(人教A版數(shù)學(xué)必修一講義)第4章第05講4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解(知識清單+7類熱點(diǎn)題型講練+分層強(qiáng)化訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

第05講4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系，并能結(jié)合函數(shù)的圖象判定函數(shù)的零點(diǎn)。②能根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理對函數(shù)零點(diǎn)存在進(jìn)行判定，同時(shí)能處理與函數(shù)零點(diǎn)問題相結(jié)合的求參數(shù)及綜合類的問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求能判定函數(shù)零點(diǎn)的存在，同時(shí)能解決與函數(shù)零點(diǎn)相結(jié)合的綜合問題知識點(diǎn)01：函數(shù)零點(diǎn)的概念1、函數(shù)零點(diǎn)的概念對于一般函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).幾何定義:函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)解,也就是函數(shù)的圖象與軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).

這樣：方程有實(shí)數(shù)解函數(shù)有零點(diǎn)函數(shù)的圖象與軸有公共點(diǎn)2、已學(xué)基本初等函數(shù)的零點(diǎn)①一次函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；②反比例函數(shù)沒有零點(diǎn)；③指數(shù)函數(shù)（且）沒有零點(diǎn)；④對數(shù)函數(shù)（且）只有一個(gè)零點(diǎn)1；⑤冪函數(shù)當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)0；當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)。知識點(diǎn)02：函數(shù)零點(diǎn)存在定理及其應(yīng)用1、函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的解.說明：定理要求具備兩個(gè)條件:①函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的;②.兩個(gè)條件缺一不可.2、函數(shù)零點(diǎn)的求法①代數(shù)法：根據(jù)零點(diǎn)定義，求出方程的實(shí)數(shù)解;②數(shù)形結(jié)合法：作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)性質(zhì)求解【即學(xué)即練1】（23-24高一下·安徽阜陽·期中）函數(shù)的零點(diǎn)是．3、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷①利用代數(shù)法，求出所有零點(diǎn)；②數(shù)形結(jié)合，通過作圖，找出圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；③數(shù)形結(jié)合，通過分離，將原函數(shù)拆分成兩個(gè)函數(shù)，找到兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；④函數(shù)零點(diǎn)唯一：函數(shù)存在零點(diǎn)+函數(shù)單調(diào).知識點(diǎn)03：二次函數(shù)的零點(diǎn)問題一元二次方程的實(shí)數(shù)根也稱為函數(shù)的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，一元二次方程的實(shí)數(shù)根、二次函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系如下表所示：的實(shí)數(shù)根（其中）方程無實(shí)數(shù)根的圖象的零點(diǎn)函數(shù)無零點(diǎn)【即學(xué)即練2】（23-24高一上·北京海淀·階段練習(xí)）若，是二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則的值是（

）A．3 B．9 C．21 D．33題型01求函數(shù)的零點(diǎn)【典例1】（多選）（23-24高一上·四川南充·階段練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)可以是（

）A． B． C．1 D．2【典例2】（2023高一上·上?！ｎ}練習(xí)）求函數(shù)的零點(diǎn).【典例3】（23-24高一·全國·隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的零點(diǎn)：(1)；(2)；(3)；(4).【變式1】（23-24高一上·河南駐馬店·期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)是．【變式2】（23-24高一上·北京通州·期末）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【變式3】（2024高一上·全國·專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請求出；否則，請說明理由．(1)；(2)；(3)；(4).題型02函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷【典例1】（24-25高一上·全國·假期作業(yè)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例2】（23-24高一下·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例3】（多選）（23-24高二下·浙江·期末）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)可能是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式1】（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【變式2】（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式3】（2024·浙江溫州·三模）已知函數(shù)，則關(guān)于方程的根個(gè)數(shù)不可能是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)題型03判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間【典例1】（23-24高一下·廣東深圳·期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·期末）方程的解所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，，則的值為（

）A．－2 B．－1 C．0 D．1【變式1】（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高一下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·開學(xué)考試）已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則整數(shù)（

