解析幾何專(zhuān)題復(fù)習(xí)08 焦長(zhǎng)與焦比體系之雙曲線(xiàn) 訓(xùn)練題集【教師版】

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2專(zhuān)題08焦長(zhǎng)與焦比體系之雙曲線(xiàn)【突破滿(mǎn)分?jǐn)?shù)學(xué)之秒殺技巧與答題模板】：周長(zhǎng)問(wèn)題：雙曲線(xiàn)（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)為、，弦過(guò)左焦點(diǎn)（、都在左支上），，則的周長(zhǎng)為（如下圖左）焦長(zhǎng)公式：（1）當(dāng)AB交雙曲線(xiàn)于一支時(shí)，，（圖中）（2）當(dāng)AB交雙曲線(xiàn)于兩支時(shí)，，（圖右）雙曲線(xiàn)焦比定理和橢圓的焦比定理一致：令，即，代入弦長(zhǎng)公式可得．若交于兩支時(shí)，，代入弦長(zhǎng)公式可得．【考點(diǎn)精選例題精析】：例1．（2021·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知，為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，斜率為的直線(xiàn)過(guò)分別交雙曲線(xiàn)左、右支于、點(diǎn)，，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)，由雙曲線(xiàn)定義得：，，作，利用勾股定理求得參數(shù)關(guān)系，結(jié)合漸近線(xiàn)公式即可求解．【詳解】設(shè)，由雙曲線(xiàn)定義得：，，所以，作，△中，設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為，則，可得，△中，勾股定理得：①，△中，勾股定理得：，可得②，由①②可得，整理可得，即可得．所以漸近線(xiàn)的斜率為，故漸近線(xiàn)方程為．故選：D．【變式訓(xùn)練1-1】、（2022·黑龍江·哈爾濱三中一模（理））已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為，，A為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，設(shè)，，若，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】在中，利用正弦定理求得，再根據(jù)，可得，化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)，結(jié)合二倍角得正余弦公式求得，從而可求得，即可的解.【詳解】解：在中，由正弦定理得，所以，因?yàn)锳為雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，所以，即，所以，即，所以，因?yàn)椋?，所以，即，解得，即，所以，則，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：B.【變式訓(xùn)練1-2】、（2022·新疆·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，已知，為雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作直線(xiàn)，交雙曲線(xiàn)于，，，四點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形，且以為直徑的圓過(guò)，，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用雙曲線(xiàn)的定義，幾何關(guān)系以及對(duì)稱(chēng)性，再利用平行四邊形的特點(diǎn)，以及點(diǎn)在圓周上的向量垂直特點(diǎn)，列方程可解.【詳解】設(shè)，則，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性和平行四邊形的對(duì)稱(chēng)性可知：，連接，則有，由于在以AD為直徑的圓周上，，∵ABCD為平行四邊形，，，在直角三角形中，，，解得：，；在直角三角形中，，，得，，故選：D.【變式訓(xùn)練1-3】、（2022·四川德陽(yáng)·二模（文））以雙曲線(xiàn)（a＞0，b＞0）中心O（坐標(biāo)原點(diǎn)）為圓心，焦距為直徑的圓與雙曲線(xiàn)在第一象限內(nèi)交于M點(diǎn)，、分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)，垂足恰為的中點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】【分析】由題意的坐標(biāo)為，代入雙曲線(xiàn)方程可得的方程，即可求出雙曲線(xiàn)的離心率．【詳解】解：由題意可得圓的半徑為，圓心為，依題意可得的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，即的坐標(biāo)為，代入雙曲線(xiàn)方程可得，即有，，，或，因?yàn)?，所以，故選：C例2．（2022·安徽·高二開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)C的左支于P，Q兩點(diǎn)，若且的周長(zhǎng)為，則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)__________.【答案】##【解析】【分析】由所給的條件，利用雙曲線(xiàn)的定義即可.【詳解】由雙曲線(xiàn)定義知，則，，所以，∴的周長(zhǎng)為，∴……①，，由，得∴……②，由①②：∴，，∴，在中，，.故答案為：.【變式訓(xùn)練2-1】、（2022·廣東汕頭·一模）已知雙曲線(xiàn)，，為C的兩條漸近線(xiàn)，過(guò)C的右焦點(diǎn)F作的垂線(xiàn)，垂足為A，且該垂線(xiàn)交于點(diǎn)B，若，則曲線(xiàn)C的離心率______.【答案】##【解析】【分析】不妨設(shè)為，為，則直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)，得出的齊次式，從而可得出答案.【詳解】解：不妨設(shè)為，為，過(guò)C的右焦點(diǎn)F作的垂線(xiàn)，垂足為A，且該垂線(xiàn)交于點(diǎn)B，，則直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，解得，即，聯(lián)立，解得，即，則，，因?yàn)?，所以，所以，即，所以，所以，所?故答案為：.