滬教版2024-2525學(xué)年六年級數(shù)學(xué)上冊同步講義第13講方程與列方程等式的性質(zhì)(八大題型)(學(xué)生版+解析)

第13講方程與列方程等式的性質(zhì)（八大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、知道方程的概念、掌握列方程、方程的解；2.學(xué)會等式的性質(zhì)及應(yīng)用；3、解方程的概念、利用等式的性質(zhì)解方程；一、方程的有關(guān)概念1．定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程.要點(diǎn)：判斷一個(gè)式子是不是方程，只需看兩點(diǎn)：一.是等式；二.是含有未知數(shù)．2．方程的解：如果未知數(shù)所取的某個(gè)值能使方程左右兩邊的值相等，那么這個(gè)未知數(shù)的值叫作方程的解要點(diǎn)：判斷一個(gè)數(shù)（或一組數(shù)）是否是某方程的解，只需看兩點(diǎn)：①.它（或它們）是方程中未知數(shù)的值；②將它（或它們）分別代入方程的左邊和右邊，若左邊等于右邊，則它們是方程的解，否則不是．

3．方程的兩個(gè)特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必須含有字母（或未知數(shù)）.二、等式的性質(zhì)

1．等式的概念：用符號“=”來表示相等關(guān)系的式子叫做等式.

知識引入：已知圖3-2-1中(1)(3)的天平平衡.從圖3-2-1(1)到圖3-2-1(2),天平左右兩邊的質(zhì)量各發(fā)生了怎樣的變化?天平的平衡狀態(tài)有無變化?從圖3-2-1(3)到圖3-2-1(4)呢?觀察圖3-2-1(1)和圖3-2-1(2)可以發(fā)現(xiàn)，平衡的天平兩邊加上同樣的砝碼，天平仍保持平衡.觀察圖3-2-1(3)和圖3-2-1(4)可以發(fā)現(xiàn)，平衡的天平兩邊減去同樣的砝碼，天平也保持平衡.等式就像平衡的天平，也具有同樣的性質(zhì).等式的性質(zhì)：

等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等.即：

如果，那么(c為一個(gè)數(shù)或一個(gè)式子).

我們還能發(fā)現(xiàn)，平衡的天平兩邊物體的質(zhì)量分別變?yōu)榱嗽瓉淼?倍，天平仍保持平衡.平衡的天平兩邊物體的質(zhì)量分別變?yōu)榱嗽瓉淼囊话?，天平也保持平?等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要點(diǎn)：根據(jù)等式的兩條性質(zhì)，對等式進(jìn)行變形，等式兩邊必須同時(shí)進(jìn)行完全相同的變形；等式的性質(zhì)2中等式兩邊都除以同一個(gè)數(shù)時(shí)，這個(gè)除數(shù)不能為零．三、解方程、利用等式的性質(zhì)解方程1.我們可以用等式性質(zhì)1,求得方程(x+16)-17=11的解.合并同類項(xiàng)，得x-1=11.根據(jù)等式性質(zhì)1,在等式兩邊同加上1,得x-1+1=11+1.解得x=12.2.我們可以用等式性質(zhì)2,求得方程3y+y=152的解.合并同類項(xiàng)，得4y=152.根據(jù)等式性質(zhì)2,在等式兩邊同除以得4y÷4=152÷4.解得y=38.以上求方程的解的過程叫作解方程.題型1：方程的概念【典例1】．下列各式中屬于方程的是（）A． B． C． D．【典例2】．下列說法中正確的是（

）A．含有未知數(shù)的式子叫方程 B．能夠成為等式的式子叫方程C．方程就是等式，等式就是方程 D．方程就是含有未知數(shù)的等式【典例3】．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（

）．A．①②④⑤ B．①②⑤ C．①④⑤ D．6個(gè)都不是【典例4】．判斷下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”并說明原因．（1）－2＋5＝3（

）；（2）3x－2＝7（

）

（3）m＝5（

）；（4）x＞4（

）（5）x＋y＝6（

）；（6）2x2－5x＋1＝0（

）（7）2a＋b（

）；（8）x＝3（

）題型2：列方程【典例5】．根據(jù)下列條件，列出方程．（1）x的倒數(shù)減去-5的差為9；（2）5與x的差的絕對值等于4的平方；（3）長方形的長與寬分別為16、x，周長為40；（4）y減去13的差的一半為x的．【典例6】．只列方程，不解方程(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，這個(gè)班女生有多少人？(2)小明買蘋果和梨共5千克，用去21元，其中蘋果每千克5元，梨每千克4元，問蘋果買了多少千克？【典例7】．兩數(shù)a、b的平方和等于這兩數(shù)的積的兩倍，用等式表示為．【典例8】．一個(gè)長方形場地的周長為米，長比寬的倍少米．如果設(shè)這個(gè)場地的寬為米，那么可以列出方程為．【典例9】．幾個(gè)人共同種一批樹苗，如果每人種5棵，則剩下3棵樹苗未種；如果每人種6棵，則缺4棵樹苗．若設(shè)參與種樹的人數(shù)為人，可列方程．題型3：方程的解【典例10】．下列方程中，解為的方程是（

）A． B． C． D．【典例11】．若是關(guān)于x的方程的解，則a的值是(

)．A． B．0 C．2 D．3【典例12】．方程的解．（填“是”或“不是”）【典例13】．，各是下列哪個(gè)方程的解？（1）；（2）；（3）．題型4：等式的性質(zhì)【典例14】．下列利用等式的性質(zhì)，錯(cuò)誤的是（

）A．由，得到 B．由，得到C．由，得到 D．由．得到【典例15】．下列說法中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【典例16】．根據(jù)等式的基本性質(zhì)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【典例17】．利用等式的性質(zhì)解下列方程：（1）；（2）；（3）．【典例18】．若，則下列式子正確的有（

）①；②；③；④；⑤．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【典例19】．下列變形正確的是（

）A．變形得B．變形得C．變形得D．變形得【典例20】．方程從到變形的依據(jù)是．【典例21】．認(rèn)真思考，回答下列問題：（1）由能不能得到？為什么？（2）由能不能得到？為什么？（3）由能不能得到？為什么？（4）由能不能得到？為什么？反之，能不能由得到？為什么？（5）由，能不能得到？為什么？【典例22】．若，則．【典例23】．若，則．題型5：等式的性質(zhì)的應(yīng)用【典例24】．如圖，在天平上放若干蘋果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，現(xiàn)要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盤中放入砝碼（）

