河南理工大學大學2021-2022學年第一學期《高等數(shù)學A（三）》考試試卷（A卷）

河南理工大學大學2021-2022學年第一學期

《高等數(shù)學A（三）》考試試卷（A卷）

（閉卷時間120分鐘）

題號一二三四五總分

得分

閱卷人

得分

一、單項選擇題（每小題2分，共10分）

1、下列陳述正確的是（）□

（A）若方程組有唯一解，則方程組有唯一解

（B）若方程組有唯一解，則方程組有唯一解

（C）若方程組有無窮多解，則方程組4、口=小有無窮多解

（D）若方程組4,口=8無解，則方程組4"尸=°無解

2、已知冏維向量組%，生，…，％（s*2）線性相關，則下列選項中必正確的是（）o

（A）對于任何一組不全為零的數(shù)片沈2,…木，使得%%+自生+■??+&%=°

（B）%，的，…，氏中任何兩個向量線性相關

（C）存在一組不全為零的數(shù)片后，…冉，使得%%+后生+…+瓦％=°

（D）對于每一個用都可以由其余向量線性表出

3、設0（尸口）<1,0〈尸⑻<1,且尸⑷B）+尸0豆）=1,則（）。

（A）事件A與事件B互不相容（B）事件A與事件B對立

（C）事件月與事件方不獨立（D）事件月與事件B獨立

4、設X?磯㈤（指數(shù)分布），￡卜&，…，凡是總體￡的樣本，則參數(shù)/的矩估計是（）。

(A)鷲⑶(B)2X(C)X(D)1/7

5、設為，/，…,凡是來自正態(tài)總體曾（區(qū)"）的樣本，則下列結(jié)論正確的是（）。

1"1"_

K力因-㈤?彳⑺±2(司-燈?八”1)

(A)Ee(B)片

1"_1"_

—1)

(C)bI(D)MM

得分

二、填空題（每小題2分，共10分）

%+4一碼=o

\x1-kx2-x3=0

6、若齊次線性方程組⑵「馬+馬=°有非零解，則上=。

eop

^=110

7、矩陣U10J的逆矩陣為。

8、若3階方陣工的特征值分別為-1、0、1,則行列式W+2A%2司=。

9、已知X?尸（㈤（泊松分布），4>0,且尸（X=1）=2產(chǎn)（X=2）,則Z）（-3X+5）=。

10、從一批零件中，抽取9個零件，測得其直徑（單位：毫米）為：

19.7,20.1,19.8,19.9,20.2,20.0,19.0,20.2,20.3

設零件直徑服從正態(tài)分布曾（區(qū)"），其中〃未知，仃=0.21（毫米），①（1.96）=0.975,

則這批零件平均直徑〃的對應于置信度為0.95的置信區(qū)間為。

得分

三、計算題（本大題共4小題，共46分）

11、（本小題10分）計算下列行列式

玉%%…%

%々％…%

&=?1%均,??%（玉=1,2,

???????■?■?????

，a3…5

12、（本小題14分）已知三階矩陣

M00、

5=042

<024,

求：（1）矩陣/的特征值及特征向量（6分）；

（2）正交矩陣0,使得。為對角矩陣，并寫出相應的對角陣（4分）;

（3）03為正整數(shù)）（4分）。

13、（本小題10分）已知二次型

+ax；+5君+4x^2-4x1x3-8x2x3

正定，求&的取值范圍。

14、（本小題12分）設二維隨機向量（XI）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

JCx，x2<y<l

/（x,y）=5

[o,其它

求：（1）常數(shù)C（6分）;

（2）產(chǎn)（°XN￡y）（6分）。

四、證明題（本大題共2小題，共24分）

15、（本小題12分）設工為非x非實矩陣，且滿足/一6工一7￡=0。

（1）若工+下。0,證明工一7封不可逆（5分）；

（2）證明工一5可逆，并求其逆（7分）。

得分

16、（本小題12分）設二維隨機向量（氏丫）的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

,|小1,3Ml

/(")=<4

0,其它

證明：⑴星與丫不相關（6分）;

