滬教版2024-2025學年七年級數(shù)學上冊同步講義第21講分式的乘除(七大題型)(學生版+解析)

第21講分式的乘除（七大題型）學習目標1、學會用類比的方法總結出分式的乘法、除法法則.2、會分式的乘法、除法運算.3、掌握乘方的意義，能根據(jù)乘方的法則，先乘方，再乘除進行分式運算.一、分式的乘除法1.分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.用字母表示為：，其中是整式，.2.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.用字母表示為：，其中是整式，.要點：（1）分式的乘除法都能統(tǒng)一成乘法，然后約去公因式，化為最簡分式或整式.（2）分式與分式相乘，若分子和分母是多項式，則先分解因式，看能否約分，然后再乘.（3）整式與分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代數(shù)式）和分式的分子相乘作為分子，分母不變.當整式是多項式時，同樣要先分解因式，便于約分.（4）分式的乘除法計算結果，要通過約分，化為最簡分式或整式.二、分式的乘方分式的乘方運算法則：分式的乘方是把分子、分母分別乘方，用字母表示為：（為正整數(shù)）.要點：（1）分式乘方時，一定要把分式加上括號.不要把寫成（2）分式乘方時，要首先確定乘方結果的符號，負數(shù)的偶次方為正，負數(shù)的奇次方為負.（3）在一個算式中同時含有分式的乘方、乘法、除法時，應先算乘方，再算乘除，有多項式時應先分解因式，再約分.（4）分式乘方時，應把分子、分母分別看作一個整體.如.【即學即練1】計算的結果是（

）A． B． C． D．【即學即練2】計算的結果是．【即學即練3】計算的結果是（

）．A．1 B．xy C． D．【即學即練4】計算（）2?的結果是．【即學即練5】計算：．【即學即練6】計算．題型1：分式的乘法【典例1】．【典例2】．【典例3】．計算：．【典例4】．計算：．【典例5】．計算的結果是（）A． B． C． D．【典例6】．下列計算正確的是（）A． B． C． D．【典例7】．計算：.【典例8】．計算：(1)(2)(3)(4)題型2：分式的除法【典例9】．計算÷的結果是(

)A． B． C． D．【典例10】．計算：．【典例11】．計算：．【典例12】．計算：．【典例13】．化簡：．【典例14】．的計算結果為（）A． B． C． D．【典例15】．計算(1)(2)【典例16】．計算：．【典例17】．如圖，老師在黑板上書寫了一個正確的式子，然后隨手用手掌捂住了式子的一部分，求老師捂住的部分．

【典例18】．計算：(1)；(2)．題型3：分式的乘除混合運算【典例19】．計算：.【典例20】．計算：；【典例21】．計算：(1)；(2)；(3)；【典例22】．計算：(1)；(2)．【典例23】．計算：(1)；(2)．【典例24】．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【典例25】．閱讀下面的解題過程：已知，求代數(shù)式的值．解：∵，∴，∴．∴，∴．這種解題方法叫做“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解下面的題目：已知，求的值．題型4：分式的乘方【典例26】．化簡的結果是（

）A． B． C． D．【典例27】．化簡的結果是（

）A． B． C． D．【典例28】．計算：(1)；(2)；(3)．題型5：含分式乘方的混合運算【典例29】．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【典例30】．計算：(1)；(2)；(3)．【典例31】．計算：(1)；(2)．【典例32】．計算：(1)．(2)．(3)．題型6：分式乘除的實際應用【典例33】．小明把同樣數(shù)量的花種撒在甲、乙兩塊地上（如圖陰影部分），則甲、乙兩塊地的撒播密度的比為（撒播密度）【典例34】．小明a分鐘打了b個字，小亮m分鐘打了n個字，則小明每分鐘打字個，小亮每分鐘打字個，小明打字的速度是小亮打字速度的倍．【典例35】．因城市建設的需要，某市將長方形廣場的一邊增加12m，另一邊減少12m，變成邊長為a(m)的正方形廣場，試問改建前后廣場的面積比是多少？面積變大了嗎？【典例36】．為了美化環(huán)境，需要在某塊空地上種植棵樹，若甲隊單獨植樹，則需要天（）才能完成，若乙隊單獨植樹，則乙隊完成這項工程的時間比甲隊的倍多天，則甲隊每天植樹的棵數(shù)是乙隊的倍嗎？請說明理由．【典例37】．甲、乙兩地相距s，新修的高速公路開通后，兩地距離不變，在甲、乙兩地間行駛的長途客運車的平均速度提高了，已知原來的平均車速為x，請回答以下問題：長途客運車原來所用的時間是新修的高速公路開通后所花時間的多少倍？【典例38】．如圖，A玉米試驗田是半徑為的圓去掉寬為的出水溝后剩下的部分，B玉米試驗田是半徑為的圓中間去掉半徑為的圓后剩下的部分，兩塊試驗田的玉米都收了．

