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文檔簡介
河南理工大學(xué)大學(xué)2021-2022學(xué)年第一學(xué)期
《高等數(shù)學(xué)A(三)》考試試卷(A卷)
(閉卷時(shí)間120分鐘)
題號(hào)一二三四五總分
得分
閱卷人
得分
一、單項(xiàng)選擇題(每小題2分,共10分)
1、下列陳述正確的是()□
(A)若方程組有唯一解,則方程組有唯一解
(B)若方程組有唯一解,則方程組有唯一解
(C)若方程組有無窮多解,則方程組4、口=小有無窮多解
(D)若方程組4,口=8無解,則方程組4"尸=°無解
2、已知冏維向量組%,生,…,%(s*2)線性相關(guān),則下列選項(xiàng)中必正確的是()o
(A)對于任何一組不全為零的數(shù)片沈2,…木,使得%%+自生+■??+&%=°
(B)%,的,…,氏中任何兩個(gè)向量線性相關(guān)
(C)存在一組不全為零的數(shù)片后,…冉,使得%%+后生+…+瓦%=°
(D)對于每一個(gè)用都可以由其余向量線性表出
3、設(shè)0(尸口)<1,0〈尸⑻<1,且尸⑷B)+尸0豆)=1,則()。
(A)事件A與事件B互不相容(B)事件A與事件B對立
(C)事件月與事件方不獨(dú)立(D)事件月與事件B獨(dú)立
4、設(shè)X?磯㈤(指數(shù)分布),£卜&,…,凡是總體£的樣本,則參數(shù)/的矩估計(jì)是()。
(A)鷲⑶(B)2X(C)X(D)1/7
5、設(shè)為,/,…,凡是來自正態(tài)總體曾(區(qū)")的樣本,則下列結(jié)論正確的是()。
1"1"_
K力因-㈤?彳⑺±2(司-燈?八”1)
(A)Ee(B)片
1"_1"_
—1)
(C)bI(D)MM
得分
二、填空題(每小題2分,共10分)
%+4一碼=o
\x1-kx2-x3=0
6、若齊次線性方程組⑵「馬+馬=°有非零解,則上=。
eop
^=110
7、矩陣U10J的逆矩陣為。
8、若3階方陣工的特征值分別為-1、0、1,則行列式W+2A%2司=。
9、已知X?尸(㈤(泊松分布),4>0,且尸(X=1)=2產(chǎn)(X=2),則Z)(-3X+5)=。
10、從一批零件中,抽取9個(gè)零件,測得其直徑(單位:毫米)為:
19.7,20.1,19.8,19.9,20.2,20.0,19.0,20.2,20.3
設(shè)零件直徑服從正態(tài)分布曾(區(qū)"),其中〃未知,仃=0.21(毫米),①(1.96)=0.975,
則這批零件平均直徑〃的對應(yīng)于置信度為0.95的置信區(qū)間為。
得分
三、計(jì)算題(本大題共4小題,共46分)
11、(本小題10分)計(jì)算下列行列式
玉%%…%
%々%…%
&=?1%均,??%(玉=1,2,
???????■?■?????
,a3…5
12、(本小題14分)已知三階矩陣
M00、
5=042
<024,
求:(1)矩陣/的特征值及特征向量(6分);
(2)正交矩陣0,使得。為對角矩陣,并寫出相應(yīng)的對角陣(4分);
(3)03為正整數(shù))(4分)。
13、(本小題10分)已知二次型
+ax;+5君+4x^2-4x1x3-8x2x3
正定,求&的取值范圍。
14、(本小題12分)設(shè)二維隨機(jī)向量(XI)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為
JCx,x2<y<l
/(x,y)=5
[o,其它
求:(1)常數(shù)C(6分);
(2)產(chǎn)(°XN£y)(6分)。
四、證明題(本大題共2小題,共24分)
15、(本小題12分)設(shè)工為非x非實(shí)矩陣,且滿足/一6工一7£=0。
(1)若工+下。0,證明工一7封不可逆(5分);
(2)證明工一5可逆,并求其逆(7分)。
得分
16、(本小題12分)設(shè)二維隨機(jī)向量(氏丫)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為
,|小1,3Ml
/(")=<4
0,其它
證明:⑴星與丫不相關(guān)(6分);
(2)星與y不獨(dú)立(6分)。
得分
五、綜合分析題(本大題共10分)
17、設(shè)總體巨?曾(區(qū)〃),其中"和〃為未知參數(shù),(區(qū),工2,…,凡)是
總體里的一個(gè)子樣。
(1)求參數(shù)〃和〃的極大似然估計(jì)A和^(6分);
(2)判斷^是否為〃的無偏估計(jì)量(4分)。
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c
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挖
信
隈
意
蛉
魄
松
.