）A． B． C． D．題型04已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍【典例1】（23-24高一上·甘肅白銀·期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【典例2】（23-24高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例3】（23-24高一上·廣東揭陽·期末）已知函數(shù)，若有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式1】（23-24高一上·天津?qū)幒印て谀┙o定函數(shù)，，對于，用表示，中較小者，記為，若方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2】（多選）（23-24高一上·青海海北·期末）已知函數(shù)，有4個(gè)零點(diǎn)，則的值可能是（

）A． B． C． D．【變式3】（22-23高三上·甘肅定西·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為．題型05已知零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)的取值范圍【典例1】（2023·寧夏銀川·三模）函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【典例2】（多選）（23-24高一上·湖北·階段練習(xí)）函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，它們從小到大依次為，，，則（

）A． B．C． D．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)【典例3】（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）若方程在區(qū)間上有解，其中，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．（結(jié)果用表示）【變式1】（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知函數(shù)的零點(diǎn)為.若，則的值是；若函數(shù)的零點(diǎn)為，則的值是.【變式2】（23-24高三上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）設(shè)函數(shù)，為常數(shù).若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式3】（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為題型06二次函數(shù)的零點(diǎn)問題【典例1】（23-24高二下·浙江紹興·期末）若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【典例2】（23-24高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【典例3】（23-24高一上·廣東湛江·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，．(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間.(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【變式1】（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）設(shè)方程的兩實(shí)根滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一上·山東青島·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則滿足條件的所有實(shí)數(shù)的集合是（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）已知二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型07函數(shù)與方程綜合【典例1】（23-24高一下·廣東茂名·期末）已知函數(shù).(1)若，求與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)若在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.【典例2】（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的方程的解；(2)若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的解，求的取值范圍.【典例3】（23-24高一下·湖南·期中）已知函數(shù)．(1)是否存在，使得為定值，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由；(2)若，方程有兩個(gè)根，，且，，求的取值范圍．【變式1】（2024高二上·福建·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)且．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【變式2】（23-24高二下·湖南·期中）已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，(1)①作出函數(shù)在上的圖象；②若方程恰有6個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)對于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)和，若，則稱函數(shù)是由“基函數(shù)和”生成的．已知是由“基函數(shù)和”生成的，若，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值．【變式3】（23-24高一下·安徽滁州·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C新定義題型A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·期末）方程的解所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A．2 B． C．-2 D．2或-14．（23-24高一上·江西吉安·期末）下列區(qū)間內(nèi)存在方程的根的是（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．6 C．4 D．26．（23-24高一下·河南·開學(xué)考試）已知函數(shù)的零點(diǎn)分別是，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．7．（23-24高三上·陜西西安·期末）已知函數(shù)若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）定義在上的滿足對，關(guān)于的方程有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（23-24高一上·江西撫州·期末）若方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A．0 B． C． D．(1)在坐標(biāo)系下畫出函數(shù)的圖象;(2)求使方程的實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)分別為時(shí)的相應(yīng)取值范圍.B能力提升1．（23-24高二下·浙江寧波·期末）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·貴州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有5個(gè)不同的交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·湖南·期中）已知函數(shù)．(1)是否存在，使得為定值，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由；(2)若，方程有兩個(gè)根，，且，，求的取值范圍．C新定義題型1．（23-24高二下·山西呂梁·期末）定義一種新的運(yùn)算“”，都有．(1)對于任意實(shí)數(shù)，試判斷與的大小關(guān)系；(2)若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有2個(gè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)已知函數(shù)，，若對任意的，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．第05講4.5.1函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的關(guān)系，并能結(jié)合函數(shù)的圖象判定函數(shù)的零點(diǎn)。②能根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理對函數(shù)零點(diǎn)存在進(jìn)行判定，同時(shí)能處理與函數(shù)零點(diǎn)問題相結(jié)合的求參數(shù)及綜合類的問題。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，要求能判定函數(shù)零點(diǎn)的存在，同時(shí)能解決與函數(shù)零點(diǎn)相結(jié)合的綜合問題知識點(diǎn)01：函數(shù)零點(diǎn)的概念1、函數(shù)零點(diǎn)的概念對于一般函數(shù)，我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn).幾何定義:函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)解,也就是函數(shù)的圖象與軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo).

