湖北省鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟學校2024-2025學年高二上學期起點考試數(shù)學試卷含答案及解析

2024年秋季鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟學校起點考試高二數(shù)學試卷命題學校：黃岡中學命題教師：董明秀審題學校：黃梅一中審題教師：石亞林考試時間：2024年9月2日下午15:00-17:00試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題除出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則圓柱與球的表面積之比為（）A.1:1 B.3:2 C. D.2.拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，A表示事件“第一次拋擲，骰子正面向上的點數(shù)是3”，B表示事件“兩次拋擲，骰子正面向上的點數(shù)之和是4”，C表示事件“兩次拋擲，骰子正面向上的點數(shù)之和是7”，則（）A.A與B互斥 B.B與C互對立 C.A與B相互獨立 D.A與C相互獨立3.下列說法中正確的是（）A.若兩個平面都與第三個平面垂直，則這兩個平面平行B.已知a，b，c為三條直線，若a，b異面，b，c異面，則a，c異面C.若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面4.已知是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，以為基底，則可以表示為（）A.B.C.D.5.已知向量，不共線，滿足，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.6.已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70，方差為75.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中的兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90.在對錯誤的數(shù)據(jù)進行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則（）A. B.C. D.7.在平面四邊形中，為正三角形，，，如圖1，將四邊形沿AC折起，得到如圖2所示的四面體，若四面體外接球的球心為O，當四面體的體積最大時，點O到平面ABD的距離為（）A. B.C. D.8.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，P，Q分別為邊BC，CD上的點，，則的最大值為（）A.1 B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.衡陽市第八中學為了解學生數(shù)學史知識的積累情況，隨機抽取150名同學參加數(shù)學史知識測試，測試題共5道，每答對一題得20分，答錯得0分.得分不少于60分記為及格，不少于80分記為優(yōu)秀，測試成績百分比分布圖如圖所示，則（）A該次數(shù)學史知識測試及格率超過90%B.該次數(shù)學史知識測試得滿分的同學有15名C.該次測試成績的中位數(shù)大于測試成績的平均數(shù)D.若八中共有3000名學生，則數(shù)學史知識測試成績能得優(yōu)秀的同學大約有1800名10.已知是坐標原點，平面向量，，，且是單位向量，，，則下列結論正確的是（）A.B.若A，B，C三點共線，則C.若向量與垂直，則最小值為1D.向量與的夾角正切值的最大值為11.如圖，正方體中，頂點在平面內，其余頂點在的同側，的交點為，頂點到的距離分別為，則（）A.平面 B.到平面的距離為1C.平面平面 D.正方體的棱長為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，且，則___________．13.設鈍角三個內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若，，，則________.14.甲、乙、丙、丁四支足球隊進行單循環(huán)比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次，積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率都為，則在比賽結束時，甲隊輸一場且積分超過其余每支球隊積分的概率為______．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知復數(shù)滿足，．（1）求；（2）設復數(shù)，，在復平面內對應的點分別為，，，求．16.如圖，在三棱柱中，，，，點在底面ABC的射影為BC的中點O，M為的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角平面角的正弦值．17.在銳角中，其內角的對邊分別為，已知．（1）求值；（2）若，，求△ABC的面積．18.