廣東省潮州市2023-2024學年高二上學期期末考試 數(shù)學 含解析

潮州市2023-2024學年度第一學期期末高二級教學質(zhì)量檢測卷數(shù)學本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考號填寫在答題卡上.2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束，將答題卡交回.一、選擇題（本題共12道小題，其中1至8小題為單項選擇題，9至12小題為多項選擇題）（一）單項選擇題（本題共8道小題，每小題只有一個選項正確，每小題5分，共40分）1.已知橢圓的方程為，則該橢圓的（）A.長軸長為2 B.短軸長為 C.焦距為1 D.離心率為2.已知斜率為的直線經(jīng)過點，則（）A. B. C.1 D.03.兩平行直線，之間的距離是（）A. B. C.1 D.54.拋物線上一點到其焦點距離為，則點到坐標原點的距離為（）A B. C. D.5.正項等比數(shù)列與正項等差數(shù)列，若，則與的關(guān)系是（）A. B. C. D.以上都不正確6.雙曲線的漸近線與直線所圍成的三角形面積為2，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.7.已知點在圓上，點，則當最小時，（）A. B. C. D.48.如圖，在棱長為2的正方體中，點分別在線段和上，則下列結(jié)論中錯誤的結(jié)論（）A.的最小值為2B.四面體的體積為C.有且僅有一條直線與垂直D.存在點，使為等邊三角形（二）多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，每小題有多個選項正確，每小題全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）9.已知直線，下列結(jié)論正確的是（）A.直線在軸上的截距為 B.當時，直線的傾斜角為C.當時，直線的斜率不存在 D.直線的斜率為10.在空間直角坐標系中，向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.若，則D.若，則11.如果方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍可以是（）A B. C. D.12.在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，若，，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.C. D.數(shù)列是等差數(shù)列二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.圓心為且經(jīng)過點的圓的標準方程是________．14.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則實數(shù)________．15.已知為拋物線上的動點，為拋物線的焦點，，則的最小值為________．16.如圖所示，已知橢圓的方程為，若點為橢圓上的點，且，則的面積是______.三、解答題：本題共6小題，第17題10分，其余各題每題12分，共70分；解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓C方程為.（1）求圓C的圓心坐標及半徑；（2）求直線被圓C截得的弦長.18.已知等差數(shù)列的前項和為，公比為的等比數(shù)列的前項和為，．（1）若，求數(shù)列通項公式：（2）若，求．19.在空間直角坐標系中，是直角三角形，三個頂點的坐標分別為，，求實數(shù)的值．20.數(shù)列的前項和為，且，在等差數(shù)列中，．（1）求數(shù)列和通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．21.如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，是邊長為2的等邊三角形，為的中點，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大?。?2.在平面直角坐標系中，已知橢圓的焦點為，且過點，橢圓的上、下頂點分別為，右頂點為，直線過點且垂直于軸．（1）求橢圓的標準方程；（2）若點在橢圓上（且在第一象限），直線與交于點，直線與軸交于點，試問：是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由．潮州市2023-2024學年度第一學期期末高二級教學質(zhì)量檢測卷數(shù)學本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考號填寫在答題卡上.2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束，將答題卡交回.一、選擇題（本題共12道小題，其中1至8小題為單項選擇題，9至12小題為多項選擇題）（一）單項選擇題（本題共8道小題，每小題只有一個選項正確，每小題5分，共40分）1.