(人教A版數(shù)學(xué)必修一講義)第4章第10講第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)章節(jié)驗收測評卷(學(xué)生版+解析)

第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（考試時間：150分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（23-24高二下·浙江溫州·期末）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．2．（23-24高二下·天津·期末）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．3．（23-24高一下·安徽阜陽·期末）如圖，圖象①②③④所對應(yīng)的函數(shù)不屬于中的一個是（

）A．① B．② C．③ D．④4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點滿足：（1）點都在圖象上，（2）點關(guān)于原點對稱，則稱點對是函數(shù)的一個“孿生點對”；已知函數(shù)，則的“孿生點對”有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對5．（23-24高二下·寧夏銀川·期末）著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，空氣溫度為，則t分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：．若常數(shù)，空氣溫度為，某物體的度從下降到以下，至少大約需要的時間為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．36分鐘 B．40分鐘 C．44分鐘 D．48分鐘6．（24-25高三上·山西大同·期末）已知實數(shù)，且滿足不等式，若，則下列關(guān)系式一定成立的是（

）A． B．C． D．7．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（23-24高一下·遼寧·期末）人們發(fā)現(xiàn)，可以通過公式來求方程（均為正實數(shù)）的正實數(shù)根.例如，方程的正實數(shù)根為，我們知道是的唯一正實數(shù)根，所以，這里規(guī)定.根據(jù)以上材料可得（

）A．3 B．6 C．9 D．4二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．（24-25高一上·上?！ふn前預(yù)習(xí)）若函數(shù)（且）的圖像過第二象限，則必有（）A． B．且 C．且 D．且10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)的說法中，不正確的是（

）A．有最大值，在上為增函數(shù)B．有最大值，在上為減函數(shù)C．有最小值，在上為增函數(shù)D．有最小值，在上為減函數(shù)16．（本題滿分15分）（23-24高二下·黑龍江·期末）已知函數(shù).(1)求的解析式；(2)判斷的奇偶性，并說明理由；(3)設(shè)函數(shù)，若，求a的取值范圍.17．（本題滿分15分）（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖（1）的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖（2）的拋物線表示．(1)寫出圖（1）中表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式；(2)寫出圖（2）中表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式；(3)認(rèn)定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？（注：市場售價和種植成本的單位：元/100kg，時間單位：天）18．（本題滿分17分）（23-24高一下·云南昆明·期末）已知函數(shù)?（且）．(1)討論的單調(diào)性（不需證明）；(2)若，（?。┙獠坏仁?；（ⅱ）若在區(qū)間上的最小值為，求的值．19．（本題滿分17分）（23-24高二下·山西呂梁·期末）定義一種新的運(yùn)算“”，都有．(1)對于任意實數(shù)，試判斷與的大小關(guān)系；(2)若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有2個，求實數(shù)的取值范圍；(3)已知函數(shù)，，若對任意的，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（考試時間：150分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（23-24高二下·浙江溫州·期末）函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的概念可得，解之即可求解.【詳解】由，解得，即函數(shù)的定義域為.故選：A2．（23-24高二下·天津·期末）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)特殊值比較大小，得出的大小【詳解】因為，所以，故選：B.3．（23-24高一下·安徽阜陽·期末）如圖，圖象①②③④所對應(yīng)的函數(shù)不屬于中的一個是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】由函數(shù)解析式確定其圖象所過的定點，結(jié)合單調(diào)性確定對應(yīng)的圖形即可.【詳解】依題意，函數(shù)的圖象分別過定點，它們分別對應(yīng)圖③②①，因此④不屬于給定的三個函數(shù)之一.故選：D4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點滿足：（1）點都在圖象上，（2）點關(guān)于原點對稱，則稱點對是函數(shù)的一個“孿生點對”；已知函數(shù)，則的“孿生點對”有（

）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【答案】C【分析】畫出的圖象，結(jié)合函數(shù)圖像求解即可.【詳解】作出的圖象，再作出函數(shù)關(guān)于原點對稱的圖象如圖所示.函數(shù)關(guān)于原點對稱的圖象與圖象有三個交點，故圖象上“孿生點對”有3對.故選：C5．（23-24高二下·寧夏銀川·期末）著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，空氣溫度為，則t分鐘后物體的溫度（單位：）滿足：．若常數(shù)，空氣溫度為，某物體的度從下降到以下，至少大約需要的時間為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．36分鐘 B．40分鐘 C．44分鐘 D．48分鐘【答案】C【分析】由已知條件得出，，，代入等式，求出即可得出結(jié)論.【詳解】由題知，，，所以，可得，所以，，即某物體的度從下降到以下，至少大約需要分鐘.故選：C.6．（24-25高三上·山西大同·期末）已知實數(shù)，且滿足不等式，若，則下列關(guān)系式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得出，再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求解即可.【詳解】因為，又函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，對于不等式，移項整理得，構(gòu)造函數(shù)，由于單調(diào)遞減，所以，即，故選:C.7．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于的不等式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時，，可得在上遞增，要使得函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則滿足，且，解可得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：B.8．（23-24高一下·遼寧·期末）人們發(fā)現(xiàn)，可以通過公式來求方程（均為正實數(shù)）的正實數(shù)根.例如，方程的正實數(shù)根為，我們知道是的唯一正實數(shù)根，所以，這里規(guī)定.根據(jù)以上材料可得（

