《函數(shù)的概念及其表示》知識探究

高中數(shù)學精編資源3/3《函數(shù)的概念及其表示》知識探究探究點1函數(shù)的概念1.函數(shù)的傳統(tǒng)定義一般地,在一個變化過程中,如果有兩個變量與,并且對于的每一個確定的值,都有唯一確定的值與其對應,那么就稱是自變量,是的函數(shù).2.函數(shù)的近代定義一般地,設是非空的實數(shù)集,如果對于集合中的任意一個數(shù),按照某種確定的對應關(guān)系,在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對應,那么就稱為從集合到集合的一個函數(shù)(function),記作.其中,叫做自變量,的取值范圍叫做函數(shù)的定義域(domain);與的值相對應的值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域(range).顯然,值域是集合的子集.【要點辨析】1.對應關(guān)系的含義對應關(guān)系是函數(shù)的本質(zhì)特征,好比是計算機中的某個“程序”,當)的括號內(nèi)輸入一個值時,在此“程序”作用下便可輸出某個數(shù)據(jù),即函數(shù)值,如表示“自變量的3倍加上”,如.需要注意的是:這里的“”既可以是一個數(shù),也可以是一個代數(shù)式,還可以是某個函數(shù)符號,如,則等.2.判斷給定的兩個變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系的方法(1)是否給出定義域和對應關(guān)系.(2)根據(jù)給出的對應關(guān)系,自變量在定義域中的每一個值是否都有唯一的函數(shù)值與它對應.學科素養(yǎng):運用集合思想與對應的語言刻畫函數(shù)概念,提升邏輯推理核心素養(yǎng).典例1[推測解釋能力]在下列從集合到集合的對應關(guān)系中,不能確定是的函數(shù)的是_____________.①,對應法則.②,對應法則.③,對應法則.④,對應法則.⑤,對應法則.⑥,對應法則:.解析:根據(jù)函數(shù)的概念及三要素進行推測判斷是解決問題的關(guān)鍵.要判斷給定的兩個變量之間是否具有函數(shù)關(guān)系,應該先檢驗題目是否存在定義域和對應關(guān)系,再根據(jù)此對應關(guān)系,計算自變量在其定義域中的每一個值是否都能確定唯一的函數(shù)值與之對應.具體解題過程如下:①在對應法則下,中不能被6整除的數(shù)在中沒有對應的元素,所以不能確定是的函數(shù).②在對應法則下,中的數(shù)在中有兩個數(shù)與之對應,所以不能確定是的函數(shù).③在對應法則下,中的數(shù)(除去4與-4外)在中有兩個數(shù)或沒有數(shù)與之對應,所以不能確定是的函數(shù).⑤不是數(shù)集,所以不能確定是的函數(shù).④⑥顯然滿足函數(shù)的特征,故能確定是的函數(shù).答案:①②③⑤探究點2區(qū)間的概念與應用設,且.定義名稱符號數(shù)軸表示閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間無窮區(qū)間無窮區(qū)間無窮區(qū)間無窮區(qū)間【要點辨析】理解區(qū)間概念時,需注意下列四點:(1)區(qū)間符號里面的兩個字母(或數(shù)字)之間用“,”隔開.(2)區(qū)間實質(zhì)上是一類特殊數(shù)集(部分實數(shù)組成的集合)的符號表示.(3)區(qū)間表示實數(shù)集的三個原則:①是連續(xù)的數(shù)集.②左端點必須小于右端點.③開或閉不能混淆.(4)“∞”是一個趨向符號,表示無限接近,卻永遠不能到達,不是一個數(shù).因此以“-∞”和“+∞”為區(qū)間的一端時,這一端必須用小括號.學科素養(yǎng):通過用區(qū)間表示函數(shù)的定義域、值域和數(shù)集,提升數(shù)學抽象、數(shù)學運算核心素養(yǎng).典例2-1[概括理解能力]用區(qū)間表示下列數(shù)集:(1)_________.(2)_________.(3)且_________.(4)_________.(5)_________.(6)_________.解析:理解區(qū)間的概念,進行分析是解答本題的關(guān)鍵.用區(qū)間表示數(shù)集時,要注意:(1)區(qū)間的左端點必須小于右端點.(2)開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間的表示不能混淆.(3)趨向符號“”的應用.答案:(1).(2).(3).(4).(5).(6).典例2-2[分析計算能力](1)(2018山東菏澤高一期末調(diào)考)函數(shù)的定義域為的定義域為,則()A.B.C.D.(2)(2018江蘇啟東中學期中)將函數(shù)的定義域用區(qū)間表示為____.解析:理解函數(shù)的概念,通過計算求出函數(shù)的定義域,再用區(qū)間表示即可,注意要使函數(shù)有意義.