A．350克 B．300克 C．250克 D．200克【典例25】．如圖，●，■，▲分別表示三種不同的物體，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右邊應(yīng)放的物體是（

）A．■■ B．■■■ C．■■■■ D．■■■■■【典例26】．用“□”“△”“○”表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱了兩次，情況如圖所示．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，則能正確表示天平從左到右變化過程的等式變形為（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么題型6：分析利用等式的性質(zhì)變形過程【典例27】．小明在學(xué)習(xí)了等式的基本性質(zhì)后，對等式進(jìn)行變形，得出“”的錯(cuò)誤結(jié)論，但他找不到錯(cuò)誤原因，聰明的你能幫助他找到原因嗎？小明的具體過程如表所示：將等式變形兩邊同時(shí)加，得（第①步）兩邊同時(shí)除以，得（第②步）(1)第______步等式變形產(chǎn)生錯(cuò)誤；(2)請分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，寫出等式正確變形過程，求出的值．【典例28】．在將等式變形時(shí)，小明的變形過程如下：因?yàn)?，所以，（第一步）所以．（第二步?1)上述過程中，第一步的依據(jù)是什么？(2)小明第二步的結(jié)論正確嗎？如果不正確，請說明原因，并改正．題型7：利用等式的性質(zhì)解方程【典例29】．利用等式的性質(zhì)，在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)或式子，并說明變形的根據(jù)．（1）如果，則，根據(jù)；，根據(jù)；（2）如果，則，，根據(jù)；，根據(jù)．【典例30】．利用等式的性質(zhì)解下列方程：(1)(2)(3)(4)．【典例31】．利用等式性質(zhì)解方程(1)(2)(3)(4)【典例32】．利用等式的性質(zhì)解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．題型8：方程的解等式的性質(zhì)綜合應(yīng)用【典例33】．要使關(guān)于的方程無解，則常數(shù)的值應(yīng)取（

）A．1 B． C． D．0【典例34】．關(guān)于x的一次式的值隨的取值不同而不同，如表是當(dāng)取不同值時(shí)對應(yīng)的一次式的值，則關(guān)于的方程的解是（

）01220A． B． C． D．【典例35】．將9個(gè)數(shù)填入(三行三列)的方格中，如果滿足每個(gè)橫行、每個(gè)豎列和每條對角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，這樣的圖為廣義的三階幻方．如圖，一個(gè)三階幻方如下，若，，，，則整式．一、單選題1．在①；②；③；④中，方程共有（

）A．1個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．4個(gè)2．是下列方程的解的有（）①；②；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．已知等式，則下列等式中不一定成立的是（

）A． B． C． D．4．下列方程中，解為的是（）A． B．C． D．5．下列說法中，正確的有（

）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．下列語句：①含有未知數(shù)的代數(shù)式叫方程;②方程中的未知數(shù)只有用方程的解去代替它時(shí)，該方程所表示的等式才成立;③等式兩邊都除以同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍是等式;④x=-1是方程-1=x+1的解.其中錯(cuò)誤的語句的個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)7．下列方程的變形，正確的是（

）A．由，得B．由，得C．由，得D．由，得8．如圖中“●、■、▲”分別表示三種不同的物體，已知前兩架天平如圖（1）、（2）所示均保持平衡．為了使第三架天平如圖（3）所示也能保持平衡，現(xiàn)在“？”處只放置“■”物體．那么應(yīng)放“■”的個(gè)數(shù)是（

）（1）如果，那么，理由：根據(jù)等式性質(zhì)，在等式兩邊．（2）如果．那么．理由：根據(jù)等式性質(zhì)，在等式兩邊．（3）如果，那么，理由：根據(jù)等式性質(zhì)，在等式兩邊．（4）如果，那么．理由：根據(jù)等式性質(zhì)，在等式兩邊．15．列等式表示：比的倍大的數(shù)等于的倍，得16．（填“是”或“不是”）方程的解.17．已知，利用等式的基本性質(zhì)，的值為．18．有個(gè)球，其中的球質(zhì)量相同，另有個(gè)球輕了一些，如果能用天平稱出來，至少次可以找出這個(gè)較輕的球．三、解答題19．根據(jù)下列條件，列出方程；（1）x的3倍減5，等于x的2倍加1；（2）x的30%加2的和的一半，等于x的20%減5．20．根據(jù)題意列出方程．(1)一個(gè)數(shù)的與3的差等于最大的一位數(shù)，求這個(gè)數(shù)；(2)從正方形的鐵皮上，截去2cm寬的一個(gè)長方形條，余下的面積是80cm2，那么原來的正方形鐵皮的邊長是多少？(3)某商店規(guī)定，購買超過15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顧客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式購買價(jià)值19500元的電腦，他需要用多長時(shí)間才能付清全部貨款？21．，各是下列哪個(gè)方程的解？（1）；（2）；（3）．22．下列方程的變形是否正確？為什么？(1)由，得．(2)由，得．(3)由，得．(4)由，得．23．利用等式的性質(zhì)解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．24．用等式的性質(zhì)解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）．25．某天王強(qiáng)對張濤同學(xué)說：“我發(fā)現(xiàn)5可以等于4．這里有一個(gè)方程：5x﹣8=4x﹣8，等式兩邊同時(shí)加上8得5x=4x，等式兩邊同時(shí)除以x得5=4．”請你想一想，王強(qiáng)說的對嗎？請簡要說明理由．26．能否從等式得到，為什么？反過來，能否從得到，為什么？27．已知關(guān)于的方程，當(dāng)，為何值時(shí)：(1)方程有唯一解；(2)方程有無數(shù)個(gè)解；(3)方程無解．第13講方程與列方程等式的性質(zhì)（八大題型）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、知道方程的概念、掌握列方程、方程的解；2.學(xué)會等式的性質(zhì)及應(yīng)用；3、解方程的概念、利用等式的性質(zhì)解方程；一、方程的有關(guān)概念1．定義：含有未知數(shù)的等式叫做方程.要點(diǎn)：判斷一個(gè)式子是不是方程，只需看兩點(diǎn)：一.是等式；二.是含有未知數(shù)．2．方程的解：如果未知數(shù)所取的某個(gè)值能使方程左右兩邊的值相等，那么這個(gè)未知數(shù)的值叫作方程的解要點(diǎn)：判斷一個(gè)數(shù)（或一組數(shù)）是否是某方程的解，只需看兩點(diǎn)：①.它（或它們）是方程中未知數(shù)的值；②將它（或它們）分別代入方程的左邊和右邊，若左邊等于右邊，則它們是方程的解，否則不是．

3．方程的兩個(gè)特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必須含有字母（或未知數(shù)）.二、等式的性質(zhì)

1．等式的概念：用符號“=”來表示相等關(guān)系的式子叫做等式.

