多邊形的相關(guān)概念教案

多邊形的相關(guān)概念適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中二年級(jí)適用區(qū)域全國(guó)課時(shí)時(shí)長(zhǎng)（分鐘）60知識(shí)點(diǎn)多邊形多邊形的對(duì)角線多邊形的內(nèi)角和與外交和平面鑲嵌教學(xué)目標(biāo)1、了解多邊形的有關(guān)概念，認(rèn)識(shí)多邊形的邊、內(nèi)角、外角、頂點(diǎn)、對(duì)角線。2、通過歸納，得出n邊形對(duì)角線條數(shù)公式。3、經(jīng)歷探索多邊形的內(nèi)角和公式的過程，了解多邊形的內(nèi)角和公式，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合情推理意識(shí)，主動(dòng)探究的習(xí)慣，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的緊密聯(lián)系。4、會(huì)用多邊形的對(duì)角線條數(shù)與內(nèi)角和公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算與說理。教學(xué)重點(diǎn)1、多邊形的有關(guān)概念：多邊形的邊、內(nèi)角、外角、頂點(diǎn)、對(duì)角線。2、n邊形對(duì)角線條數(shù)公式。3、n邊形的內(nèi)角和公式。教學(xué)難點(diǎn)1、歸納得到n邊形對(duì)角線條數(shù)公式。2、探索多邊形的內(nèi)角和公式。3、靈活運(yùn)用多邊形的對(duì)角線條數(shù)公式、內(nèi)角和公式進(jìn)行計(jì)算教學(xué)過程復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)三角形有三條邊，三個(gè)角，一條對(duì)角線。三角形內(nèi)角和為180度。三角形外交和為360度。二、知識(shí)講解考點(diǎn)1多邊形的相關(guān)概念1、多邊形：由一些線段首尾順次連結(jié)組成的圖形，叫做多邊形。2、多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊。3、多邊形的頂點(diǎn)：多邊形每相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)。4、多邊形的對(duì)角線：連結(jié)多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對(duì)角線。5、多邊形的周長(zhǎng)：多邊形各邊的長(zhǎng)度和叫做多邊形的周長(zhǎng)。6、凸多邊形：把多邊形的任何一條邊向兩方延長(zhǎng)，如果多邊形的其他各邊都在延長(zhǎng)線所得直線的問旁，這樣的多邊形叫凸多邊形。說明：一個(gè)多邊形至少要有三條邊，有三條邊的叫做三角形;有四條邊的叫做四邊形;有幾條邊的叫做幾邊形。今后所說的多邊形，如果不特別聲明，都是指凸多邊形。7、多邊形的角：多邊形相鄰兩邊所組成的角叫做多邊形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱多邊形的角。8、多邊形的外角：多邊形的角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做多邊形的外角。注意：多邊形的外角也就是與它有公共頂點(diǎn)的內(nèi)角的鄰補(bǔ)角?？键c(diǎn)2多邊形中的公式多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×18°正n邊形的內(nèi)個(gè)內(nèi)角等于n-2多邊形的外角和為360°。多邊形對(duì)角線的條數(shù)：（1）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（n-3）條對(duì)角線，把多邊形分成（n-2）個(gè)三角形；（2）n邊形共有n(n-3)2例題精析【例題1】【題干】四邊形ABCD中，如果∠A+∠C+∠D=280°，則∠B的度數(shù)是（）A．80°B．90°C．170°D．20°【答案】A【解析】點(diǎn)撥：∠B=360°-（∠A+∠C+∠D）=360°-280°=80°．故選A．【例題2】【題干】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于1080°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）A．9B．8C．7D．6【答案】B【解析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，則（n-2）·180=1080．解得n=8．故選B．【例題3】【題干】?jī)?nèi)角和等于外角和2倍的多邊形是（）A．五邊形B．六邊形C．七邊形D．八邊形【答案】B【解析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得（n-2）·180=2×360．解得n=6．故選B．【例題4】【題干】四邊形的四個(gè)內(nèi)角可以都是銳角嗎？可以都是鈍角嗎？可以都是直角嗎？為什么？．【答案】四邊形的四個(gè)內(nèi)角不可以都是銳角，不可以都是鈍角，可以都是直角．【解析】因?yàn)樗倪呅蔚膬?nèi)角和為360°，如果四個(gè)內(nèi)角都是銳角或都是鈍角，則內(nèi)角和小于360°或大于360°，與四邊形的內(nèi)角和為360°矛盾．所以四個(gè)內(nèi)角不可以都是銳角或都是鈍角．若四個(gè)內(nèi)角都是直角，則四個(gè)內(nèi)角的和等于360°，與內(nèi)角和定理相符，所以四個(gè)內(nèi)角可以都是直角【例題5】【題干】已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．BE與DF有怎樣的位置關(guān)系？為什么？【答案】BE∥DF．【解析】理由：∵∠A=∠C=90°，∴∠A+∠C=180°．∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°．∵∠ABE=∠ABC，∠ADF=∠ADC，∴∠ABE+∠ADF=（∠ABC+∠ADC）=×180°=90°．又∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠AEB=∠ADF，∴BE∥DF（同位角相等，兩直線平行）．【例題6】【題干】如圖，以五邊形的每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以1為半徑畫圓，求圓與五邊形重合的面積．【答案】1.5【解析】不能直接求出扇形的度數(shù)，用整體法圓與五邊形重合部分的角度和正好是五邊形的內(nèi)角和．（5-2）×180°÷360°×12=1.5．