（2）星與y不獨立（6分）。

得分

五、綜合分析題（本大題共10分）

17、設總體巨?曾（區(qū)〃），其中"和〃為未知參數(shù)，（區(qū)，工2,…，凡）是

總體里的一個子樣。

(1)求參數(shù)〃和〃的極大似然估計A和^(6分);

(2)判斷^是否為〃的無偏估計量(4分)。

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期

第一學

9學年

-200

008

大學2

安徽

卷）

卷（B

試試

）》考

（三

數(shù)學A

《高等

(閉卷時間120分鐘)

題號一二三四五總分

得分

閱卷人

得分

一、選擇題(每小題2分，共10分)

B(A百

1、設月為鄧介方陣，3吐其中也為非維列向量，

且r(4)=r(B),則()。

(A)4元=日必有無窮多解(B)工元=日必有唯一解

(0為=°僅有零解(D)切二°必有非零解

2、設q=(LLD，電,則a在佝,火，色下的坐標

為()。

(A)⑻⑹a-晝⑻(T"》

3、設隨機變量X?尸⑷［泊松分布］，則方差以2￡-1)=()。

(A)/(B)44(C)24(D)44+1

4、設￡一°。砂，％,占，…，凡是總體X的樣本，則參數(shù)6的矩估計是()。

(A)蟹㈤(B)2X?隅㈤(D)X

5、設立1，匕，…，凡是總體X的樣本，且成幻=",以幻=",則()是"的

無偏估計。

1n-1

士Z(區(qū)-??

(A)噲(B)(C)招(D)

1n

得分

二、填空題（每小題2分，共10分）

（1-無）公_2X2+4金-0

<2/+（3—N）與+句=°

6、若齊次線性方程組〔網(wǎng)+々+（1-㈤入3=°有非零解，則A=。

221、

工=315

7、矩陣023）的逆矩陣為。

8、設履階方陣幺可逆，且為，劣，…，4為其特征值，則矩陣才1的特征值為

9、設隨機變量，的分布函數(shù)為

I,

—ex<0

2

F(x)=<

\--ex>0

I2

則P（-1<^<1）=。

I。、已知產(chǎn)⑷=1/4,尸⑶=1/3,產(chǎn)口⑶=1/6,則產(chǎn)0U3）=

三、計算題（本大題共4小題，共46分）

得分

11、（本小題10分）計算行列式

abbb

babb

Ds=bbab

bbb

12、（本小題12分）求一個正交線性替換，化二次型

s=2xi+3君+4々句為標準形。

13、（本小題12分）設連續(xù)型隨機變量星的概率密度函數(shù)為

/（x）=（<e'，X>°

0,x<0

試求：（1）常數(shù)/（4分）;

（2）產(chǎn)｛3<X<9｝（4分）；

（3）分布函數(shù)印>）（4分）。

14、（本小題12分）設一個人有即把鑰匙，其中只有一把鑰匙能把門打開，現(xiàn)每

次開門時隨機地任取一把，直到把門打開，用X表示直到把門打開時的次數(shù)，

求在每次打不開門鑰匙放回的情形下￡的分布律及其數(shù)學期望與㈤。

得分

四、綜合分析題（本大題共14分）

%+3々+2/+演=1

5x2+ax3-ax4=-1

15、對于線性方程組l網(wǎng)+2々+為4=3,問點取何值時，方程組有解？并在

有解時求出其通解。

得分

五、證明題（本大題共2小題，每題10分，共20分）

16、設月為打x冏實矩陣，B=AE+ArA,2>0求證：B為正定矩陣。

17、設隨機變量X的概率密度函數(shù)為

2e-2)x>0

0,x<0

證明：隨機變量y=1-e-"'服從區(qū)間（°，1）上的均勻分布。

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期

第一學

0學年

-201

009

大學2

安徽

）

（A卷

試卷

考試

三）》

A（

數(shù)學

《高等

（閉卷時間120分鐘）

院/系年級專業(yè)姓名學號

題號一二三四五總分

得分

得分…

一、選擇題（每小題2分，共10分）

1.設凡3均為非階方陣，且滿足等式相=°,則必有（）.

（A）工=0或6=0（B）A+B=0（C）國=°或忸l=°（D）

國+忸1=。

2.設向量組

[:%，生,….R；[[:%，生，…，%，%+i，%+2，,,,，里+?