和
時(shí)
舊
辱
時(shí)
C
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峨
咫
H
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-
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P
G
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圮
紀(jì)
紀(jì)
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電
臉
臉
臉
以
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取
G
口
附
C
J
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I:一
^
i
C
c煙
c一
y
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f混s
蛉
信
用
冷
臉
癌
/
但
期
第一學(xué)
9學(xué)年
-200
008
大學(xué)2
安徽
卷)
卷(B
試試
)》考
(三
數(shù)學(xué)A
《高等
(閉卷時(shí)間120分鐘)
題號(hào)一二三四五總分
得分
閱卷人
得分
一、選擇題(每小題2分,共10分)
B(A百
1、設(shè)月為鄧介方陣,3吐其中也為非維列向量,
且r(4)=r(B),則()。
(A)4元=日必有無窮多解(B)工元=日必有唯一解
(0為=°僅有零解(D)切二°必有非零解
2、設(shè)q=(LLD,電,則a在佝,火,色下的坐標(biāo)
為()。
(A)⑻⑹a-晝⑻(T"》
3、設(shè)隨機(jī)變量X?尸⑷[泊松分布],則方差以2£-1)=()。
(A)/(B)44(C)24(D)44+1
4、設(shè)£一°。砂,%,占,…,凡是總體X的樣本,則參數(shù)6的矩估計(jì)是()。
(A)蟹㈤(B)2X?隅㈤(D)X
5、設(shè)立1,匕,…,凡是總體X的樣本,且成幻=",以幻=",則()是"的
無偏估計(jì)。
1n-1
士Z(區(qū)-??
(A)噲(B)(C)招(D)
1n
得分
二、填空題(每小題2分,共10分)
(1-無)公_2X2+4金-0
<2/+(3—N)與+句=°
6、若齊次線性方程組〔網(wǎng)+々+(1-㈤入3=°有非零解,則A=。
221、
工=315
7、矩陣023)的逆矩陣為。
8、設(shè)履階方陣幺可逆,且為,劣,…,4為其特征值,則矩陣才1的特征值為
9、設(shè)隨機(jī)變量,的分布函數(shù)為
I,
—ex<0
2
F(x)=<
\--ex>0
I2
則P(-1<^<1)=。
I。、已知產(chǎn)⑷=1/4,尸⑶=1/3,產(chǎn)口⑶=1/6,則產(chǎn)0U3)=
三、計(jì)算題(本大題共4小題,共46分)
得分
11、(本小題10分)計(jì)算行列式
abbb
babb
Ds=bbab
bbb
12、(本小題12分)求一個(gè)正交線性替換,化二次型
s=2xi+3君+4々句為標(biāo)準(zhǔn)形。
13、(本小題12分)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量星的概率密度函數(shù)為
/(x)=(<e',X>°
0,x<0
試求:(1)常數(shù)/(4分);
(2)產(chǎn){3<X<9}(4分);
(3)分布函數(shù)印>)(4分)。
14、(本小題12分)設(shè)一個(gè)人有即把鑰匙,其中只有一把鑰匙能把門打開,現(xiàn)每
次開門時(shí)隨機(jī)地任取一把,直到把門打開,用X表示直到把門打開時(shí)的次數(shù),
求在每次打不開門鑰匙放回的情形下£的分布律及其數(shù)學(xué)期望與㈤。
得分
四、綜合分析題(本大題共14分)
%+3々+2/+演=1
5x2+ax3-ax4=-1
15、對于線性方程組l網(wǎng)+2々+為4=3,問點(diǎn)取何值時(shí),方程組有解?并在
有解時(shí)求出其通解。
得分
五、證明題(本大題共2小題,每題10分,共20分)
16、設(shè)月為打x冏實(shí)矩陣,B=AE+ArA,2>0求證:B為正定矩陣。
17、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為
2e-2)x>0
0,x<0
證明:隨機(jī)變量y=1-e-"'服從區(qū)間(°,1)上的均勻分布。
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舊
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咫
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紀(jì)
紀(jì)
用
電
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臉
臉
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G
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附
C
J
^
I:一
^
i
C
c煙
c一
y
e
G
f混s
蛉
信
用
冷
臉
癌
/
但
期
第一學(xué)
0學(xué)年
-201
009
大學(xué)2
安徽
)
(A卷
試卷
考試
三)》
A(
數(shù)學(xué)
《高等
(閉卷時(shí)間120分鐘)
院/系年級(jí)專業(yè)姓名學(xué)號(hào)
題號(hào)一二三四五總分
得分
得分…
一、選擇題(每小題2分,共10分)
1.設(shè)凡3均為非階方陣,且滿足等式相=°,則必有().