【變式訓(xùn)練2-2】、（2022·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)的左?右焦點(diǎn)分別為，直線(xiàn)在第一象限交雙曲線(xiàn)C右支于點(diǎn)A.若雙曲線(xiàn)的離心率滿(mǎn)足，且，則k的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由雙曲線(xiàn)的定義結(jié)合勾股定理得出，再由等面積法得出，，再由結(jié)合離心率公式以及范圍得出k的取值范圍.【詳解】設(shè)，由題可知，∴.∴，∴，∴.又由，可知，∴，解得.∵，，∴.∴，依題意，，∴.故答案為：【變式訓(xùn)練2-3】、（2022·浙江新昌·高三期末）梯形中，，線(xiàn)段交以，為焦點(diǎn)且過(guò)，的雙曲線(xiàn)于點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為_(kāi)____.【答案】【解析】【分析】設(shè)，雙曲線(xiàn)為，求坐標(biāo)，應(yīng)用定比分點(diǎn)求坐標(biāo)，將代入雙曲線(xiàn)方程得到齊次方程求離心率即可.【詳解】由題設(shè)，如下圖示，令雙曲線(xiàn)為，由，則，令，可得，故，又，則，，所以，由E在雙曲線(xiàn)上，可得，整理得，且，則.故答案為：.【變式訓(xùn)練2-4】、（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)，分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn).為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離是______.【答案】【解析】【分析】由條件可得，由勾股定理結(jié)合條件求出，，由雙曲線(xiàn)的定義得出，進(jìn)一步得出雙曲線(xiàn)的方程，從而求出漸近線(xiàn)方程，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得出答案.【詳解】由得.又因?yàn)?，由勾股定理?解得，，由雙曲線(xiàn)定義得，所以，所以，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)是，所以焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離.故答案為：【變式訓(xùn)練2-5】、（2022·云南師大附中高三階段練習(xí)（理））已知，為雙曲線(xiàn)：的左右焦點(diǎn)，直線(xiàn)：與雙曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，且，則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)_____________．【答案】##【解析】【分析】不妨設(shè)，分別在第一、第三象限，易知，再由得到是正三角形，利用雙曲線(xiàn)的定義求解.【詳解】不妨設(shè)，分別在第一、第三象限，則．由得，且四邊形為矩形．故是正三角形，，．由雙曲線(xiàn)的定義知，從而，故答案為：．例3．（2022·河南·夏邑第一高級(jí)中學(xué)高二期末（文））已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且的離心率與雙曲線(xiàn)的離心率互為倒數(shù).(1)求的方程；(2)若直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，求直線(xiàn)的方程.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由題設(shè)可得橢圓參數(shù)，并確定雙曲線(xiàn)的離心率，可得橢圓離心率，進(jìn)而求出橢圓參數(shù)b，即可寫(xiě)出的方程；（2）設(shè)，，應(yīng)用點(diǎn)差法可得，根據(jù)中點(diǎn)公式可得，，即可求直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而應(yīng)用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)的方程.(1)由橢圓經(jīng)過(guò)，則.雙曲線(xiàn)的離心率為2，則的離心率為，，所以，故的方程為.(2)設(shè)，，因?yàn)?，在上，所以，?②，得，所以.因?yàn)槭窍业闹悬c(diǎn)，則，，由上有，故直線(xiàn)的斜率，所以直線(xiàn)的方程為，即.【變式訓(xùn)練3-1】、（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)，離心率為，且過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)雙曲線(xiàn)的左右頂點(diǎn)為，，且動(dòng)點(diǎn)，在雙曲線(xiàn)上，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，，，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用離心率，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上以及，，的關(guān)系，聯(lián)立方程即可求得，的值，從而求得雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將直線(xiàn)和直線(xiàn)的方程分別用點(diǎn)斜式表示出來(lái)，并聯(lián)立求得點(diǎn)的軌跡方程，易知，再由點(diǎn)的軌跡方程，可知的范圍，從而求解.(1)解：設(shè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，聯(lián)立得，，所以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)解：已知，，，.當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)，重合，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，直線(xiàn)，聯(lián)立兩直線(xiàn)方程得.又因?yàn)?，即，所以，?又，且，所以.【變式訓(xùn)練3-2】、（2022·河南·襄城縣教育體育局教學(xué)研究室二模（理））已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)F與x軸垂直的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，且.(1)求C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的左?