(1)哪塊試驗田的單位面積產(chǎn)量高？(2)高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？題型7：分式乘除的難點分析【典例39】．任意兩個和不為零的數(shù)a、b、c滿足，求的值．【典例40】．已知數(shù)列，，……，，……，設，則與最接近的整數(shù)為．【典例41】．素養(yǎng)·思維賦能化歸思想在分式的乘除運算中的體現(xiàn)由本節(jié)典例2可知對于分子分母是多項式的分式的乘除運算，其中有一個很關鍵的過程是把分子分母進行因式分解，因式分解與整式的乘法運算又是方向相反的過程．請通過解決下面的問題再次體會三者之間的關系．舊知回顧（1）計算：__________．___________．歸納總結（2）觀察上面的式子和結果的特點，總結規(guī)律．并用含，的字母表示：______________；你又發(fā)現(xiàn)一個新的乘法公式深化認識（3）下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計算的是（

）A．B．C．D．學以致用（4）利用所學知識以及（2）所得等式，化簡．【典例42】．如果一個自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0，且能分解成（），其中A與B都是兩位數(shù)，A與B的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為6，則稱數(shù)M為“如意數(shù)”，并把數(shù)M分解成的過程，稱為“快樂分解”．例如，因為，22和24的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為6，所以528是“如意數(shù)”．（1）最小的“如意數(shù)”是；（2）把一個“如意數(shù)”M進行“快樂分解”，即，A與B的和記為，A與B的差記為，若能被7整除，則M的值為．一、單選題1．計算所得的結果為（）A． B． C． D．2．計算的結果是（

）A． B． C． D．3．化簡的結果是（

）A． B． C． D．4．下列分式運算中，正確的是（

）A． B．C． D．5．與分式的乘積等于的分式是（

）A． B．C． D．6．下列各分式運算結果正確的是（

）①；②；③；④A．①③ B．②④ C．①② D．③④7．當時，的值為（

）A．1 B． C． D．不確定8．計算的結果是（

）A． B． C． D．9．若，則的值為（

）A． B． C． D．10．一支部隊排成a米長隊行軍，在隊尾的戰(zhàn)士要與最前面的團長聯(lián)系，他用t1分鐘追上了團長、為了回到隊尾，他在追上團長的地方等待了t2分鐘．如果他從最前頭跑步回到隊尾，那么他需要的時間是（）A．分鐘 B．分鐘（3）；（4）．20．（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；

（6）．21．計算：(1)；(2)(3)(4)22．先化簡，再求值：，其中．23．已知A=xy-x2，B=，C=，若A÷B=C×D，求代數(shù)式D．24．老師設計了接力游戲，用合作的方式完成分式化簡，規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進行一步計算，再將結果傳遞給下一人，最后完成化簡，過程如圖所示：(1)接力中，自己負責的一步出現(xiàn)錯誤的是A．只有乙

B．甲和丁

C．乙和丙

D．乙和丁(2)請你書寫正確的化簡過程，并在“1,0,2，-2”中選擇一個合適的數(shù)求值．25．如圖，A玉米試驗田是半徑為的圓去掉寬為的出水溝后剩下的部分，B玉米試驗田是半徑為的圓中間去掉半徑為的圓后剩下的部分，兩塊試驗田的玉米都收了．