知識引入：已知圖3-2-1中(1)(3)的天平平衡.從圖3-2-1(1)到圖3-2-1(2),天平左右兩邊的質(zhì)量各發(fā)生了怎樣的變化?天平的平衡狀態(tài)有無變化?從圖3-2-1(3)到圖3-2-1(4)呢?觀察圖3-2-1(1)和圖3-2-1(2)可以發(fā)現(xiàn)，平衡的天平兩邊加上同樣的砝碼，天平仍保持平衡.觀察圖3-2-1(3)和圖3-2-1(4)可以發(fā)現(xiàn)，平衡的天平兩邊減去同樣的砝碼，天平也保持平衡.等式就像平衡的天平，也具有同樣的性質(zhì).等式的性質(zhì)：

等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等.即：

如果，那么(c為一個(gè)數(shù)或一個(gè)式子).

我們還能發(fā)現(xiàn)，平衡的天平兩邊物體的質(zhì)量分別變?yōu)榱嗽瓉淼?倍，天平仍保持平衡.平衡的天平兩邊物體的質(zhì)量分別變?yōu)榱嗽瓉淼囊话?，天平也保持平?等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要點(diǎn)：根據(jù)等式的兩條性質(zhì)，對等式進(jìn)行變形，等式兩邊必須同時(shí)進(jìn)行完全相同的變形；等式的性質(zhì)2中等式兩邊都除以同一個(gè)數(shù)時(shí)，這個(gè)除數(shù)不能為零．三、解方程、利用等式的性質(zhì)解方程1.我們可以用等式性質(zhì)1,求得方程(x+16)-17=11的解.合并同類項(xiàng)，得x-1=11.根據(jù)等式性質(zhì)1,在等式兩邊同加上1,得x-1+1=11+1.解得x=12.2.我們可以用等式性質(zhì)2,求得方程3y+y=152的解.合并同類項(xiàng)，得4y=152.根據(jù)等式性質(zhì)2,在等式兩邊同除以得4y÷4=152÷4.解得y=38.以上求方程的解的過程叫作解方程.題型1：方程的概念【典例1】．下列各式中屬于方程的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)方程式的定義“既含有未知數(shù)又是等式”即可求解．【解析】解：A、既含有未知數(shù)又是等式，具備了方程的條件，因此是方程，故本選項(xiàng)正確；B、不含有未知數(shù)，不是方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、不是方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、是不等式，不是方程，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的定義，熟記知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【典例2】．下列說法中正確的是（

）A．含有未知數(shù)的式子叫方程 B．能夠成為等式的式子叫方程C．方程就是等式，等式就是方程 D．方程就是含有未知數(shù)的等式【答案】D【分析】根據(jù)方程的定義結(jié)合選項(xiàng)選出正確答案即可．【解析】A、含有未知數(shù)，但不是方程，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、是等式，但不是方程，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、是等式，但不是方程，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、方程就是含有未知數(shù)的等式，D選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的定義，解題的關(guān)鍵是掌握方程的定義：含未知數(shù)的等式叫方程．【典例3】．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，是方程的是（

）．A．①②④⑤ B．①②⑤ C．①④⑤ D．6個(gè)都不是【答案】A【分析】根據(jù)方程的定義對各小題進(jìn)行逐一分析即可．【解析】解：①2x-1=5符合方程的定義，故本小題正確；②4+8=12不含有未知數(shù)，不是方程，故本小題錯(cuò)誤；③5y+8不是等式，故本小題錯(cuò)誤；④2x+3y=0符合方程的定義，故本小題正確；⑤2x2+x=1符合方程的定義，故本小題正確；⑥2x2-5x-1不是等式，故本小題錯(cuò)誤．綜上，是方程的是①④⑤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的定義，熟知含有未知數(shù)的等式叫方程是解答此題的關(guān)鍵．【典例4】．判斷下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打“×”并說明原因．（1）－2＋5＝3（