右兩支分別交于D，E兩點(diǎn)，與雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)分別交于G，H兩點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)為，且，由求解；（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，求得，與雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程聯(lián)立，求得，根據(jù)求解.(1)解：由題意得，解得故C的方程為.(2)顯然直線(xiàn)率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為，，，聯(lián)立，得，因?yàn)榕c雙曲線(xiàn)C的左，右兩支分別交于D，E兩點(diǎn)，故，解得，此時(shí)有.，，由，解得，同理可得，所以.因?yàn)椋?因?yàn)?，故，故?shí)數(shù)的取值范圍是.【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】：1．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（文））如圖，已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為F，以原點(diǎn)為圓心，焦距為直徑的圓交雙曲線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)F，若，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】記左焦點(diǎn)為，連接，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得，由得，然后由雙曲線(xiàn)的定義和直角三角形、直角三角形建立的關(guān)系式求得漸近線(xiàn)方程．【詳解】如圖，記左焦點(diǎn)為，連接，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性得，由得，設(shè)，則，又，即，從而由得，，，從而，所以，化簡(jiǎn)得，所以，漸近線(xiàn)方程為．故選：D．2．（2022·福建漳州·二模）倫敦奧運(yùn)會(huì)自行車(chē)賽車(chē)館有一個(gè)明顯的雙曲線(xiàn)屋頂，該賽車(chē)館是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品，若將如圖所示的雙曲線(xiàn)屋頂?shù)囊欢谓瓶闯呻x心率為的雙曲線(xiàn)上支的一部分，點(diǎn)F是C的下焦點(diǎn)，若點(diǎn)P為C上支上的動(dòng)點(diǎn)，則與P到C的一條漸近線(xiàn)的距離之和的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出雙曲線(xiàn)方程，則可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線(xiàn)方程，上焦點(diǎn)為，則由雙曲線(xiàn)的定義可得，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性取一條漸近線(xiàn)，設(shè)到的距離為，則將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求出，而的最小值為到漸近線(xiàn)的距離，從而可求得答案【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率為，所以，解得，則雙曲線(xiàn)方程為，，所以下焦點(diǎn)，漸近線(xiàn)方程為，設(shè)上焦點(diǎn)為，則，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，不妨取一條漸近線(xiàn)為，設(shè)到的距離為，則與P到C的一條漸近線(xiàn)的距離之和為，因?yàn)榈淖钚≈禐榈綕u近線(xiàn)的距離，所以的最小值為，即與P到C的一條漸近線(xiàn)的距離之和的最小值為5，故選：D3．（2022·黑龍江·鐵人中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)，分別為雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)，M為C的左支上一點(diǎn)，，若圓與直線(xiàn)相切，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線(xiàn)與圓相切可得等腰三角形底邊上的高，再結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義可得的關(guān)系式，從而可求雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】作，垂足為，因?yàn)閳A與直線(xiàn)相切，故.因?yàn)?，所以，而，故三角形為等腰三角形，故，又，即，所以，?故選：A.4．（2022·吉林·長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，兩條漸近線(xiàn)的夾角為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，交雙曲線(xiàn)的左支于兩點(diǎn)，若的面積為，則該雙曲線(xiàn)的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)漸近線(xiàn)夾角和可確定，結(jié)合三角形面積、雙曲線(xiàn)關(guān)系可構(gòu)造方程組求得，由此可得雙曲線(xiàn)方程.【詳解】為雙曲線(xiàn)的通徑，，又，；兩條漸近線(xiàn)的夾角為，漸近線(xiàn)的傾斜角為或，又，，漸近線(xiàn)傾斜角為，即；由得：，雙曲線(xiàn)方程為：.故選：D.5．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰二中高二期末（理））已知直線(xiàn)：與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)分別相交于A?B兩點(diǎn)，若C為直線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)，且，則k等于（