則下列說法必正確的是（）.

（A）I線性無關，則n線性無關；（B）I線性無關，則n線性相關；

（c）n線性相關，則I線性相關；（D）n線性無關，則I線性無關.

3.某人向同一目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為則

此人第4次射擊恰好第2次命中目標的概率為（）.

(A)3p(l-p)2(B)6p(l-p)2(C)3/(1_9)①)

3P2。-⑼2

丫口方（。,3

4.設隨機變量x與y相互獨立,且22,則與隨機變量

z=y-￡同分布的隨機變量是（）.

（A）星—y(B)星+y(C)X-2F(D)y-2X

5.在假設檢驗中，記/為原假設，則稱為犯第一類

錯誤.()

（A）巴。為真時接受“。（B）*。不真時接受“。

（C）當為真時拒絕笈。（D）為不真時拒絕國

得分…

二、填空題（每小題2分，共10分）

2-315

-46x-10

=0

1247

6.方程x-1-2-4-7的根為

7.設3階矩陣工有3個特征值1,2,3,且矩陣8與工相似，則IB+切=.

8.設隨機變量X的分布函數(shù)為

0,K<0

尸（x）=<Ax2^<x<1

l,x>1

p（-i<^r<-）=

則概率2.

9.設隨機變量X和y的數(shù)學期望分別為2和-2,方差分別為1和4,而相關系數(shù)

為-0與，則根據(jù)切比雪夫不等式有尸（1'+門之6）工.

10.設某農(nóng)作物的平均畝產(chǎn)量X（單位：kg）服從方（"JOO?）,現(xiàn)隨機抽取100

畝進行試驗，觀察畝產(chǎn)量，得到才=50。kg,則總體均值"的置信水平為0.95的

置信區(qū)間為.

（0（1.96）=0.975,孰1.645）=0.95）

得分八

三、計算題（本大題共10分）

11.（本小題10分）計算下列行列式

a”(々—1)花???(a-h^

(51產(chǎn)??0(a—

2+1=???...???...

aa-\???a-n

11…1

得分…

四、分析題（本大題共5小題，共62分）

12.（本小題13分）已知線性方程組

西+々+與+々+勺=以

3再+2々+句+勺-3名=0

馬4-2無3+2演+6%=b

5々+4與+3弓+3勺一毛=2

問：°步取何值時，方程組有無窮多解？并在此時求其通解.

13.（本小題14分）設二次型

八X）-2x：+5xJ+4x/2-4再弓-8X2X3+5弓'

（1）求正交變換x=0y,使/（QQ為標準形；

（2）判定二次型/（幻的正定性.

tttt

14.（本小題10分）設某人按如下原則決定某日的活動：如該天

下雨則以0.2的概率外出購物，以0.8的概率去探訪朋友；如該天不下雨，則以

0.9的概率外出購物，以0.1的概率去探訪朋友.已知該日下雨的概率為03

(1)試求那天他外出購物的概率；

(2)若已知他那天外出購物，試求那天天下雨的概率.

15.(本小題13分)已知二維離散型隨機向量的聯(lián)合概率分布表如下:

-101

Y

X

111

-1

888

11

00

88

111

1

888

⑴求(x，y)關于耳丫的邊緣分布律;

⑵判斷x，y的獨立性；

⑶判斷XX的相關性。

16.(本小題12分)設總體X的概率密度為

1y(x)=〈axe",x>0

0,x<0

其中“是常數(shù)，4>0是未知參數(shù).從總體X中抽取樣本與，出，…，耳.

(1)求常數(shù)a的值；

(2)求參數(shù)工的最大似然估計量■；

(3)判斷發(fā)是否為兄的無偏估計量.

得分

Ktttt

五、證明題（本大題共8分）

17.（本小題8分）設兒夕均為〃3>D階方陣，且滿足

4+2工6-2￡=0

證明：

(1)月+2B可逆;

⑵AB=BA,

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癌

/

但

期

第一學

0學年

-201

009

大學2

安徽

卷）

卷（B

試試

）》考

（三

數(shù)學A

《高等

(閉卷時間120分鐘)

題號一二三四五總分

得分

閱卷人

得分…

一、選擇題(每小題2分，共10分)

1.設線性方程組工x=8，其中工為泓x%矩陣，3/0,且耀＜陷，則方程組工x=

().