(A)工=0或6=0(B)A+B=0(C)國=°或忸l=°(D)
國+忸1=。
2.設(shè)向量組
[:%,生,….R;[[:%,生,…,%,%+i,%+2,,,,,里+?
則下列說法必正確的是().
(A)I線性無關(guān),則n線性無關(guān);(B)I線性無關(guān),則n線性相關(guān);
(c)n線性相關(guān),則I線性相關(guān);(D)n線性無關(guān),則I線性無關(guān).
3.某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為則
此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為().
(A)3p(l-p)2(B)6p(l-p)2(C)3/(1_9)①)
3P2。-⑼2
丫口方(。,3
4.設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立,且22,則與隨機(jī)變量
z=y-£同分布的隨機(jī)變量是().
(A)星—y(B)星+y(C)X-2F(D)y-2X
5.在假設(shè)檢驗(yàn)中,記/為原假設(shè),則稱為犯第一類
錯(cuò)誤.()
(A)巴。為真時(shí)接受“。(B)*。不真時(shí)接受“。
(C)當(dāng)為真時(shí)拒絕笈。(D)為不真時(shí)拒絕國
得分…
二、填空題(每小題2分,共10分)
2-315
-46x-10
=0
1247
6.方程x-1-2-4-7的根為
7.設(shè)3階矩陣工有3個(gè)特征值1,2,3,且矩陣8與工相似,則IB+切=.
8.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為
0,K<0
尸(x)=<Ax2^<x<1
l,x>1
p(-i<^r<-)=
則概率2.
9.設(shè)隨機(jī)變量X和y的數(shù)學(xué)期望分別為2和-2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)
為-0與,則根據(jù)切比雪夫不等式有尸(1'+門之6)工.
10.設(shè)某農(nóng)作物的平均畝產(chǎn)量X(單位:kg)服從方("JOO?),現(xiàn)隨機(jī)抽取100
畝進(jìn)行試驗(yàn),觀察畝產(chǎn)量,得到才=50。kg,則總體均值"的置信水平為0.95的
置信區(qū)間為.
(0(1.96)=0.975,孰1.645)=0.95)
得分八
三、計(jì)算題(本大題共10分)
11.(本小題10分)計(jì)算下列行列式
a”(々—1)花???(a-h^
(51產(chǎn)??0(a—
2+1=???...???...
aa-\???a-n
11…1
得分…
四、分析題(本大題共5小題,共62分)
12.(本小題13分)已知線性方程組
西+々+與+々+勺=以
3再+2々+句+勺-3名=0
馬4-2無3+2演+6%=b
5々+4與+3弓+3勺一毛=2
問:°步取何值時(shí),方程組有無窮多解?并在此時(shí)求其通解.
13.(本小題14分)設(shè)二次型
八X)-2x:+5xJ+4x/2-4再弓-8X2X3+5弓'
(1)求正交變換x=0y,使/(QQ為標(biāo)準(zhǔn)形;
(2)判定二次型/(幻的正定性.
tttt
14.(本小題10分)設(shè)某人按如下原則決定某日的活動(dòng):如該天
下雨則以0.2的概率外出購物,以0.8的概率去探訪朋友;如該天不下雨,則以
0.9的概率外出購物,以0.1的概率去探訪朋友.已知該日下雨的概率為03
(1)試求那天他外出購物的概率;
(2)若已知他那天外出購物,試求那天天下雨的概率.
15.(本小題13分)已知二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合概率分布表如下:
-101
Y
X
111
-1
888
11
00
88
111
1
888
⑴求(x,y)關(guān)于耳丫的邊緣分布律;
⑵判斷x,y的獨(dú)立性;
⑶判斷XX的相關(guān)性。
16.(本小題12分)設(shè)總體X的概率密度為
1y(x)=〈axe",x>0
0,x<0
其中“是常數(shù),4>0是未知參數(shù).從總體X中抽取樣本與,出,…,耳.
(1)求常數(shù)a的值;
(2)求參數(shù)工的最大似然估計(jì)量■;
(3)判斷發(fā)是否為兄的無偏估計(jì)量.