）A．4 B．6 C． D．【答案】D【解析】【分析】先求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，然后分別與直線(xiàn)聯(lián)立，求出A?B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用可求解.【詳解】由雙曲線(xiàn)方程可知其漸近線(xiàn)方程為：，當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立，得，同理得，由，且可知，所以有，解得.故選：D6．（2022·河南·駐馬店市基礎(chǔ)教學(xué)研究室高二期末（理））設(shè)，為雙曲線(xiàn)的上，下兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)l交該雙曲線(xiàn)的下支于A，B兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)，表示出，由勾股定理列式計(jì)算得，然后在，再由勾股定理列式，計(jì)算離心率.【詳解】由題意得，，且，如圖所示，設(shè)，由雙曲線(xiàn)的定義可得，，因?yàn)?，所以，得，所以，在中，，?故選：A【點(diǎn)睛】雙曲線(xiàn)的離心率是雙曲線(xiàn)最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線(xiàn)的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)．7．（2022·浙江·寧波市鄞州高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線(xiàn)與圓在第二象限相交于點(diǎn)分別為該雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，且，則該雙曲線(xiàn)的離心率為(

)A． B． C． D．2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理得，結(jié)合雙曲線(xiàn)定義可求，可判斷為直角三角形，故可求M點(diǎn)坐標(biāo)，將M點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程即可求得a與b關(guān)系，故而求出離心率的值.【詳解】在中，∵，∴由正弦定理知，，又∵，∴，，∴在中，，，，∴，∴.設(shè)，則由等面積得：，即，∵在上，∴，∵在上，∴，即，即，即，即，即，即，即，∴.故選：C.8．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））已知雙曲線(xiàn)C：的右頂點(diǎn)為A，，若在雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)上存在點(diǎn)M，使得∠AMB＝90°，則雙曲線(xiàn)C的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求出點(diǎn)坐標(biāo)，以AB為直徑的圓D，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)與圓D有交點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)距離得到不等關(guān)系，求出離心率的取值范圍.【詳解】依題意，A（a，0），B（5a，0），則以AB為直徑的圓D：；而，故雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)與圓D有交點(diǎn)，故圓心D（3a，0）到直線(xiàn)的距離，則，故，故，則，故雙曲線(xiàn)C的離心率的取值為，故選：B.9．（2022·山東臨沂·一模）已知，分別為雙曲線(xiàn)C：（，）的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在第二象限內(nèi)，且滿(mǎn)足，，線(xiàn)段與雙曲線(xiàn)C交于點(diǎn)Q，若.則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】取的中點(diǎn)，由已知得，由三線(xiàn)合一得△是等腰三角形，表示出各邊長(zhǎng)，再由余弦定理表示，再由雙曲線(xiàn)的定義表示，在△中由余弦定理列式，得關(guān)于的等式關(guān)系，即可求得離心率.【詳解】取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，所以△是等腰三角形，且，在中，，連接，又，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，由，則，在△中，，整理得，所以離心率.故選：C10．（2022·江西·南昌市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））如圖所示，雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的兩條漸近線(xiàn)分別交于A、B兩點(diǎn)，A是的中點(diǎn)，且，則雙曲線(xiàn)C的離心率（

）A． B．2 C． D．【答案】B【解析】【分析】由已知可得，設(shè)，，，，由點(diǎn)在漸近線(xiàn)上，求得點(diǎn)坐標(biāo)，再由為的中點(diǎn)，得到點(diǎn)坐標(biāo)，把代入漸近線(xiàn)，即可求得的離心率．【詳解】A是的中點(diǎn)，為△的中位線(xiàn)，，所以，所以．設(shè)，，，，點(diǎn)在漸近線(xiàn)上，，得．又為的中點(diǎn)，，在漸近線(xiàn)上，，得，則雙曲線(xiàn)的離心率．故選：B11．（2022·福建漳州·高二期末）已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的右支于A，B兩點(diǎn).若，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合雙曲線(xiàn)定義求出，，再借助余弦定理求出半焦距c即可計(jì)算作答.【詳解】因，令，，而雙曲線(xiàn)實(shí)半軸長(zhǎng)，由雙曲線(xiàn)定義知，，而，于是可得，在等腰中，，令雙曲線(xiàn)半焦距為c，在中，由余弦定理得：，而，，，解得，所以雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線(xiàn)的離心率的方法：(1)定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；(3)特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.12．（2022·浙江上虞·高二期末）過(guò)雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)F作雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為A，與另一條漸近線(xiàn)交于點(diǎn)B，若，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（

