專題17 三角函數(shù)概念與誘導(dǎo)公式 2023年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)方法技巧講義（解析版）

高中數(shù)學(xué)精編資源INET有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線知識點(diǎn)二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：．(2)商數(shù)關(guān)系：；知識點(diǎn)三：三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六角正弦余弦正切口訣函數(shù)名不變，符號看象限函數(shù)名改變，符號看象限【記憶口訣】奇變偶不變，符號看象限，說明：（1）先將誘導(dǎo)三角函數(shù)式中的角統(tǒng)一寫作；（2）無論有多大，一律視為銳角，判斷所處的象限，并判斷題設(shè)三角函數(shù)在該象限的正負(fù)；（3）當(dāng)為奇數(shù)是，“奇變”，正變余，余變正；當(dāng)為偶數(shù)時，“偶不變”函數(shù)名保持不變即可．【方法技巧與總結(jié)】1．利用可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化．2．“”方程思想知一求二．【題型歸納目錄】題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別題型二：等分角的象限問題題型三：弧長與扇形面積公式的計(jì)算題型四：三角函數(shù)定義題題型五：象限符號與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值題型六：同角求值—條件中出現(xiàn)的角和結(jié)論中出現(xiàn)的角是相同的題型七：誘導(dǎo)求值與變形【典例例題】題型一：終邊相同的角的集合的表示與區(qū)別例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與角的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】【分析】要寫出與的終邊相同的角，只要在該角上加的整數(shù)倍即可．【詳解】首先角度制與弧度制不能混用，所以選項(xiàng)AB錯誤；又與的終邊相同的角可以寫成，所以正確．故選：．例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若角的終邊在直線上，則角的取值集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)若終邊相同，則求解.【詳解】解：，由圖知，角的取值集合為:故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查終邊相同的角，還考查了集合的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.例3．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)集合，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】考慮中角的終邊的位置，再考慮中角的終邊的位置，從而可得兩個集合的關(guān)系.【詳解】.表示終邊在直線上的角，表示終邊在直線上的角，而表示終邊在四條射線上的角，

四條射線分別是射線，

它們構(gòu)成直線、直線，故.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同的角，注意的終邊與的終邊的關(guān)系是重合或互為反向延長線，而的終邊與的終邊的關(guān)系是重合或互為反向延長線或相互垂直，本題屬于中檔題.（多選題）例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如果角與角的終邊相同，角與的終邊相同，那么的可能值為（

）A． B． C． D．【答案】AC【解析】根據(jù)終邊相同可得角與角之間的關(guān)系，從而可得的代數(shù)形式，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榻桥c角的終邊相同，故，其中，同理，其中，故，其中，當(dāng)或時，或，故AC正確，令，此方程無整數(shù)解；令即，此方程無整數(shù)解；故BD錯誤.故選：AC.（多選題）例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列條件中，能使和的終邊關(guān)于軸對稱的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)和的終邊關(guān)于軸對稱時，逐一判斷正誤即可.【詳解】根據(jù)和的終邊關(guān)于軸對稱時可知，選項(xiàng)B中，符合題意；選項(xiàng)D中，符合題意；選項(xiàng)AC中，可取時顯然可見和的終邊不關(guān)于軸對稱.故選：BD.例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）寫出兩個與終邊相同的角___________．【答案】，(其他正確答案也可)【解析】【分析】利用終邊相同的角的定義求解.【詳解】設(shè)是與終邊相同的角，則，令，得，令，得，故答案為：，(其他正確答案也可)【方法技巧與總結(jié)】（1）終邊相同的角的集合的表示與識別可用列舉歸納法和雙向等差數(shù)列的方法解決．（2）注意正角、第一象限角和銳角的聯(lián)系與區(qū)別，正角可以是任一象限角，也可以是坐標(biāo)軸角；銳角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐標(biāo)軸角．題型二：等分角的象限問題例7．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若，則的終邊在（

