方程為，聯(lián)立，可得，，，，.（2）法一：因為，所以，又因為，所以，即，將代入得，因為在軸上方，所以，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或（舍），所以，代入，得，所以直線方程為，聯(lián)立與直線方程，消去得，，解得或，所以的面積為.法二：設，由，可得，，解得，方程，聯(lián)立，可得，解得，同理聯(lián)立，解得，.13．設拋物線方程為，過點的直線分別與拋物線相切于兩點，且點在軸下方，點在軸上方.(1)當點的坐標為時，求；(2)點在拋物線上，且在軸下方，直線交軸于點，直線交軸于點，且.若的重心在軸上，求的最大值.（注：表示三角形的面積）【答案】(1)；(2).【詳解】（1）解法一：設，，，由，可得，當，當，所以，直線的斜率，直線：，又∵在上，，所以，又，所以，同理可得，∴，∴；解法二：設，，，由，可得，所以，直線的斜率，直線：，又∵在上，故，即，因為，所以，同理可得，故直線的方程為，聯(lián)立消去，得，故，故（2）設，由條件知，∴，∵

∴，∴當時，取得最大值.14．已知A，B是拋物線E：上不同的兩點，點P在x軸下方，PA與拋物線E交于點C，PB與拋物線E交于點D，且滿足，其中λ是常數(shù)，且．(1)設AB，CD的中點分別為點M，N，證明：MN垂直于x軸；(2)若點P為半圓上的動點，且，求四邊形ABDC面積的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為，且P，A，C共線，P，B，D共線，所以，所以直線AB和直線CD的斜率相等，即，設，，，，則點M的橫坐標，點N的橫坐標，由，得，因式分解得，約分得，所以，即，所以MN垂直于x軸．（2）設，則，且，當時，C為PA中點，則，，因為C在拋物線上，所以，整理得，當時，D為PB中點，同理得，所以是方程的兩個根，因為，由韋達定理得，，所以，所以PM也垂直于x軸，所以，因為，所以，，當時，取得最大值，所以，所以四邊形ABDC面積的最大值為．15．已知橢圓C：過點A（2，），且C的離心率為.(1)求C的方程；(2)設直線l交C于不同于點A的M，N兩點，直線AM，AN的傾斜角分別為，，若，求面積的最大值.【答案】(1)(2)2.【詳解】（1）因為C過點A（2，），所以設C的焦距為2c，由得，所以，.代入上式，解得，所以C的方程為.（2）設，易知直線l的斜率不為0，設直線l的方程為，由得，則，，由得，，又，所以，則，由題意知直線AM，AN的斜率存在，所以，則0，..所以，則即，整理得，又知l不過點A（2，），則，所以，所以直線l的方程為，則，所以則點A（2，）到直線l的距離為|則，當且僅當，即時取等號.故面積的最大值為2.類型4：圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題①定點問題1.求解(或證明)直線和曲線過定點的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量，視作常數(shù)，把方程一邊化為零，既然是過定點，那么這個方程就是對任意參數(shù)都成立，這時參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個關于，的方程組，這個方程組的解所確定的點就是直線或曲線所過的定點．2.常用方法：一是引進參數(shù)法，引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關系，找到定點；二是特殊到一般法，根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.②定值問題1.解析幾何中的定值問題是指某些幾何量(線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等)的大小或某些代數(shù)表達式的值等和題目中的參數(shù)無關，不依參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值．常見定值問題的處理方法：（1）確定一個（或兩個）變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示（2）將所求表達式用核心變量進行表示（有的甚至就是核心變量），然后進行化簡，看能否得到一個常數(shù).2.定值問題的處理技巧：（1）對于較為復雜的問題，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直線等）求出定值，進而給后面一般情況的處理提供一個方向.（2）在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏（3）巧妙利用變量間的關系，例如點的坐標符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算③定直線問題定直線問題是證明動點在定直線上，其實質(zhì)是求動點的軌跡方程，所以所用的方法即為求軌跡方程的方法，如定義法、消參法、交軌法等．圓錐曲線中的定點、定值、定直線問題專項訓練16．已知雙曲線的中心為坐標原點，對稱軸為軸和軸，且雙曲線過點，.(1)求雙曲線的方程；(2)設過點的直線分別交的左、右支于兩點，過點作垂直于軸的直線，交直線于點，點滿足.證明：直線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）由題意可知：雙曲線焦點在軸上，故設雙曲線方程為.將兩點坐標代入雙曲線方程得，所以，即雙曲線方程為.