已知橢圓的方程為，則該橢圓的（）A.長軸長為2 B.短軸長為 C.焦距為1 D.離心率為【答案】D【解析】【分析】利用橢圓的標準方程求出即可判斷選項的正誤.【詳解】由橢圓的方程可知：焦點在軸上，即，則.所以長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為.故選：D2.已知斜率為的直線經(jīng)過點，則（）A. B. C.1 D.0【答案】B【解析】【分析】利用斜率公式即可求解.【詳解】因為斜率為的直線經(jīng)過點，所以，解得.故選：B.3.兩平行直線，之間的距離是（）A. B. C.1 D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行求出，再根據(jù)兩平行直線的距離公式可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，解得，所以兩平行直線，之間的距離.故選：A4.拋物線上一點到其焦點的距離為，則點到坐標原點的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由拋物線的方程求出焦點坐標和準線方程，再根據(jù)拋物線的定義求出點的坐標，最后利用兩點間距離公式即可求解.【詳解】設(shè)點.由拋物線可得：焦點坐標為，準線方程為.因為拋物線上一點到其焦點的距離為，所以根據(jù)拋物線的定義可得：，解得：，則.所以點到坐標原點的距離為.故選：C.5.正項等比數(shù)列與正項等差數(shù)列，若，則與的關(guān)系是（）A. B. C. D.以上都不正確【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項公式和等比數(shù)列性質(zhì)可將已知等式化為，由此可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，則，又，，均為正項數(shù)列，.故選：C6.雙曲線的漸近線與直線所圍成的三角形面積為2，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出雙曲線的漸近線方程，求出交點橫坐標，然后求解三角形的面積，推出離心率即可．【詳解】雙曲線的漸近線方程為，將代入中，解得，故，故，故雙曲線的離心率．故選：C.7.已知點在圓上，點，則當最小時，（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】求出過的直線方程，再求出圓心到直線的距離，可判斷直線與圓相離，故當過的直線與圓相切時，滿足最小求出圓心與點間的距離，再由勾股定理求得.【詳解】，，過,的直線方程為，即，圓的圓心坐標為，圓心到直線的距離，如圖，當過的直線與圓相切時，滿足最小或最大點位于時最小，位于時最大），此時，，故選：B8.如圖，在棱長為2的正方體中，點分別在線段和上，則下列結(jié)論中錯誤的結(jié)論（）A.的最小值為2B.四面體的體積為C.有且僅有一條直線與垂直D.存在點，使為等邊三角形【答案】C【解析】【分析】利用異面直線的距離可判定A，利用棱錐的體積公式可判定B，利用特殊位置可排除C，利用坐標法可判定D.【詳解】根據(jù)正方體的特征可知面，又面，所以，即是異面直線和的公垂線，當分別與重合時，最小值，最小值為2，故A正確；易知，所以，故B正確；易知是等邊三角形，所以當是中點，而N與重合時，，又由A項可知當分別與重合時，，故C錯誤；如圖所示，建立空間直角坐標系，則，可設(shè)，，若存在點，使為等邊三角形，則有，由，由，解方程得，當舍去，又因為所以符合題意，即D正確.故選：C（二）多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，每小題有多個選項正確，每小題全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分）9.已知直線，下列結(jié)論正確的是（）A.直線在軸上的截距為 B.當時，直線的傾斜角為C.當時，直線的斜率不存在 D.直線的斜率為【答案】AC【解析】【分析】利用給定的直線方程，結(jié)合截距、斜率、傾斜角的意義逐項分析判斷即得.【詳解】直線，當時，，則直線在軸上的截距為，A正確；當時，直線斜率為，傾斜角為，B錯誤；當時，直線垂直于x軸，其斜率不存在，C正確，D錯誤.故選：AC10.在空間直角坐標系中，向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】利用向量模長的坐標表示可得，可知A正確；由可知，顯然滿足，可得B正確；當時代入計算可得，即C錯誤；代入利用向量數(shù)量積的坐標表示可知，可得D正確.【詳解】由可知，即A正確；當時，則，滿足，因此，即B正確；當時，易知，所以，可知C錯誤；當時，可得，滿足，可知，即D正確故選：ABD11.如果方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍可以是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程特征得出關(guān)系式，解不等式即可.