(A)有唯一解(B)有無窮多解(C)無解(D)可能無解

2.設向量組舷：％生，…%與方：自，同，…自的秩都是『，則().

(A)向量組舷與方等價(B)秩，身，樂…療)=2「

(C)如果$=￡=「，則〃與％等價①)如果心可由泥戔性表出，則

M與N等價

3.設隨機事件工與8互不相容，并且尸(⑷＞°，戶(陰＞°，則().

(A)P(5)=1-尸⑼(B)尸(45)=尸⑶)產(chǎn)出)

(C)產(chǎn)⑶U8)=1⑻F(近)=1

4.設總體X□曾Q3?),…，員是來自于X的樣本，則下列結(jié)論正確的是

()

y_i

^—―□27(0,1)^—―□27(0,1)

(A)3(B)

y-_i

耿0,1)石口歆0,1)

(C)9(D)

5.在假設檢驗中，記%為備擇假設，則稱為犯第一類錯誤.()

（A）區(qū)為真時接受抬（B）區(qū)不真時接受坦

（C）凡為真時拒絕出（D）區(qū)不真時拒絕用

二、填空題（每小題2分，共10分）

1432

3x+896

=0

3-2x1

6.方程-325-1的解為

7.設A3同為5階方陣，⑷=1」切=2,則'一.

8.設月為正交矩陣,且國=T則伴隨矩陣4=.

9.一部四卷的文集，按任意次序放到書架上，則自左向右或自右向左恰好為1,

2,3,4的概率為.

10.在貝努利每次試驗成功的概率為P,進行重復試驗，直到第io次

試驗才取得4次成功的概率為.

得分

三、計算題（共10分）

11.（本小題10分）計算下列行列式

111

2222*

&=332r

n?2

得分.

四、分析題（共62分）

12.（本小題13分）求下列線性方程組的通解.

2玉+々+30+5X4-5X5=0

，再+勺+勺+4勺-3々=0

3再+々+5X3+6X4-7X5=0

答e史題史e匆co超oo裝?！叮咀鸫?二9線4

裝絳

13.（本小題14分）已知實二次型〃々,句,丐）=2百々-2々句+2弓不，試利用正交

線性替換￡=°丫將二次型〃用,二2廣3）化為標準形，并寫出正交線性替換

X=QY

14.（本小題10分）發(fā)報臺分別以0.7和0.3的概率發(fā)出信號“*”和“一”.由

于通信系統(tǒng)受到干擾，當發(fā)出信號“*”時，接收臺不一定收到信號“*”，而是

以概率0.8和0.2收到信號“*”和“-”.同樣地，當發(fā)報臺發(fā)出信號“二叫口

接收臺以0.9和0」的概率收到信號“一”和“*”.試求：（1）接坐臺收到苗宗

“*”的概率；（2）當接收臺收到信號“*”時，發(fā)報臺確是發(fā)出信號“*”的概

率.

,G=1⑵

15.（本小題13分）設隨機變量，且滿足

尸(&&=0)=1

（1）求產(chǎn)（工1=工2）；（2）判斷局和工2是否獨立.

16.（本小題12分）設總體X的概率密度為

&,0<x<1

/w=,1-6,l<x<2

0,其他

其中6是未知參數(shù)（0<6<1）,號巨2,…&為來自總體星的簡單隨機樣本,

記N為樣本值孫'2,…中小于1的個數(shù)，求

（I）e的矩估計；

（2）6的最大似然估計.

五、證明題（本大題共8分）

17.（本小題8分）設非階方陣工滿足@=34證明:

（1）4后一工可逆;

（2）若工。0,則3后-工不可逆.

