2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章推理與證明2.1.2演繹推理練習(xí)新人教A版選修1-2

PAGE1-2演繹推理[課后提升案·素養(yǎng)達成][限時45分鐘；滿分80分]一、選擇題(每小題5分，共30分)1．全部金屬都能導(dǎo)電，因為銅是金屬，所以銅能導(dǎo)電，此推理方法是A．完全歸納推理B．歸納推理C．類比推理D．演繹推理解析上述推理的過程實質(zhì)是三段論的形式，故為演繹推理．答案D2．在“△ABC中，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點，則EF∥BC”的推理過程中，大前提是A．三角形的中位線平行于第三邊B．三角形的中位線等于第三邊長的一半C．E，F(xiàn)為AB，AC的中點D．EF∥BC解析本題的推理形式是三段論，其大前提是一個一般的結(jié)論，即三角形中位線定理．答案A3．下面是一段“三段論”推理過程：若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，則在(a，b)內(nèi)，f′(x)＞0恒成立．因為f(x)＝x3在(－1，1)內(nèi)可導(dǎo)且單調(diào)遞增，所以在(－1，1)內(nèi)，f′(x)＝3x2＞0恒成立．以上推理中A．大前提錯誤B．小前提錯誤C．結(jié)論正確D．推理形式錯誤解析因為對于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，f′(x)＞0對x∈(a，b)恒成立，應(yīng)當(dāng)是f′(x)≥0對x∈(a，b)恒成立，所以大前提錯誤．答案A4．已知三條不重合的直線m，n，l，兩個不重合的平面α，β，有下列命題：①若m∥n，n?α，則m∥α.②若l⊥α，m⊥β且l∥m，則α∥β.③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β.④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，則n⊥α.其中正確的命題個數(shù)是A．1B．2C．3D．4解析①中，m還可能在平面α內(nèi)，①錯誤；②正確；③中，m與n相交時才成立，③錯誤；④正確．答案B5．在R上定義運算?：x?y＝x(1－y)．若不等式(x－a)?(x＋a)＜1對隨意實數(shù)x都成立，則A．－1＜a＜1B．0＜a＜2C．－eq\f(1,2)＜a＜eq\f(3,2)D．－eq\f(3,2)＜a＜eq\f(1,2)解析因為x?y＝x(1－y)，所以(x－a)?(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，即原不等式等價于(x－a)(1－x－a)＜1即x2－x－(a2－a－1)＞0.所以Δ＝1＋4(a2－a－1)＜0即4a2－4a－3＜0.解得－eq\f(1,2)＜a＜eq\f(3,2).答案C6．“1＜a＜2”是“對隨意的正數(shù)x，都有2x＋eq\f(a,x)≥1”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析當(dāng)“對隨意的正數(shù)x，都有2x＋eq\f(a,x)≥1”成立時，a≥x－2x2對x∈（0，＋∞）恒成立，而x－2x2＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,8)≤eq\f(1,8)，所以a≥eq\f(1,8).因為(1，2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，＋∞))，所以1＜a＜2是“對隨意的正數(shù)x，都有2x＋eq\f(a,x)≥1”的充分不必要條件．答案A二、填空題(每小題5分，共15分)7．已知推理：“因為△ABC的三邊長依次為3，4，5，所以△ABC是直角三角形”．若將其復(fù)原成完整的三段論，則大前提是________________________．答案一條邊的平方等于其他兩條邊平方和的三角形是直角三角形8．已知函數(shù)f(x)＝a－eq\f(1,2x＋1)，若f(x)為奇函數(shù)，則a＝________．解析因為奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義且f(0)＝0(大前提)，而奇函數(shù)f(x)＝a－eq\f(1,2x＋1)的定義域為R(小前提)，所以f(0)＝a－eq\f(1,20＋1)＝0(結(jié)論)．解得a＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)9．關(guān)于函數(shù)f(x)＝lgeq\f(x2＋1,|x|)(x≠0)，有下列命題：①其圖象關(guān)于y軸對稱；②當(dāng)x＞0時，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x＜0時，f(x)為減函數(shù)；③f(x)的最小值是lg2；④當(dāng)－1＜x＜0或x＞1時，f(x)是增函數(shù)；⑤f(x)無最大值，也無最小值．其中全部正確結(jié)論的序號是________．解析明顯f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱．當(dāng)x＞0時，f(x)＝lgeq\f(x2＋1,x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))).∵g(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0，1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)，∴f(x)在(0，1)上是減函數(shù)，在(1，＋∞)上是增函數(shù)，f(x)min＝f(1)＝lg2.∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(x)在(－1，0)上是增函數(shù)．答案①③④三、解答題(本大題共3小題，共35分)10．(10分)下列推理是否正確，若有錯誤請指出錯誤之處．(1)求證：四邊形的內(nèi)角和等于360°.證明：設(shè)四邊形ABCD是矩形，則它的四個角都是直角，有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°.所以四邊形ABCD的內(nèi)角和等于360°.(2)eq\r(2)和eq\r(3)都是無理數(shù)，求證：eq\r(2)＋eq\r(3)也是無理數(shù)．證明：因為無理數(shù)與無理數(shù)的和是無理數(shù)，而eq\r(2)和eq\r(3)都是無理數(shù)，所以eq\r(2)＋eq\r(3)也是無理數(shù)．(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，求證：a2＋b2＝c2.證明：因為a＝c·sinA，b＝c·cosA，所以a2＋b2＝c2sin2A＋c2cos2A＝c2(sin2A＋cos2A)＝c2.解析上述三個推理過程都是錯誤的．(1)犯了偷換論題的錯誤，在證明過程中把論題中的四邊形換成矩形，所以結(jié)論只對矩形成立．(2)運用的論據(jù)(大前提)是假命題．因為兩個無理數(shù)的和不肯定是無理數(shù)，如eq\r(2)＋(－eq\r(2))＝0，因此原論題的真實性仍無法斷定．(3)本題的論題是我們熟識的勾股定理，上述證明中用了“sin2A＋cos2A＝1”這個公式，這個公式是由勾股定理推出來的，這就間接地用待證命題的真實性作為證明的論據(jù)，犯了循環(huán)論證的錯誤．11．(12分)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)證明數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列.(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.(3)證明不等式Sn＋1≤4Sn，對隨意n∈N*皆成立．解析(1)證明：因為an＋1＝4an－3n＋1，所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.又a1－1＝1，所以數(shù)列{an－n}是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列．(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是數(shù)列{an}的通項公式為an＝4n－1＋n.所以數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(4n－1,3)＋eq\f(n（n＋1）,2).(3)證明：對隨意的n∈N*，Sn＋1－4Sn＝eq\f(4n＋1－1,3)＋eq\f(（n＋1）（n＋2）,2)－4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4n－1,3)＋\f(n（n＋1）,2)))＝－eq\f(1,2)(3n2＋n－4)≤0.所以不等式Sn＋1≤4Sn，對隨意n∈N*皆成立．12．(13分)如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的棱長均為a，D，E分別為C1C與AB的中點，A1B交AB1于點G.(1)求證：A1B⊥AD；(2)求證：CE∥平面AB1D.證明(1)連結(jié)A1D、BD、DG.因為三棱柱ABC－A1B1C1是棱長均為a的正三棱柱，所以四邊形A1ABB1是正方形．所以A1B⊥AB1.因為點D是C1C的中點，所以△A1C1D≌△BCD.所以A1D＝BD.因為點G為A1B與AB1的交點，所以G為A1B的中點，所以A1B