四、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】正十邊形的每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)等于______，每一個(gè)外角的度數(shù)等于_______．答案：144°；36°解析：正十邊形每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：=144°，每一個(gè)外角的度數(shù)為：180°-144°=36°．2.已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為540°，則這個(gè)多邊形為（）A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形答案：C解析：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，依題意，得（n-2）×180°=540°，解得n=5，故選C．3.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，則這個(gè)多邊形是【】A．四邊形B．五邊形C．六邊形D．八邊形答案：A。解析：設(shè)此多邊形是n邊形，∵多邊形的外角和為360°，內(nèi)角和為（n－2）180°，∴（n－2）180=360，解得：n=4?！噙@個(gè)多邊形是四邊形。故選A?！眷柟獭壳笙铝袌D形中x的值：答案：115°解析：（1）90+70+150+x=360．解得x=50．（2）90+73+82+（180-x）=360．解得x=65．（3）x+（x+30）+60+x+（x-10）=（5-2）×180．解得x=115．2.已知正n邊形的一個(gè)內(nèi)角為135o，則邊數(shù)n的值是【】A．6B．7C．8D．9答案：C。解析：根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理，得，解得n=8。故選C。3.（1）四邊形有幾條對(duì)角線？五邊形有幾條對(duì)角線？六邊形有幾條對(duì)角線？……猜想并探索：n邊形有幾條對(duì)角線？（2）一個(gè)n邊形的邊數(shù)增加1，對(duì)角線增加多少條？答案：（1）2，5，9，（2）解析：（1）四邊形有2條對(duì)角線；五邊形有5條對(duì)角線；六邊形有9條對(duì)角線；……n邊形有條對(duì)角線．（2）當(dāng)n邊形的邊數(shù)增加1時(shí)，對(duì)角線增加（n-1）條．點(diǎn)撥：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，向其他頂點(diǎn)共可引（n-3）條對(duì)角線，n個(gè)頂點(diǎn)共可引n（n-3）條，但這些對(duì)角線每一條都重復(fù)了一次，故n邊形的對(duì)角線條數(shù)為．【拔高】（2012江蘇南京2分）如圖，、、、是五邊形ABCDE的4個(gè)外角，若，則▲答案：300。解析：由題意得，∠A的外角=180°－∠A=60°，又∵多邊形的外角和為360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°－∠A的外角=300°。2.如圖，六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，則下列結(jié)論正確的是【】A．∠E=2∠KB．BC=2HIC．六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)=六邊形GHIJKL的周長(zhǎng)D．S六邊形ABCDEF=2S六邊形GHIJKL答案：B。解析：A、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，∴∠E=∠K，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴BC=2HI，故本選項(xiàng)正確；C、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴六邊形ABCDEF的周長(zhǎng)=六邊形GHIJKL的周長(zhǎng)×2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵六邊形ABCDEF∽六邊形GHIJKL，相似比為2：1，∴S六邊形ABCDEF=4S六邊形GHIJKL，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤。故選B。3.如圖，四邊形ABCD中，若去掉一個(gè)60°的角得到一個(gè)五邊形，則∠1+∠2=度．答案：240°。解析：∵四邊形的內(nèi)角和為（4﹣2）×180°=360°，∴∠B+∠C+∠D=360°﹣60°=300°?！呶暹呅蔚膬?nèi)角和為（5﹣2）×180°=540°，∴∠1+∠2=540°﹣300°=240°。課程小結(jié)多邊形的相關(guān)概念1、多邊形2、多邊形的邊3、多邊形的頂點(diǎn)4、多邊形的對(duì)角線5、多邊形的周長(zhǎng)6、凸多邊形7、多邊形的角多邊形的外角多邊形的外角和為360°。10、多邊形對(duì)角線的條數(shù)：（1）從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引（n-3）條對(duì)角線，把多邊形分成（n-2）個(gè)三角形；（2）n邊形共有n(n-3)2正n邊形的內(nèi)個(gè)內(nèi)角等于n-2多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×18°課后作業(yè)【基礎(chǔ)】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是【】A．4B．5C．6D．7答案：C。解析：∵多邊形的內(nèi)角和公式為（n﹣2）?180°，∴（n﹣2）×180°=720°，解得n=6?！噙@個(gè)多邊形的邊數(shù)是6．故選C。2.正多邊形的一個(gè)外角等于30°．則這個(gè)多邊形的邊數(shù)為【】A．6B．9C．12D．15答案：C。解析：正多邊形的一個(gè)外角等于30°，而多邊形的外角和為360°，則：多邊形邊數(shù)=多邊形外角和÷一個(gè)外角度數(shù)=360°÷30°=12。故選C。3.如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，那么這個(gè)多邊形是______邊形．答案：八．解析：試題分析：n邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，外角和為360°，根據(jù)題意列方程求解即可，設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，依題意，得