）；（2）3x－2＝7（

）

（3）m＝5（

）；（4）x＞4（

）（5）x＋y＝6（

）；（6）2x2－5x＋1＝0（

）（7）2a＋b（

）；（8）x＝3（

）【答案】（1）×；見解析；（2）√；（3）√；（4）×；見解析；（5）√；（6）√；（7）×；見解析；（8）√【解析】略題型2：列方程【典例5】．根據(jù)下列條件，列出方程．（1）x的倒數(shù)減去-5的差為9；（2）5與x的差的絕對值等于4的平方；（3）長方形的長與寬分別為16、x，周長為40；（4）y減去13的差的一半為x的．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）表示出x的倒數(shù)，再表示出這個(gè)倒數(shù)與-5差等于9，即可得方程；（2）表示出5與x差，根據(jù)差的絕對值等于4的平方，即可得方程；（3）根據(jù)長方形周長公式即可得方程；（4）表示出y與13差，再表示出這個(gè)差的一半，以及x的，即可得方程．【解析】（1）根據(jù)題意，得：，【點(diǎn)睛】本題主要考查由實(shí)際問題抽象出方程，建立方程要善于從“關(guān)鍵詞”中挖掘其內(nèi)涵，不同的詞里蘊(yùn)含這不同的相等關(guān)系關(guān)系．【典例6】．只列方程，不解方程(1)某班有男生25人，比女生的2倍少15人，這個(gè)班女生有多少人？(2)小明買蘋果和梨共5千克，用去21元，其中蘋果每千克5元，梨每千克4元，問蘋果買了多少千克？【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)這個(gè)班女生有人，根據(jù)有男生25人，比女生的2倍少15人列出方程即可；（2）設(shè)小明蘋果買了千克，則梨買了千克，再根據(jù)蘋果和梨的價(jià)格、以及用去21元列出方程即可得．【解析】（1）解：設(shè)這個(gè)班女生有人，由題意列方程為．（2）設(shè)小明蘋果買了千克，則梨買了千克，由題意列方程為．【點(diǎn)睛】本題考查了列一元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【典例7】．兩數(shù)a、b的平方和等于這兩數(shù)的積的兩倍，用等式表示為．【答案】【分析】根據(jù)題意列出代數(shù)式即可．【解析】解∶由題意可得∶，故答案為∶．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式，正確理解題目中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【典例8】．一個(gè)長方形場地的周長為米，長比寬的倍少米．如果設(shè)這個(gè)場地的寬為米，那么可以列出方程為．．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列一元一次方程，審清題意、設(shè)出未知數(shù)、明確等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．【典例9】．幾個(gè)人共同種一批樹苗，如果每人種5棵，則剩下3棵樹苗未種；如果每人種6棵，則缺4棵樹苗．若設(shè)參與種樹的人數(shù)為人，可列方程．【答案】；【解析】試題解析：由題意得，設(shè)參與種樹的人數(shù)為x人，則所列方程為：；故答案為.題型3：方程的解【典例10】．下列方程中，解為的方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方程的解就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，把代入各個(gè)方程進(jìn)行進(jìn)行檢驗(yàn)，看能否使方程的左右兩邊相等．【解析】解：分別將代入四個(gè)方程：【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是正確理解方程的解的定義，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．【典例11】．若是關(guān)于x的方程的解，則a的值是(

)．A． B．0 C．2 D．3【答案】D【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解的定義，能使方程的左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解，理解方程解的定義是關(guān)鍵．【典例12】．方程的解．（填“是”或“不是”）【答案】是【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程解的定義，解題的關(guān)鍵是理解方程解的定義．【典例13】．，各是下列哪個(gè)方程的解？（1）；（2）；（3）．【答案】是方程（3）的解，是方程（1）的解，是方程（2）的解【分析】將代入方程（3），使方程左右兩邊相等，即可判斷；是方程（3）的解，是方程（1）的解，是方程（2）的解．【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握使方程中等號左右兩邊相等的的未知數(shù)的值就是方程的解．題型4：等式的性質(zhì)【典例14】．下列利用等式的性質(zhì)，錯(cuò)誤的是（

）A．由，得到 B．由，得到C．由，得到 D．由．得到【答案】C【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即可判斷．【解析】解：A．∵，∴，∴，故正確；B．當(dāng)時(shí)，由，不能得到，故不正確；C．∵，∴，故正確；D．∵，∴，故正確；【點(diǎn)睛】本題考查了等式的基本性質(zhì)，正確掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．等式的基本性質(zhì)1是等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)整式，所得的結(jié)果仍是等式；等式的基本性質(zhì)2是等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能為0），所得的結(jié)果仍是等式．【典例15】．下列說法中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】A【分析】直接利用等式的基本性質(zhì)以及結(jié)合絕對值的性質(zhì)分析得出答案．【解析】解：A、若ac=bc，當(dāng)c≠0，則a=b，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、若，則，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、若，則，故此選項(xiàng)正確；D、若，則，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，正確把握等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【典例16】．根據(jù)等式的基本性質(zhì)，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，掌握性質(zhì)1、等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2、等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等式的性質(zhì)解答．【解析】解：A、當(dāng)時(shí)，等式不成立，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．B、的兩邊同時(shí)乘以3，等式才成立，即，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．C、的兩邊同時(shí)除以m，只有時(shí)等式才成立，即，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．D、的兩邊同時(shí)減去m，等式仍成立，即，故本選項(xiàng)正確．故選：D．【典例17】．利用等式的性質(zhì)解下列方程：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）x=-27．【分析】（1）方程兩邊減7就得出x的值；（2）兩邊同時(shí)除以-5，即可得出x的值；（3）方程兩邊加5，最后兩邊同時(shí)乘以-，即可得出x的值．【解析】解：（1）兩邊減7，得：．于是x=19；（2）兩邊除以，得：．于是x=-4；（3）兩邊加5，得：，化簡，得：，兩邊乘，得：x=-27．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元一次方程，以及等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【典例18】．若，則下列式子正確的有（

）①；②；③；④；⑤．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)：①等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或字母，等式仍然成立；②等式的兩邊同時(shí)乘以或同時(shí)除以同一個(gè)不為0的數(shù)或字母，等式仍然成立，逐一判斷即可．【解析】解：①根據(jù)等式的基本性質(zhì)1，等式兩邊都減2，等式仍成立，故①正確；②等式的兩邊乘的是不同的數(shù)，故②錯(cuò)誤；③根據(jù)等式的基本性質(zhì)2，等式的兩邊同時(shí)乘，等式仍成立，故③正確；④根據(jù)等式的基本性質(zhì)2，等式的兩邊都乘5，得到，然后再根據(jù)等式的基本性質(zhì)1，等式的兩邊都減1，得到，故④正確；⑤當(dāng)時(shí)，等式無意義，故⑤錯(cuò)誤．故正確的式子有①③④共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等式的性質(zhì)，需利用等式的性質(zhì)對根據(jù)已知得到的等式進(jìn)行變形，從而找到最后答案．【典例19】．下列變形正確的是（