遼寧省數(shù)學競賽初賽結束后，為了解競賽成績情況，從所有學生中隨機抽取100名學生，得到他們的成績，將數(shù)據(jù)整理后分成五組：，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）若只有的人能進決賽，入圍分數(shù)應設為多少分（保留兩位小數(shù)）；（2）采用分層隨機抽樣的方法從成績?yōu)榈膶W生中抽取容量為6的樣本，再從該樣本中隨機抽取2名學生進行問卷調查，求至少有1名學生成績不低于90的概率；（3）進入決賽的同學需要再經(jīng)過考試才能參加冬令營活動.考試分為兩輪，第一輪為筆試，需要考2門學科，每科筆試成績從高到低依次有五個等級.若兩科筆試成績均為，則直接參加；若一科筆試成績?yōu)椋硪豢乒P試成績不低于，則要參加第二輪面試，面試通過也將參加，否則均不能參加.現(xiàn)有甲、乙二人報名參加，二人互不影響.甲在每科筆試中取得的概率分別為；乙在每科筆試中取得的概率分別；甲、乙在面試中通過的概率分別為.求甲、乙能同時參加冬令營的概率.19.類比思想在數(shù)學中極為重要，例如類比于二維平面內的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理，如圖1，由射線PA，PB，PC構成的三面角P-ABC，記，，，二面角A-PC-B的大小為，則．如圖2，四棱柱中，底面ABCD為菱形，，，，且．（1）在圖2中，用三面角余弦定理求的值；（2）在圖2中，直線與平面ABCD內任意一條直線的夾角為φ，證明：；（3）在圖2中，過點B作平面，使平面平面，且與直線相交于點P，求的值．

2024年秋季鄂東南省級示范高中教育教學改革聯(lián)盟學校起點考試高二數(shù)學試卷命題學校：黃岡中學命題教師：董明秀審題學校：黃梅一中審題教師：石亞林考試時間：2024年9月2日下午15:00-17:00試卷滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題除出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則圓柱與球的表面積之比為（）A.1:1 B.3:2 C. D.【答案】B【解析】【分析】設球的半徑為，則圓柱的底面半徑為，高為，然后表示出圓柱的表面積和球的表面積，相比即可【詳解】設球的半徑為，則由題意得圓柱的底面半徑為，高為，所以圓柱的表面積為，球的表面積為，所以圓柱與球的表面積之比為，故選：B2.拋擲一枚質地均勻的骰子兩次，A表示事件“第一次拋擲，骰子正面向上的點數(shù)是3”，B表示事件“兩次拋擲，骰子正面向上的點數(shù)之和是4”，C表示事件“兩次拋擲，骰子正面向上的點數(shù)之和是7”，則（）A.A與B互斥 B.B與C互為對立 C.A與B相互獨立 D.A與C相互獨立【答案】D【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義判斷AB，根據(jù)相互獨立事件的判斷公式判斷CD.【詳解】對于A，A與B有可能同時發(fā)生，不是互斥事件，A錯誤；對于B，除了B，C以外還有其他事件發(fā)生，不是對立事件，B錯誤；第一次拋擲，骰子正面向上的點數(shù)是3，包含的樣本點為，故，兩次拋擲，骰子正面向上的點數(shù)之和是4，包含的樣本點為，故，同時發(fā)生的事件包含樣本點為，故，所以，即不相互獨立，故C錯誤；兩次拋擲，骰子正面向上的點數(shù)之和是7，包含的樣本點為，故，同時發(fā)生的事件包含的樣本點為，故，所以，即A與C相互獨立，故D正確.故選：D3.下列說法中正確的是（）A.若兩個平面都與第三個平面垂直，則這兩個平面平行B.已知a，b，c為三條直線，若a，b異面，b，c異面，則a，c異面C.若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面【答案】D【解析】【分析】對于ABC：以正方體為依托，舉反例說明即可；對于D：根據(jù)平面的性質分析判斷.【詳解】如圖所示，正方體，對于選項A：例如平面平面，平面平面，但平面平面，兩平面不平行，故A錯誤；對于選項B：例如與異面，與異面，但，兩直線不異面，故B錯誤；對于選項C：例如∥平面，∥平面，但，兩直線不平行，故C錯誤；對于選項D：若三條直線兩兩相交且不共點，可得三個不共線三點，由平面性質可知：這三點確定唯一一個平面，且三條直線均在該平面內，所以兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，故D正確.故選：D.4.已知是四面體的棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，以為基底，則可以表示為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運算求得正確答案.【詳解】依題意，.故選：D5.已知向量，不共線，滿足，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將已知條件平方求得，然后根據(jù)投影向量公式計算即可求解.【詳解】因為，所以，即，得，則在方向上的投影向量為.故選：D6.已知某樣本的容量為50，平均數(shù)為70，方差為75.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)在收集這些數(shù)據(jù)時，其中的兩個數(shù)據(jù)記錄有誤，一個錯將80記錄為60，另一個錯將70記錄為90.在對錯誤的數(shù)據(jù)進行更正后，重新求得樣本的平均數(shù)為，方差為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計算可得.