具體解題過程如下:(1)函數(shù)的定義域為的定義域為,從而,所以,即.(2)由,解得且,用區(qū)間表示為.答案:(1)(2)探究點3函數(shù)的表示方法1.解析法圓的面積是半徑的函數(shù),用式子來表示.這種把常量和表示自變量的字母用一系列運算符號連接起來得到的式子,叫做解析式(常叫做解析表達式或函數(shù)關(guān)系式).如果在函數(shù)中,是用代數(shù)式(或解析式)表達的,則這種表達函數(shù)的方法叫做解析法.2.圖象法函數(shù)圖象的形狀不一定是一條或幾條無限長的平滑曲線,也可以是一些點、一些線段、一段曲線等,但不是任何一個圖形都是函數(shù)圖象.如圖(1)(2)就不是函數(shù)的圖象,因為它們不符合函數(shù)的定義.對于的不同取值,可能有兩個或多個數(shù)值和它對應,這不符合函數(shù)的定義.直線與函數(shù)的圖象的交點至多有一個,這點可從映射的觀點去理解.函數(shù)圖象的形狀與定義域和對應法則有關(guān),定義域確定變量的分布范圍,對應法則確定形狀.3.列表法列表法就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關(guān)系.學科素養(yǎng):借助實際問題,展示函數(shù)的三種表示方法,提升數(shù)學建模、數(shù)學運算核心素養(yǎng).典例3[簡單問題解決能力］(2018北京西城高一聯(lián)考)某商場新進了10臺彩電,每臺售價3000元,試求售出臺數(shù)(為正整數(shù))與收款數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系,分別用列表法、圖象法、解析法表示出來.解析:掌握函數(shù)的表示方法是解決本題的關(guān)鍵.本題中函數(shù)的定義域不是連續(xù)的,作圖時應注意函數(shù)圖象是一些點,而不是直線.具體解題過程如下:(1)列表法:臺元臺元1300061800026000721000390008240004120009270005150001030000(2)圖象法:如圖所示.(3)解析法:.探究點4分段函數(shù)1.分段函數(shù)的定義函數(shù)與函數(shù)是同一函數(shù),但在表達方式上有所區(qū)別,前者在定義域內(nèi)有一個解析式,而后者的定義域被分為兩部分,而在不同的部分有不同的解析式.在函數(shù)的定義域內(nèi),對于自變量在不同取值范圍內(nèi),函數(shù)有著不同的對應關(guān)系,這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù).2.分段函數(shù)常見的幾種類型(1)取整的數(shù):表示不大于的最大整數(shù)).(2)(3)含絕對值符號的函數(shù).如(4)自定義函數(shù).如3.分段函數(shù)的圖象分段函數(shù)有幾段,它的圖象就由幾條曲線組成.在同一直角坐標系中,根據(jù)每段的定義區(qū)間和表達式依次畫出圖象.要注意每段圖象的端點是空心點還是實心點,組合到一起就得到整個分段函數(shù)圖象.【要點辨析】1.分段函數(shù)是一個函數(shù),只有一個圖象,作圖時要將各段函數(shù)圖象畫在同一直角坐標系中,而不能將它們分別畫在不同的直角坐標系中.2.根據(jù)函數(shù)的概念,可知在函數(shù)圖象中,橫坐標相同的地方不能有兩個或兩個以上的點.即一定要考慮區(qū)間端點是否包含在內(nèi),若包含端點,則用實心點表示；若不包含端點,則用空心點表示.3.分段函數(shù)是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù),處理分段函數(shù)問題時,首先要確定自變量的取值屬于哪一個范圍,從而選擇相應的對應關(guān)系.4.分段函數(shù)的定義域是幾段自變量取值范圍的并集,各段定義域的交集是空集.5.分段函數(shù)的值域是各段函數(shù)在相應區(qū)間上函數(shù)取值集合的并集.6.分段函數(shù)在書寫時用大括號的左半邊把各段函數(shù)合并寫成一個函數(shù)的形式,并且必須指明各段函數(shù)自變量的取值范圍.學科素養(yǎng):通過分段函數(shù)求定義域、值域,畫函數(shù)圖象,提升數(shù)學運算核心素養(yǎng).典例4-1[分析計算能力](1)(2018山東煙臺三中月考)設則的值為()A.1B.0C.D.(2)函數(shù)則()A.B.0C.1D.2解析:本題是分段函數(shù)相關(guān)的求值問題,通過分析自變量的取值屬于哪一段,就用那一段的解析式就可以解決此問題.具體解題過程如下:(1)由題設知,,所以.(2)當時,.而當時,,∴.答案:(1)(2)典例4-2[綜合問題解決能力](2018河南信陽二中周測)已知函數(shù).(1)用分段函數(shù)的形式表示該函數(shù).(2)畫出函數(shù)的圖象.(3)寫出該