（2）直線過定點，若三點共線，設點，直線方程為，由題意知：直線的方程為，點為線段的中點，從而，，若，化簡得①又因為，代入①式得②聯(lián)立，化簡得，則，.代入②式左邊得，由于，，，從而②式左邊等于0成立，直線過定點.17．已知拋物線C：y2=2px（p>0），M是其準線與x軸的交點，過點M的直線l與拋物線C交于A，B兩點，當點A的坐標為（4，y0）時，有．(1)求拋物線C的方程；(2)設點A關于x軸的對稱點為點P，證明：直線BP過定點，并求出該定點坐標．【答案】(1)(2)證明見解析，定點坐標為（2，0）．【詳解】（1）如圖，設，由，得B為線段MA的中點．因為，所以，所以，即，把代入中，得，把代入中，得，所以．又p>0，所以p=4，所以拋物線C的方程為.（2）由題意，知直線l的斜率存在且不為0，因為M（-2，0），所以可設直線l的方程為x=my-2．設，，則點．由，消去x，得，所以，,根據(jù)根與系數(shù)的關系，得，．直線BP的斜率，所以直線BP的方程為，所以，即直線BP的方程可表示為．所以直線BP過定點，且定點坐標為（2，0）．18．已知斜率為的直線與拋物線相交于兩點．(1)求線段中點縱坐標的值；(2)已知點，直線分別與拋物線相交于兩點（異于）．求證：直線恒過定點，并求出該定點的坐標．【答案】(1)(2)證明見解析，定點的坐標為【詳解】（1）設，其中，由，得，化簡得，，即，線段中點縱坐標的值為；（2）證明：設，，直線的方程為，化簡可得，在直線上，解得，同理，可得，，，又直線的方程為，即，直線恒過定點．19．已知直線l：與點，過直線l上的一動點Q作直線，且點P滿足．(1)求點P的軌跡C的方程；(2)過點F作直線與C交于A，B兩點，設，直線AM與直線l相交于點N．試問：直線BN是否經(jīng)過x軸上一定點？若過定點，求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由．【答案】(1)(2)過定點；定點【詳解】（1）解：由，可得，所以，設，代入上式得，平方整理即得C的方程為．（2）解：當直線AB的斜率不存在時，不妨設點A在點B的上方，則，，，則直線BN：，直線BN經(jīng)過點；當直線AB的斜率存在時，不妨設直線AB：，，，則直線AM：，當時，，故，由，得，則，，所以，，下面證明直線BN經(jīng)過點，即證，即，即，由，，整理得，，即恒成立．即，即直線BN經(jīng)過點．綜上所述，直線BN過軸上的定點．20．已知雙曲線，點是雙曲線的左頂點，點坐標為.(1)過點作的兩條漸近線的平行線分別交雙曲線于，兩點.求直線的方程；(2)過點作直線與橢圓交于點，，直線，與雙曲線的另一個交點分別是點，.試問：直線是否過定點，若是，請求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由.【答案】(1)(2)直線過定點【詳解】（1）由題意，得雙曲線的漸近線方程為，過與平行的直線方程為，由，解得，過與平行的直線方程為，由，解得，∴直線的方程為.（2）直線過定點.由已知，易知過的直線斜率存在且不為，直線，斜率存在且不為，設直線，的直線方程分別為和，.由，得，解得，則.同理，則.又，，三點共線，而，故，解得.設，，則，，∴，即化簡整理，得（*），易知直線斜率存在，設直線的方程，由，消去整理，得，∴當且時，有，，代入（*）化簡，解得，即，故或.當時，，經(jīng)過點，不合題意，當時，，經(jīng)過點，滿足題意.因此直線過定點.類型5：圓錐曲線中的向量問題（技巧）1.設為直線l的方向向量,若,則l斜率為k；若（m≠0）,則l斜率為；2.A、B、C是平面內(nèi)不重合的三點,若有下列條件之一,則A、B、C共線:=1\*GB3①=;=2\*GB3②=+且+=1;=3\*GB3③=(+)/(1+)；=4\*GB3④∥.3.A、B、C是平面內(nèi)不重合的三點,若有下列條件之一,則C為線段AB的中點:=1\*GB3①=;=2\*GB3②=(+).4.在四邊形ABCD中,若?=0,則ABAC;若∣+∣=∣-∣,則ABAD;若?=?,則ACBD.5.圓錐曲線中涉及向量相等,通常利用橫坐標或縱坐標相等進行轉(zhuǎn)化,涉及向量共線問題,通項利用非零向量共線轉(zhuǎn)化,涉及向量的數(shù)量積,通常利用數(shù)量積的坐標運算進行轉(zhuǎn)化.圓錐曲線中的向量問題專項訓練21．設點，分別是橢圓:的左、右焦點，且橢圓上的點到點的距離的最小值為.點M、N是橢圓上位于軸上方的兩點，且向量與向量平行.（1）求橢圓的方程；（2）當時，求△的面積；（3）當時，求直線的方程.【答案】（1）；（2）；（3）【詳解】解：（1）點、分別是橢圓的左、右焦點，，，橢圓上的點到點的距離的最小值為，，解得，橢圓的方程為，（2）由（1）可得，，點、是橢圓上位于軸上方的兩點，可設，，，，，，，，解得，，，，，向量與向量平行，直線的斜率為，直線方程為，聯(lián)立方程組，解得，（舍去），或，，，，，點到直線直線的距離為，的面積，（3）向量與向量平行，，，，即，設，，，，，，，，，，，，，，，解得，或（舍去），，，，直線的方程為，即為22．已知橢圓：，，分別是橢圓短軸的上下兩個端點，是橢圓的左焦點，P是橢圓上異于點，的點，若的邊長為4的等邊三角形．寫出橢圓的標準方程；當直線的一個方向向量是時，求以為直徑的圓的標準方程；設點R滿足：，，求證：與的面積之比為定值．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析【詳解】解：如圖，由的邊長為4的等邊三角形，得，且．橢圓的標準方程為；解：直線的一個方向向量是，直線所在直線的斜率，則直線的方程為，聯(lián)立，