得分
Ktttt
五、證明題(本大題共8分)
17.(本小題8分)設(shè)兒夕均為〃3>D階方陣,且滿足
4+2工6-2£=0
證明:
(1)月+2B可逆;
⑵AB=BA,
r
t
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紀(jì)
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I:一
^
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蛉
信
用
冷
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癌
/
但
期
第一學(xué)
0學(xué)年
-201
009
大學(xué)2
安徽
卷)
卷(B
試試
)》考
(三
數(shù)學(xué)A
《高等
(閉卷時(shí)間120分鐘)
題號(hào)一二三四五總分
得分
閱卷人
得分…
一、選擇題(每小題2分,共10分)
1.設(shè)線性方程組工x=8,其中工為泓x%矩陣,3/0,且耀<陷,則方程組工x=
().
(A)有唯一解(B)有無窮多解(C)無解(D)可能無解
2.設(shè)向量組舷:%生,…%與方:自,同,…自的秩都是『,則().
(A)向量組舷與方等價(jià)(B)秩,身,樂…療)=2「
(C)如果$=£=「,則〃與%等價(jià)①)如果心可由泥戔性表出,則
M與N等價(jià)
3.設(shè)隨機(jī)事件工與8互不相容,并且尸(⑷>°,戶(陰>°,則().
(A)P(5)=1-尸⑼(B)尸(45)=尸⑶)產(chǎn)出)
(C)產(chǎn)⑶U8)=1⑻F(近)=1
4.設(shè)總體X□曾Q3?),…,員是來自于X的樣本,則下列結(jié)論正確的是
()
y_i
^—―□27(0,1)^—―□27(0,1)
(A)3(B)
y-_i
耿0,1)石口歆0,1)
(C)9(D)
5.在假設(shè)檢驗(yàn)中,記%為備擇假設(shè),則稱為犯第一類錯(cuò)誤.()
(A)區(qū)為真時(shí)接受抬(B)區(qū)不真時(shí)接受坦
(C)凡為真時(shí)拒絕出(D)區(qū)不真時(shí)拒絕用
二、填空題(每小題2分,共10分)
1432
3x+896
=0
3-2x1
6.方程-325-1的解為
7.設(shè)A3同為5階方陣,⑷=1」切=2,則'一.
8.設(shè)月為正交矩陣,且國=T則伴隨矩陣4=.
9.一部四卷的文集,按任意次序放到書架上,則自左向右或自右向左恰好為1,
2,3,4的概率為.
10.在貝努利每次試驗(yàn)成功的概率為P,進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn),直到第io次
試驗(yàn)才取得4次成功的概率為.
得分
三、計(jì)算題(共10分)
11.(本小題10分)計(jì)算下列行列式
111
2222*
&=332r
n?2
得分.
四、分析題(共62分)
12.(本小題13分)求下列線性方程組的通解.
2玉+々+30+5X4-5X5=0
,再+勺+勺+4勺-3々=0
3再+々+5X3+6X4-7X5=0
答e史題史e匆co超oo裝?!叮咀鸫?二9線4
裝絳
13.(本小題14分)已知實(shí)二次型〃々,句,丐)=2百々-2々句+2弓不,試?yán)谜?/p>
線性替換£=°丫將二次型〃用,二2廣3)化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出正交線性替換
X=QY
14.(本小題10分)發(fā)報(bào)臺(tái)分別以0.7和0.3的概率發(fā)出信號(hào)“*”和“一”.由
于通信系統(tǒng)受到干擾,當(dāng)發(fā)出信號(hào)“*”時(shí),接收臺(tái)不一定收到信號(hào)“*”,而是
以概率0.8和0.2收到信號(hào)“*”和“-”.同樣地,當(dāng)發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)“二叫口
接收臺(tái)以0.9和0」的概率收到信號(hào)“一”和“*”.試求:(1)接坐臺(tái)收到苗宗
“*”的概率;(2)當(dāng)接收臺(tái)收到信號(hào)“*”時(shí),發(fā)報(bào)臺(tái)確是發(fā)出信號(hào)“*”的概
率.
,G=1⑵
15.(本小題13分)設(shè)隨機(jī)變量,且滿足
尸(&&=0)=1
(1)求產(chǎn)(工1=工2);(2)判斷局和工2是否獨(dú)立.
16.(本小題12分)設(shè)總體X的概率密度為
&,0<x<1
/w=,1-6,l<x<2
0,其他
其中6是未知參數(shù)(0<6<1),號(hào)巨2,…&為來自總體星的簡單隨機(jī)樣本,
記N為樣本值孫'2,…中小于1的個(gè)數(shù),求
(I)e的矩估計(jì);
(2)6的最大似然估計(jì).
五、證明題(本大題共8分)
17.(本小題8分)設(shè)非階方陣工滿足@=34證明:
(1)4后一工可逆;
(2)若工。0,則3后-工不可逆.