(1)哪塊試驗田的單位面積產(chǎn)量高？(2)高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？26．閱讀下列材料：我們知道，分子比分母小的數(shù)叫做“真分數(shù)”：分子比分母大，或者分子、分母同樣大的分數(shù)，叫做“假分數(shù)”．類似地，我們定義：在分式中，對于只含有一個字母的分式，當分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時，我們稱之為“假分式”：當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時，我們稱之為“真分式”．如：，這樣的分式就是假分式；再如：，這樣的分式就是真分式，假分數(shù)可以化成（即）帶分數(shù)的形式，類似的，假分式也可以化為帶分式．如：．解決下列問題：(1)分式是（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化為帶分式_____形式；(2)如果分式的值為整數(shù)，求滿足條件的整數(shù)x的值；(3)若分式的值為m，則m的取值范圍是（直接寫出結果）第21講分式的乘除（七大題型）學習目標1、學會用類比的方法總結出分式的乘法、除法法則.2、會分式的乘法、除法運算.3、掌握乘方的意義，能根據(jù)乘方的法則，先乘方，再乘除進行分式運算.一、分式的乘除法1.分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母.用字母表示為：，其中是整式，.2.分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘.用字母表示為：，其中是整式，.要點：（1）分式的乘除法都能統(tǒng)一成乘法，然后約去公因式，化為最簡分式或整式.（2）分式與分式相乘，若分子和分母是多項式，則先分解因式，看能否約分，然后再乘.（3）整式與分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代數(shù)式）和分式的分子相乘作為分子，分母不變.當整式是多項式時，同樣要先分解因式，便于約分.（4）分式的乘除法計算結果，要通過約分，化為最簡分式或整式.二、分式的乘方分式的乘方運算法則：分式的乘方是把分子、分母分別乘方，用字母表示為：（為正整數(shù)）.要點：（1）分式乘方時，一定要把分式加上括號.不要把寫成（2）分式乘方時，要首先確定乘方結果的符號，負數(shù)的偶次方為正，負數(shù)的奇次方為負.（3）在一個算式中同時含有分式的乘方、乘法、除法時，應先算乘方，再算乘除，有多項式時應先分解因式，再約分.（4）分式乘方時，應把分子、分母分別看作一個整體.如.【即學即練1】計算的結果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接約分即可得出答案．【解析】解：原式．【點睛】本題考查了分式的乘除法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．【即學即練2】計算的結果是．【答案】【解析】根據(jù)分式的乘法和除法運算法則計算即可：．【即學即練3】計算的結果是（

）．A．1 B．xy C． D．【答案】A【分析】本題考查了分式的乘除法，解題的關鍵是把除法轉化成乘法、以及約分．先把除法轉化成乘法，再進行約分計算即可．【解析】解：原式，故選：C．【即學即練4】計算（）2?的結果是．【答案】【分析】直接利用分式的乘方，分式的乘法運算法則化簡得出答案．．【解析】解：故答案為：.【點睛】此題主要考查了分式的乘方和分式的乘法運算，正確化簡分式是解題關鍵.【即學即練5】計算：．【答案】【分析】原式先計算乘方運算，再計算乘除運算即可得到結果．【解析】解：原式，故答案為：．【點睛】此題考查了分式的乘除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．【即學即練6】計算．【答案】【分析】根據(jù)分式的運算法則計算即可．【解析】解：，，，，故答案為：．【點睛】此題主要考查分式的運算，解題的關鍵是熟知其運算法則．題型1：分式的乘法【典例1】．【答案】1【分析】由分式的乘法運算，即可得到答案．【解析】解：；【點睛】本題考查了分式乘法的運算法則，解題的關鍵是熟練掌握分式乘法的運算法則進行計算．【典例2】．【答案】【分析】原式約分即可得到結果．【解析】解：．【點睛】本題考查了分式的乘法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．【典例3】．計算：．【答案】D【分析】根據(jù)分式的乘法法則計算即可．【解析】解：，故答案為：a．【點睛】此題考查了分式的乘法計算法則：分子相乘作積的分子，分母相乘作積的分母，并化為最簡分式．【典例4】．計算：．【答案】【分析】本題主要考查了分式的乘法計算，熟知分式乘法計算法則是解題的關鍵．【解析】解：，故答案為：．【典例5】．計算的結果是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式的乘法運算，分式相乘的法則是：用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，并將乘積化為既約分式或整式，作分式乘法時，也可先約分后計算．【解析】解：．【典例6】．下列計算正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式的乘法運算，分式相乘的法則是：用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母，并將乘積化為既約分式或整式，作分式乘法時，也可先約分后計算．根據(jù)乘法法則逐項計算即可．【解析】解：A．，故不正確；B．，故不正確；C．，故不正確；D．，正確；【典例7】．計算：.【答案】【分析】根據(jù)分式的乘法法則即可得．【解析】解：原式，故答案為：．【點睛】本題考查了分式的乘法，熟練掌握分式的乘法法則是解題關鍵．【典例8】．計算：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本題考查的是分式的乘除混合運算，掌握運算法則與運算順序是解本題的關鍵；（1）直接約分即可；（2）先把能夠分解因式的分子或分母分解因式，再約分即可；（3）先計算分式的乘方運算，再約分即可；（4）先把除法化為乘法，再約分即可.【解析】（1）解：，（2）；（3）；（4）；題型2：分式的除法【典例9】．計算÷的結果是(