）A．變形得B．變形得C．變形得D．變形得【答案】D【分析】本題主要考查等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【解析】解：變形得，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；變形得，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；變形得，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，不符合題意；變形得，選項(xiàng)D正確，符合題意；【典例20】．方程從到變形的依據(jù)是．【答案】等式的性質(zhì)1【分析】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0數(shù)或字母，等式仍成立.．根據(jù)等式的基本性質(zhì)即可解答.【解析】解：∵方程的兩邊同時(shí)減去，再同時(shí)減去21，即可得到，∴依據(jù)是等式的性質(zhì)1．故答案為：等式的性質(zhì)1．【典例21】．認(rèn)真思考，回答下列問題：（1）由能不能得到？為什么？（2）由能不能得到？為什么？（3）由能不能得到？為什么？（4）由能不能得到？為什么？反之，能不能由得到？為什么？（5）由，能不能得到？為什么？【答案】（1）等式不能得到，見解析；（2）能得到，見解析；（3）當(dāng)時(shí)，不能得到；當(dāng)時(shí)，能得到，見解析；（4）不能由得到，見解析；能由得到，見解析；（5）能得到，見解析【分析】根據(jù)等式的基本性質(zhì)，即可求解【解析】（1）由等式不能得到，理由如下：因?yàn)楦鶕?jù)等式性質(zhì)1，等式兩邊都減去3，得．再根據(jù)等式性質(zhì)2，等式兩邊都除以2，得，所以不能得到；（2）由能得到，理由如下：因?yàn)楦鶕?jù)等式性質(zhì)2，等式兩邊都除以2，得，所以能得到；（3）由不一定能得到，理由如下：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由不能得到，這是因?yàn)榈仁絻蛇叢荒芏汲?；當(dāng)時(shí)，根據(jù)等式性質(zhì)2，能得到，這時(shí)在等式兩邊可以同除以；（4）不能由得到，理由如下：因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不能利用等式性質(zhì)2，兩邊同除以；當(dāng)時(shí)，可利用等式性質(zhì)2，兩邊同除以，得到；能由得到，理由如下：這是因?yàn)橛呻[含條件可知，利用等式性質(zhì)2，兩邊同乘，可得到；（5）因?yàn)椋钥衫玫仁叫再|(zhì)2，兩邊同除以，得到所以可以得到．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，熟練掌握等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立；等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)，等式仍然成立是解題的關(guān)鍵．【典例22】．若，則．【答案】/【分析】本題考查了等式的性質(zhì)，根據(jù)等式的性質(zhì)解答即可．【解析】解：∵，∴．故答案為：．【典例23】．若，則．【答案】【分析】把n的系數(shù)化為1即可求解．【解析】解：∵0.5n=2m，∴n=4m，故答案為：4m．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，兩邊都乘或除以同一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果不變，兩邊都加或都減同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式．題型5：等式的性質(zhì)的應(yīng)用【典例24】．如圖，在天平上放若干蘋果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，現(xiàn)要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盤中放入砝碼（）

A．350克 B．300克 C．250克 D．200克【答案】A【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)即可求出答案．【解析】解：設(shè)蘋果重為x克，香蕉重為y克，∴，，相加得：，∴．∴需要在天平右盤中放入砝碼250克，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用等式的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．【典例25】．如圖，●，■，▲分別表示三種不同的物體，前兩架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平的右邊應(yīng)放的物體是（

）A．■■ B．■■■ C．■■■■ D．■■■■■【答案】D【分析】設(shè)●，■，▲代表的三個(gè)物體的重量分別為a、b、c，根據(jù)前面兩幅圖可以得到，進(jìn)而推出，，由此即可得到答案．【解析】解：設(shè)●，■，▲代表的三個(gè)物體的重量分別為a、b、c，由左邊第一幅圖可知①，由中間一幅圖可知②，∴得，∴，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)，正確理解題意得到，是解題的關(guān)鍵．【典例26】．用“□”“△”“○”表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱了兩次，情況如圖所示．設(shè)a，b，c均為正數(shù)，則能正確表示天平從左到右變化過程的等式變形為（

）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】D【分析】本題考查等式的性質(zhì)，根據(jù)天平兩端相等即可求得答案．【解析】解：由圖形可得如果，那么，故選：A．題型6：分析利用等式的性質(zhì)變形過程【典例27】．小明在學(xué)習(xí)了等式的基本性質(zhì)后，對等式進(jìn)行變形，得出“”的錯(cuò)誤結(jié)論，但他找不到錯(cuò)誤原因，聰明的你能幫助他找到原因嗎？小明的具體過程如表所示：將等式變形兩邊同時(shí)加，得（第①步）兩邊同時(shí)除以，得（第②步）(1)第______步等式變形產(chǎn)生錯(cuò)誤；(2)請分析產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，寫出等式正確變形過程，求出的值．【答案】(1)；(2)產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：等式兩邊同時(shí)除以字母時(shí)，沒有考慮字母是否為；的值為．【分析】（）根據(jù)等式的性質(zhì)可知錯(cuò)誤發(fā)生在第步；（）根據(jù)等式的基本性質(zhì)即可解答；本題考查了等式的基本性質(zhì)，掌握等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）解：第步等式變形產(chǎn)生錯(cuò)誤，故答案為：；（2）解：產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因：等式兩邊同時(shí)除以字母時(shí)，沒有考慮字母是否為．正確過程：兩邊同時(shí)加，得，兩邊同時(shí)減，得，兩邊同時(shí)除以，得．【典例28】．在將等式變形時(shí)，小明的變形過程如下：因?yàn)?，所以，（第一步）所以．（第二步?1)上述過程中，第一步的依據(jù)是什么？(2)小明第二步的結(jié)論正確嗎？如果不正確，請說明原因，并改正．【答案】(1)等式的性質(zhì)1(2)小明第二步的結(jié)論不正確，理由見解析【分析】此題考查了等式性質(zhì)的應(yīng)用能力：（1）運(yùn)用等式的性質(zhì)1進(jìn)行求解；（2）根據(jù)等式的性質(zhì)2進(jìn)行求解．【解析】（1）∵∴根據(jù)等式的性質(zhì)1，兩邊都減去得∴第一步的依據(jù)是：等式的性質(zhì)1；（2）小明第二步的結(jié)論不正確，∵根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式兩邊同時(shí)除以不為0的一個(gè)數(shù)，等式仍然成立，∴當(dāng)時(shí)，等式的兩邊都除以a，等式不成立，當(dāng)時(shí)，兩邊都除以a，得不成立，∴小明第二步的結(jié)論不正確．題型7：利用等式的性質(zhì)解方程【典例29】．利用等式的性質(zhì)，在橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)或式子，并說明變形的根據(jù)．（1）如果，則，根據(jù)；，根據(jù)；（2）如果，則，，根據(jù)；，根據(jù)．【答案】-2等式的基本性質(zhì)1-1等式的基本性質(zhì)2-5等式的基本性質(zhì)115等式的基本性質(zhì)2【分析】（1）先由等式的性質(zhì)1得出，再由等式的性質(zhì)2即可得出結(jié)論；（2）先由等式的性質(zhì)1得出，再由等式的性質(zhì)2即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）方程兩邊同時(shí)加，得：，方程兩邊同時(shí)除以，得：，故答案為：；等式的基本性質(zhì)；；等式的基本性質(zhì)；（2）方程兩邊同時(shí)減，得：，方程兩邊同時(shí)乘以，得：，故答案為：；等式的基本性質(zhì)；；等式的基本性質(zhì)．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的基本性質(zhì)，熟記等式的兩個(gè)基本性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【典例30】．利用等式的性質(zhì)解下列方程：(1)(2)(3)(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查了等式的基本性質(zhì)：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等．等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等；熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．結(jié)合各方程的特點(diǎn)，根據(jù)等式的性質(zhì)逐一進(jìn)行變形計(jì)算即可．【解析】（1）解：兩邊同時(shí)減去，得，解得．（2）解：兩邊同乘，得，解得．（3）解：兩邊同時(shí)減去得，，兩邊同除以得，解得．（4）解：兩邊減去得，解得．【典例31】．利用等式性質(zhì)解方程(1)(2)(3)(4)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】本題考查等式的基本性質(zhì)．等式性質(zhì)：1、等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或字母，等式仍成立；2、等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)不為0的數(shù)或字母，等式仍成立．（1）兩邊同時(shí)加上4即可求解；（2）兩邊同時(shí)除以即可求解；（3）方程兩邊同加上10，再除以5即可求解；（4）兩邊同時(shí)減去1，再除以3即可求解．【解析】（1）解：，兩邊同時(shí)加上4，得；（2）解：，兩邊同時(shí)除以，得；（3）解：，方程兩邊同加上10，得，兩邊同時(shí)除以5，得；（4）解：，兩邊同時(shí)減去1，得，兩邊同時(shí)除以3，得．【典例32】．利用等式的性質(zhì)解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】結(jié)合各方程的特點(diǎn)，根據(jù)等式的性質(zhì)逐一進(jìn)行變形計(jì)算即可．【解析】（1）解：方程兩邊同時(shí)減去8，得，所以；（2）解：方程兩邊同時(shí)乘以，得，所以；（3）解：方程兩邊同時(shí)減去7，得，化簡，得，方程兩邊同時(shí)乘以，得；（4）解：方程兩邊同時(shí)加，得，化簡，得，方程兩邊都乘12，得，整理得，方程兩邊都除以5，得．【點(diǎn)睛】本題運(yùn)用了等式的基本性質(zhì)．等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等．等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等．題型8：方程的解等式的性質(zhì)綜合應(yīng)用【典例33】．要使關(guān)于的方程無解，則常數(shù)的值應(yīng)?。?/p>

