2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.6微積分基本定理學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE8-1.6微積分基本定理[目標(biāo)]1.能說(shuō)出微積分基本定理.2.能運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算簡(jiǎn)潔的定積分.3.能駕馭微積分基本定理的應(yīng)用．[重點(diǎn)]微積分基本定理以及利用定理求定積分．[難點(diǎn)]復(fù)合函數(shù)定積分計(jì)算．學(xué)問點(diǎn)一微積分基本定理[填一填]1．一般地，假如f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么eq\i\in(,b,)af(x)dx＝F(b)－F(a)，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫牛頓—萊布尼茨公式．2．為了便利，我們經(jīng)常把F(b)－F(a)記成F(x)eq\o\al(b,a)，即eq\i\in(,b,)af(x)dx＝F(x)eq\o\al(b,a)＝F(b)－F(a)．[答一答]1．滿意F′(x)＝f(x)的函數(shù)F(x)是唯一的嗎？這影響微積分基本定理的正確性嗎？提示：滿意F′(x)＝f(x)的函數(shù)F(x)不是唯一的，這些函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)，即(F(x)＋c)′＝f(x)，但這并不影響微積分基本定理，因?yàn)椤襡q\o\al(b,a)f(x)dx＝[F(x)＋c]|eq\o\al(b,a)＝[F(b)＋c]－[F(a)＋c]＝F(b)－F(a)，所以用一個(gè)最簡(jiǎn)潔的原函數(shù)F(x)就可以．2．求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算有什么關(guān)系？提示：求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算與求原函數(shù)運(yùn)算可以看作是互逆的運(yùn)算，但一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是唯一的，而一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)卻不止一個(gè)，這些原函數(shù)之間僅相差一個(gè)常數(shù)，在利用微積分基本定理計(jì)算定積分時(shí)，只要選用最簡(jiǎn)潔的一個(gè)即可．學(xué)問點(diǎn)二定積分的符號(hào)[填一填]由定積分的意義與微積分基本定理可知，定積分的值可能取正值也可能取負(fù)值，還可能是0.1．當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上方時(shí)，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積．(如圖(1))2．當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)．(如圖(2))3．當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時(shí)，定積分的值為0，且等于位于x軸上方的曲邊梯形面積減去位于x軸下方的曲邊梯形面積．(如圖(3))[答一答]3．如圖陰影部分的面積怎樣表示？提示：S＝∫eq\o\al(b,a)[f(x)－g(x)]dx.4．如圖陰影部分的面積如何表示？∫eq\o\al(b,a)f(x)dx，∫eq\o\al(b,a)|f(x)|dx與|∫eq\o\al(b,a)f(x)dx|的區(qū)分1.∫eq\o\al(b,a)f(x)dx表示由x軸，曲線y＝f(x)及直線x＝a，x＝b(a<b)所圍成的平面圖形的面積的代數(shù)和(即x軸上方的面積減去x軸下方的面積)；2．|f(x)|是非負(fù)的，所以∫eq\o\al(b,a)|f(x)|dx表示由x軸，曲線y＝|f(x)|及直線x＝a，x＝b(a<b)所圍成的平面圖形的面積；3．|∫eq\o\al(b,a)f(x)dx|則是∫eq\o\al(b,a)f(x)dx的肯定值．一般狀況下，三者的值是不同的，但對(duì)于f(x)≥0，x∈[a，b]，三者的值是相同的．類型一求較簡(jiǎn)潔函數(shù)的定積分【例1】計(jì)算下列各定積分．【思路分析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)與積分的關(guān)系，求定積分要先找到一個(gè)導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)的原函數(shù)，再依據(jù)牛頓—萊布尼茨公式寫出答案，找原函數(shù)可結(jié)合導(dǎo)數(shù)公式表．【解】(1)∵(sinx＋ex)′＝cosx＋ex，計(jì)算定積分要留意兩點(diǎn)：①要正確選擇被積函數(shù)的原函數(shù)；②要留意被積區(qū)間，其結(jié)果是原函數(shù)在[a，b]上的變更量Fb－Fa，而且定積分的值可能取正值，也可能取負(fù)值，還可能取0.(1)eq\i\in(1,2,)(x－x2＋eq\f(1,x))dx＝ln2－eq\f(5,6).解析：eq\i\in(1,2,)(x－x2＋eq\f(1,x))dx＝eq\i\in(1,2,)xdx－eq\i\in(1,2,)x2dx＋eq\i\in(1,2,)eq\f(1,x)dx＝eq\f(x2,2)eq\o\al(2,1)－eq\f(x3,3)eq\o\al(2,1)＋lnxeq\o\al(2,1)＝eq\f(3,2)－eq\f(7,3)＋ln2＝ln2－eq\f(5,6).(2)eq\i\in(0,2,)|x－1|dx＝1.