第4章 立體幾何（知識(shí)考點(diǎn)）-【中職專用】高中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)講與測(cè)（高教版2021·拓展模塊一上冊(cè)）原卷版

第4第4章立體幾何知識(shí)點(diǎn)一：平面1．平面的特征和表示(1)平面的特征幾何里的“平面”沒有邊界，畫平面的時(shí)候一般用平行四邊形表示平面.(2)平面的畫法常常把水平的平面畫成一個(gè)平行四邊形，并且其銳角畫成45°，且橫邊長等于鄰邊長的2倍.一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住，為了增強(qiáng)立體感，被遮擋部分用虛線畫出來.(3)平面的表示方法①用希臘字母表示，如平面α，平面β，平面γ.②用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母表示，如平面ABCD.③用表示平面的平行四邊形的相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)表示，如平面AC，平面BD.(4)點(diǎn)、直線、平面之間的基本位置關(guān)系及語言表達(dá)文字語言符號(hào)語言圖形語言A在l上A∈lA在l外A?lA在α內(nèi)A∈αA在α外A?αl在α內(nèi)l?αl在α外l?αl，m相交于Al∩m＝Al，α相交于Al∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l2．平面的基本性質(zhì)公理文字語言圖形語言符號(hào)語言作用公理1如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α①確定直線在平面內(nèi)的依據(jù)②判定點(diǎn)在平面內(nèi)公理2過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面A，B，C三點(diǎn)不共線?存在唯一的平面α使A，B，C∈α①確定平面的依據(jù)②判定點(diǎn)線共面公理3如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線P∈α且P∈β?α∩β＝l，且P∈l①判定兩平面相交的依據(jù)②判定點(diǎn)在直線上知識(shí)點(diǎn)二：直線與直線的位置關(guān)系1．空間兩條直線的位置關(guān)系2．公理4及等角定理(1)公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行．符號(hào)表示：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥b,b∥c))?a∥c．(2)等角定理：如果空間中一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．3．異面直線的判定及其所成的角(1)異面直線的判定定理定理文字語言符號(hào)表示圖形語言異面直線的判定定理過平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線若l?α，A?α，B∈α，B?l，則直線l與AB是異面直線(2)異面直線所成的角①定義：a與b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫作異面直線a，b所成的角或夾角．②異面直線所成的角θ的取值范圍：．③當(dāng)θ＝eq\f(π,2)時(shí)，a與b互相垂直，記作a⊥b．(3)求兩條異面直線所成角的步驟①恰當(dāng)選點(diǎn)，用平移法構(gòu)造出一個(gè)相交角．②證明這個(gè)角就是異面直線所成的角(或補(bǔ)角)．③把相交角放在平面圖形中，一般是放在三角形中，通過解三角形求出所構(gòu)造的角的度數(shù)．=4\*GB3④若求出的平面角是銳角或直角，則它就是兩條異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是兩條異面直線所成的角．知識(shí)點(diǎn)三：直線與平面的位置關(guān)系1．直線與平面的位置關(guān)系位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a在平面α外直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)符號(hào)表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示2．直線與平面平行(1)直線與平面平行的判定定理文字語言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行符號(hào)語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α，,b?α，,a∥b))?a∥α圖形語言(2)直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行符號(hào)語言l∥α，l?β，α∩β＝m?l∥m圖形語言3．直線與平面垂直(1)直線與平面垂直的定義定義如果直線a與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱直線a與平面α垂直記法a⊥α有關(guān)概念直線a叫作平面α的垂線，平面α叫作直線a的垂面，垂線和平面的交點(diǎn)稱為垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直注意：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．從平面外一點(diǎn)引平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離，叫作這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離．(2)直線與平面垂直的判定定理文字語言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直符號(hào)語言若a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m?α，n?α，則a⊥α圖形語言(3)直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α，,b⊥α))?a∥b圖形語言作用①線面垂直?線線平行；②作平行線注意：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫作這條直線和這個(gè)平面的距離．4．直線與平面所成的角有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線一條直線與一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫作這個(gè)平面的斜線，如圖中直線PQ斜足斜線與平面的交點(diǎn)，如圖中點(diǎn)Q斜線段斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫作這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段，如圖中線段PQ射影如圖，過平面外一點(diǎn)P向平面α引斜線和垂線，那么過斜足Q和垂足P1的直線就是斜線在平面內(nèi)的射影，線段P1Q就是斜線段PQ在平面α內(nèi)的射影直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的稅角，如圖中∠PQP1規(guī)定：如果一條直線垂直于平面，那么稱它們所成的角是直角；如果一條直線與平面平行或在平面內(nèi)，那么稱它們所成的角是0°角取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，則0°≤θ≤90°知識(shí)點(diǎn)四：平面與平面的位置關(guān)系1．兩個(gè)平面的位置關(guān)系位置關(guān)系圖形表示符號(hào)表示公共點(diǎn)平面α與平面β平行α∥β沒有公共點(diǎn)平面α與平面β相交α∩β＝a有一條公共直線2．兩平面平行(1)平面與平面平行的判定定理表示定理圖形文字符號(hào)兩個(gè)平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行若a?α，b?α，a∩b＝A，且a∥β，b∥β，則α∥β(2)平面與平面平行的性質(zhì)定理表示定理圖形文字符號(hào)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β，,α∩γ＝a，,β∩γ＝b))?a∥b注意：與兩個(gè)平行平面都垂直的直線，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線，它夾在這兩個(gè)平行平面間的線段，叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線段．我們把公垂線段的長度叫作兩個(gè)平行平面間的距離．3．兩面角概念一般地，一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形圖示平面角定義一般地，以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角圖示符號(hào)OA?α，OB?β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角范圍[0，π]規(guī)定二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫作直二面角記法如圖，棱為AB，面為α，β的二面角，記作二面角α－AB－β，也可以記作M－AB－N4．兩平面垂直(1)平面與平面垂直的概念①定義：一般地，如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個(gè)平面互相垂直．②畫法：③記作：α⊥β.(2)平面與平面垂直的判定定理文字語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直符號(hào)語言l⊥α，l?β?α⊥β圖形語言(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直符號(hào)語言α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β圖形語言考點(diǎn)一平面1．下列命題中是真命題的是（