）A．第一、三象限 B．第一、二象限C．第二、四象限 D．第三、四象限【答案】A【解析】【分析】分和討論可得角的終邊所在的象限.【詳解】解：因?yàn)椋援?dāng)時，，其終邊在第三象限；當(dāng)時，，其終邊在第一象限.綜上，的終邊在第一、三象限.故選：A.例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））角的終邊屬于第一象限，那么的終邊不可能屬于的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【分析】由題意知，，，即可得的范圍，討論、、對應(yīng)的終邊位置即可.【詳解】∵角的終邊在第一象限，∴，，則，，當(dāng)時，此時的終邊落在第一象限，當(dāng)時，此時的終邊落在第二象限，當(dāng)時，此時的終邊落在第三象限，綜上，角的終邊不可能落在第四象限，故選：D.例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）θ是第二象限角，則下列選項(xiàng)中一定為負(fù)值的是（

）A．sin B．cos C．sin2θ D．cos2θ【答案】C【解析】表示出第二象限角的范圍，求出和所在象限，確定函數(shù)值的符號．【詳解】因?yàn)棣仁堑诙笙藿?，所以，則，所以2θ為第三或第四象限角或終邊在軸負(fù)半軸上，，所以sin2θ<0.而，是第一象限或第三象限角，正弦余弦值不一定是負(fù)數(shù)．故選：C．例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知角第二象限角，且，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】C【解析】【分析】由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判斷出所在象限．【詳解】因?yàn)榻堑诙笙藿?所以，所以，當(dāng)是偶數(shù)時，設(shè)，則，此時為第一象限角；當(dāng)是奇數(shù)時，設(shè)，則，此時為第三象限角.；綜上所述：為第一象限角或第三象限角，因?yàn)?，所以，所以為第三象限角．故選：C．【方法技巧與總結(jié)】先從的范圍出發(fā)，利用不等式性質(zhì)，具體有：（1）雙向等差數(shù)列法；（2）的象限分布圖示．題型三：弧長與扇形面積公式的計(jì)算例11．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》章給出了弧田面積的計(jì)算公式．如圖所示，弧田是由圓弧及其所對弦圍成的圖形．若弧田的弦長是2，弧所在圓心角的弧度數(shù)也是2，則弧田的弧長為_______，弧田的面積為_________．【答案】

;

.【解析】【分析】（1）利用弧長公式解決，那么需要算出半徑和圓心角；（2）用扇形的面積減去三角形的面積即可.【詳解】由題意可知：，所以弧長，弧田的面積，故答案為：；.例12．（2022·全國·高考真題（理））沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計(jì)算公式：．當(dāng)時，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn).按如下方法剪裁，扇面形狀較為美觀.從半徑為的圓面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧長與圓周長的比值為，再從扇形中剪下扇環(huán)形制作扇面，使扇環(huán)形的面積與扇形的面積比值為.則一個按上述方法制作的扇環(huán)形裝飾品（如圖）的面積與圓面積的比值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】記扇形的圓心角為，扇形的面積為，扇環(huán)形的面積為，圓的面積為，根據(jù)扇形面積公式，弧長公式，以及題中條件，即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】記扇形的圓心角為，扇形的面積為，扇環(huán)形的面積為，圓的面積為，由題意可得，，，，所以，因?yàn)榧粝律刃魏笏Ｉ刃蔚幕￠L與圓周長的比值為，所以，則，所以.故選：D.例14．（2022·浙江·赫威斯育才高中模擬預(yù)測）“圓材埋壁”是我國古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題，現(xiàn)有一個“圓材埋壁”的模型，其截面如圖所示，若圓柱形材料的底面半徑為1，截面圓圓心為，墻壁截面為矩形，且，則扇形的面積是__________.【答案】##【解析】【分析】計(jì)算，再利用扇形的面積公式求解.【詳解】由題意可知，圓的半徑為，即，又，所以為正三角形，∴，所以扇形的面積是.故答案為：例15．（2022·全國·模擬預(yù)測）炎炎夏日，在古代人們乘涼時習(xí)慣用的紙疊扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形加工制作而成.如圖，扇形紙疊扇完全展開后，扇形ABC的面積S為，若，則當(dāng)該紙疊扇的周長C最小時，BD的長度為___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)扇形ABC的半徑為rcm，弧長為lcm，根據(jù)扇形ABC的面積S為，由得到，然后由紙疊扇的周長，利用基本不等式求解.【詳解】解：設(shè)扇形ABC的半徑為rcm，弧長為lcm，則扇形面積.由題意得，所以.所以紙疊扇的周長，當(dāng)且僅當(dāng)即，時，等號成立，所以.又，所以，所以，故.故答案為：例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知扇形的周長為4cm，當(dāng)它的半徑為________cm和圓心角為________弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是________cm2.【答案】