安徽大學(xué)2008—2009學(xué)年第一學(xué)期
《高等數(shù)學(xué)A(三)》(A卷)考試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
、選擇題(每小題2分,共10分)
2、C3、D4、D5、A
二、填空題(每小題2分,共10分)
r0-11、
02-1
6、-1,-27、U。8、309、910、(19.77,
20.05)
三、計(jì)算題(本大題共4小題,其中第11題和第13題各10分,第12題14分,
第14題12分,共46分)
11、解:將第一行的-1倍加到其余各行,得
玉%%…%
4]一再弓一電0…0
£)龍=/一公0丐一以3???0
?????????????■■
ai-xi00…"%
......(4分)
々一%
再將第m=2,3,…》)列的&-陽倍加到第一列,得
.(再一/)
。2%-%
2-2Xi-ai
0叼—的00?,0
Dn=
00x3-a3???0
??????■■?■■■???
000xK-aK
......(8分)
=(再+Z"式.叫(后-%)(弓一電)…(X*-%)
仁為一4
=o+y—^―)(再一,)(町-%g-…a-4)
......(10分)
12、解:⑴
A-A00
\AE-A\=0A-4-2=(4一2)(4—4)(4一6)
0-2A-4
令(兄—2)(4-4)(4-6)=0得
4=2自=4,4=6,.................(3分)當(dāng)4=2時(shí),解
下列方程組
-2再=0
<一2芻-2X3=0
-2.-2X3=0
得特征向量%=。1「球;
當(dāng)4=4時(shí),解下列方程組
-2X3=0
-2x2=0
得特征向量%=04町
當(dāng)a=6時(shí),解下列方程組
2xj=0
<2X2-2X3=0
-2x2+2丐-0
得特征向量
色=。],1)\..........................................(6
分)
(2)由于實(shí)對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交,所以只需將⑴中得到
的特征向量單位化即可得到正交矩陣。將特征向量%,生,色單位化得
月=(0且「嗎]”=nn網(wǎng)=。卓,?尸
JJ,,JJ
/X
010
Q=顯。思,200、
22
Q~TAQ=040
也o立并且[006),
令122人從而0為正交矩陣,
即所求的對角矩陣為
r200、
040
、006)
......................................(10分)
(3)由⑵知
,200、r200、
5=。040040er
06)k006)
所以
0]4"00
’2”0
2k+6k-2k+6k
Ak=Q04艮0Qr=0
dj-2~
<°°
-2k+6k2k+6k
~17
2;............(14
分)
13、解:二次型的矩陣為
,22-2、
2aT
C2-45/
各階順序主子式為
22
|2|=2,2a=
22-2
2a-4=2(3a-10)
由于二次型正定,所以各階順序主子式均大于0,即
2(3a-10)>0
2a-4>0
解得
<2>10/3................................................................
O
…(10分)
14、解:⑴由于."右了)為(x,y)的聯(lián)合密度函數(shù),所以
f{x,y)dxdy=\
即
』:汁;曲_心]心=4,=1
所以
C上
4...............................................................
(6分)
P(O<^<y)=JJ八x,y)dxdy
(2)區(qū)田
="到:/—號(hào)J#。-b&x
目42_?=2_
8Jo20
.....(12分)
四、證明題(本大題共2小題,每題12分,共24分)
15、證明:⑴由于4-64-7/=0,所以口+國口-7功=°,下用反正法:
若工一71£可逆,貝|]/+£=0工工一7£)-1=(),止匕與假設(shè)工+£=0矛盾,所以工一7£
不可逆。
.....(5分)
(2)由于4-64-7£=0,所以(j-5的(金-的=12巴從而
[^(A-5E)](A-E)=E
所以A-E可逆,并且
(月一£尸=總(金一5靖
(12分)
16、證明:⑴由于
EX=J如廣成x,y)dx力=/J;x--x;+?dxdy=0
SY=f4*^yf(x,y)dxdydxdy=0
EXY=m加(xj)dx的=,J:xy--dxdy=0
所以PX'7-4DX4DY~JDX4DY~,即x與y不相
關(guān)。...................(6分)
(2)先求x與y的邊緣密度函數(shù):
x0
當(dāng)工>1或工<一1時(shí),Zr()=o
當(dāng)陵區(qū)1時(shí),
右⑶=J:內(nèi)功=£力=T
所以
|x|<l
AU)=211
o.|x|>l
同理可得
-,|^|<1
為3=2⑺
0.|川>1
易見了(不4)和£r(x)啖(了)在區(qū)域{(羽y):1工區(qū)Uy區(qū)1}內(nèi)并不是幾乎處處相
等的,所以》與F不獨(dú)
立。.............................................................(12
分)
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