）A．或 B．2或 C．或 D．2或【答案】A【解析】【分析】分A，B在x軸上方和下方兩種情況，聯(lián)立直線(xiàn)方程，分別求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用求解.【詳解】如圖所示：當(dāng)A，B在x軸上方時(shí)，由題意得，解得，即；由得，即，因?yàn)?，所以，解得，則，如圖所示：當(dāng)A，B在x軸下方時(shí)，由題意得，解得，即；由，得，即，因?yàn)?，所以，解得，則，故選：A13．（2022·江西南昌·高二期末（理））設(shè)雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為C上一點(diǎn)，且，，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義結(jié)合，求得，在中，利用余弦定理求得之間的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)樵陔p曲線(xiàn)中，因?yàn)?，所以，所以，在中，，，由余弦定理可得，即，所以，所以，所以，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故選：B.14．（2022·河南·沈丘縣第一高級(jí)中學(xué)高二期末（理））已知雙曲線(xiàn)（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)在第二象限的部分上一點(diǎn)，且，點(diǎn)Q是線(xiàn)段的中點(diǎn)，且，Q關(guān)于直線(xiàn)PA對(duì)稱(chēng)，則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A．3 B．2C． D．【答案】C【解析】【分析】由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可求雙曲線(xiàn)的離心率.【詳解】由題設(shè)，易知：，由知：，即，整理得：.故選：C15．（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)一模（理））如圖所示，已知是雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，是條漸近線(xiàn)，在上分別有點(diǎn)（不同于坐標(biāo)原點(diǎn)），若四邊形為菱形，且其面積為．則雙曲線(xiàn)的離心率為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)菱形的面積可知，再根據(jù)勾股定理可得，即，進(jìn)而求出，根據(jù)漸近線(xiàn)的斜率，可得，再利用離心率，即可求出結(jié)果.【詳解】由四邊形為菱形，則，所以菱形的面積為所以，又，所以，即，又點(diǎn)分別是漸近線(xiàn)上的點(diǎn)，所以漸近線(xiàn)的斜率，故雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：B.16．（2021·遼寧營(yíng)口·高二期末）已知橢圓：與雙曲線(xiàn)：有相同的焦點(diǎn)、，橢圓的離心率為，雙曲線(xiàn)的離心率為，點(diǎn)P為橢圓與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限的交點(diǎn)，結(jié)合橢圓與雙曲線(xiàn)的定義得到，進(jìn)而結(jié)合余弦定理得到，即，令然后結(jié)合三角函數(shù)即可求出結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限的交點(diǎn)，則由橢圓的定義可得，由雙曲線(xiàn)的定義可得，所以，因此，即，所以，即，令因此，其中，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，故選：B.【點(diǎn)睛】一、橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．二、雙曲線(xiàn)的離心率是雙曲線(xiàn)最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線(xiàn)的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．17．（2022·安徽·蕪湖一中一模（理））設(shè)，分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，是右支上一點(diǎn)．若，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則的離心率為_(kāi)_________________.【答案】【解析】【分析】利用雙曲線(xiàn)的定義，構(gòu)造齊次式，進(jìn)而可得離心率.【詳解】如圖所示，由已知得，且，，則又由雙曲線(xiàn)定義可知，即，而，可得，即，所以的離心，故答案為：.18．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓與雙曲線(xiàn)有公共的左?右焦點(diǎn)、，它們?cè)诘谝幌笙藿挥邳c(diǎn)，其離心率分別為、，以、為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)，則_____．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線(xiàn)的定義列方程組，再由圓的性質(zhì)可得齊次式，然后可得.【詳解】橢圓與雙曲線(xiàn)有公共的左?右焦點(diǎn)、，由題意可知，以、為直徑的圓恰好過(guò)點(diǎn)P，所以又，，，，，即．故答案為：2．19．（2022·福建省福州第一中學(xué)高二期末）圓錐曲線(xiàn)有良好的光學(xué)性質(zhì)，光線(xiàn)從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)（如左圖）；光線(xiàn)從雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線(xiàn)反射后的反射光線(xiàn)等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出（如中圖）.封閉曲線(xiàn)E（如右圖）是由橢圓C1:+=1和雙曲線(xiàn)C2:-=1在y軸右側(cè)的一部分（實(shí)線(xiàn)）圍成.