這樣：方程有實(shí)數(shù)解函數(shù)有零點(diǎn)函數(shù)的圖象與軸有公共點(diǎn)2、已學(xué)基本初等函數(shù)的零點(diǎn)①一次函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；②反比例函數(shù)沒有零點(diǎn)；③指數(shù)函數(shù)（且）沒有零點(diǎn)；④對數(shù)函數(shù)（且）只有一個(gè)零點(diǎn)1；⑤冪函數(shù)當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)0；當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)。知識點(diǎn)02：函數(shù)零點(diǎn)存在定理及其應(yīng)用1、函數(shù)零點(diǎn)存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在，使得，這個(gè)也就是方程的解.說明：定理要求具備兩個(gè)條件:①函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的;②.兩個(gè)條件缺一不可.2、函數(shù)零點(diǎn)的求法①代數(shù)法：根據(jù)零點(diǎn)定義，求出方程的實(shí)數(shù)解;②數(shù)形結(jié)合法：作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)性質(zhì)求解【即學(xué)即練1】（23-24高一下·安徽阜陽·期中）函數(shù)的零點(diǎn)是．【答案】【分析】直接解方程求零點(diǎn)即可.【詳解】由已知可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，得，故的零點(diǎn)是．故答案為：.3、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷①利用代數(shù)法，求出所有零點(diǎn)；②數(shù)形結(jié)合，通過作圖，找出圖象與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；③數(shù)形結(jié)合，通過分離，將原函數(shù)拆分成兩個(gè)函數(shù)，找到兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；④函數(shù)零點(diǎn)唯一：函數(shù)存在零點(diǎn)+函數(shù)單調(diào).知識點(diǎn)03：二次函數(shù)的零點(diǎn)問題一元二次方程的實(shí)數(shù)根也稱為函數(shù)的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，一元二次方程的實(shí)數(shù)根、二次函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系如下表所示：的實(shí)數(shù)根（其中）方程無實(shí)數(shù)根的圖象的零點(diǎn)函數(shù)無零點(diǎn)【即學(xué)即練2】（23-24高一上·北京海淀·階段練習(xí)）若，是二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則的值是（

）A．3 B．9 C．21 D．33【答案】C【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解.【詳解】由，是二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，，所以，是的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，故，故選：C題型01求函數(shù)的零點(diǎn)【典例1】（多選）（23-24高一上·四川南充·階段練習(xí)）已知函數(shù)，函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的零點(diǎn)可以是（

）A． B． C．1 D．2【答案】AD【分析】求出函數(shù)的表達(dá)式，作函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.，所以的大致圖象為當(dāng)時(shí)，有零點(diǎn)0，4；當(dāng)時(shí)，由解得，所以有零點(diǎn)，2.故選：AD.【典例2】（2023高一上·上海·專題練習(xí)）求函數(shù)的零點(diǎn).【答案】1，2【分析】求解方程的根即可得到函數(shù)的零點(diǎn).【詳解】因?yàn)?，令，即，即解得，所以函?shù)的零點(diǎn)是1，2.【典例3】（23-24高一·全國·隨堂練習(xí)）求下列函數(shù)的零點(diǎn)：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義在函數(shù)表達(dá)式中令解方程即可.【詳解】（1）在函數(shù)中令，得，解得，所以函數(shù)的零點(diǎn)為.（2）在函數(shù)中令，得，解得或，所以函數(shù)的零點(diǎn)為.（3）在函數(shù)中令，得，注意到當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的唯一零點(diǎn)為.（4）在函數(shù)中令，得，注意到當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的唯一零點(diǎn)為.【變式1】（23-24高一上·河南駐馬店·期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)是．【答案】和【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，由求得正確答案.【詳解】依題意，或，解得或（負(fù)根舍去）.故答案為：和【變式2】（23-24高一上·北京通州·期末）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.【答案】1【分析】令，直接求解，結(jié)合函數(shù)定義域，即可得出函數(shù)零點(diǎn)，確定結(jié)果.【詳解】的定義域?yàn)?，令，則或，解得或（舍）.故答案為：1【變式3】（2024高一上·全國·專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)是否存在零點(diǎn)，如果存在，請求出；否則，請說明理由．(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)函數(shù)的零點(diǎn)是.(2)函數(shù)的零點(diǎn)是－1(3)函數(shù)的零點(diǎn)是(4)函數(shù)的零點(diǎn)為－6.【分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的概念結(jié)合條件即得.【詳解】（1）解方程，得或，所以函數(shù)的零點(diǎn)是.（2）解方程，得，所以函數(shù)的零點(diǎn)是－1.（3）解方程,得，所以函數(shù)的零點(diǎn)是.（4）解方程，得,且分母不為解得：，所以函數(shù)的零點(diǎn)為.題型02函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷【典例1】（24-25高一上·全國·假期作業(yè)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】分解因式求解方程的根即可.【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的實(shí)數(shù)根.由解得，或.故函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是.故選：D【典例2】（23-24高一下·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】按分段討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn)存在性定理及數(shù)形結(jié)合求解即得.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，顯然函數(shù)在上都單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，則函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，顯然，因此函數(shù)在區(qū)間上至少各有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由，得，則在上的零點(diǎn)即為函數(shù)的圖象與直線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象與直線，如圖，