1

2

1【解析】【詳解】，則，則時，面積最大為，此時圓心角，所以答案為1；2；1.【方法技巧與總結(jié)】（1）熟記弧長公式：l＝|α|r，扇形面積公式：S扇形＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2（弧度制）（2）掌握簡單三角形，特別是直角三角形的解法題型四：三角函數(shù)定義題例17．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由任意三角形的定義求出，由兩角差的正弦公式代入即可求出.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，由任意三角形的定義知：，.故選：D.例18．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及弦化切可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】依題意，由三角函數(shù)的定義可知，.故選：D.例19．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)，若，則（

）A．3 B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可得解，注意角所在的象限.【詳解】解：因?yàn)榻堑慕K邊上一點(diǎn)，所以，又，所以為第四象限角，所以，又因，所以.故選：C.例20．（2022·北京·二模）已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)確定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求.【詳解】由題設(shè)，而.故選：A【方法技巧與總結(jié)】（1）任意角的正弦、余弦、正切的定義；題型五：象限符號與坐標(biāo)軸角的三角函數(shù)值例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如果，且，則的化簡為_____.【答案】【解析】【分析】由，且，得到是第二象限角，由此能化簡．【詳解】解：∵，且，∴是第二象限角，∴．故答案為：．例22．（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）若角滿足，，則在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)可知是第二或第四象限角；根據(jù)第二或第四象限角正余弦的符號可確定結(jié)果.【詳解】，是第二或第四象限角；當(dāng)是第二象限角時，，，滿足；當(dāng)是第四象限角時，，，則，不合題意；綜上所述：是第二象限角.故選：B.例23．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知，則“”是“角為第一或第四象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要【答案】B【解析】【分析】利用定義法進(jìn)行判斷.【詳解】充分性：當(dāng)時，不妨取時軸線角不成立.故充分性不滿足；必要性：角為第一或第四象限角，則，顯然成立.故選：B.例24．（2022·重慶·高三開學(xué)考試）若，則下列三角函數(shù)值為正值的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角公式判斷出正確選項(xiàng).【詳解】，所以C選項(xiàng)正確.當(dāng)時，，所以ABD選項(xiàng)錯誤.故選：C例25．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））我們知道，在直角坐標(biāo)系中，角的終邊在第幾象限，這個角就是第幾象限角．已知點(diǎn)在第三象限，則角的終邊在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】【分析】本題首先可以根據(jù)題意得出、，然后得出，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，所以，，則，角的終邊在第二象限，故選：B.例26．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】由條件得到角所在的象限，從而得到所在的象限，這樣就可以得到答案.【詳解】由知，為第二象限角，所以為第一或第三象限角，所以．故選：C.例27．（2022·江西南昌·三模（文））若角的終邊不在坐標(biāo)軸上，且，則(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】結(jié)合易知條件和同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求出cosα，從而求出sinα，根據(jù)即可求得結(jié)果．【詳解】或，∵的終邊不在坐標(biāo)軸上，∴，∴，∴．故選：A．例28．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））若是第二象限角，則下列不等式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)是第二象限角，分別求出四個選項(xiàng)中角所在的象限，再判斷三角函數(shù)的符號，即可求解.【詳解】對于A：因?yàn)椋?，所以是第三象限角，所以，故選項(xiàng)A不正確；對于B：因?yàn)?，所以，?dāng)時，，此時是第一象限角，當(dāng)時，，此時是第三象限角，所以是第一或第三象限角，所以，故選項(xiàng)B正確；對于C：因?yàn)椋?，所以是第三或第四象限角或終邊落在軸非正半軸，所以，故選項(xiàng)C不正確；對于D：因?yàn)?，所以，所以是第三象限角，所以，故選項(xiàng)D不正確；故選：B.【方法技巧與總結(jié)】正弦函數(shù)值在第一、二象限為正，第三、四象限為負(fù)；．余弦函數(shù)值在第一、四象限為正，第二、三象限為負(fù)；．正切函數(shù)值在第一、三象限為正，第二、四象限為負(fù)．題型六：同角求值—條件中出現(xiàn)的角和結(jié)論中出現(xiàn)的角是相同的例29．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（文））若，則的值為___________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角公式和同角三角函數(shù)平方關(guān)系可構(gòu)造正余弦齊次式，分子分母同除，代入即可得到結(jié)果.【詳解】.故答案為：.例30．（2022·河北·滄縣中學(xué)模擬預(yù)測）已知，則___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)齊次式關(guān)系求解即可.【詳解】解：．故答案為：例31．（2022·廣東惠州·一模）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由及解出與即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，，所以，，所?故選：A.例32．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】結(jié)合同角的平方關(guān)系以及二倍角公式即可求出結(jié)果.【詳解】由及，解得，或，.因?yàn)?，所以，，所以，，所以，故選：C.例33．（2022·海南·模擬預(yù)測）已知角為第二象限角，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由角所在的象限及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系求即可.【詳解】因?yàn)槭堑诙笙藿牵裕?，由，，可得?故選：A.例34．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】利用同角公式化正弦為余弦，求出的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得.【詳解】依題意，原等式化為：，整理得：，因，則，解得：，所以.故選：B例35．（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由已知得，從而同號，即，然后由平方關(guān)系求得，進(jìn)而求得，求值式應(yīng)用二倍角公式和平方關(guān)系變形后可得結(jié)論．【詳解】因?yàn)椋?，所以同號，即，，，從而，，所以，．故選：C．例36．（2022·廣東廣州·三模）已知，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】將兩邊平方得：2sinxcosx=-<0,結(jié)合>0,求出x的范圍，再利用