安徽大學2008—2009學年第一學期

《高等數(shù)學A（三）》（A卷）考試試題參考答案及評分標準

、選擇題（每小題2分，共10分）

2、C3、D4、D5、A

二、填空題（每小題2分，共10分）

r0-11、

02-1

6、-1,-27、U。8、309、910、（19.77,

20.05）

三、計算題（本大題共4小題，其中第11題和第13題各10分，第12題14分,

第14題12分,共46分）

11、解：將第一行的-1倍加到其余各行，得

玉%%…%

4]一再弓一電0…0

￡）龍=/一公0丐一以3???0

?????????????■■

ai-xi00…"%

......（4分）

々一%

再將第m=2,3,…》）列的&-陽倍加到第一列，得

.（再一/）

。2%-%

2-2Xi-ai

0叼—的00?,0

Dn=

00x3-a3???0

??????■■?■■■???

000xK-aK

......（8分）

=（再+Z"式.叫（后-%）（弓一電）…（X*-％）

仁為一4

=o+y—^―）（再一,）（町-%g-…a-4）

......（10分）

12、解:⑴

A-A00

\AE-A\=0A-4-2=（4一2）（4—4）（4一6）

0-2A-4

令（兄—2）（4-4）（4-6）=0得

4=2自=4,4=6,.................(3分)當4=2時，解

下列方程組

-2再=0

<一2芻-2X3=0

-2.-2X3=0

得特征向量%=。1「球；

當4=4時，解下列方程組

-2X3=0

-2x2=0

得特征向量%=04町

當a=6時，解下列方程組

2xj=0

<2X2-2X3=0

-2x2+2丐-0

得特征向量

色=。］，1)\..........................................(6

分)

(2)由于實對稱矩陣的不同特征值對應的特征向量正交，所以只需將⑴中得到

的特征向量單位化即可得到正交矩陣。將特征向量％，生，色單位化得

月=(0且「嗎］”=nn網(wǎng)=。卓，?尸

JJ，，JJ

/X

010

Q=顯。思,200、

22

Q~TAQ=040

也o立并且[006),

令122人從而0為正交矩陣,

即所求的對角矩陣為

r200、

040

、006)

......................................(10分)

（3）由⑵知

，200、r200、

5=。040040er

06)k006)

所以

0]4"00

’2”0

2k+6k-2k+6k

Ak=Q04艮0Qr=0

dj-2~

<°°

-2k+6k2k+6k

~17

2;............(14

分）

13、解：二次型的矩陣為

，22-2、

2aT

C2-45/

各階順序主子式為

22

|2|=2,2a=

22-2

2a-4=2(3a-10)

由于二次型正定，所以各階順序主子式均大于0,即

2(3a-10)>0

2a-4>0

解得

<2>10/3................................................................

O

…(10分)

14、解：⑴由于."右了）為（x，y）的聯(lián)合密度函數(shù)，所以

f{x,y)dxdy=\

即

』：汁；曲_心］心=4，=1

所以

C上

4...............................................................

(6分)

P(O<^<y)=JJ八x,y)dxdy

(2)區(qū)田

="到：/—號J#。-b&x

目42_?=2_

8Jo20

.....（12分）

四、證明題（本大題共2小題，每題12分，共24分）

15、證明：⑴由于4-64-7/=0,所以口+國口-7功=°,下用反正法:

若工一71￡可逆，貝|]/+￡=0工工一7￡）-1=（）,止匕與假設工+￡=0矛盾，所以工一7￡

不可逆。

.....（5分）

（2）由于4-64-7￡=0,所以（j-5的（金-的=12巴從而

[^（A-5E）]（A-E）=E

所以A-E可逆，并且

（月一￡尸=總（金一5靖

(12分)

16、證明：⑴由于

EX=J如廣成x,y)dx力=/J；x--x；+?dxdy=0

SY=f4*^yf(x,y)dxdydxdy=0

EXY=m加（xj）dx的=，J：xy--dxdy=0

所以PX'7-4DX4DY~JDX4DY~,即x與y不相

關。...................（6分）

（2）先求x與y的邊緣密度函數(shù)：

x0

當工>1或工<一1時，Zr（）=o

當陵區(qū)1時，

右⑶=J：內(nèi)功=￡力=T

所以

|x|<l

AU）=211

o.|x|>l

同理可得

-,|^|<1

為3=2⑺

0.|川>1

易見了（不4）和￡r（x）啖（了）在區(qū)域｛（羽y）：1工區(qū)Uy區(qū)1｝內(nèi)并不是幾乎處處相

等的，所以》與F不獨

立。.............................................................（12

分）