）A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面B．一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面C．兩條直線確定一個(gè)平面D．兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線，確定一個(gè)平面2．下列說法中，正確的是（

）．A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．過一條直線的平面有無數(shù)多個(gè)C．兩條直線確定一個(gè)平面 D．三條兩兩相交的直線確定三個(gè)平面3．在空間，給出下面四個(gè)命題：①三個(gè)不同的點(diǎn)確定一個(gè)平面；②一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；③空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；④兩條相交直線確定一個(gè)平面.其中正確命題的序號(hào)是（

）A．① B．② C．③ D．④4．給出下列語句：①桌面給人以平面的形象；②一個(gè)平面長3m，寬2m；③平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)點(diǎn)，平面可以看成點(diǎn)的集合；④空間圖形是由空間的點(diǎn)、線、面所構(gòu)成的.其中正確的個(gè)數(shù)為A．1 B．2 C．3 D．4考點(diǎn)二直線與直線的位置關(guān)系5．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：①直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是________；②直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是________；③直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是________；④直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是________．6．下列命題中正確的有________．(填序號(hào))①兩條直線無公共點(diǎn)，則這兩條直線平行；②兩條不重合的直線若不是異面直線，則必相交或平行；③過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)的任意一條直線均構(gòu)成異面直線；④和兩條異面直線都相交的兩直線必是異面直線．7．如圖，在三棱錐中，M，N，E，F(xiàn)分別為棱SA，SC，AB，BC的中點(diǎn)，試判斷直線MN與直線EF是否平行．8．在三棱錐中分別是邊的中點(diǎn)，且，則四邊形是（

）A．平行四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形考點(diǎn)三直線與平面的位置關(guān)系9．下列命題正確的是()A．如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線就與這個(gè)平面平行B．過直線外一點(diǎn)，可以作無數(shù)個(gè)平面與這條直線平行C．如果一條直線與平面平行，則它與平面內(nèi)的任何直線平行D．如果一條直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則該直線與平面平行10．如圖所示，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，E，F(xiàn)分別為四邊形ABCD和四邊形A′B′C′D′的中心，則正方體的六個(gè)面中與EF平行的平面有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)11．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面AD1G.12．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，P是平面ABCD外一點(diǎn)，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．求證：MN∥平面PAD.13．如圖所示，在四面體ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面體，求證：截面MNPQ是平行四邊形．14．下列命題中，正確的是()A．若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥αB．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線C．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直D．若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α15．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．則能保證該直線與平面垂直的是________．(填序號(hào))16．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝eq\r(2)，PA⊥平面ABCD，PA＝1，則PC與平面ABCD所成的角的大小是________．17．如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.18．如圖，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B，a?α，a⊥AB.求證：a∥l.考點(diǎn)四平面與平面的位置關(guān)系19．下列命題正確的是()A．一個(gè)平面內(nèi)兩條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行B．如果一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行C．平行于同一直線的兩個(gè)平面一定相互平行D．如果一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行20．如圖所示的三棱柱ABC－A1B1C1，過A1B1的平面與平面ABC交于直線DE，則DE與AB的位置關(guān)系是()A．異面 B．平行C．相交 D．以上均有可能21．已知l⊥α，則過l與α垂直的平面()A．有1個(gè)B．有2個(gè)C．有無數(shù)個(gè)D．不存在22．在正方體ABCD