求解即可.【詳解】解：將兩邊平方得：2sinxcosx=-<0,所以，又因?yàn)?gt;０，所以，2x,又因?yàn)閟in2x=-,所以cos2x=-=-.故選：D.例37．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用平方關(guān)系，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式，即可求解.【詳解】，，，，，，所以.故選：C例38．（2022·山西晉中·模擬預(yù)測（理））若，則等于（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】【分析】化簡原式為即得解.【詳解】解：原式.故選：C例39．（2022·湖北·模擬預(yù)測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意求出，再將原式化簡為：，求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：D.【方法技巧與總結(jié)】（1）若已知角的象限條件，先確定所求三角函數(shù)的符號，再利用三角形三角函數(shù)定義求未知三角函數(shù)值．（2）若無象限條件，一般“弦化切”．題型七：誘導(dǎo)求值與變形例40．（2022·貴州·貴陽一中高三階段練習(xí)（理））若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由三角函數(shù)的二倍角的余弦公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求得答案.【詳解】由題意得：，故選：D．例41．（2022·貴州·貴陽一中模擬預(yù)測（文））若則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以，故選：B.例42．（2022·青?！ず|市教育研究室一模（理））（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式可得，在運(yùn)用正切兩角差公式計(jì)算．【詳解】.故選：C．例43．（2022·安徽·合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知，則（