觀察圖象知，函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)解，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.故選：D【典例3】（多選）（23-24高二下·浙江·期末）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程根的個(gè)數(shù)可能是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】ABD【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出的圖象，分、、三種情況，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：將原問題轉(zhuǎn)化為直線（過定點(diǎn)）與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)；所以直線與函數(shù)的圖象不可能有兩個(gè)交點(diǎn)．故選：ABD．【變式1】（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】解出方程的根，即可得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】當(dāng)時(shí)，由，可得，解得，合乎題意；當(dāng)時(shí)，由于，由，可得，解得，合乎題意.因此，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：D.【變式2】（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)已知條件先畫出在不同定義域內(nèi)的圖象，需要求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，令，利用函數(shù)的圖象求解和兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題意可知，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為和函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，它們的函數(shù)圖象如圖所示.故選：C．【變式3】（2024·浙江溫州·三模）已知函數(shù)，則關(guān)于方程的根個(gè)數(shù)不可能是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出的圖象，分、、三種情況，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

將原問題轉(zhuǎn)化為直線（過定點(diǎn)）與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)；所以直線與函數(shù)的圖象不可能有兩個(gè)交點(diǎn)．故選：C．題型03判斷函數(shù)零點(diǎn)所在的區(qū)間【典例1】（23-24高一下·廣東深圳·期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理進(jìn)行判斷區(qū)間端點(diǎn)處的符合即可．【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)在上單調(diào)遞增，又，，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間為．故選：B .【典例2】（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·期末）方程的解所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零點(diǎn)存在性定理分析判斷即可.【詳解】令，在上連續(xù)，且單調(diào)遞增，對于A，因?yàn)?，，所以的零點(diǎn)不在內(nèi)，所以A錯(cuò)誤，對于B，因?yàn)椋?，所以的零點(diǎn)不在內(nèi)，所以B錯(cuò)誤，對于C，因?yàn)椋?，所以的零點(diǎn)在內(nèi)，所以方程的解所在區(qū)間為，所以C正確，對于D，因?yàn)椋?，所以的零點(diǎn)不在內(nèi)，所以D錯(cuò)誤，故選：C【典例3】（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，，則的值為（