【詳解】焦點在x軸上，則標準方程中，解得或．又，，得，所以或．故選:BC．12.在公比為整數(shù)的等比數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，若，，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列是等比數(shù)列 B.C. D.數(shù)列是等差數(shù)列【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到，即可得到關(guān)于和方程組，結(jié)合條件解得和，從而得到，再逐一分析各個選項，即可求解.【詳解】因為數(shù)列為等比數(shù)列，則，由，解得：或，則或，又為整數(shù)，所以，且，，所以B選項正確；又，所以，則，，，所以C選項正確；因為，所以不是等比數(shù)列，所以A選項錯誤；又有，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，所以D選項正確；故選：BCD.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.圓心為且經(jīng)過點的圓的標準方程是________．【答案】【解析】【分析】先由題意求出圓的半徑，可得圓的標準方程．【詳解】因為圓心為且經(jīng)過點，所以半徑,于是該圓的標準方程為：.故答案為：.14.設(shè)等比數(shù)列的前項和為，若，則實數(shù)________．【答案】【解析】【分析】由，分別求出，進而利用等比中項即可求解.【詳解】根據(jù)題意，等比數(shù)列中，有，則，，，因為是等比數(shù)列，則有，即，解可得.故答案為：.15.已知為拋物線上的動點，為拋物線的焦點，，則的最小值為________．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義，利用三點共線即可求解.【詳解】拋物線的焦點，準線方程為，如圖所示：設(shè)點M在準線上的射影為D，由拋物線的定義知，所以使得的最小值，則求的最小值，當D，M，P三點共線時，最小，即點到準線的距離，則最小值為.故答案為：5.16.如圖所示，已知橢圓的方程為，若點為橢圓上的點，且，則的面積是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義、余弦定理等知識求得，從而求得的面積.詳解】由已知，得，則，，在中，由余弦定理，得，所以，由，得，所以，化簡解得，所以的面積為.故答案為：.三、解答題：本題共6小題，第17題10分，其余各題每題12分，共70分；解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓C方程為.（1）求圓C的圓心坐標及半徑；（2）求直線被圓C截得的弦長.【答案】（1）圓心坐標為，半徑為2；（2）.【解析】【分析】（1）寫出圓的標準方程即得解；（2）求出圓心到直線的距離即得直線被圓C截得的弦長.【詳解】（1）由題得圓的方程為，所以圓的圓心坐標為，半徑為2.（2）由題得圓心到直線的距離為，所以直線被圓C截得的弦長為.【點睛】結(jié)論點睛：直線被圓所截得到的弦長（其中為圓的半徑，為圓心到直線的距離）.18.已知等差數(shù)列的前項和為，公比為的等比數(shù)列的前項和為，．（1）若，求數(shù)列的通項公式：（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令公差為，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式直接求解即可；（2）利用等比數(shù)列通項公式結(jié)合條件得到，即可求得等差數(shù)列的公差，然后直接利用公式求解即可.【小問1詳解】由題知，令公差為，又，且，所以，又，所以，所以或，又，所以，則.【小問2詳解】若，即，所以或，因為，所以，又，所以，所以.19.在空間直角坐標系中，是直角三角形，三個頂點的坐標分別為，，求實數(shù)的值．【答案】或或或【解析】【分析】利用空間向量的數(shù)量積為零，依次分析即可.【詳解】由于三個頂點的坐標分別為，，，，，當時，，即，解得或；當時，，即，解得或；當時，，即，無解；綜上所述：的值為：或或或.20.數(shù)列的前項和為，且，在等差數(shù)列中，．（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用與之間的關(guān)系可得數(shù)列的通項公式；利用等差數(shù)列的通項公式列方程組可得數(shù)列的通項公式.（2）利用錯位相減法可求得.小問1詳解】當時，，即；當時，由得，則兩式相減得，即，，綜上可知，是首項，公比的等比數(shù)列，則，即.設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，解得，所以，即.故，.【小問2詳解】由（1）知，，則①，②，①②得，整理得，即，所以21.如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，是邊長為2的等邊三角形，為的中點，．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮?1.證明見詳解22.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證明；（2）先證明平面，建立空間直角坐標系，利用向量法求解；【小問1詳解】因為