多邊形的相關(guān)概念教案

多邊形的相關(guān)概念適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級初中二年級適用區(qū)域全國課時時長（分鐘）60知識點多邊形多邊形的對角線多邊形的內(nèi)角和與外交和平面鑲嵌教學(xué)目標(biāo)1、了解多邊形的有關(guān)概念，認(rèn)識多邊形的邊、內(nèi)角、外角、頂點、對角線。2、通過歸納，得出n邊形對角線條數(shù)公式。3、經(jīng)歷探索多邊形的內(nèi)角和公式的過程，了解多邊形的內(nèi)角和公式，進一步發(fā)展學(xué)生的合情推理意識，主動探究的習(xí)慣，體會數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的緊密聯(lián)系。4、會用多邊形的對角線條數(shù)與內(nèi)角和公式進行簡單的計算與說理。教學(xué)重點1、多邊形的有關(guān)概念：多邊形的邊、內(nèi)角、外角、頂點、對角線。2、n邊形對角線條數(shù)公式。3、n邊形的內(nèi)角和公式。教學(xué)難點1、歸納得到n邊形對角線條數(shù)公式。2、探索多邊形的內(nèi)角和公式。3、靈活運用多邊形的對角線條數(shù)公式、內(nèi)角和公式進行計算教學(xué)過程復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)三角形有三條邊，三個角，一條對角線。三角形內(nèi)角和為180度。三角形外交和為360度。二、知識講解考點1多邊形的相關(guān)概念1、多邊形：由一些線段首尾順次連結(jié)組成的圖形，叫做多邊形。2、多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊。3、多邊形的頂點：多邊形每相鄰兩邊的公共端點叫做多邊形的頂點。4、多邊形的對角線：連結(jié)多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。5、多邊形的周長：多邊形各邊的長度和叫做多邊形的周長。6、凸多邊形：把多邊形的任何一條邊向兩方延長，如果多邊形的其他各邊都在延長線所得直線的問旁，這樣的多邊形叫凸多邊形。說明：一個多邊形至少要有三條邊，有三條邊的叫做三角形;有四條邊的叫做四邊形;有幾條邊的叫做幾邊形。今后所說的多邊形，如果不特別聲明，都是指凸多邊形。7、多邊形的角：多邊形相鄰兩邊所組成的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡稱多邊形的角。8、多邊形的外角：多邊形的角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做多邊形的外角。注意：多邊形的外角也就是與它有公共頂點的內(nèi)角的鄰補角?？键c2多邊形中的公式多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×18°正n邊形的內(nèi)個內(nèi)角等于n-2多邊形的外角和為360°。多邊形對角線的條數(shù)：（1）從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引（n-3）條對角線，把多邊形分成（n-2）個三角形；（2）n邊形共有n(n-3)2例題精析【例題1】【題干】四邊形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，則∠B的度數(shù)是（）A．80°B．90°C．170°D．20°【答案】A【解析】點撥：∠B=360°-（∠A+∠C+∠D）=360°-280°=80°．故選A．【例題2】【題干】一個多邊形的內(nèi)角和等于1080°，這個多邊形的邊數(shù)是（）A．9B．8C．7D．6【答案】B【解析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，則（n-2）·180=1080．解得n=8．故選B．【例題3】【題干】內(nèi)角和等于外角和2倍的多邊形是（）A．五邊形B．六邊形C．七邊形D．八邊形【答案】B【解析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得（n-2）·180=2×360．解得n=6．故選B．【例題4】【題干】四邊形的四個內(nèi)角可以都是銳角嗎？可以都是鈍角嗎？可以都是直角嗎？為什么？．【答案】四邊形的四個內(nèi)角不可以都是銳角，不可以都是鈍角，可以都是直角．【解析】因為四邊形的內(nèi)角和為360°，如果四個內(nèi)角都是銳角或都是鈍角，則內(nèi)角和小于360°或大于360°，與四邊形的內(nèi)角和為360°矛盾．所以四個內(nèi)角不可以都是銳角或都是鈍角．若四個內(nèi)角都是直角，則四個內(nèi)角的和等于360°，與內(nèi)角和定理相符，所以四個內(nèi)角可以都是直角【例題5】【題干】已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．BE與DF有怎樣的位置關(guān)系？為什么？【答案】BE∥DF．【解析】理由：∵∠A=∠C=90°，∴∠A+∠C=180°．∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°．∵∠ABE=∠ABC，∠ADF=∠ADC，∴∠ABE+∠ADF=（∠ABC+∠ADC）=×180°=90°．又∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠AEB=∠ADF，∴BE∥DF（同位角相等，兩直線平行）．【例題6】【題干】如圖，以五邊形的每個頂點為圓心，以1為半徑畫圓，求圓與五邊形重合的面積．【答案】1.5【解析】不能直接求出扇形的度數(shù)，用整體法圓與五邊形重合部分的角度和正好是五邊形的內(nèi)角和．（5-2）×180°÷360°×12=1.5．四、課堂運用【基礎(chǔ)】正十邊形的每一個內(nèi)角的度數(shù)等于______，每一個外角的度數(shù)等于_______．