）A．－2 B．－1 C．0 D．1【答案】B【分析】根據(jù)題意，由條件可得在上單調(diào)遞增，且，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，且，，即，由零點(diǎn)存在定理可得，的零點(diǎn)區(qū)間為，所以.故選：B【變式1】（23-24高二下·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點(diǎn)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理結(jié)合單調(diào)性判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以函數(shù)在上存在唯一零點(diǎn).故選：D.【變式2】（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋以趦?nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)的唯一一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：B.【變式3】（23-24高一下·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·開學(xué)考試）已知函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則整數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，零點(diǎn)存在性定理得到答案.【詳解】易知函數(shù)為增函數(shù)，且，觀察可知，，則的零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，故.故選：B題型04已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍【典例1】（23-24高一上·甘肅白銀·期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不同的解，即函數(shù)與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象可得或，解或，即.故選：B.【典例2】（23-24高三上·貴州遵義·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】轉(zhuǎn)化為與圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出兩函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】令，故，畫出與的圖象，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即與圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則，解得.故選：D【典例3】（23-24高一上·廣東揭陽·期末）已知函數(shù)，若有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由函數(shù)，令，可得，在同一坐標(biāo)系下，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如圖所示：當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【變式1】（23-24高一上·天津?qū)幒印て谀┙o定函數(shù)，，對于，用表示，中較小者，記為，若方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函數(shù)和的圖像，得的圖像，由題意，直線與的圖像與有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖像判斷實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，解得或，函數(shù)和的圖像相交于點(diǎn)和，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)和的圖像，由，得的圖像，如圖所示，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的圖像與直線有三個(gè)交點(diǎn)，由圖像可知實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B【變式2】（多選）（23-24高一上·青海海北·期末）已知函數(shù)，有4個(gè)零點(diǎn)，則的值可能是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】設(shè)函數(shù)，令0，可得，作出的大致圖象，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有4個(gè)公共點(diǎn)，要使得有4個(gè)零點(diǎn)，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，結(jié)合選項(xiàng)BC符合題意.故選：BC.【變式3】（22-23高三上·甘肅定西·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為．【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象求解即可.【詳解】關(guān)于的方程恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，的圖象如圖所示，由圖可知當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍為，故答案為：題型05已知零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)的取值范圍【典例1】（2023·寧夏銀川·三模）函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得.【詳解】若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，由函數(shù)在的圖象連續(xù)不斷，且為增函數(shù)，則根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，只需滿足，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.【典例2】（多選）（23-24高一上·湖北·階段練習(xí)）函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，它們從小到大依次為，，，則（

）A． B．C． D．函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【分析】作出的圖象，利用二次函數(shù)的性質(zhì)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析的關(guān)系，結(jié)合零點(diǎn)的定義與圖象的特征，從而得解.【詳解】關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，等價(jià)于與有四個(gè)不同交點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中，作出與的大致圖象，如圖，由圖象可知：，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，令，解得，，當(dāng)時(shí)，令，解得，，，，，，則，所以，故B正確；關(guān)于對稱，，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，顯然，故等號不成立，又，則，，故C正確；令，則由，得，結(jié)合圖象可知，或，當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，此時(shí)沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，結(jié)圖象可知，此時(shí)有3個(gè)零點(diǎn)；綜上，有3個(gè)零點(diǎn)，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)方程根的個(gè)數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，解題關(guān)鍵是能夠?qū)⒎匠谈膫€(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，采用數(shù)形結(jié)合的方式，結(jié)合函數(shù)的對稱性來依次進(jìn)行求解.【典例3】（23-24高三下·天津·階段練習(xí)）若方程在區(qū)間上有解，其中，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．（結(jié)果用表示）【答案】【分析】把方程在區(qū)間上有解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間上有交點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，分類討論分別求出最值求解即可.【詳解】因?yàn)榉匠?，即在區(qū)間上有解，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間上有交點(diǎn)．因?yàn)椋?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，，

