廣東省東莞市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期七校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

試卷第=page88頁，共=sectionpages88頁東莞市2024—2025學(xué)年第一學(xué)期七校聯(lián)考試卷高二數(shù)學(xué)滿分150分，考試時間120分鐘一、單選題：共8小題，每小題5分.在每小題只有一項是符合題目要求.1．在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，直線的傾斜角等于（

）A． B． C． D．2．若向量，，則（

）A． B． C．3 D．3．在中，已知，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則邊上的中線的長為（

）A．6B． C．D．74．已知圓與圓相交于兩點(diǎn)，則兩圓公共弦所在直線的方程為（

）A．B．C． D．5．設(shè)橢圓的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同，離心率為12，則此橢圓的方程為（

）A．y216+x212=1 B．y26．3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計算）的上底直徑為，下底直徑為，喉部（中間最細(xì)處）的直徑為，則該塔筒的高為（

） B． C． D．如圖①，在中，分別為上的點(diǎn)，.如圖②，將沿折起，當(dāng)四棱錐的體積最大時，點(diǎn)到平面的距離為（

） B． C． D．8．已知橢圓與圓若在橢圓上存在點(diǎn)P，過P作圓的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B使得則橢圓的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題：共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9．已知圓，直線.則以下命題正確的有（

）A．直線l恒過定點(diǎn)B．y軸被圓C截得的弦長為C．直線l與圓C恒相交D．直線l被圓C截得弦長最長時，l的方程為10．已知為雙曲線的兩個焦點(diǎn)，為雙曲線上任意一點(diǎn)，則（

）A． B．雙曲線的離心率為C．雙曲線的漸近線方程為 D．11．如圖，在棱長為1的正方體中，M，N分別是，的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．一定是異面直線B．存在點(diǎn)，使得C．直線與平面所成角的正切值的最大值為D．過M，N，P三點(diǎn)的平面截正方體所得截面面積的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量，，若，則.已知點(diǎn)在焦點(diǎn)為的拋物線上，若，則．14．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與阿基米德、歐幾里得并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他研究發(fā)現(xiàn)：如果一個動點(diǎn)P到兩個定點(diǎn)的距離之比為常數(shù)λ（λ>0，且λ≠1），那么點(diǎn)P的軌跡為圓，這就是著名的阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)P到A2,0，B?2,0的距離比為3，則點(diǎn)P到直線l：22四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．（13分）已知兩直線和的交點(diǎn)為．(1)直線過點(diǎn)且與直線平行，求直線的一般式方程；(2)圓過點(diǎn)且與相切于點(diǎn)，求圓的一般方程．16．（15分）如圖，平行六面體中，，．(1)以向量{CB,CD,CC1}(2)求異面直線與所成角的余弦值．17．（15分）己知橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)，長軸長為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，求弦長；(3)若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且弦的中點(diǎn)為，求直線的方程.18．(17分)在三棱錐中，平面平面，為等腰直角三角形，，，，為的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求平面與平面所成角的余弦值；(3)在線段上是否存在點(diǎn)使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.19．（17分）已知A，B分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上的一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率分別為，且.(1)求雙曲線C的方程；(2)已知過點(diǎn)的直線，交C的左，右兩支于D，E兩點(diǎn)（異于A，B）.（i）求m的取值范圍；（ii）設(shè)直線AD與直線BE交于點(diǎn)Q，求證：點(diǎn)Q在定直線上.東莞市2024—2025學(xué)年第一學(xué)期七校聯(lián)考試卷高二數(shù)學(xué)試卷答案選擇題：題號1234567891011答案ADABCDBCCDBDAD填空題：12．13．314．3215【解】（1）直線與直線平行，故設(shè)直線為，（1分）聯(lián)立方程組，（2分）解得．（3分）直線和的交點(diǎn)．又直線過點(diǎn)，則，解得，（4分）即直線的方程為．（5分）（2）設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，（6分）的斜率為，故直線的斜率為1，（7分）由題意可得（9分）解得（11分）故所求圓的方程為．（12分）化為一般式：．（13分）16【解】（1）以向量{CB,CD,CC因為，，以三角形為等腰直角三角形，所以，（3分）又因為，，所以三角形為邊長為1的等邊三角形，（4分）CA1，（6分）所以|CA1|=3，（7分）所以,即對角線的長度為3．（（2）因為CA1=CB+，|DA|=|CB|=1所以CA1,（12分）所以cos<C即異面直線與所成角的余弦值為.（15分）17【解】（1）由題意設(shè)橢圓C的方程為，因為橢圓經(jīng)過點(diǎn)0,1所以（1分）又因為長軸長為，（3分）所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（4分）（2）由已知設(shè)直線l的方程為，設(shè)，.將直線代入，（5分）得，（6分）所以，，（7分）.（9分）或解出交點(diǎn)坐標(biāo)（8分）（9分）（3）法一：設(shè)，則中點(diǎn)是，于是，（10分）即，（11分）由于在橢圓上，故，（12分）兩式相減得到，即，（13分）故，顯然，于是，（14分）故直線的方程是，整理得（15分）經(jīng)檢驗，直線與雙曲線有兩個交點(diǎn)，合乎題意.(未檢驗，不扣分)法二：①當(dāng)直線l的斜率不存在時，的中點(diǎn)在軸上，不符合題意.（10分）②當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為，（11分）設(shè)，則中點(diǎn)是，于是，即，（12分）聯(lián)立，化簡得，（13分）由于，根據(jù)韋達(dá)定理，解得（14分）故直線的方程是，整理得（15分）18【解】（1）若為中點(diǎn)，連接、，又M為AB的中點(diǎn).∴，（1分）由，則，（2分）又△為等腰直角三角形，，有，（3分）由，則面，（4分）∵面，∴.（5分）（2）由（1）可構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，∴，（6分）則，，，（7分）若為面的一個法向量，則，令，即，（8分）若為面的一個法向量，則，令，即，（9分）∴，（10分）則平面與平面所成角的余弦值為.（11分）（3）若存在N使得平面平面，且，，則，，（12分），，（13分）若是面的一個法向量，則，令，則，（14分）∴，（15分）可得.（16分）∴存在N使得平面平面，此時.（17分）19【解】（1）由題意可知，因為，所以.（1分）因為，，（2分）得，又因為在雙曲線上，則，（3分）所以.（4分）所以雙曲線C的方程為.（5分）（2）（i）由題意知直線l的方程為.聯(lián)立，（6分）化簡得