）A．1 B． C． D．0【答案】D【分析】先將方程變形為的形式，再根據(jù)一元一次方程無解的情況：，，求得方程中的值．【解析】解：將原方程變形為．由已知該方程無解，所以，解得．故的值應(yīng)取1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程解的情況．一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為，它的解有三種情況：①當(dāng)，時(shí)，方程有唯一一個(gè)解；②當(dāng)，時(shí)，方程無解；③當(dāng)，時(shí)，方程有無數(shù)個(gè)解．【典例34】．關(guān)于x的一次式的值隨的取值不同而不同，如表是當(dāng)取不同值時(shí)對應(yīng)的一次式的值，則關(guān)于的方程的解是（

）01220A． B． C． D．【答案】A【分析】將兩邊同時(shí)乘以，再根據(jù)表格即可得出方程的解．【解析】解：將兩邊同時(shí)乘以得：，根據(jù)表格可知，當(dāng)時(shí)，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等號兩邊同時(shí)乘以同一個(gè)數(shù)，等式仍成立．【典例35】．將9個(gè)數(shù)填入(三行三列)的方格中，如果滿足每個(gè)橫行、每個(gè)豎列和每條對角線上的三個(gè)數(shù)之和都相等，這樣的圖為廣義的三階幻方．如圖，一個(gè)三階幻方如下，若，，，，則整式．【答案】/【分析】本題考查整式的加減，等式得性質(zhì)，根據(jù)題意可得，從而得到，整體代入求解即可．【解析】解：依題意得：，∴，∴，又∵，，，∴，故答案為：．一、單選題1．在①；②；③；④中，方程共有（

）A．1個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】含有未知數(shù)的等式叫方程，根據(jù)方程的定義解答．【解析】解：方程有③；④，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了方程的定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．2．是下列方程的解的有（）①；②；③；④．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】本題考查方程的解：能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為方程的解．將代入各方程即可．【解析】解：①左邊，右邊，左邊右邊，∴不是方程的解；②左邊，右邊，左邊右邊，∴是方程的解；③左邊，右邊，左邊右邊，∴是方程的解；④左邊，右邊，左邊右邊，∴是方程的解．故選：C．3．已知等式，則下列等式中不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了等式的性質(zhì)，熟知等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵：等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或整式，等式仍然成立；等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)或式子等式仍然成立；等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)不為零的數(shù)字或式子等式仍然成立．【解析】解；A、若，則，原等式成立，不符合題意；B、若，則，即，原等式成立，不符合題意；C、若，則，原等式不一定成立，符合題意；D、若，則，原等式成立，不符合題意；故選：C．4．下列方程中，解為的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】把代入每個(gè)方程，看看方程兩邊是否相等即可．【解析】解：A．把代入方程，左邊，右邊，左邊右邊，則不是方程的解，故此選項(xiàng)不符合題意；B．把代入方程，左邊，右邊，左邊右邊，則不是方程的解，故此選項(xiàng)不符合題意；C．把代入方程，左邊，右邊，左邊右邊，則不是方程的解，故此選項(xiàng)不符合題意；D．把代入方程，左邊，右邊，左邊右邊，則是方程的解，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的解，能熟記方程的解的定義（使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫方程的解）是解題的關(guān)鍵．5．下列說法中，正確的有（

