河南理工大學(xué)大學(xué)2021-2022學(xué)年第一學(xué)期《高等數(shù)學(xué)A(三)》考試試卷(A卷)_第1頁
河南理工大學(xué)大學(xué)2021-2022學(xué)年第一學(xué)期《高等數(shù)學(xué)A(三)》考試試卷(A卷)_第2頁
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文檔簡介

河南理工大學(xué)大學(xué)2021-2022學(xué)年第一學(xué)期

《高等數(shù)學(xué)A(三)》考試試卷(A卷)

(閉卷時(shí)間120分鐘)

題號(hào)一二三四五總分

得分

閱卷人

得分

一、單項(xiàng)選擇題(每小題2分,共10分)

1、下列陳述正確的是()□

(A)若方程組有唯一解,則方程組有唯一解

(B)若方程組有唯一解,則方程組有唯一解

(C)若方程組有無窮多解,則方程組4、口=小有無窮多解

(D)若方程組4,口=8無解,則方程組4"尸=°無解

2、已知冏維向量組%,生,…,%(s*2)線性相關(guān),則下列選項(xiàng)中必正確的是()o

(A)對于任何一組不全為零的數(shù)片沈2,…木,使得%%+自生+■??+&%=°

(B)%,的,…,氏中任何兩個(gè)向量線性相關(guān)

(C)存在一組不全為零的數(shù)片后,…冉,使得%%+后生+…+瓦%=°

(D)對于每一個(gè)用都可以由其余向量線性表出

3、設(shè)0(尸口)<1,0〈尸⑻<1,且尸⑷B)+尸0豆)=1,則()。

(A)事件A與事件B互不相容(B)事件A與事件B對立

(C)事件月與事件方不獨(dú)立(D)事件月與事件B獨(dú)立

4、設(shè)X?磯㈤(指數(shù)分布),£卜&,…,凡是總體£的樣本,則參數(shù)/的矩估計(jì)是()。

(A)鷲⑶(B)2X(C)X(D)1/7

5、設(shè)為,/,…,凡是來自正態(tài)總體曾(區(qū)")的樣本,則下列結(jié)論正確的是()。

1"1"_

K力因-㈤?彳⑺±2(司-燈?八”1)

(A)Ee(B)片

1"_1"_

—1)

(C)bI(D)MM

得分

二、填空題(每小題2分,共10分)

%+4一碼=o

\x1-kx2-x3=0

6、若齊次線性方程組⑵「馬+馬=°有非零解,則上=。

eop

^=110

7、矩陣U10J的逆矩陣為。

8、若3階方陣工的特征值分別為-1、0、1,則行列式W+2A%2司=。

9、已知X?尸(㈤(泊松分布),4>0,且尸(X=1)=2產(chǎn)(X=2),則Z)(-3X+5)=。

10、從一批零件中,抽取9個(gè)零件,測得其直徑(單位:毫米)為:

19.7,20.1,19.8,19.9,20.2,20.0,19.0,20.2,20.3

設(shè)零件直徑服從正態(tài)分布曾(區(qū)"),其中〃未知,仃=0.21(毫米),①(1.96)=0.975,

則這批零件平均直徑〃的對應(yīng)于置信度為0.95的置信區(qū)間為。

得分

三、計(jì)算題(本大題共4小題,共46分)

11、(本小題10分)計(jì)算下列行列式

玉%%…%

%々%…%

&=?1%均,??%(玉=1,2,

???????■?■?????

,a3…5

12、(本小題14分)已知三階矩陣

M00、

5=042

<024,

求:(1)矩陣/的特征值及特征向量(6分);

(2)正交矩陣0,使得。為對角矩陣,并寫出相應(yīng)的對角陣(4分);

(3)03為正整數(shù))(4分)。

13、(本小題10分)已知二次型

+ax;+5君+4x^2-4x1x3-8x2x3

正定,求&的取值范圍。

14、(本小題12分)設(shè)二維隨機(jī)向量(XI)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

JCx,x2<y<l

/(x,y)=5

[o,其它

求:(1)常數(shù)C(6分);

(2)產(chǎn)(°XN£y)(6分)。

四、證明題(本大題共2小題,共24分)

15、(本小題12分)設(shè)工為非x非實(shí)矩陣,且滿足/一6工一7£=0。

(1)若工+下。0,證明工一7封不可逆(5分);

(2)證明工一5可逆,并求其逆(7分)。

得分

16、(本小題12分)設(shè)二維隨機(jī)向量(氏丫)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

,|小1,3Ml

/(")=<4

0,其它

證明:⑴星與丫不相關(guān)(6分);

