2024-2025學(xué)年江蘇省常州市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省常州市高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．?dāng)?shù)列，，，，……的通項(xiàng)公式可能是（

）A． B． C． D．2．已知雙曲線的焦距為4，則的值為（

）A．1 B． C．7 D．3．已知圓關(guān)于直線對(duì)稱，則圓的半徑為（

）A． B．2 C． D．44．若直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為（）A．1或3 B．1或3 C．1或3 D．1或35．已知橢圓的兩焦點(diǎn)為為橢圓上一點(diǎn)且，則（

）A． B． C． D．26．若圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則半徑的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．幾何學(xué)中,把滿足某些特定條件的曲線組成的集合叫做曲線族.點(diǎn)Q是橢圓族T上任意一點(diǎn),如圖所示,橢圓族T的元素滿足以下條件:①長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4;②一個(gè)焦點(diǎn)為原點(diǎn)O;③過(guò)定點(diǎn)P(0,3),則|QP|+|QO|的最大值是()A．5 B．7 C．9 D．118．斜率為的直線經(jīng)過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，交雙曲線兩條漸近線于兩點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)且，則雙曲線的離心率為（

）A． B．2 C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，動(dòng)直線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．不存在，使得的傾斜角為90° B．對(duì)任意的，直線恒過(guò)定點(diǎn)C．對(duì)任意的，與都不重合 D．對(duì)任意的，與都有公共點(diǎn)10．?dāng)?shù)學(xué)著作《圓錐曲線論》中給出了圓的一種定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)，距離之比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓.若兩定點(diǎn)A?2,0，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)的軌跡圍成區(qū)域的面積為B．面積的最大值為C．點(diǎn)到直線距離的最大值為D．若圓上存在滿足條件的點(diǎn)，則半徑的取值范圍為11．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．拋物線C方程為：B．設(shè)，則周長(zhǎng)的最小值為4C．若，則直線的斜率為或D．軸上存在一點(diǎn)N，使為定值三、填空題（本大題共3小題）12．已知拋物線的焦點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.13．已知是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是.14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，1），B（1，－1），點(diǎn)P為圓（x－4）2＋y2＝4上任意一點(diǎn)，記△OAP和△OBP的面積分別為S1和S2，則的最小值是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)在軸上，邊上的高所在的直線方程為.(1)求直線的方程；(2)若邊上的中線所在的直線方程為，求的值.16．在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓的圓心在直線上，且圓與直線相切于點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.17．已知橢圓，，為橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線分別交直線、直線于、兩點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求直線的方程．18．已知雙曲線的右頂點(diǎn)，點(diǎn)到雙曲線一條漸近線的距離為.若過(guò)雙曲線上一點(diǎn)作直線與兩條漸近線相交，交點(diǎn)為，且分別在第一象限和第四象限.(1)求雙曲線的方程；(2)若，求的面積.19．已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切.(1)求動(dòng)圓圓心軌跡的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于，兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，直線，分別交軌跡于另一個(gè)點(diǎn)，.若直線和的斜率分別為，.（?。┳C明：；（ⅱ）設(shè)直線，的交點(diǎn)為，求線段長(zhǎng)度的最小值.