（n﹣2）?180°=3×360°，

解得n=8．

故答案是八．

4.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為720°，那么原多邊形的邊數(shù)為【

】A．5B．5或6C．5或7D．5或6或7答案：D。解析：首先求得內(nèi)角和為720°的多邊形的邊數(shù)，即可確定原多邊形的邊數(shù)

設(shè)內(nèi)角和為720°的多邊形的邊數(shù)是n，則（n﹣2）?180=720，解得：n=6。

若截去一個(gè)角的多邊形的直線經(jīng)過兩個(gè)頂點(diǎn)，則原多邊形是七邊形；

若截去一個(gè)角的多邊形的直線經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)，則原多邊形是六邊形；

若截去一個(gè)角的多邊形的直線不經(jīng)過頂點(diǎn)，則原多邊形是五邊形。

∴原多邊形的邊數(shù)為5或6或7。故選D。【鞏固】5.若一個(gè)多邊形的各內(nèi)角都相等，則一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的度數(shù)之比不可能是(

)A．2：1

B．1：1

C．5：1

D．5：4

答案：D解析：多邊形的內(nèi)角與相鄰的外角互為鄰補(bǔ)角．若一個(gè)內(nèi)角與一個(gè)外角的度數(shù)之比是2：1，則外角是180°×=60°，多邊形的邊數(shù)為360°÷60°=6；用同樣的方法，當(dāng)比值是1：1時(shí)，多邊形的邊數(shù)是4；當(dāng)比值是5：1時(shí)，多邊形的邊數(shù)是12；當(dāng)比值是5：4時(shí)，多邊形的邊數(shù)是4．5，與實(shí)際情況不符合，所以本題答案是D．6.陽(yáng)光中學(xué)閱覽室在裝修過程中，準(zhǔn)備用邊長(zhǎng)相等的正方形和正三角形兩種地磚鑲嵌地面，在每個(gè)頂點(diǎn)的周圍正方形、正三角形地磚的塊數(shù)可以分別是(

)A．2，2B．2，3C．1，2D．2，1答案：B解析：本題考查了平面鑲嵌的條件

正多邊形的組合能否進(jìn)行平面鑲嵌，關(guān)鍵是看位于同一頂點(diǎn)處的幾個(gè)角之和能否為．若能，則說明可以進(jìn)行平面鑲嵌；反之，則說明不能進(jìn)行平面鑲嵌．

正三角形的每個(gè)內(nèi)角是，正方形的每個(gè)內(nèi)角是，

∵，

∴正方形、正三角形地磚的塊數(shù)可以分別是2，3．

故選B．7.四邊形中,如果有一組對(duì)角都是直角,那么另一組對(duì)角可能(

)A．都是鈍角;B．都是銳角C．是一個(gè)銳角、一個(gè)鈍角D．是一個(gè)銳角、一個(gè)直角答案：C解析：本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和外角.記住四邊形的內(nèi)角和是360°這一特征．

解：∵該四邊形的一組對(duì)角都是直角，

∴另一組對(duì)角的和是360°-180°=180°．

A、若另一組對(duì)角都是鈍角，那么它們的和就大于180°；

B、若另一組對(duì)角都是銳角，那么它們的和就小于180°；

C、若另一組對(duì)角中一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角，那么它們的和有可能等于180°；

D、若另一組對(duì)角中一個(gè)直角和一個(gè)銳角，那么它們的和小于180°；

故選C．8.如圖，若，那么等于（）

A．B．C．D．答案：C解析：本題主要考查了多邊形的外角和內(nèi)角.根據(jù)外角都等于不相鄰的兩內(nèi)角和以及四邊形的內(nèi)角和求解

解：設(shè)FC與AE、BD相交于M、N點(diǎn)

∴∠FME=∠E+∠C,∠CND=∠F+∠D

∵∠FME=∠AMN,∠CND=∠BNM

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°=90°

∴n=4

故選C9.一個(gè)多邊形截去一個(gè)角（截線不過頂點(diǎn)）之后，所形成的一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是，那么原多邊形的邊數(shù)是（）A．B．C．D．答案：B解析：本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理.一個(gè)多邊形截取一個(gè)角（不過頂點(diǎn)）后，則多邊形的角增加了一個(gè)，求出內(nèi)角和是2520°的多邊形的邊數(shù)，即可求得原多邊形的邊數(shù)

解：設(shè)內(nèi)角和是2520°的多邊形的邊數(shù)是n．

根據(jù)題意得：（n-2）?180=2520，

解得：n=16．

則原來的多邊形的邊數(shù)是16-1=15．

故選B【拔高】10.如果一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等,且每一個(gè)內(nèi)角都大于135°,那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)最少為________.答案：9解析：本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和外角.根據(jù)多邊