(2)星與y不獨(dú)立(6分)。

得分

五、綜合分析題(本大題共10分)

17、設(shè)總體巨?曾(區(qū)〃),其中"和〃為未知參數(shù),(區(qū),工2,…,凡)是

總體里的一個(gè)子樣。

(1)求參數(shù)〃和〃的極大似然估計(jì)A和^(6分);

(2)判斷^是否為〃的無偏估計(jì)量(4分)。

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時(shí)

時(shí)

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紀(jì)

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/

第一學(xué)

9學(xué)年

-200

008

大學(xué)2

安徽

卷)

卷(B

試試

)》考

(三

數(shù)學(xué)A

《高等

(閉卷時(shí)間120分鐘)

題號(hào)一二三四五總分

得分

閱卷人

得分

一、選擇題(每小題2分,共10分)

B(A百

1、設(shè)月為鄧介方陣,3吐其中也為非維列向量,

且r(4)=r(B),則()。

(A)4元=日必有無窮多解(B)工元=日必有唯一解

(0為=°僅有零解(D)切二°必有非零解

2、設(shè)q=(LLD,電,則a在佝,火,色下的坐標(biāo)

為()。

(A)⑻⑹a-晝⑻(T"》

3、設(shè)隨機(jī)變量X?尸⑷[泊松分布],則方差以2£-1)=()。

(A)/(B)44(C)24(D)44+1

4、設(shè)£一°。砂,%,占,…,凡是總體X的樣本,則參數(shù)6的矩估計(jì)是()。

(A)蟹㈤(B)2X?隅㈤(D)X

5、設(shè)立1,匕,…,凡是總體X的樣本,且成幻=",以幻=",則()是"的

無偏估計(jì)。

1n-1

士Z(區(qū)-??

(A)噲(B)(C)招(D)

1n

得分

二、填空題(每小題2分,共10分)

(1-無)公_2X2+4金-0

<2/+(3—N)與+句=°

6、若齊次線性方程組〔網(wǎng)+々+(1-㈤入3=°有非零解,則A=。

221、

工=315

7、矩陣023)的逆矩陣為。

8、設(shè)履階方陣幺可逆,且為,劣,…,4為其特征值,則矩陣才1的特征值為

9、設(shè)隨機(jī)變量,的分布函數(shù)為

I,

—ex<0

2

F(x)=<

\--ex>0

I2

則P(-1<^<1)=。

I。、已知產(chǎn)⑷=1/4,尸⑶=1/3,產(chǎn)口⑶=1/6,則產(chǎn)0U3)=

三、計(jì)算題(本大題共4小題,共46分)

得分

11、(本小題10分)計(jì)算行列式

abbb

babb

Ds=bbab

bbb

12、(本小題12分)求一個(gè)正交線性替換,化二次型

s=2xi+3君+4々句為標(biāo)準(zhǔn)形。

13、(本小題12分)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量星的概率密度函數(shù)為

/(x)=(<e',X>°

0,x<0

試求:(1)常數(shù)/(4分);

(2)產(chǎn){3<X<9}(4分);

(3)分布函數(shù)印>)(4分)。

14、(本小題12分)設(shè)一個(gè)人有即把鑰匙,其中只有一把鑰匙能把門打開,現(xiàn)每

次開門時(shí)隨機(jī)地任取一把,直到把門打開,用X表示直到把門打開時(shí)的次數(shù),

求在每次打不開門鑰匙放回的情形下£的分布律及其數(shù)學(xué)期望與㈤。

得分

四、綜合分析題(本大題共14分)

%+3々+2/+演=1

5x2+ax3-ax4=-1

15、對于線性方程組l網(wǎng)+2々+為4=3,問點(diǎn)取何值時(shí),方程組有解?并在

有解時(shí)求出其通解。

得分

五、證明題(本大題共2小題,每題10分,共20分)

16、設(shè)月為打x冏實(shí)矩陣,B=AE+ArA,2>0求證:B為正定矩陣。

17、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

2e-2)x>0

0,x<0

證明:隨機(jī)變量y=1-e-"'服從區(qū)間(°,1)上的均勻分布。

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時(shí)

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紀(jì)

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c一

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f混s

/

第一學(xué)

0學(xué)年

-201

009

大學(xué)2

安徽

(A卷

試卷

考試

三)》

A(

數(shù)學(xué)

《高等

(閉卷時(shí)間120分鐘)

院/系年級(jí)專業(yè)姓名學(xué)號(hào)

題號(hào)一二三四五總分

得分

得分…

一、選擇題(每小題2分,共10分)

1.設(shè)凡3均為非階方陣,且滿足等式相=°,則必有().