)A． B． C． D．【答案】D【解析】原式故選D.【典例10】．計算：．【答案】【分析】本題考查了分式的除法，解題的關鍵是熟練使用除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)計算解題．【解析】解：，故答案為：．【典例11】．計算：．【答案】【分析】將除法轉化為乘法，再約分計算．【解析】解：==故答案為：．【點睛】本題考查了分式的除法，解題的關鍵是掌握約分的方法．【典例12】．計算：．【答案】D【分析】根據(jù)分式的除法法則計算即可．【解析】解：原式==a，故答案為：a．【點睛】本題考查的是分式的乘除法，分式的除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘．【典例13】．化簡：．【答案】【分析】先把除法轉化為乘法，再約分即可得到答案．【解析】解：故答案為：【點睛】本題考查的是分式的除法運算，掌握分式的除法運算法則是解題的【典例14】．的計算結果為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查分式的除法運算，掌握分式的運算法則是解題的關鍵．先將分母因式分解，然后將除法轉化成乘法，然后求解即可．【解析】．故選：B．【典例15】．計算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分式的乘除混合運算，正確計算是解題的關鍵，（1）利用除法法則變形，約分即可得到結果；（2）利用除法法則變形，約分即可得到結果．【解析】（1）解：；（2）解：．【典例16】．計算：．【答案】【分析】本題主要考查分式的除法運算，熟練掌握分式的除法運算是解題的關鍵；先對分子分母進行因式分解，然后再進行分式的除法運算即可【解析】解：．【典例17】．如圖，老師在黑板上書寫了一個正確的式子，然后隨手用手掌捂住了式子的一部分，求老師捂住的部分．