光線(xiàn)從橢圓C1上一點(diǎn)P0出發(fā)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2，然后在曲線(xiàn)E內(nèi)多次反射，反射點(diǎn)依次為P1，P2，P3，P4，…，若P0，P4重合，則光線(xiàn)從P0到P4所經(jīng)過(guò)的路程為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】結(jié)合橢圓、雙曲線(xiàn)的定義以及它們的光學(xué)性質(zhì)求得正確答案.【詳解】橢圓；雙曲線(xiàn)，雙曲線(xiàn)和橢圓的焦點(diǎn)重合.根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義有，所以①，②，根據(jù)橢圓的定義由，所以路程.故答案為：20．（2022·廣西岑溪·高二期末（理））已知雙曲線(xiàn)的左，右焦點(diǎn)分別為，P是該雙曲線(xiàn)右支上一點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），，則雙曲線(xiàn)C的離心率為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】由已知及向量數(shù)量積的幾何意義易知，根據(jù)雙曲線(xiàn)的性質(zhì)可得，再由雙曲線(xiàn)的定義及勾股定理構(gòu)造關(guān)于雙曲線(xiàn)參數(shù)的齊次方程求離心率.【詳解】∵，∴△為等腰三角形且，又，∴，∴．又，，∴，則，可得，∴雙曲線(xiàn)C的離心率為．故答案為：.21．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別交雙曲線(xiàn)的左、右支于A，B兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則雙曲線(xiàn)的離心率是___．【答案】【解析】【分析】如圖，利用條件結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義可根據(jù)題意由圖可設(shè)，所以，可得為邊長(zhǎng)為等邊三角形，可得，在利用余弦定理解三角形可得的齊次式即可得解.【詳解】根據(jù)題意由圖可設(shè)，則，由，又，所以，又，所以為等邊三角形，可得，在中，，由可得：，所以，.故答案為：.22．（2022·遼寧·大連八中高二期末）光線(xiàn)從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被橢圓反射后會(huì)經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；光線(xiàn)從雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出，被雙曲線(xiàn)反射后的反射光線(xiàn)等效于從另一個(gè)焦點(diǎn)射出．如圖，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線(xiàn)構(gòu)成，現(xiàn)一光線(xiàn)從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)與反射，又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若將裝置中的去掉，此光線(xiàn)從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)兩次反射后又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若，則與的離心率之比為_(kāi)_______．【答案】##0.75【解析】【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線(xiàn)定義用長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和實(shí)半軸長(zhǎng)表示出撤掉裝置前后的路程，然后由已知可解.【詳解】記橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線(xiàn)的實(shí)半軸長(zhǎng)為，由橢圓和雙曲線(xiàn)的定義有：，得，即，又由橢圓定義知，，因?yàn)?，所以，即所?故答案為：23．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期末）已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直徑的圓交雙曲線(xiàn)C的一條漸近線(xiàn)于另一點(diǎn)A，且，點(diǎn)F到該漸近線(xiàn)的距離為1，則雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系，求得關(guān)系，結(jié)合，以及，即可求得雙曲線(xiàn)方程.【詳解】根據(jù)題意，連接，作圖如下：由題可知：，由可得：，又，故可得，，則，即，又即為點(diǎn)F到該漸近線(xiàn)的距離，故可得，解得；又，故可得，則雙曲線(xiàn)方程為：.故答案為：.24．（2021·遼寧·高二期中）已知?分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)到該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離為2，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，且，則三角形的面積為_(kāi)__________.【答案】【解析】【分析】由點(diǎn)到該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離為2，可得的值，再依據(jù)雙曲線(xiàn)定義和，可得的值，由三角形面積公式可得三角形的面積.【詳解】雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程為，右焦點(diǎn)由點(diǎn)到該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的距離為2可得，，則由，可得則三角形的面積為故答案為：25．（2022·廣東珠?！じ叨谀┮阎獧E圓：，的左右焦點(diǎn)，是雙曲線(xiàn)的左右頂點(diǎn)，的離心率為，的離心率為，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)E和，分別作直線(xiàn)交橢圓于，和，點(diǎn)，如圖.(1)求，的方程；(2)求證：直線(xiàn)和的斜率之積為定值；(3)求證：為定值.【答案】(1)：；：(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1