則，解得．當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，．令，解得，又，所以?/p>

則，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間上有交點(diǎn)，分類討論得到的最值，即可求出的取值范圍.【變式1】（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知函數(shù)的零點(diǎn)為.若，則的值是；若函數(shù)的零點(diǎn)為，則的值是.【答案】【分析】利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得；由已知可得為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)與的圖象關(guān)于對稱，求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)可得答案.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，且，所以；由可得，令可得，所以即為兩函?shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，令可得，所以即為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象關(guān)于對稱，且互相垂直，且由解得，即、的中點(diǎn)為，所以.故答案為：1；2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵點(diǎn)將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖象交點(diǎn)問題.【變式2】（23-24高三上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）設(shè)函數(shù)，為常數(shù).若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】根據(jù)零點(diǎn)與對應(yīng)方程根的關(guān)系以及函數(shù)零點(diǎn)存在性定理即可得答案.【詳解】因?yàn)榇嬖?，使得，所以函?shù)在上有零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，不存在零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為一次函數(shù)形式，具有單調(diào)性，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理知，即，解得或.故答案為：.【變式3】（23-24高一上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】【分析】根據(jù)題中條件，列出不等式組，解出即可.【詳解】因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以，，解得.故答案為：.題型06二次函數(shù)的零點(diǎn)問題【典例1】（23-24高二下·浙江紹興·期末）若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布，即可列出不等式，結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則，故，故B正確，ACD錯(cuò)誤，故選：B【典例2】（23-24高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象公共點(diǎn)問題進(jìn)而求解答案即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以，即在上有且只有一個(gè)實(shí)根，所以與的函數(shù)圖象在時(shí)有一個(gè)公共點(diǎn)，由于在單調(diào)遞減，所以，即.故選：D【典例3】（23-24高一上·廣東湛江·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)滿足，．(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間.(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍.【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式．（2）利用判別式大于0求解即可．【詳解】（1）設(shè)，由可得，所以，故，又得即，，故單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）由得，得，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根則滿足，得或．【變式1】（23-24高二上·河南·階段練習(xí)）設(shè)方程的兩實(shí)根滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次方程根的分布列不等式組求解.【詳解】設(shè)，得對稱軸為，由可得，，解得或，故選:C【變式2】（23-24高一上·山東青島·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則滿足條件的所有實(shí)數(shù)的集合是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過分類討論二次函數(shù)的根的個(gè)數(shù)，結(jié)合零點(diǎn)定理即可求出實(shí)數(shù)的集合.【詳解】由題意，在中，對稱軸，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，∴，當(dāng)時(shí),只需,即,解得：,且,∴，,當(dāng)時(shí)，,在定義域內(nèi)的零點(diǎn)只有，符合要求,當(dāng)時(shí)，,在定義域內(nèi)的零點(diǎn)只有，符合要求,當(dāng)時(shí),即時(shí),，零點(diǎn)為,符合題意，綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為：，故選：D.【變式3】（23-24高一上·江蘇宿遷·期中）已知二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式組，求解即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)槎魏瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)間內(nèi)，所以，則，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故選：C.題型07函數(shù)與方程綜合【典例1】（23-24高一下·廣東茂名·期末）已知函數(shù).(1)若，求與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(2)若在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.對稱軸為，所以要使在區(qū)間上恰有一個(gè)零點(diǎn)，只須，即，解得.的取值范圍.【典例2】（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的方程的解；(2)若關(guān)于的方程在上有兩個(gè)不相等的解，求的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】（1）將代入，解方程即可（2）構(gòu)造函數(shù)，利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可得判斷的單調(diào)性并求出相應(yīng)的值域，然后結(jié)合圖形即可得出【詳解】（1）時(shí)，，令解得令解得：或（2）.顯然當(dāng)時(shí)，記，如圖所示因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，值域?yàn)?；根?jù)對勾函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞減，值域?yàn)?；在上單調(diào)遞增，值域?yàn)榫C上可知，的取值范圍為【典例3】（23-24高一下·湖南·期中）已知函數(shù)．(1)是否存在，使得為定值，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由；(2)若，方程有兩個(gè)根，，且，，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接計(jì)算，則得到關(guān)于的方程，解出即可；（2）首先整理得，數(shù)形結(jié)合得，再表示出，計(jì)算之和即可.【詳解】（1），若為定值則應(yīng)，解得，即.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以存在符合要求.（2）時(shí)，方程即為，整理得，即，因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)根，由圖象可知，，即，且，得，同理有，得，所以，由，得，所以的取值范圍是.【變式1】（2024高二上·福建·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)且．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．所以，解得；【變式2】（23-24高二下·湖南·期中）已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，(1)①作出函數(shù)在上的圖象；②若方程恰有6個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)對于兩個(gè)定義域相同的函數(shù)和，若，則稱函數(shù)是由“基函數(shù)和”生成的．已知是由“基函數(shù)和”生成的，若，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值．【答案】(1)①答案見解析；②；(2)．【分析】（1）①先利用描點(diǎn)法作出區(qū)間上的函數(shù)圖象，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可得上的圖象，②利用圖象和實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)可得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）先根據(jù)復(fù)合函數(shù)求出的最小值，利用可得答案.【詳解】（1）①當(dāng)時(shí)，．列表：01234567891012432101234描點(diǎn)連線，圖象如圖，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于軸對稱，所以在上的圖象如圖所示；②恰有6個(gè)不相等的實(shí)根，等價(jià)于與有6個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知當(dāng)時(shí)，有6個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）由題意，，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上為增函數(shù)，所以，由（1）可知在上的最小值為0，因?yàn)?，使得成立，所以，所以，解得，所以?shí)數(shù)的最小值為．【變式3】（23-24高一下·安徽滁州·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)【分析】（1）直接對兩段分別研究單調(diào)性即可；（2）畫出函數(shù)的圖象與直線的圖象，由數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由單調(diào)遞增，知在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，是二次函數(shù)，最小值點(diǎn)是，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象與直線的圖象，如圖所示，由圖可知若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)娜≈捣秶?A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C新定義題型A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·期末）方程的解所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用零點(diǎn)存在性定理分析判斷即可.【詳解】令，在上連續(xù)，且單調(diào)遞增，對于A，因?yàn)椋?，所以的零點(diǎn)不在內(nèi)，所以A錯(cuò)誤，對于B，因?yàn)?，，所以的零點(diǎn)不在內(nèi)，所以B錯(cuò)誤，對于C，因?yàn)?，，所以的零點(diǎn)在內(nèi)，所以方程的解所在區(qū)間為，所以C正確，對于D，因?yàn)?，，所以的零點(diǎn)不在內(nèi)，所以D錯(cuò)誤，故選：C2．（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)已知條件先畫出在不同定義域內(nèi)的圖象，需要求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，令，利用函數(shù)的圖象求解和兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題意可知，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為和函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，它們的函數(shù)圖象如圖所示.故選：C．3．（2024·湖南岳陽·模擬預(yù)測）函數(shù)的零點(diǎn)是（