【答案】老師捂住的部分為x【分析】本題考查分式的乘除法運算，解題的關鍵是利用乘法與除法是互為逆運算，把乘法轉化為除法解決問題，根據(jù)法則直接計算即可．【解析】解：由題意得：．答：老師捂住的部分為x．【典例18】．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查分式的除法運算，掌握分式的運算法則是解題的關鍵．（1）先將分子分母因式分解，然后將除法轉化成乘法，然后求解即可；（2）先將分子分母因式分解，然后將除法轉化成乘法，然后求解即可．【解析】（1）；（2）．題型3：分式的乘除混合運算【典例19】．計算：.【答案】【分析】根據(jù)分式的乘除混合運算法則求解即可.【解析】解：原式.【點睛】本題考查了分式的乘除混合運算，熟練掌握分式的乘除運算法則是解題的關鍵.【典例20】．計算：；【答案】【分析】本題主要考查分式的乘除混合運算，掌握其運算法則是解題的關鍵．根據(jù)運算法則，將除法變?yōu)槌朔?，能約分的先約分，不能約分的，分子乘以分子作積的分子，分母乘以分母作積的分母，由此即可求解．【解析】解：．【典例21】．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先確定結果的符號，再約分即可求解；（2）先將除法轉化為乘法，再約分即可求解；（3）先把分子分母因式分解，然后約分即可；（4）先把分子分母因式分解，再把除法運算化為乘法運算，然后約分即可．【解析】（1）解：；（2）解：．（除法轉化為乘法）（3）解：；（4）解：．【點睛】本題考查了分式的乘除混合運算：分式的乘除混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式．【典例22】．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先把除法轉化為乘法，再根據(jù)分式的乘法法則計算即可；（2）先把除法轉化為乘法，再根據(jù)分式的乘法法則計算即可．【解析】（1）．（2）【點睛】此題考查了分式的乘除混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．【典例23】．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】先把除法變成乘法，再根據(jù)分式的基本性質約分即可得到答案．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式．【點睛】本題主要考查了分式的乘除混合計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵．【典例24】．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：．（4）解：．【點睛】本題考查了分式的乘除混合運算：分式的乘除混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除．最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式．【典例25】．閱讀下面的解題過程：已知，求代數(shù)式的值．解：∵，∴，∴．∴，∴．這種解題方法叫做“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解下面的題目：已知，求的值．【答案】【分析】先把括號內(nèi)通分，再把除法運算化為乘法運算，接著把分子分母因式分解后約分得到原式利用倒數(shù)法由已知條件得到然后把左邊化為真分式后利用整體代入的方法計算．【解析】解：原式，∵，∴，∴原式【點睛】本題考查了分式的混合運算：分式的混合運算，要注意運算順序，式與數(shù)有相同的混合運算順序；先乘方，再乘除，然后加減，有括號的先算括號里面的．最后結果分子、分母要進行約分，注意運算的結果要化成最簡分式或整式．題型4：分式的乘方【典例26】．化簡的結果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式乘方運算，根據(jù)分式性質結合乘方法則進行運算，即可作答．【解析】解：依題意，，故選：D．【典例27】．化簡的結果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式的乘方和除法的運算法則進行計算即可．【解析】解：，故選：A．【點睛】本題考查分式的乘方，掌握公式準確計算是本題的解題關鍵．【典例28】．計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了分式的乘法、分式的乘方，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵．（1）根據(jù)分式的乘方的運算法則進行計算即可；（2）根據(jù)分式的乘方的運算法則進行計算即可；（3）根據(jù)分式的乘方以及分式的乘法的運算法則進行計算即可．【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：．題型5：含分式乘方的混合運算【典例29】．計算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】先計算分式的乘方，再計算分式的乘除，即可求解．【解析】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．【點睛】本題考查分式的乘方及乘除運算．掌握相關運算法則是解題關鍵．【典例30】．計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了分式的混合運算，屬于?？碱}型，熟練掌握分式的運算法則是解題關鍵．（1）先計算分式的乘方，再根據(jù)分式的乘除法則解答即可；（2）先計算分式的乘方，再根據(jù)分式的乘除法則解答即可；（3）先計算分式的乘方，再根據(jù)分式的乘除法則解答即可．【解析】（1）；（2）；（3）．【典例31】．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了分式的混合運算，屬于?？碱}型，熟練掌握分式的運算法則是解題關鍵．（1）先計算分式的乘方，再根據(jù)分式的乘除法則解答即可；（2）先計算分式的乘方，再根據(jù)分式的乘除法則解答即可．【解析】（1）；（2）．【典例32】．計算：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)．【分析】（1）根據(jù)分式的乘除混合運算法則計算即可；（2）根據(jù)分式的乘除混合運算法則計算即可；（3）根據(jù)分式的乘除混合運算法則計算即可．【解析】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題考查分式的乘除混合運算．掌握分式的乘除混合運算法則是解題關鍵．題型6：分式乘除的實際應用【典例33】．小明把同樣數(shù)量的花種撒在甲、乙兩塊地上（如圖陰影部分），則甲、乙兩塊地的撒播密度的比為（撒播密度）【答案】【分析】根據(jù)圖形中的信息和題意，利用撒播密度可以計算出甲、乙兩塊地的撒播密度比．【解析】解：設花種的數(shù)量為，由題意可得：甲、乙兩塊地的撒播密度比為，故答案為：．【點睛】本題考查整式的混合運算的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．【典例34】．小明a分鐘打了b個字，小亮m分鐘打了n個字，則小明每分鐘打字個，小亮每分鐘打字個，小明打字的速度是小亮打字速度的倍．【答案】【分析】根據(jù)打字總數(shù)除以時間即可算出每分鐘打字的個數(shù)，在根據(jù)題意相除即可；【解析】∵小明a分鐘打了b個字，∴小明每分鐘打字個，∵小亮m分鐘打了n個字，∴小亮每分鐘打字，∵，∴小明打字的速度是小亮打字速度的；故答案是：；；．【點睛】本題主要考查了列代數(shù)式，準確分析列式是解題的關鍵．【典例35】．因城市建設的需要，某市將長方形廣場的一邊增加12m，另一邊減少12m，變成邊長為a(m)的正方形廣場，試問改建前后廣場的面積比是多少？面積變大了嗎？【答案】改建前后面積比為；改建后面積變大了.【分析】根據(jù)題意表示出改建前中心廣場的面積，以及改建后的面積，求出面積比，判斷即可得到結果．【解析】改建前中心廣場的面積為（a+12）（a-12）米2，改建后中心廣場的面積a2（米2），故改建前后廣場的面積比是，∵（a+12）（a-12）=a2-144，∴a2＞（a+12）（a-12），則廣場的面積增加了．【點睛】此題考查了分式的乘除法，弄清題意是解本題的關鍵．【典例36】．為了美化環(huán)境，需要在某塊空地上種植棵樹，若甲隊單獨植樹，則需要天（）才能完成，若乙隊單獨植樹，則乙隊完成這項工程的時間比甲隊的倍多天，則甲隊每天植樹的棵數(shù)是乙隊的倍嗎？請說明理由．【答案】甲隊每天植樹的棵數(shù)不是乙隊的倍，理由見解析．【分析】由題意可得，甲隊每天植樹的棵數(shù)為，乙隊每天植樹的棵數(shù)為，則，然后比較即可．【解析】甲隊每天植樹的棵數(shù)不是乙隊的倍．理由如下：由題意可知，甲隊每天植樹的棵數(shù)為，乙隊每天植樹的棵數(shù)為．則．∵，∴，∴，即．∴甲隊每天植樹的棵數(shù)不是乙隊的倍．【點睛】此題考查了分式的乘除運算，解題的關鍵是讀懂題意，列出式子進行作商比較．【典例37】．甲、乙兩地相距s，新修的高速公路開通后，兩地距離不變，在甲、乙兩地間行駛的長途客運車的平均速度提高了，已知原來的平均車速為x，請回答以下問題：長途客運車原來所用的時間是新修的高速公路開通后所花時間的多少倍？【答案】倍【分析】分別求出長途客運車原來所用的時間是，新修的高速公路開通后所花時間是，作除法，即可解答．【解析】解：長途客運車原來所用的時間是，新修的高速公路開通后所花時間是，．答：長途客運車原來所用的時間是新修的高速公路開通后所花時間的倍．【點睛】本題考查了分式的應用，解題的關鍵是進行分式的除法計算．【典例38】．如圖，A玉米試驗田是半徑為的圓去掉寬為的出水溝后剩下的部分，B玉米試驗田是半徑為的圓中間去掉半徑為的圓后剩下的部分，兩塊試驗田的玉米都收了．