(A)工=0或6=0(B)A+B=0(C)國=°或忸l=°(D)

國+忸1=。

2.設(shè)向量組

[:%,生,….R;[[:%,生,…,%,%+i,%+2,,,,,里+?

則下列說法必正確的是().

(A)I線性無關(guān),則n線性無關(guān);(B)I線性無關(guān),則n線性相關(guān);

(c)n線性相關(guān),則I線性相關(guān);(D)n線性無關(guān),則I線性無關(guān).

3.某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為則

此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為().

(A)3p(l-p)2(B)6p(l-p)2(C)3/(1_9)①)

3P2。-⑼2

丫口方(。,3

4.設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立,且22,則與隨機(jī)變量

z=y-£同分布的隨機(jī)變量是().

(A)星—y(B)星+y(C)X-2F(D)y-2X

5.在假設(shè)檢驗(yàn)中,記/為原假設(shè),則稱為犯第一類

錯(cuò)誤.()

(A)巴。為真時(shí)接受“。(B)*。不真時(shí)接受“。

(C)當(dāng)為真時(shí)拒絕笈。(D)為不真時(shí)拒絕國

得分…

二、填空題(每小題2分,共10分)

2-315

-46x-10

=0

1247

6.方程x-1-2-4-7的根為

7.設(shè)3階矩陣工有3個(gè)特征值1,2,3,且矩陣8與工相似,則IB+切=.

8.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

0,K<0

尸(x)=<Ax2^<x<1

l,x>1

p(-i<^r<-)=

則概率2.

9.設(shè)隨機(jī)變量X和y的數(shù)學(xué)期望分別為2和-2,方差分別為1和4,而相關(guān)系數(shù)

為-0與,則根據(jù)切比雪夫不等式有尸(1'+門之6)工.

10.設(shè)某農(nóng)作物的平均畝產(chǎn)量X(單位:kg)服從方("JOO?),現(xiàn)隨機(jī)抽取100

畝進(jìn)行試驗(yàn),觀察畝產(chǎn)量,得到才=50。kg,則總體均值"的置信水平為0.95的

置信區(qū)間為.

(0(1.96)=0.975,孰1.645)=0.95)

得分八

三、計(jì)算題(本大題共10分)

11.(本小題10分)計(jì)算下列行列式

a”(々—1)花???(a-h^

(51產(chǎn)??0(a—

2+1=???...???...

aa-\???a-n

11…1

得分…

四、分析題(本大題共5小題,共62分)

12.(本小題13分)已知線性方程組

西+々+與+々+勺=以

3再+2々+句+勺-3名=0

馬4-2無3+2演+6%=b

5々+4與+3弓+3勺一毛=2

問:°步取何值時(shí),方程組有無窮多解?并在此時(shí)求其通解.

13.(本小題14分)設(shè)二次型

八X)-2x:+5xJ+4x/2-4再弓-8X2X3+5弓'

(1)求正交變換x=0y,使/(QQ為標(biāo)準(zhǔn)形;

(2)判定二次型/(幻的正定性.

tttt

14.(本小題10分)設(shè)某人按如下原則決定某日的活動(dòng):如該天

下雨則以0.2的概率外出購物,以0.8的概率去探訪朋友;如該天不下雨,則以

0.9的概率外出購物,以0.1的概率去探訪朋友.已知該日下雨的概率為03

(1)試求那天他外出購物的概率;

(2)若已知他那天外出購物,試求那天天下雨的概率.

15.(本小題13分)已知二維離散型隨機(jī)向量的聯(lián)合概率分布表如下:

-101

Y

X

111

-1

888

11

00

88

111

1

888

⑴求(x,y)關(guān)于耳丫的邊緣分布律;

⑵判斷x,y的獨(dú)立性;

⑶判斷XX的相關(guān)性。

16.(本小題12分)設(shè)總體X的概率密度為

1y(x)=〈axe",x>0

0,x<0

其中“是常數(shù),4>0是未知參數(shù).從總體X中抽取樣本與,出,…,耳.

(1)求常數(shù)a的值;

(2)求參數(shù)工的最大似然估計(jì)量■;

(3)判斷發(fā)是否為兄的無偏估計(jì)量.

得分

Ktttt

五、證明題(本大題共8分)

17.(本小題8分)設(shè)兒夕均為〃3>D階方陣,且滿足

4+2工6-2£=0

證明:

(1)月+2B可逆;

⑵AB=BA,

r

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時(shí)

時(shí)

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紀(jì)

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^

i

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c煙

c一

y

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G

f混s

/

第一學(xué)

0學(xué)年

-201

009

大學(xué)2

安徽

卷)

卷(B

試試

)》考

(三

數(shù)學(xué)A

《高等

(閉卷時(shí)間120分鐘)

題號(hào)一二三四五總分

得分

閱卷人

得分…

一、選擇題(每小題2分,共10分)

1.設(shè)線性方程組工x=8,其中工為泓x%矩陣,3/0,且耀<陷,則方程組工x=

().