）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)．等式性質(zhì)1∶等式的兩邊都加上或者減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式；等式性質(zhì)2∶等式的兩邊都乘以或者除以同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不為零)所得結(jié)果仍是等式，利用等式的性質(zhì)對每個(gè)式子進(jìn)行變形即可找出答案．【解析】解：①根據(jù)等式性質(zhì)1，兩邊都減即可得到，符合題意；②根據(jù)等式性質(zhì)2，需加條件，不符題意；③根據(jù)等式性質(zhì)1，兩邊都加即可得到，符合題意；④根據(jù)等式性質(zhì)2，兩邊都乘以m，即可得到，符合題意．綜上所述，①③④正確.故選∶C.6．下列語句：①含有未知數(shù)的代數(shù)式叫方程;②方程中的未知數(shù)只有用方程的解去代替它時(shí)，該方程所表示的等式才成立;③等式兩邊都除以同一個(gè)數(shù)，所得結(jié)果仍是等式;④x=-1是方程-1=x+1的解.其中錯(cuò)誤的語句的個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)方程的概念：含有未知數(shù)的等式叫方程，可判斷①；根據(jù)方程的解的概念：使得方程中等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解，可判斷②；根據(jù)等式的性質(zhì)2：等式的兩邊同時(shí)除以一個(gè)不為0的數(shù)，所得結(jié)果仍是等式，可判斷③；根據(jù)方程的解的概念，可知方程的解一定滿足方程，把x=1帶入方程即可判斷④.【解析】①含有未知數(shù)的等式叫方程，故①錯(cuò)誤；②根據(jù)方程的解的概念：使得方程中等號兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解；可知方程中的未知數(shù)只有用方程的解去代替它時(shí)，該方程所表示的等式才成立，正確，故②正確；③根據(jù)等式的性質(zhì)2，兩邊都除以0，就不是等式，故③錯(cuò)誤；④把x=1帶入方程，左邊=?1=-1，右邊=-1+1=0，左邊不等于右邊，故④錯(cuò)誤.錯(cuò)誤的有：①③④，共3個(gè)，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，方程的概念和方程的解的概念，熟練掌握各個(gè)概念是解題的關(guān)鍵7．下列方程的變形，正確的是（

）A．由，得B．由，得C．由，得D．由，得【答案】D【分析】直接根據(jù)等式的性質(zhì)求解．【解析】3+x=5，兩邊同時(shí)減去3，得x=5－3，A錯(cuò)誤；，兩邊同時(shí)除以7，得，B錯(cuò)誤；，兩邊同時(shí)乘以2，得，C錯(cuò)誤；，兩邊同時(shí)減去3，得，D正確；故答案為：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)應(yīng)用，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．8．如圖中“●、■、▲”分別表示三種不同的物體，已知前兩架天平如圖（1）、（2）所示均保持平衡．為了使第三架天平如圖（3）所示也能保持平衡，現(xiàn)在“？”處只放置“■”物體．那么應(yīng)放“■”的個(gè)數(shù)是（