）A．3 B．6 C．9 D．4【答案】D【分析】在公式中令求解即可.【詳解】設(shè)，令解得則即方程的正實數(shù)根.由，可得.因為方程的實數(shù)根為負(fù)數(shù)，所以，即，故.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．（24-25高一上·上海·課前預(yù)習(xí)）若函數(shù)（且）的圖像過第二象限，則必有（）A． B．且 C．且 D．且【答案】AD【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（且）的圖像過第二象限,則或，故或，故選：AD.10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)的說法中，不正確的是（

）A．有最大值，在上為增函數(shù)B．有最大值，在上為減函數(shù)C．有最小值，在上為增函數(shù)D．有最小值，在上為減函數(shù)【答案】DCD【分析】利用換元法，令，則，然后求出的值域，再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求出的最值，求出的單調(diào)區(qū)間，再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求法可求出的單調(diào)區(qū)間.【詳解】令，則，所以，所以有最大值，所以CD錯誤，因為在上遞減，在上遞增，而在定義域內(nèi)遞減，所以在上遞增，在上遞減，所以A正確，B錯誤，故選：BCD11．（23-24高二下·河北滄州·期末）已知函數(shù)關(guān)于的方程有從小到大排列的四個不同的實數(shù)根，若，則（

）A． B．C．的最小值為 D．的最大值為【答案】AC【分析】對于A和B，根據(jù)題意畫出分段函數(shù)的圖像，將方程的根的問題轉(zhuǎn)化為與的交點即可，通過觀察圖象直接判斷；對于C和D，可以借助二次函數(shù)的對稱性，得到運(yùn)用將未知數(shù)減少，轉(zhuǎn)化為函數(shù)后用基本不等式可求出的范圍即可解決.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖.關(guān)于的方程有從小到大排列的四個不同的實數(shù)根,等價于與有四個不同交點,則，顯然正確.令，則或，所以或，所以，當(dāng)時最小，數(shù)形結(jié)合有，故B不正確.運(yùn)用二次函數(shù)對稱性，可知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C正確.根據(jù)圖象，則無最大值，故D不正確.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．（23-24高一下·湖南邵陽·期末）設(shè)，若為偶函數(shù)，則．【答案】【分析】由偶函數(shù)定義比較與系數(shù)可得答案.【詳解】因為偶函數(shù)，則.注意到，與相比較，得.故答案為：13．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）不等式的解集為．【答案】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】單調(diào)遞增，,則原不等式為,所以,所以解集為.故答案為：.14．（23-24高二下·江西九江·期末）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，他和阿基米德?牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，如：．若函數(shù)有且僅有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】令得到，變形得到，令，，畫出兩圖象如圖所示，數(shù)形結(jié)合得到，求出答案.【詳解】由，得，因為，所以，令，，畫出兩圖象如圖所示，由圖象結(jié)合題意得，即，即的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，其中第15題13分，第16,17題15分，第18,19題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本題滿分13分）（23-24高一上·云南昆明·期末）化簡并求出下列各式的值．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計算，即可求解；（2）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確計算，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，可得.（2）解：根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)，可得.16．（本題滿分15分）（23-24高二下·黑龍江·期末）已知函數(shù).(1)求的解析式；(2)判斷的奇偶性，并說明理由；(3)設(shè)函數(shù)，若，求a的取值范圍.【答案】(1)(2)為偶函數(shù)，理由見解析(3)【分析】（1）利用換元法求函數(shù)的解析式；（2）利用奇偶函數(shù)的定義，判斷函數(shù)的奇偶性；（3）首先求函數(shù)的解析式，并判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，即可求解函數(shù)的解析式.【詳解】（1）令，則，則，所以的解析式為.（2）為偶函數(shù).理由如下：因為的定義域為，且，所以為偶函數(shù).（3），，所以是上的奇函數(shù)，因為，所以.因為，都是增函數(shù)，所以是上的增函數(shù)，所以，則，因為，所以，即a的取值范圍是.17．（本題滿分15分）（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖（1）的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖（2）的拋物線表示．(1)寫出圖（1）中表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式；(2)寫出圖（2）中表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式；(3)認(rèn)定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？（注：市場售價和種植成本的單位：元/100kg，時間單位：天）【答案】(1)(2)，(3)從2月1日開始的第50天時，西紅柿純收益最大.理由見詳解.【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象設(shè)出函數(shù)解析式，然后結(jié)合圖象中的點可求出參數(shù)的值，從而可求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)圖象設(shè)出函數(shù)解析式，然后結(jié)合圖象中的點可求出參數(shù)的值，從而可求出函數(shù)解析式；（3）結(jié)合（1）（2）列出純收益的解析式，然后求出利潤的最大值．【詳解】（1）由已知條件，設(shè)，當(dāng)時，，．當(dāng)時，，．故圖（1）表示的函數(shù)關(guān)系式為（2）設(shè)，則，所以．所以圖（2）表示的函數(shù)關(guān)系式為，．（3）設(shè)時刻的純收益為，則由題意得，即，當(dāng)時，配方整理得，所以當(dāng)時，取得區(qū)間上的最大值100．當(dāng)時，配方整理得，②當(dāng)，即時，，解得，矛盾．③當(dāng)，即時，，解得．綜上所述，或．19．（本題滿分17分）（23-24高二下·山西呂梁·期末）定義一種新的運(yùn)算“”，都有．(1)對于任意實數(shù)，試判斷與的大小關(guān)系；(2)若關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)恰有2個，求實數(shù)的取值范圍；(3)已知函數(shù)，，若對任意的，總存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)新定義運(yùn)算即可得解；（2）由函數(shù)新定義運(yùn)算即可得解，再利用函數(shù)零點的概念解