(A)有唯一解(B)有無窮多解(C)無解(D)可能無解

2.設(shè)向量組舷:%生,…%與方:自,同,…自的秩都是『,則().

(A)向量組舷與方等價(jià)(B)秩,身,樂…療)=2「

(C)如果$=£=「,則〃與%等價(jià)①)如果心可由泥戔性表出,則

M與N等價(jià)

3.設(shè)隨機(jī)事件工與8互不相容,并且尸(⑷>°,戶(陰>°,則().

(A)P(5)=1-尸⑼(B)尸(45)=尸⑶)產(chǎn)出)

(C)產(chǎn)⑶U8)=1⑻F(近)=1

4.設(shè)總體X□曾Q3?),…,員是來自于X的樣本,則下列結(jié)論正確的是

()

y_i

^—―□27(0,1)^—―□27(0,1)

(A)3(B)

y-_i

耿0,1)石口歆0,1)

(C)9(D)

5.在假設(shè)檢驗(yàn)中,記%為備擇假設(shè),則稱為犯第一類錯(cuò)誤.()

(A)區(qū)為真時(shí)接受抬(B)區(qū)不真時(shí)接受坦

(C)凡為真時(shí)拒絕出(D)區(qū)不真時(shí)拒絕用

二、填空題(每小題2分,共10分)

1432

3x+896

=0

3-2x1

6.方程-325-1的解為

7.設(shè)A3同為5階方陣,⑷=1」切=2,則'一.

8.設(shè)月為正交矩陣,且國=T則伴隨矩陣4=.

9.一部四卷的文集,按任意次序放到書架上,則自左向右或自右向左恰好為1,

2,3,4的概率為.

10.在貝努利每次試驗(yàn)成功的概率為P,進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn),直到第io次

試驗(yàn)才取得4次成功的概率為.

得分

三、計(jì)算題(共10分)

11.(本小題10分)計(jì)算下列行列式

111

2222*

&=332r

n?2

得分.

四、分析題(共62分)

12.(本小題13分)求下列線性方程組的通解.

2玉+々+30+5X4-5X5=0

,再+勺+勺+4勺-3々=0

3再+々+5X3+6X4-7X5=0

答e史題史e匆co超oo裝?!叮咀鸫?二9線4

裝絳

13.(本小題14分)已知實(shí)二次型〃々,句,丐)=2百々-2々句+2弓不,試?yán)谜?/p>

線性替換£=°丫將二次型〃用,二2廣3)化為標(biāo)準(zhǔn)形,并寫出正交線性替換

X=QY

14.(本小題10分)發(fā)報(bào)臺(tái)分別以0.7和0.3的概率發(fā)出信號(hào)“*”和“一”.由

于通信系統(tǒng)受到干擾,當(dāng)發(fā)出信號(hào)“*”時(shí),接收臺(tái)不一定收到信號(hào)“*”,而是

以概率0.8和0.2收到信號(hào)“*”和“-”.同樣地,當(dāng)發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號(hào)“二叫口

接收臺(tái)以0.9和0」的概率收到信號(hào)“一”和“*”.試求:(1)接坐臺(tái)收到苗宗

“*”的概率;(2)當(dāng)接收臺(tái)收到信號(hào)“*”時(shí),發(fā)報(bào)臺(tái)確是發(fā)出信號(hào)“*”的概

率.

,G=1⑵

15.(本小題13分)設(shè)隨機(jī)變量,且滿足

尸(&&=0)=1

(1)求產(chǎn)(工1=工2);(2)判斷局和工2是否獨(dú)立.

16.(本小題12分)設(shè)總體X的概率密度為

&,0<x<1

/w=,1-6,l<x<2

0,其他

其中6是未知參數(shù)(0<6<1),號(hào)巨2,…&為來自總體星的簡單隨機(jī)樣本,

記N為樣本值孫'2,…中小于1的個(gè)數(shù),求

(I)e的矩估計(jì);

(2)6的最大似然估計(jì).

五、證明題(本大題共8分)

17.(本小題8分)設(shè)非階方陣工滿足@=34證明:

(1)4后一工可逆;

(2)若工。0,則3后-工不可逆.