）A．2 B．—2 C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式五、六可得，由同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，結(jié)合誘導(dǎo)公式二計(jì)算即可.【詳解】由已知得，，∴.故選：C【方法技巧與總結(jié)】（1）誘導(dǎo)公式用于角的變換，凡遇到與整數(shù)倍角的和差問題可用誘導(dǎo)公式，用誘導(dǎo)公式可以把任意角的三角函數(shù)化成銳角三角函數(shù)．（2）通過等誘導(dǎo)變形把所給三角函數(shù)化成所需三角函數(shù)．（3）等可利用誘導(dǎo)公式把的三角函數(shù)化【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·寧夏·銀川一中模擬預(yù)測（理））中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體是上?下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，垂直于底面，，底面扇環(huán)所對的圓心角為，弧長度是弧長度的3倍，，則該曲池的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用柱體體積公式求體積.【詳解】不妨設(shè)弧AD所在圓的半徑為R，弧BC所在圓的半徑為r，由弧AD長度為弧BC長度的3倍可知，，所以，.故該曲池的體積.故選：D.2．（2022·海南中學(xué)高三階段練習(xí)）二十四節(jié)氣是中華民族上古農(nóng)耕文明的產(chǎn)物，是中國農(nóng)歷中表示李節(jié)變遷的24個特定節(jié)令．如圖，每個節(jié)氣對應(yīng)地球在黃道上運(yùn)動所到達(dá)的一個位置．根據(jù)描述，從立冬到立春對應(yīng)地球在黃道上運(yùn)動所對圓心角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件得到運(yùn)行度數(shù)為6×15°，化為弧度即可得解.【詳解】根據(jù)題意，立春是立冬后的第六個節(jié)氣，故從立冬到立春相應(yīng)于地球在黃道上逆時針運(yùn)行了，所以從立冬到立春對應(yīng)地球在黃道上運(yùn)動所對圓心角的弧度數(shù)為.故選：B3．（2022·河北·模擬預(yù)測）已知圓錐的母線長為2，其側(cè)面展開圖是圓心角等于的扇形，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則由題意可得，從而可求出半徑，再求出，進(jìn)而可求出其體積【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則由題意可得，解得，所以，所以圓錐的體積為，故選：C4．（2022·福建省福州格致中學(xué)模擬預(yù)測）已知角的大小如圖所示，則（

）A． B．5 C． D．【答案】A【解析】【分析】由圖中的信息可知，化簡即可.【詳解】由圖可知，，；故選：A.5．（2022·江西·臨川一中模擬預(yù)測（文））（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及兩角差的正切公式計(jì)算可得；【詳解】解：故選：C6．（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】通過“1”的替換，齊次化，然后得到關(guān)于的方程，解方程即可【詳解】,解得故選：C7．（2022·四川成都·模擬預(yù)測（文））已知向量，，，若，則（

）A．2 B．-2 C．3 D．【答案】C【解析】【分析】由可得向量的數(shù)量積等于0，化簡可得，結(jié)合二倍角公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系式化為，可求得答案.【詳解】由題意可得，即，即，故，即，由于，故（舍去），故選：C8．（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測（文））數(shù)學(xué)家華羅庚倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在各領(lǐng)域都應(yīng)用廣泛，0.618就是黃金分割比的近似值，黃金分割比還可以表示成，則（

）．A．4 B． C．2 D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式和倍角公式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可得，則.故選：A．二、多選題9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列說法正確的有（

）A．經(jīng)過30分鐘，鐘表的分針轉(zhuǎn)過弧度B．C．若，，則為第二象限角D．若為第二象限角，則為第一或第三象限角【答案】CD【解析】【分析】對于A，利用正負(fù)角的定義判斷；對于B，利用角度與弧度的互化公式判斷；對于C，由求出的范圍，由求出的范圍，然后求交集即可；對于D，由是第二象限角，可得，，然后求的范圍可得答案【詳解】對于，經(jīng)過30分鐘，鐘表的分針轉(zhuǎn)過弧度，不是弧度，所以錯；對于，化成弧度是，所以錯誤；對于，由，可得為第一、第二及軸正半軸上的角；由，可得為第二、第三及軸負(fù)半軸上的角.取交集可得是第二象限角，故正確；對于：若是第二象限角，所以，則，當(dāng)時，則，所以為第一象限的角，當(dāng)時，，所以為第三象限的角，綜上，為第一或第三象限角，故選項(xiàng)正確.故選：CD.10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）中國傳統(tǒng)折扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn)，一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，設(shè)扇形（如圖）的面積為，圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，圓心角為，當(dāng)與的比值為（黃金分割比）時，折扇看上去較為美觀，那么（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】【分析】利用扇形的面積公式以及角度制與弧度制的互化即可求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，由，故D正確；由，所以，解得，故C正確；由，則，所以，所以，故B正確.故選：BCD11．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知－＜θ＜，且sinθ＋cosθ＝a，其中a∈(0，1)，則關(guān)于tanθ的值，在以下四個答案中，不可能是（