(1)哪塊試驗田的單位面積產(chǎn)量高？(2)高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的多少倍？【答案】(1)A玉米試驗田的單位面積產(chǎn)量高(2)【分析】（1）利用圓環(huán)的面積計算方法求得試驗田的面積，用總產(chǎn)量除以面積得出答案，再進一步把分母作差比較即可；（2）利用（1）的結果和式子，直接列式計算即可．【解析】（1）A玉米試驗田的面積是，單位面積產(chǎn)量是；B玉米試驗田的面積是m2，單位面積產(chǎn)量是．∵，∴．∴．∴A玉米試驗田的單位面積產(chǎn)量高．（2）∵，∴高的單位面積產(chǎn)量是低的單位面積產(chǎn)量的倍．【點睛】本題考查了列分式，讀懂題意，列出式子，再進行分式的混合運算．題型7：分式乘除的難點分析【典例39】．任意兩個和不為零的數(shù)a、b、c滿足，求的值．【答案】或【分析】根據(jù)，可以得到它們的比值或者a、b、c的關系式，進而解答．【解析】解：設，則，，，∴，∴，當時，，，當時，．故答案為：或．【點睛】本題考查分式的混合運算，利用等式的性質進行變形是解題關鍵．【典例40】．已知數(shù)列，，……，，……，設，則與最接近的整數(shù)為．【答案】4【分析】先求出，則，進而得出，則，把代入進行計算即可．【解析】解：，∴，∴，∴，，當時，，故答案為：4．【點睛】本題主要考查了分式的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握分式混合運算的運算順序和運算法則．【典例41】．素養(yǎng)·思維賦能化歸思想在分式的乘除運算中的體現(xiàn)由本節(jié)典例2可知對于分子分母是多項式的分式的乘除運算，其中有一個很關鍵的過程是把分子分母進行因式分解，因式分解與整式的乘法運算又是方向相反的過程．請通過解決下面的問題再次體會三者之間的關系．舊知回顧（1）計算：__________．___________．歸納總結（2）觀察上面的式子和結果的特點，總結規(guī)律．并用含，的字母表示：______________；你又發(fā)現(xiàn)一個新的乘法公式深化認識（3）下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計算的是（