安徽大學(xué)2008—2009學(xué)年第一學(xué)期

《高等數(shù)學(xué)A(三)》(A卷)考試試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)

、選擇題(每小題2分,共10分)

2、C3、D4、D5、A

二、填空題(每小題2分,共10分)

r0-11、

02-1

6、-1,-27、U。8、309、910、(19.77,

20.05)

三、計(jì)算題(本大題共4小題,其中第11題和第13題各10分,第12題14分,

第14題12分,共46分)

11、解:將第一行的-1倍加到其余各行,得

玉%%…%

4]一再弓一電0…0

£)龍=/一公0丐一以3???0

?????????????■■

ai-xi00…"%

......(4分)

々一%

再將第m=2,3,…》)列的&-陽倍加到第一列,得

.(再一/)

。2%-%

2-2Xi-ai

0叼—的00?,0

Dn=

00x3-a3???0

??????■■?■■■???

000xK-aK

......(8分)

=(再+Z"式.叫(后-%)(弓一電)…(X*-%)

仁為一4

=o+y—^―)(再一,)(町-%g-…a-4)

......(10分)

12、解:⑴

A-A00

\AE-A\=0A-4-2=(4一2)(4—4)(4一6)

0-2A-4

令(兄—2)(4-4)(4-6)=0得

4=2自=4,4=6,.................(3分)當(dāng)4=2時(shí),解

下列方程組

-2再=0

<一2芻-2X3=0

-2.-2X3=0

得特征向量%=。1「球;

當(dāng)4=4時(shí),解下列方程組

-2X3=0

-2x2=0

得特征向量%=04町

當(dāng)a=6時(shí),解下列方程組

2xj=0

<2X2-2X3=0

-2x2+2丐-0

得特征向量

色=。],1)\..........................................(6

分)

(2)由于實(shí)對稱矩陣的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交,所以只需將⑴中得到

的特征向量單位化即可得到正交矩陣。將特征向量%,生,色單位化得

月=(0且「嗎]”=nn網(wǎng)=。卓,?尸

JJ,,JJ

/X

010

Q=顯。思,200、

22

Q~TAQ=040

也o立并且[006),

令122人從而0為正交矩陣,

即所求的對角矩陣為

r200、

040

、006)

......................................(10分)

(3)由⑵知

,200、r200、

5=。040040er

06)k006)

所以

0]4"00

’2”0

2k+6k-2k+6k

Ak=Q04艮0Qr=0

dj-2~

<°°

-2k+6k2k+6k

~17

2;............(14

分)

13、解:二次型的矩陣為

,22-2、

2aT

C2-45/

各階順序主子式為

22

|2|=2,2a=

22-2

2a-4=2(3a-10)

由于二次型正定,所以各階順序主子式均大于0,即

2(3a-10)>0

2a-4>0

解得

<2>10/3................................................................

O

…(10分)

14、解:⑴由于."右了)為(x,y)的聯(lián)合密度函數(shù),所以

f{x,y)dxdy=\

』:汁;曲_心]心=4,=1

所以

C上

4...............................................................

(6分)

P(O<^<y)=JJ八x,y)dxdy

(2)區(qū)田

="到:/—號(hào)J#。-b&x

目42_?=2_

8Jo20

.....(12分)

四、證明題(本大題共2小題,每題12分,共24分)

15、證明:⑴由于4-64-7/=0,所以口+國口-7功=°,下用反正法:

若工一71£可逆,貝|]/+£=0工工一7£)-1=(),止匕與假設(shè)工+£=0矛盾,所以工一7£

不可逆。

.....(5分)

(2)由于4-64-7£=0,所以(j-5的(金-的=12巴從而

[^(A-5E)](A-E)=E

所以A-E可逆,并且

(月一£尸=總(金一5靖

(12分)

16、證明:⑴由于

EX=J如廣成x,y)dx力=/J;x--x;+?dxdy=0

SY=f4*^yf(x,y)dxdydxdy=0

EXY=m加(xj)dx的=,J:xy--dxdy=0

所以PX'7-4DX4DY~JDX4DY~,即x與y不相

關(guān)。...................(6分)

(2)先求x與y的邊緣密度函數(shù):

x0

當(dāng)工>1或工<一1時(shí),Zr()=o

當(dāng)陵區(qū)1時(shí),

右⑶=J:內(nèi)功=£力=T

所以

|x|<l

AU)=211

o.|x|>l

同理可得

-,|^|<1

為3=2⑺

0.|川>1

易見了(不4)和£r(x)啖(了)在區(qū)域{(羽y):1工區(qū)Uy區(qū)1}內(nèi)并不是幾乎處處相

等的,所以》與F不獨(dú)

立。.............................................................(12

分)

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