）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)圖（1）、（2）求出a=2b，c=3b，即可得到答案．【解析】解：用a、b、c分別表示●、■、▲，由圖（2）得a+b=c，∴2a+b=a+c，由圖（1）得2a=b+c，∴a=2b，∴c=3b，∴由圖（3）得a+c=5b，即右邊應(yīng)放5個(gè)■，故答案為：C．【點(diǎn)睛】此題考查了等式的性質(zhì)，正確理解圖形中的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9．《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學(xué)專著之一，其中記錄的一道題其內(nèi)容是：“分田地，三人分之二，留三畝，問田地幾何？”設(shè)田地有x畝，則可列方程為（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)田地有x畝，則參與分配田地為，根據(jù)等量關(guān)系“留三畝”即可列出方程．【解析】解：設(shè)田地有x畝，根據(jù)題意：可知方程為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列一元一次方程，審清題意、明確等量關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．10．如圖，有四個(gè)大小相同的小長方形和兩個(gè)大小相同的大長方形如圖位置擺放，按照圖中所示尺寸，則小長方形長與寬的差是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)小長方形的長為x，寬為y，再根據(jù)大長方形的長不變可得，再求出的值，即為長與寬的差．【解析】解：設(shè)小長方形的長為x，寬為y，根據(jù)題意得：，即，整理得：，則小長方形的長與寬的差是，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了列方程、整式的加減、等式的性質(zhì)，根據(jù)大長方形的長不變建立方程是解本題的關(guān)鍵．二、填空題11．下列各式是方程的有①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）；②＋y＝5；③x2﹣2x＝1；④x2﹣2x＝x﹣y；⑤a＋b＝b＋a（a、b為常數(shù)）【答案】②③④【分析】含有未知數(shù)的等式是方程，根據(jù)定義依次判斷．【解析】解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知數(shù)，不是方程；②＋y＝5，是方程；③x2﹣2x＝1，是方程；④x2﹣2x＝x﹣y，是方程；⑤a＋b＝b＋a（a、b為常數(shù)），不含有未知數(shù)，不是方程；故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】此題考查方程的定義，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，理解方程的定義是解題的關(guān)鍵．12．設(shè)，則下列判斷：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中正確的有．（填序號）【答案】（2）（3）（4）（5）【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)，分別判斷即可．【解析】解：（1）左邊是加4，右邊是減4，不成立；（2）兩邊同乘，成立；（3）兩邊同乘4，成立；（4）兩邊同乘，成立；（5）兩邊同乘0，成立；（6）兩邊同除以0無意義，不成立，故答案為：（2）（3）（4）（5）．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟知1、等式兩邊同時(shí)加上相等的數(shù)或式子，兩邊依然相等；2、等式兩邊同時(shí)乘或除相等且不為零的數(shù)或式子，兩邊依然相等；3、等式兩邊同時(shí)乘方或開方，兩邊依然相等；是解題的關(guān)鍵．13．用適當(dāng)?shù)臄?shù)或者式子填空，使所得結(jié)果仍是等式，并說明變形是根據(jù)等式的哪一條性質(zhì)以及怎樣變形的．（1）若，則，．（2）若，則，．（3）若，則，．（4），則，．【答案】根據(jù)等式的性質(zhì)1，等式兩邊同時(shí)減5根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式兩邊同時(shí)除以根據(jù)等式的性質(zhì)1，等式兩邊同時(shí)加18根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式兩邊同時(shí)乘3【分析】此題主要考查了等式的基本性質(zhì)，熟練掌握等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)等式的性質(zhì)1，等式兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)數(shù)等式不變，所以等式兩邊同時(shí)減5；（2）根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式兩邊同時(shí)乘（或除）同一個(gè)數(shù)等式不變，所以等式兩邊同除以；（3）根據(jù)等式的性質(zhì)1，等式兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)數(shù)等式不變，所以等式兩邊同時(shí)加；（4）根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式兩邊同時(shí)乘（或除）同一個(gè)數(shù)等式不變，所以等式兩邊同乘3．【解析】（1）若，則，根據(jù)等式的性質(zhì)1，等式兩邊同時(shí)減5．（2）若，則，根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式兩邊同時(shí)除以．（3）若，則，根據(jù)等式的性質(zhì)1，等式兩邊同時(shí)加．（4）若，則，根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式兩邊同時(shí)乘3．故答案為：（1），根據(jù)等式的性質(zhì)1，等式兩邊同時(shí)減5；（2），根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式兩邊同時(shí)除以；（3），根據(jù)等式的性質(zhì)1，等式兩邊同時(shí)加；（4）18，根據(jù)等式的性質(zhì)2，等式兩邊同時(shí)乘3；14．在下列各題的橫線上填上適當(dāng)?shù)臄?shù)或整式，使所得結(jié)果仍是等式，并說明根據(jù)的是等式的哪一條性質(zhì)以及是怎樣變形的．（1）如果，那么，理由：根據(jù)等式性質(zhì)，在等式兩邊．（2）如果．那么．理由：根據(jù)等式性質(zhì)，在等式兩邊．（3）如果，那么，理由：根據(jù)等式性質(zhì)，在等式兩邊．（4）如果，那么．理由：根據(jù)等式性質(zhì)，在等式兩邊．【答案】5在等式兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等都加2在等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等都除以4在等式兩邊同時(shí)加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等都減在等式的兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等都乘【分析】根據(jù)等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或字母），等式仍成立；等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為0數(shù)（或字母），等式仍成立．【解析】解：（1）如果，那么，理由：根據(jù)等式性質(zhì)：在等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或字母），等式仍成立，在等式兩邊都加2．（2）如果．那么．理由：根據(jù)等式性質(zhì)：在等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為0數(shù)（或字母），等式仍成立．在等式兩邊都除以．（3）如果，那么，理由：根據(jù)等式性質(zhì)：在等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或字母），等式仍成立，在等式兩邊都減．（4）如果，那么．理由：根據(jù)等式性質(zhì)：在等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為0數(shù)（或字母），等式仍成立，在等式兩邊都乘以，故答案為：5，在等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或字母），等式仍成立，都加2；，在等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為0數(shù)（或字母），等式仍成立，都除以；4，在等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或字母），等式仍成立，都減；，在等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為0數(shù)（或字母），等式仍成立，都乘以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的基本性質(zhì)，等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或字母），等式仍成立；等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為0數(shù)（或字母），等式仍成立．15．列等式表示：比的倍大的數(shù)等于的倍，得【答案】【分析】根據(jù)題意可直接進(jìn)行求解．【解析】解：由題意可列等式為；故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意．16．（填“是”或“不是”）方程的解.【答案】是【分析】代入方程驗(yàn)證，如果成立就是方程的解，如果代入不成立，就不是方程的解.【解析】4=2=-5，故答案為：是.【點(diǎn)睛】(1)使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解叫方程的解.(2)求方程中的未知數(shù),叫做解方程.17．已知，利用等式的基本性質(zhì)，的值為．【答案】2【分析】首先根據(jù)等式的性質(zhì)1，兩邊同時(shí)＋3得，再根據(jù)等式的性質(zhì)2，兩邊同時(shí)除以5即可得到答案．【解析】解：，根據(jù)等式的性質(zhì)1，兩邊同時(shí)＋3得：，即：，根據(jù)等式的性質(zhì)2，兩邊同時(shí)除以5得：，∴，故填：2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等式的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等式的性質(zhì)：性質(zhì)1、等式兩邊加同一個(gè)數(shù)（或式子）結(jié)果仍得等式；性質(zhì)2、等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式．18．有個(gè)球，其中的球質(zhì)量相同，另有個(gè)球輕了一些，如果能用天平稱出來，至少次可以找出這個(gè)較輕的球．【答案】【分析】先把個(gè)球平均分成三組，用一次天平可找出有較輕的球的那組，再把球輕的哪個(gè)組的個(gè)球，分成，，三組，把個(gè)的兩組放在天平上，若平衡，則剩下的那個(gè)是較輕的球；若天平不平衡，可找出球較輕的那個(gè)組，再把兩個(gè)球放天平上，即可找出較輕的球，【解析】解：先把個(gè)球分成個(gè)一組，共三組，任取兩組放在天平上，可找出球輕在哪個(gè)組；再把球輕的哪個(gè)組的個(gè)球，分成，，三組，把個(gè)的兩組放在天平上，若平衡，則剩下的那個(gè)是較輕的球；若天平不平衡，可找出球較輕的那個(gè)組，再把兩個(gè)球放天平上，即可找出較輕的球，故至少次可以找出這個(gè)較輕的球．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，合情推理是解題的關(guān)鍵三、解答題19．根據(jù)下列條件，列出方程；（1）x的3倍減5，等于x的2倍加1；（2）x的30%加2的和的一半，等于x的20%減5．【答案】(1)3x﹣5=2x+1；（2）.【分析】（1）首先理解題意，再找出題目中的相等關(guān)系，根據(jù)相等關(guān)系列出方程即可；（2）首先要理解題意，根據(jù)題中的相等關(guān)系列出方程即可．【解析】解：（1）將題中的表述轉(zhuǎn)化為式子，x的3倍減5，即3x﹣5；x的2倍加1即2x+1；從而得到了方程為：3x﹣5=2x+1.（2）x的30%加2的和的一半為：，x的20%減5轉(zhuǎn)化為式子是：x?20%﹣5，從而得到方程為：=x?20%﹣5.【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵理解清楚題意從而找出能使方程左右兩邊相等的關(guān)系．20．根據(jù)題意列出方程．(1)一個(gè)數(shù)的與3的差等于最大的一位數(shù)，求這個(gè)數(shù)；(2)從正方形的鐵皮上，截去2cm寬的一個(gè)長方形條，余下的