解析：eq\i\in(0,2,)|x－1|dx＝eq\i\in(,1,)0(1－x)dx＋eq\i\in(1,2,)(x－1)dx＝(x－eq\f(1,2)x2)|eq\o\al(1,0)＋(eq\f(1,2)x2－x)|eq\o\al(2,1)＝1－eq\f(1,2)－0＋eq\f(1,2)×4－2－(eq\f(1,2)－1)＝1.類型二分段函數(shù)的定積分【例2】計(jì)算下列定積分．(1)eq\i\in(0,2π,)|sinx|dx；(2)eq\i\in(1,3,)|x－2|dx.【思路分析】由于被積函數(shù)是含有肯定值的解析式，所以需在積分區(qū)間上把函數(shù)分段，從而分段積分，其中(1)小題的零點(diǎn)是x＝π，(2)小題的零點(diǎn)是x＝2.【解】(1)∵|sinx|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx，0≤x≤π，,－sinx，π<x≤2π，))∴eq\i\in(0,2π,)|sinx|dx＝eq\i\in(,π,)0sinxdx＋eq\i\in(π,2π,)(－sinx)dx＝－cosx|eq\o\al(π,0)＋cosx|eq\o\al(2π,π)＝－(cosπ－cos0)＋(cos2π－cosπ)＝2＋(1＋1)＝4.(2)∵|x－2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，2≤x≤3，,2－x，1≤x<2，))∴eq\i\in(1,3,)|x－2|dx＝eq\i\in(1,2,)(2－x)dx＋eq\i\in(2,3,)(x－2)dx＝eq\i\in(1,2,)2dx－eq\i\in(1,2,)xdx＋eq\i\in(2,3,)xdx－eq\i\in(2,3,)2dx＝2×(2－1)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,2)－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(32,2)－\f(22,2)))－2×(3－2)＝2－eq\f(3,2)＋eq\f(5,2)－2＝1.由于分段函數(shù)在各區(qū)間上的函數(shù)式不同，所以被積函數(shù)是分段函數(shù)時(shí)，經(jīng)常利用定積分的性質(zhì)3，轉(zhuǎn)化為各區(qū)間上定積分的和計(jì)算.先畫出函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2≤x≤0,x0≤x≤1，,11≤x≤3))的圖象，再求這個(gè)函數(shù)在區(qū)間[－2,3]上的定積分．類型三利用定積分求參數(shù)的值【例3】設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，則x0的值為________．【思路分析】先利用微積分基本定理求出定積分eq\i\in(0,1,)f(x)dx，然后列出關(guān)于x0的方程求出x0的值．【解析】因?yàn)閒(x)＝ax2＋c(a≠0)，且(eq\f(a,3)x3＋cx)′＝ax2＋c，所以eq\i\in(0,1,)f(x)dx＝eq\i\in(0,1,)(ax2＋c)dx＝(eq\f(a,3)x3＋cx)|eq\o\al(1,0)＝eq\f(a,3)＋c＝axeq\o\al(2,0)＋c，解得x0＝eq\f(\r(3),3)或x0＝－eq\f(\r(3),3)(舍去)．故填eq\f(\r(3),3).【答案】eq\f(\r(3),3)利用定積分求參數(shù)時(shí)，留意方程思想的應(yīng)用.一般地，首先要弄清晰積分變量和被積函數(shù).當(dāng)被積函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，必需分清常數(shù)和變量，再進(jìn)行計(jì)算；其次要留意積分下限不大于積分上限.(1)若＝1，則實(shí)數(shù)a的值是eq\r(2).解析：∵＝eq\f(1,2)x2|eq\o\al(a,0)＝eq\f(1,2)a2＝1，∴a＝eq\r(2)或a＝－eq\r(2)(舍去)．故填eq\r(2).(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\i\in(0,x,)(at2＋bt＋1)dt為奇函數(shù)，且f(1)－f(－1)＝eq\f(1,3)，求a，b的值．解：f(x)＝eq\i\in(0,x,)(at2＋bt＋1)dt＝(eq\f(a,3)t3＋eq\f(b,2)t2＋t)|eq\o\al(x,0)＝eq\f(a,3)x3＋eq\f(b,2)x2＋x.∵f(x)為奇函數(shù)，∴eq\f(b,2)＝0，∴b＝0.又f(1)－f(－1)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(a,3)＋1＋eq\f(a,3)＋1＝eq\f(1,3)，∴a＝－eq\f(5,2).1．(sinx＋cosx)dx的值是(C)A．0B.eq\f(π,4)C．2D．4解析：(sinx＋cosx)dx＝(sinx－cosx)＝(1－0)－(－1－0)＝2.2.eq\i\in(-2,2,)e|x|dx的值等于(C)A．e2－e－2 B．2e2C．2e2－2 D．e2＋e－2－2解析：eq\i\in(-2,2,)e|x|dx＝eq\i\in(-2,0,)e－xdx＋eq\i\in(0,2,)exdx＝－e－x|eq\o\al(0,－2)＋ex|eq\o\al(2,0)＝2e2－2.3．若eq\i\in(1,a,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))dx＝3＋ln2，則a＝2.解析：eq\i\in(1,a,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(1,x)))dx＝(x2＋lnx)|eq\o\al(a,1)＝a2＋lna－1，∴a2＋lna－1＝3＋ln2.∴a＝2.4．定積分：eq\i\in(-3,3,)(|2x＋3|＋|3－2x|)dx＝45.解析：∵|2x＋3|＋|3－2x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x，－3≤x≤－\