）A．2 B． C．-2 D．2或-1【答案】A【分析】由題意令可得關(guān)于的方程，進(jìn)而求解.【詳解】由題意令，因?yàn)?，所以，?故選：A.4．（23-24高一上·江西吉安·期末）下列區(qū)間內(nèi)存在方程的根的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與方程的實(shí)根個(gè)數(shù)的關(guān)系，利用零點(diǎn)存在定理結(jié)合圖形判斷即得.【詳解】令，顯然函數(shù)在R上連續(xù)，因，故在區(qū)間上存在零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根．

如圖，作出函數(shù)和的圖象，由圖可知和有兩個(gè)交點(diǎn)，因，，即，所以在區(qū)間上存在零點(diǎn)，即方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，由選項(xiàng)可知只有C項(xiàng)符合題意.故選：C.5．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】D【分析】解出方程的根，即可得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】當(dāng)時(shí)，由，可得，解得，合乎題意；當(dāng)時(shí)，由于，由，可得，解得，合乎題意.因此，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：D.6．（23-24高一下·河南·開學(xué)考試）已知函數(shù)的零點(diǎn)分別是，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】令，從而將問題轉(zhuǎn)化為、、與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】令，得，則為函數(shù)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為函數(shù)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為函數(shù)與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在同一直角坐標(biāo)系中，分別作出和的圖象，如圖所示，

由圖可知，.故選：B7．（23-24高三上·陜西西安·期末）已知函數(shù)若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出的大致圖象，根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為與的圖象有4個(gè)不同交點(diǎn)，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由題意，作出的大致圖象，如圖所示，要使得，即函數(shù)與的圖象有4個(gè)不同交點(diǎn)，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A.8．（23-24高一下·安徽·階段練習(xí)）定義在上的滿足對，關(guān)于的方程有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意，對化簡得，即，畫出圖象，結(jié)合圖象即可得到答案.【詳解】關(guān)于的方程可化簡為，即有7個(gè)不同的根，畫出的圖象，

觀察可以看出當(dāng)有4個(gè)不同的根，故只需有3個(gè)不同的根即可，所以.故選：A.二、多選題9．（23-24高一上·江西撫州·期末）若方程在區(qū)間上有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A．0 B． C． D．【答案】BCD【分析】轉(zhuǎn)化為在上有解，利用配方法求出的值域可得答案.【詳解】由題意在上有解，.故選：BCD．10．（23-24高一上·福建廈門·期末）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)的充分條件可以是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】先判斷函數(shù)單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理列出不等式求解，結(jié)合充分條件定義即可判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，若函數(shù)