答案：144°；36°解析：正十邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)為：=144°，每一個外角的度數(shù)為：180°-144°=36°．2.已知一個多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個多邊形為（）A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形答案：C解析：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，依題意，得（n-2）×180°=540°，解得n=5，故選C．3.一個多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，則這個多邊形是【】A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．八邊形答案：A。解析：設(shè)此多邊形是n邊形，∵多邊形的外角和為360°，內(nèi)角和為（n－2）180°，∴（n－2）180=360，解得：n=4?！噙@個多邊形是四邊形。故選A?！眷柟獭壳笙铝袌D形中x的值：答案：115°解析：（1）90+70+150+x=360．解得x=50．（2）90+73+82+（180-x）=360．解得x=65．（3）x+（x+30）+60+x+（x-10）=（5-2）×180．解得x=115．2.已知正n邊形的一個內(nèi)角為135o，則邊數(shù)n的值是【】A．6B．7C．8D．9答案：C。解析：根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理，得，解得n=8。故選C。3.（1）四邊形有幾條對角線？五邊形有幾條對角線？六邊形有幾條對角線？……猜想并探索：n邊形有幾條對角線？（2）一個n邊形的邊數(shù)增加1，對角線增加多少條？答案：（1）2，5，9，（2）解析：（1）四邊形有2條對角線；五邊形有5條對角線；六邊形有9條對角線；……n邊形有條對角線．（2）當(dāng)n邊形的邊數(shù)增加1時，對角線增加（n-1）條．點撥：從n邊形的一個頂點出發(fā)，向其他頂點共可引（n-3）條對角線，n個頂點共可引n（n-3）條，但這些對角線每一條都重復(fù)了一次，故n邊形的對角線條數(shù)為．【拔高】（2012江蘇南京2分）如圖，、、、是五邊形ABCDE的4個外角，若，則▲答案：300。解析：由題意得，∠A的外角=180°－∠A=60°，又∵多邊形的外角和為360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°－∠A的外角=300°。2.如圖，六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，則下列結(jié)論正確的是【】A．∠E=2∠KB．BC=2HIC．六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長D．S六邊形ABCDEF=2S六邊形GHIJKL答案：B。解析：A、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本選項錯誤；B、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴BC=2HI，故本選項正確；C、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴六邊形ABCDEF的周長=六邊形GHIJKL的周長×2，故本選項錯誤；D、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴S六邊形ABCDEF=4S六邊形GHIJKL，故本選項錯誤。故選B。3.如圖，四邊形ABCD中，若去掉一個60°的角得到一個五邊形，則∠1+∠2=度．答案：240°。解析：∵四邊形的內(nèi)角和為（4﹣2）×180°=360°，∴∠B+∠C+∠D=360°﹣60°=300°。∵五邊形的內(nèi)角和為（5﹣2）×180°=540°，∴∠1+∠2=540°﹣300°=240°。課程小結(jié)多邊形的相關(guān)概念1、多邊形2、多邊形的邊3、多邊形的頂點4、多邊形的對角線5、多邊形的周長6、凸多邊形7、多邊形的角多邊形的外角多邊形的外角和為360°。10、多邊形對角線的條數(shù)：（1）從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引（n-3）條對角線，把多邊形分成（n-2）個三角形；（2）n邊形共有n(n-3)2正n邊形的內(nèi)個內(nèi)角等于n-2多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×18°課后作業(yè)【基礎(chǔ)】一個多邊形的內(nèi)角和是720°，這個多邊形的邊數(shù)是【】A．4B．5C．6D．7答案：C。解析：∵多邊形的內(nèi)角和公式為（n﹣2）?180°，∴（n﹣2）×180°=720°，解得n=6。∴這個多邊形的邊數(shù)是6．故選C。2.正多邊形的一個外角等于30°．則這個多邊形的邊數(shù)為【】A．6B．9C．12D．15答案：C。解析：正多邊形的一個外角等于30°，而多邊形的外角和為360°，則：多邊形邊數(shù)=多邊形外角和÷一個外角度數(shù)=360°÷30°=12。故選C。3.如果一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，那么這個多邊形是______邊形．答案：八．解析：試題分析：n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，外角和為360°，根據(jù)題意列方程求解即可，設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，依題意，得