）A．B．C．D．學以致用（4）利用所學知識以及（2）所得等式，化簡．【答案】（1），；（2）；（3）A；（4）．【分析】（1）根據(jù)多項式乘以多項式的運算法則計算即可；（2）由（1）總結出公式即可；（3）由新發(fā)現(xiàn)的公式結構逐項判斷即可；（4）根據(jù)分式的除法運算法則計算即可．【解析】解：（1）；；故答案為：，；（2）由（1）可總結為．故答案為：；（3）觀察各選項可知只有A．滿足發(fā)現(xiàn)的乘法公式．故選A；（4）．【點睛】本題考查多項式乘以多項式，分式的除法運算．理解題意，總結出新的乘法公式，并掌握各運算法則是解題關鍵．【典例42】．如果一個自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0，且能分解成（），其中A與B都是兩位數(shù)，A與B的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為6，則稱數(shù)M為“如意數(shù)”，并把數(shù)M分解成的過程，稱為“快樂分解”．例如，因為，22和24的十位數(shù)字相同，個位數(shù)字之和為6，所以528是“如意數(shù)”．（1）最小的“如意數(shù)”是；（2）把一個“如意數(shù)”M進行“快樂分解”，即，A與B的和記為，A與B的差記為，若能被7整除，則M的值為．【答案】【分析】（1）根據(jù)“如意數(shù)”的定義進行判斷即可得；（2）設兩位數(shù)和的十位數(shù)字均為，的個位數(shù)字為，則的個位數(shù)字為，且m為1至9的自然數(shù)，從而可得，，再求出，根據(jù)，自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0，以及，可得為5或者4，然后根據(jù)能被7整除分別求出、的值，由此即可得．【解析】（1）∵自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0，∴根據(jù)“如意數(shù)”的定義可得最小的“如意數(shù)”為：，故答案為：；（2）由題意，設兩位數(shù)和的十位數(shù)字均為，的個位數(shù)字為，則的個位數(shù)字為，且m為1至9的自然數(shù)，，，，，∵，自然數(shù)M的個位數(shù)字不為0，∴為5、4或者3，∵，∴為5或者4，，即的分子時奇數(shù)，當時，，分子是奇數(shù)，分母時偶數(shù)，則該數(shù)不是整數(shù)，不符合題意，舍去；當時，，能被7整除，且m為1至9的自然數(shù)，滿足條件的整數(shù)只有6，，，即，故答案為：．【點睛】本題考查了因式分解的應用、整式加減的應用等知識點，正確理解“如意數(shù)”的定義是解題關鍵．一、單選題1．計算所得的結果為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式乘法的運算法則，分子乘分子作為分子，分母乘分母作為分母，最后進行約分即可得到答案．【解析】解：，故選：A．【點睛】本題考查了分式的乘法運算，關鍵在于熟練運用乘法法則以及分式的基本性質．2．計算的結果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了分式的除法運算，兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘，再按乘法法則計算即可．【解析】解：．3．化簡的結果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先將分母分解因式，再根據(jù)分式的除法運算法則計算即可．【解析】解：原式，故選：B．【點睛】本題考查了分式的除法運算，熟練掌握分式的運算法則是解決本題的關鍵．4．下列分式運算中，正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的乘除法運算法則對每個選項逐個計算即可判斷出正確選項．【解析】解：A、，故A選項錯誤；B、，故B選項正確；C、，故C選項錯誤；D、，故D選項錯誤，故選：B．【點睛】本題考查了分式的乘除法運算，熟練掌握分式的運算法則是解決本題的關鍵．5．與分式的乘積等于的分式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接用除以得到的結果即為所求．【解析】解：，【點睛】本題主要考查了分式的除法，解題的關鍵在于能夠熟練掌握相關計算法則進行求解．6．下列各分式運算結果正確的是（

）①；②；③；④A．①③ B．②④ C．①② D．③④【答案】A【分析】根據(jù)分式乘除法則逐一計算判斷即可．【解析】解：①，計算正確；②，計算正確；③，計算錯誤；④，計算錯誤；故選C．【點睛】本題考查了分式的乘除混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．7．當時，的值為（