【詳解】由題意，可得，設收集的個準確數(shù)據(jù)分別記為，則，，所以．故選：A．7.在平面四邊形中，為正三角形，，，如圖1，將四邊形沿AC折起，得到如圖2所示的四面體，若四面體外接球的球心為O，當四面體的體積最大時，點O到平面ABD的距離為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)四面體的體積最大時，求出點O位置，利用等體積轉換法即可求出點O到平面ABD的距離.【詳解】由題意可知當平面平面時四面體的體積最大時，因為為正三角形，，，所以，則，當平面平面時，取線段中點，則點為直角三角形的外心，連接，則易知平面，所以四面體外接球球心在上，因為為正三角形，所以四面體外接球球心即為的中心，則，設點到面的距離為，點到面的距離為，由得，因為邊長為2，所以，，中，，所以，則，所以點到面的距離為.故選：C8.如圖，邊長為2的正方形ABCD中，P，Q分別為邊BC，CD上的點，，則的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設條件可得，然后利用三角變換公式結合正弦函數(shù)的性質可求最大值.【詳解】由余弦定理可得，整理得到，，則，整理得到：，而，故，而，故，設，則，其中為銳角且，因為，故，故，當且僅當時等號成立，故的最大值為，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.衡陽市第八中學為了解學生數(shù)學史知識的積累情況，隨機抽取150名同學參加數(shù)學史知識測試，測試題共5道，每答對一題得20分，答錯得0分.得分不少于60分記為及格，不少于80分記為優(yōu)秀，測試成績百分比分布圖如圖所示，則（）A.該次數(shù)學史知識測試及格率超過90%B.該次數(shù)學史知識測試得滿分的同學有15名C.該次測試成績的中位數(shù)大于測試成績的平均數(shù)D.若八中共有3000名學生，則數(shù)學史知識測試成績能得優(yōu)秀的同學大約有1800名【答案】ACD【解析】【分析】利用扇形圖的數(shù)據(jù)得到及格率判斷A；求出滿分所占百分比，進而求出滿分學生人數(shù)判斷B；求出中位數(shù)和平均數(shù)，比較大小判斷C；求出抽取的學生成績優(yōu)秀率，再估算出數(shù)學史知識測試成績能得優(yōu)秀的同學人數(shù)判斷D.【詳解】由圖知，及格率為，A正確；該測試滿分同學的百分比為，則有名，B錯誤；由圖知，中位數(shù)為80分，平均數(shù)為分，C正確；由題意，3000名學生成績能得優(yōu)秀的同學有，D正確.故選：ACD10.已知是坐標原點，平面向量，，，且是單位向量，，，則下列結論正確的是（）A.B.若A，B，C三點共線，則C.若向量與垂直，則的最小值為1D.向量與的夾角正切值的最大值為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，用坐標表示向量，再結合向量的坐標運算逐項計算判斷即得.【詳解】在平面直角坐標系中，令，由，，得，，則，對于A，，因此，A正確；對于B，由三點共線，得，即，于是，解得，即，B錯誤；對于C，，由向量與垂直，得，而，則，當且僅當時取等號，C錯誤；對于D，令向量與的夾角為，，當時，，，當時，不妨令，，則，，顯然，，當且僅當時取等號，D正確.故選：AD11.如圖，正方體中，頂點在平面內，其余頂點在的同側，的交點為，頂點到的距離分別為，則（）A.平面 B.到平面的距離為1C.平面平面 D.正方體的棱長為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)點到面的距離的性質，結合面面垂直的判定定理、面面相交的性質進行求解判斷即可.【詳解】對于A，因為B，C到的距離分別為1，2，顯然不相等，所以BC不可能與平面平行，因此選項A不正確；對于B，的交點為，顯然是的中點，因為平面，頂點到的距離為，所以到的距離為1，因此選項B正確;對于C，到的距離分別為，所以到的距離為，因此，即，設平面，所以，因為是正方形，所以，又因為平面平面，所以，因為平面，所以平面，因此有平面，而，所以平面平面，因此選項C正確；對D，因為平面平面，所以令平面平面，因為平面平面，所以在平面的射影與共線，顯然，，如圖所示：由，由（負值舍去），因此選項D正確，故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，，且，則___________．【答案】【解析】【分析】利用兩非零向量垂直的充要條件是兩向量數(shù)量積為0，再利用數(shù)量積的坐標運算就可解得結果.【詳解】由可得，又因為，，所以，解得.故答案為：13.設鈍角三個內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，若，，，則________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理表示出，再利用同角三角函數(shù)的平方關系，得到，建立方程，求出b的值，然后利用鈍角三角形，排除一個答案.【詳解】由余弦定理得，，而由，得，因為是鈍角三角形，且，故A為銳角，所以，所以，解得或，當時，即，，由大邊對大角得：最大角為C，，故C為銳角，不符合題意；當時，即，，由大邊對大角得：最大角為B，，故B是鈍角，符合題意，故答案為：14.