答案1．【正確答案】C【詳解】數(shù)列的分母形成首項(xiàng)為5，公差為2的等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式為，所以.故選：C.2．【正確答案】B【詳解】解：已知雙曲線的焦距為4，則，又，解得.故選：B.3．【正確答案】A【詳解】由，可得圓的圓心為.因?yàn)閳A關(guān)于直線對(duì)稱，所以由圓的對(duì)稱性可知，圓心在直線上，則，解得，故圓，可化為，所以圓的半徑為.故選：A.4．【正確答案】A【分析】利用兩線垂直的判定有，求解即可得的值.【詳解】由題設(shè)，，即，解得或.當(dāng)時(shí)，直線分別為、，符合題設(shè)；當(dāng)時(shí)，直線分別為、，符合題設(shè).故選：A5．【正確答案】A【詳解】橢圓得，，，設(shè)，，則，，，，，，即．故選：A．6．【正確答案】B【詳解】由已知條件得的圓心坐標(biāo)為，圓心到直線為，∵圓上至少有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，∴圓的半徑的取值范圍是，即，即半徑的取值范圍是.故選.7．【正確答案】A必刷知識(shí)：新定義及橢圓的定義設(shè)點(diǎn)Q所在橢圓的另一焦點(diǎn)為F,則|QP|+|QO|=|QP|+4-|QF|≤|PF|+4=4-|PO|+4=5.故選A．8．【正確答案】A【分析】設(shè)為中點(diǎn)，由可得，從而確定點(diǎn)坐標(biāo)，再用點(diǎn)差法探索雙曲線中，的關(guān)系，從而確定離心率.【詳解】如圖：取為中點(diǎn)，則由題意得，，則，，作軸于點(diǎn)，則，，，所以點(diǎn)坐標(biāo)為，再設(shè)，，由，且，，得，.故選A.9．【正確答案】BD【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，符合傾斜角為90°，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，解可得，故過(guò)定點(diǎn)，故B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，顯然與重合，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，過(guò)定點(diǎn)，而也在上，故對(duì)任意的，與都有公共點(diǎn)，故D正確；故選：BD10．【正確答案】ABD【詳解】由題意，設(shè)點(diǎn)，又，所以，化簡(jiǎn)可得，所以點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，所以點(diǎn)的軌跡圍成的區(qū)域面積為，A選項(xiàng)正確；又點(diǎn)滿足，所以，B選項(xiàng)正確；點(diǎn)到直線的距離，所以直線與圓相離，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由D選項(xiàng)可知圓與圓有公共點(diǎn)，所以，且，即，所以，D選項(xiàng)正確；故選：ABD.11．【正確答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，則，所以拋物線，故A正確；B選項(xiàng)，如圖，過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，交y軸于，，根據(jù)拋物線的定義可得，所以周長(zhǎng)為，由圖可知，當(dāng)A，C與點(diǎn)Q三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，最小值為Q到準(zhǔn)線的距離為，所以，所以周長(zhǎng)的最小值是，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立，整理可得：，易知，設(shè)，，可得，，∵，，解得，，，解得，，因此C正確；D選項(xiàng)，設(shè)在x軸上存在一點(diǎn)，則，故當(dāng)時(shí)，，即存在點(diǎn)使得為定值0．故D項(xiàng)正確．故選：ACD．12．【正確答案】【分析】設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，再由點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)可解得，可得答案.【詳解】根據(jù)題意可知拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，不妨設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，由焦點(diǎn)關(guān)于其準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)為可知，解得，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為.13．【正確答案】【詳解】設(shè)以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，則到漸近線的距離，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋噪p曲線的離心率的取值范圍是.故答案為.14．【正確答案】設(shè)∠AOP＝α，利用面積公式得，求出的最小值即可.【詳解】設(shè)∠AOP＝α，易知OA＝，OB＝，∠AOB＝，則∠BOP＝，，，故，直線，圓（x－4）2＋y2＝4圓心到兩條直線的距離均為，直線與圓相離，由圖易知，圓在內(nèi)部，設(shè)，，即，解得，所以最大為，即直線OP與圓相切時(shí)，當(dāng)切點(diǎn)在第一象限的點(diǎn)的時(shí)候，，取得最小值.故15．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意，由邊上的高所在的直線的斜率為，得直線的斜率為，又，所以直線的方程為，即.（2）由點(diǎn)在軸上，設(shè)，則線段的中點(diǎn)，由點(diǎn)在直線上，得，得，即，又點(diǎn)在直線上，因此，解得，所以的值為.16．【正確答案】(1)；(2)或.【分析】（1）求出過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程，與聯(lián)立求出圓心，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離求出半徑，即可得圓的方程；（2）分類討論，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合過(guò)原點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為，聯(lián)立，解得，所以,所以圓的半徑為,所以圓的方程為.

（2）由（1）可知圓的方程為，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)為，所以到直線的距離為，若直線的斜率不存在，則方程為，此時(shí)圓心到直線的距離為，不符合題意；若直線的斜率存在，設(shè)方程為，則,即,解得或,所以直線的方程為或.

17．【正確答案】（1）；（2）或．【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題中條件求出，得出，根據(jù)橢圓的定義，求出，得出，，即可得出橢圓方程；（2）由題意直線的斜率必定不為零，于是可設(shè)直線，設(shè)，，根據(jù)韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式，以及題中條件，得到，求出其取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，則，則，

∴，則由橢圓定義，∴，則，

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）由題意直線的斜率必定不為零，于是可設(shè)直線，聯(lián)立方程得，

∵設(shè)，，由題意，，由韋達(dá)定理，，則，∴，

∵，∴，∴，

又，∴，

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．此時(shí)直線的方程為或．本題主要考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓中的最值問(wèn)題，熟記橢圓方程的求法，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于常考題型.18．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求解即得；（2）設(shè)直線方程為，與雙曲線的漸近線方程結(jié)合求出點(diǎn)的坐標(biāo)并代入雙曲線方程，再求出的縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值即可求出面積.【詳解】（1）依題意，，雙曲線的漸近線為，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線方程為，則直線交軸于點(diǎn)，由（1）知，雙曲線的漸近線為，設(shè)，由消去得，則，有，由，得為線段中點(diǎn)，點(diǎn)，而點(diǎn)在雙曲線：上，于是，整理得，又，所以的面積.19．【正確答案】(1)(2)（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）3；【分析】（1）根據(jù)給定條件，可得動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，利用拋物線的定義求解方程作答.（2）（?。┰O(shè)直線的方程，與曲線的方程聯(lián)立，設(shè)出，用分別表示點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再計(jì)算，作答.（ⅱ）由（?。┣蟪鲋本€的方程，直線的方程，并聯(lián)立求出交點(diǎn)的軌跡即可求解作答.【詳解】（1）依題意，動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等，因此動(dòng)圓圓心的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以動(dòng)圓圓心軌跡的方程為.（2）（?。┰O(shè)，，，，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，顯然直線不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線的方程為，，由消去x并整理，得，于是，直線上任意點(diǎn)，有，而，于是，又，因此直線的方程為，由消