）A．－3 B．3或 C．- D．－3或-【答案】ABD【解析】【分析】利用已知平方可得，進(jìn)而求解出范圍，求出范圍可得.【詳解】因?yàn)閟inθ＋cosθ＝a，a∈(0，1)，兩邊平方整理得，所以且，∴，則可知，.故選:ABD.12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）給出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（

）A．成立的條件是角是銳角B．若（），則C．若（），則D．若，則【答案】CD【解析】【分析】由誘導(dǎo)公式判斷選項(xiàng)A錯誤；對分類討論得到選項(xiàng)B錯誤；利用同角商數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式證明選項(xiàng)C正確；由得或．再證明選項(xiàng)D正確.【詳解】由誘導(dǎo)公式二，知時，，所以A錯誤．當(dāng)（）時，，此時，當(dāng)（）時，，此時，所以B錯誤．若（），則，所以C正確．將等式兩邊平方，得，所以或．若，則，此時；若，則，此時，故，所以D正確．故選CD【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式化簡求值和同角三角函數(shù)關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.三、填空題13．（2022·山東·德州市教育科學(xué)研究院二模）已知角θ的終邊過點(diǎn)，且，則tanθ=____________．【答案】【解析】【分析】利用三角函數(shù)定義、誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】角θ的終邊過點(diǎn)，即點(diǎn)在第四象限，解得：（舍去）或.故答案為：.14．（2022·福建·莆田二中模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，C在圓O上，若射線OB平分∠AOC，B（，），則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為___________.【答案】##【解析】【分析】作圖，用三角函數(shù)倍角公式即可求解.【詳解】由題意可知圓O的半徑為，設(shè)，由題意可知，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為；故答案為：.15．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知為第三象限角，且，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)已知條件可求解的值，利用正弦函數(shù)兩角和公式及平方差公式即可求解.【詳解】因?yàn)闉榈谌笙藿?，且，所以，，所以．故答案為?16．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，向量，是向量與的夾角，則的值為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件及斜率公式，結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】由題意可得是直線的傾斜角，∴，∴.故答案為：.四、解答題17．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）某企業(yè)欲做一個介紹企業(yè)發(fā)展史的銘牌，銘牌的截面形狀是如圖所示的扇形環(huán)面（由扇形OAD挖去扇形OBC后構(gòu)成的）.已知，，線段BA，CD與，的長度之和為30，圓心角為弧度.(1)求關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)記銘牌的截面面積為y，試問x取何值時，y的值最大？并求出最大值.【答案】(1)；(2)，.【解析】【分析】（1）根據(jù)扇形的弧長公式結(jié)合已知條件可得出關(guān)于、的等式，即可得出關(guān)于的函數(shù)解析式；（2）利用扇形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值，即可得出結(jié)論.(1)解：根據(jù)題意，可算得，．因?yàn)?，所以，所以?(2)解：根據(jù)題意，可知，當(dāng)時，.綜上所述，當(dāng)時銘牌的面積最大，且最大面積為.18．（2022·江西南昌·一模（理））已知圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)的兩個同心圓的半徑分別為1和2，點(diǎn)和點(diǎn)分別從初始位置和處，按逆時針方向以相同速率同時作圓周運(yùn)動.(1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動的路程為時，求線段的長度；(2)記，，求的最大值.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）通過A點(diǎn)運(yùn)動的路程，求出的大小，再借助余弦定理求邊長.（2）設(shè)出角度，分別表示和，借助倍角公式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題.(1)因?yàn)辄c(diǎn)運(yùn)動的路程為，，所以，又，所以，，由余弦定理，所以.(2)設(shè)則，所以，，則，所以當(dāng)時，取得最大值.19．（2022·全