甲、乙、丙、丁四支足球隊進行單循環(huán)比賽（即每支球隊都要跟其他各支球隊進行一場比賽），最后按各隊的積分排列名次，積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率都為，則在比賽結束時，甲隊輸一場且積分超過其余每支球隊積分的概率為______．【答案】【解析】【分析】不妨先考慮甲輸丙，再就甲與乙丁的輸贏分類討論后可得所求的概率.【詳解】甲隊在輸了一場且其積分仍超過其余三支球隊的積分，三隊中選一隊與甲比賽，甲輸，，例如是丙甲，若甲與乙、丁兩場比賽都輸，則乙、丁、丙積分都大于甲，不合題意；若甲與乙、丁的兩場比賽一贏一平，則甲只得4分，這時，丙乙、丙丁兩場比賽中丙只能輸，否則丙的分數(shù)不小于4分，不合題意，在丙輸?shù)那闆r下，乙、丁已有3分，那個它們之間的比賽無論什么情況，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合題意；若甲全贏（概率是）時，甲得6分，其他3人分數(shù)最高為5分，這時丙乙，丙丁兩場比賽中丙不能贏，否則丙的分數(shù)不小于6分，只有全平或全輸或一輸一平，①若丙一平一輸，概率，如平乙，輸丁，則乙丁比賽時，丁不能贏，概率；②若丙兩場均平，概率是，乙丁這場比賽無論結論如何均符合題意；③若兩場丙都輸，概率是，乙丁這場比賽只能平，概率是；綜上概率為．故答案為：.【點睛】思路點睛：對于比較復雜的概率的計算，注意根據(jù)問題的特征合理分類，盡量不重不漏，必要時利用表格或枚舉等方法.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知復數(shù)滿足，．（1）求；（2）設復數(shù)，，在復平面內對應的點分別為，，，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知得出，利用共軛復數(shù)定義和模的計算公式求解即可.（2）利用復數(shù)的運算分別求出，，三點坐標，然后利用數(shù)量積的變形公式求解向量夾角的余弦值即可.【小問1詳解】因為，，兩式相加得，所以，故．【小問2詳解】由（1）得，則，，則，，則，所以，，故．16.如圖，在三棱柱中，，，，點在底面ABC的射影為BC的中點O，M為的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的正弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直可得，根據(jù)三線合一可得，結合線面垂直的判定定理分析證明；（2）建系標點，分別為平面、平面的法向量，利用空間向量求二面角.【小問1詳解】因為平面∥平面，且平面，則∥平面，由題意可知：平面，平面，則，又因為，為的中點，則，且∥，則，且，平面，所以平面.【小問2詳解】因為，為的中點，則，且平面，以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，設，則，，可得，則，可得，設平面的法向量為，則，令，則，可得，由題意可知：平面的法向量，設二面角的平面角為，則，可得，所以二面角的平面角的正弦值為.17.在銳角中，其內角的對邊分別為，已知．（1）求的值；（2）若，，求△ABC的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得，再結合正弦定理及三角變換公式可得；（2）結合（1）中結果可求三個角的正切，從而可求三個角的正弦，求出外接圓半徑后可求三角形面積.【小問1詳解】因為，故，整理得到：，由正弦定理可得，所以即，所以，而為銳角三角形，故，故即.【小問2詳解】因為，故，所以，而，結合可得，而為銳角，故，故外接圓半徑為，故.18.遼寧省數(shù)學競賽初賽結束后，為了解競賽成績情況，從所有學生中隨機抽取100名學生，得到他們的成績，將數(shù)據(jù)整理后分成五組：，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）若只有的人能進決賽，入圍分數(shù)應設為多少分（保留兩位小數(shù)）；（2）采用分層隨機抽樣的方法從成績?yōu)榈膶W生中抽取容量為6的樣本，再從該樣本中隨機抽取2名學生進行問卷調查，求至少有1名學生成績不低于90的概率；（3）進入決賽的同學需要再經(jīng)過考試才能參加冬令營活動.考試分為兩輪，第一輪為筆試，需要考2門學科，每科筆試成績從高到低依次有五個等級.若兩科筆試成績均為，則直接參加；若一科筆試成績?yōu)椋硪豢乒P試成績不低于，則要參加第二輪面試，面試通過也將參加，否則均不能參加.現(xiàn)有甲、乙二人報名參加，二人互不影響.甲在每科筆試中取得的概率分別為；乙在每科筆試中取得的概率分別；甲、乙在面試中通過的概率分別為.求甲、乙能同時參加冬令營的概率.【答案】（1）76.25分（2）（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的求法求解即可；（2）根據(jù)分層抽樣確定兩組抽取的人數(shù)，結合對立事件的概率公式，用列舉法求解古典概型概率即可；（3）先利用獨立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解甲、乙能參加冬令營的概率，然后利用獨立事件乘法概率公式求解即可.【小問1詳解】，所以第分位數(shù)位于，且，所以入圍分數(shù)應設為76.25分.【小問2詳解】依題意從抽取人，標記為1，2，3，4；從抽取，標記為；從6人中隨機選2人其樣本空間可記為，共包含15個樣