）A．1 B． C． D．不確定【答案】C【分析】當時，去掉式子中的絕對值符號，即可對原式進行化簡．【解析】解：當時，，故選：B．【點睛】本題考查了分式的化簡，絕對值的性質：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，0的絕對值是0，化簡式子時，正確去掉絕對值符號是解決本題的關鍵．8．計算的結果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將除法轉化為乘法，進而根據(jù)分式的性質約分即可．【解析】=．【點睛】本題考查了分式的除法運算，將除法轉化為乘法運算是解題的關鍵．9．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)平方差公式和完全平方公式變形，再約分即可得出答案．【解析】解：原式，當時，原式．【點睛】本題考查了分式的乘除法，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．10．一支部隊排成a米長隊行軍，在隊尾的戰(zhàn)士要與最前面的團長聯(lián)系，他用t1分鐘追上了團長、為了回到隊尾，他在追上團長的地方等待了t2分鐘．如果他從最前頭跑步回到隊尾，那么他需要的時間是（）A．分鐘 B．分鐘C．分鐘 D．分鐘【答案】A【分析】根據(jù)題意得到隊伍的速度為，隊尾戰(zhàn)士的速度為，可以得到他從最前頭跑步回到隊尾，那么他需要的時間是，化簡即可求解【解析】解：由題意得：分鐘．故選：C【點睛】本題考查了根據(jù)題意列分式計算，理解題意正確列出分式是解題關鍵．二、填空題11．計算：=．【答案】【分析】根據(jù)分式的乘法法則：分式乘分式，用分子的積作積的分子，分母的積作積的分母，求解即可．【解析】解：，故答案為：．【點晴】本題考查了分式的乘法，熟練掌握分式的乘法法則是解題的關鍵．12．計算：．【答案】/【分析】本題主要考查了分式除法運算，根據(jù)分式除法運算法則進行計算即可．【解析】解：．故答案為：．13．（1）；

（2）．【答案】【分析】（1）根據(jù)分式的乘除計算法則進行計算即可得到答案；（2）根據(jù)分式的基本性質進行計算即可得到答案．【解析】解：（1）；（2）．故答案為：，．【點睛】本題主要考查了分式的運算，解題的關鍵在于能夠熟練掌握分式的運算法則．14．計算：.【答案】1.【分析】根據(jù)分式的乘除運算法則即可求解.【解析】==1故填：1.【點睛】此題主要考查分式乘除，解題的關鍵是熟知分式的乘除運算法則.15．（1）；

（2）；（3）；

（4）；（5）．【答案】【分析】（1）根據(jù)分式的乘法法則計算即可；（2）先算乘方，再算乘法即可；（3）先算乘方，再算除法即可；（4）先算乘方，再算乘除法即可；（5）先算乘方，再算除法即可；【解析】解：（1）（2）；（3）原式=；（4）原式=；（5）；故答案為：，，，，【點睛】本題考查了分式的乘、除、乘方的混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵16．計算÷=．【答案】-2【分析】原式利用除法法則變形，約分即可得到結果【解析】解：原式==-2，故答案為：-2．【點睛】本題考查了分式的除法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．17．計算：．【答案】【分析】先將分子和分母分解因式，再計算乘法，并將結果化為最簡分式．【解析】．【點睛】此題考查分式的乘法計算法則：分子相乘作積的分子，分母相乘作積的分母．18．任意兩個和不為零的數(shù)a、b、c滿足，求的值．【答案】或【分析】根據(jù)，可以得到它們的比值或者a、b、c的關系式，進而解答．【解析】解：設，則，，，∴，∴，當時，，，當時，．故答案為：或．【點睛】本題考查分式的混合運算，利用等式的性質進行變形是解題關鍵．三、解答題19．計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）按分式乘法的法則進行計算即可求出答案；（2）（3）（4）先將分式的分子分母分解因式，再將除法運算轉化為乘法運算，最后約分即可求出答案．【解析】解：（1）；（2）=a2-2a+1；（3）=y（x-1）=xy-y；（4）．【點睛】本題考查了分式的乘除，解題的關鍵是熟練運用分式的乘除運算法則，本題屬于基礎題型．20．（1）；

（2）；

（3）；（4）；

（5）；

（6）．【答案】（1）；（2）；（3）1；（4）；（5）；（6）【分析】（1）根據(jù)分式約分法則先約分再按乘法法則計算即可；（2）先因式分解，把除變乘除式分子分母顛倒位置與被除式相乘，約分化為最簡分式即可；（3）先因式分解，把除變乘，再約分即可；（4）先因式分解，約分，再利用乘法分配律去分母括號即可；（5）先因式分解，把除法化為乘法，再