（n﹣2）?180°=3×360°，

解得n=8．

故答案是八．

4.一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和為720°，那么原多邊形的邊數(shù)為【

】A．5B．5或6C．5或7D．5或6或7答案：D。解析：首先求得內(nèi)角和為720°的多邊形的邊數(shù)，即可確定原多邊形的邊數(shù)

設(shè)內(nèi)角和為720°的多邊形的邊數(shù)是n，則（n﹣2）?180=720，解得：n=6。

若截去一個角的多邊形的直線經(jīng)過兩個頂點，則原多邊形是七邊形；

若截去一個角的多邊形的直線經(jīng)過一個頂點，則原多邊形是六邊形；

若截去一個角的多邊形的直線不經(jīng)過頂點，則原多邊形是五邊形。

∴原多邊形的邊數(shù)為5或6或7。故選D?！眷柟獭?.若一個多邊形的各內(nèi)角都相等，則一個內(nèi)角與一個外角的度數(shù)之比不可能是(

)A．2：1

B．1：1

C．5：1

D．5：4

答案：D解析：多邊形的內(nèi)角與相鄰的外角互為鄰補角．若一個內(nèi)角與一個外角的度數(shù)之比是2：1，則外角是180°×=60°，多邊形的邊數(shù)為360°÷60°=6；用同樣的方法，當(dāng)比值是1：1時，多邊形的邊數(shù)是4；當(dāng)比值是5：1時，多邊形的邊數(shù)是12；當(dāng)比值是5：4時，多邊形的邊數(shù)是4．5，與實際情況不符合，所以本題答案是D．6.陽光中學(xué)閱覽室在裝修過程中，準(zhǔn)備用邊長相等的正方形和正三角形兩種地磚鑲嵌地面，在每個頂點的周圍正方形、正三角形地磚的塊數(shù)可以分別是(

)A．2，2B．2，3C．1，2D．2，1答案：B解析：本題考查了平面鑲嵌的條件

正多邊形的組合能否進行平面鑲嵌，關(guān)鍵是看位于同一頂點處的幾個角之和能否為．若能，則說明可以進行平面鑲嵌；反之，則說明不能進行平面鑲嵌．

正三角形的每個內(nèi)角是，正方形的每個內(nèi)角是，

∵，

∴正方形、正三角形地磚的塊數(shù)可以分別是2，3．

故選B．7.四邊形中,如果有一組對角都是直角,那么另一組對角可能(

)A．都是鈍角;B．都是銳角C．是一個銳角、一個鈍角D．是一個銳角、一個直角答案：C解析：本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和外角.記住四邊形的內(nèi)角和是360°這一特征．

解：∵該四邊形的一組對角都是直角，

∴另一組對角的和是360°-180°=180°．

A、若另一組對角都是鈍角，那么它們的和就大于180°；

B、若另一組對角都是銳角，那么它們的和就小于180°；

C、若另一組對角中一個銳角和一個鈍角，那么它們的和有可能等于180°；

D、若另一組對角中一個直角和一個銳角，那么它們的和小于180°；

故選C．8.如圖，若，那么等于（）

A．B．C．D．答案：C解析：本題主要考查了多邊形的外角和內(nèi)角.根據(jù)外角都等于不相鄰的兩內(nèi)角和以及四邊形的內(nèi)角和求解

解：設(shè)FC與AE、BD相交于M、N點

∴∠FME=∠E+∠C,∠CND=∠F+∠D

∵∠FME=∠AMN,∠CND=∠BNM

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°=90°

∴n=4

故選C9.一個多邊形截去一個角（截線不過頂點）之后，所形成的一個多邊形的內(nèi)角和是，那么原多邊形的邊數(shù)是（）A．B．C．D．答案：B解析：本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理.一個多邊形截取一個角（不過頂點）后，則多邊形的角增加了一個，求出內(nèi)角和是2520°的多邊形的邊數(shù)，即可求得原多邊形的邊數(shù)

解：設(shè)內(nèi)角和是2520°的多邊形的邊數(shù)是n．

根據(jù)題意得：（n-2）?180=2520，

解得：n=16．

則原來的多邊形的邊數(shù)是16-1=15．

故選B【拔高】10.如果一個多邊形的每一個內(nèi)角都相等,且每一個內(nèi)角都大于135°,那么這個多邊形的邊數(shù)最少為________.答案：9解析：本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和外角.根據(jù)多邊