山東專用2025版高考數(shù)學一輪復習練案67第九章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第六講幾何概型含解析

PAGE1-[練案67]第六講幾何概型A組基礎鞏固一、單選題1．(2024·遼寧省葫蘆島市模擬)某次測量發(fā)覺一組數(shù)據(jù)(xi，yi)具有較強的相關(guān)性，并計算得eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋1.5其中數(shù)據(jù)(1，y1)因書寫不清晰，只記得y1是[0,3]上的一個值，則該數(shù)據(jù)對應的殘差(殘差＝真實值－預料值)的肯定值不大于0.5的概率為(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(5,6)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)[解析]依題意可知，估計值為1＋1.5＝2.5，殘差為y1－2.5，依題意得|y1－2.5|≤0.5，解得2≤y1≤3，∴所求概率為eq\f(3－2,3)＝eq\f(1,3)，故選C.2．(2024·河南濮陽模擬)在[－6,9]內(nèi)任取一個實數(shù)m，設f(x)＝－x2＋mx＋m，則函數(shù)f(x)的圖象與x軸有公共點的概率等于(D)A．eq\f(2,15) B．eq\f(7,15)C．eq\f(3,5) D．eq\f(11,15)[解析]∵f(x)＝－x2＋mx＋m的圖象與x軸有公共點，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≤－4或m≥0，∴在[－6,9]內(nèi)取一個實數(shù)m，函數(shù)f(x)的圖象與x軸有公共點的概率P＝eq\f([－4－－6]＋9－0,9－－6)＝eq\f(11,15).故選D.3．(2024·湖北武漢調(diào)研)在長為16cm的線段MN上任取一點P，以MP，NP的長為鄰邊的長作一矩形，則該矩形的面積大于60cm2的概率為(A)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3) D．eq\f(3,4)[解析]設MP＝xcm,0<x<16，則NP＝(16－x)cm，由x(16－x)>60，得6<x<10，所以所求概率為P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).故選A.4．(2024·廣西河池期末)在區(qū)間[4,12]上隨機地取一個實數(shù)a，則方程2x2－ax＋8＝0有實數(shù)根的概率為(D)A．eq\f(1,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[解析]因為方程2x2－ax＋8＝0有實數(shù)根，所以Δ＝(－a)2－4×2×8≥0，解得a≥8或a≤－8.所以方程2x2－ax＋8＝0有實數(shù)根的概率p＝eq\f(12－8,12－4)＝eq\f(1,2).故選D.5．(2024·鐵嶺模擬)已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一點D，則使△ABD為鈍角三角形的概率為(C)A．eq\f(1,6) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[解析]如圖，當BE＝1時，∠AEB為直角，則點D在線段BE(不包含B、E點)上時，△ABD為鈍角三角形；當BF＝4時，∠BAF為直角，則點D在線段CF(不包含F(xiàn)點)上時，△ABD為鈍角三角形．所以△ABD為鈍角三角形的概率為eq\f(1＋2,6)＝eq\f(1,2).6．(2024·山東威海模擬)如圖，等腰直角三角形的斜邊長為2eq\r(2)，分別以三個頂點為圓心，1為半徑在三角形內(nèi)作圓弧，三段圓弧與斜邊圍成區(qū)域M(圖中陰影部分)，若在此三角形內(nèi)隨機取一點，則此點取自區(qū)域M的概率為(D)A．eq\f(1,4) B．eq\f(π,8)C．eq\f(π,4) D．1－eq\f(π,4)[解析]直角三角形的面積S＝eq\f(1,2)×2×2＝2，因為三角形的內(nèi)角和為π，所以三個扇形的面積和為eq\f(1,2)×π×12＝eq\f(π,2)，可得陰影部分的面積為2－eq\f(π,2)，點落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P＝eq\f(2－\f(π,2),2)＝1－eq\f(π,4).7．(2024·湖北省四校聯(lián)考)如圖所示的圖案是由兩個等邊三角形構(gòu)成的六角星，其中這兩個等邊三角形的三邊分別對應平行，且各邊都被交點三等分，若往該圖案內(nèi)投擲一點，則該點落在圖中陰影部分內(nèi)的概率為(C)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[解析]設六角星的中心點為O，分別將點O與兩個等邊三角形的六個交點連接起來，則將陰影部分分成了六個全等的小等邊三角形，并且與其余六個小三角形也是全等的，所以所求的概率P＝eq\f(1,2)，故選C.8．(2024·武漢武昌區(qū)聯(lián)考)若從區(qū)間(0,2)內(nèi)隨機取兩個數(shù)，則這兩個數(shù)的比不小于4的概率為(C)A．eq\f(1,8) B．eq\f(7,8)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)[解析]設這兩個數(shù)分別為x，y，則由條件知0<x<2，0<y<2，y≥4x或x≥4y，則所求概率P＝eq\f(2×\f(1,2)×2×\f(1,2),2×2)＝eq\f(1,4).9.(2024·河南三門峽模擬)底面是正多邊形，頂點在底面的射影是底面中心的棱錐叫正棱錐．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S－ABCD，該四棱錐的體積為eq\f(4\r(2),3)，現(xiàn)在半球內(nèi)任取一點，則該點在正四棱錐內(nèi)的概率為(A)A．eq\f(1,π) B．eq\f(\r(2),π)C．eq\f(\r(3),π) D．eq\f(2,π)[解析]設球半徑為R，正四棱錐底面邊長為a，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)a＝2R,\f(1,3)a2R＝\f(4\r(3),3)))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,R＝\r(2)))，∴所求概率P＝eq\f(\f(4\r(2),3),\f(2π,3)\r(2)3)＝eq\f(1,π)，故選A.10．(2024·安徽合肥質(zhì)檢)若在x2＋y2≤1所圍區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點落在|x|＋|y|≤1所圍區(qū)域內(nèi)的概率是(B)A．eq\f(1,π) B．eq\f(2,π)C．eq\f(1,2π) D．1－eq\f(1,π)[解析]不等式x2＋y2≤1表示的區(qū)域是半徑為1的圓，面積為π，且|x|＋|y|≤1滿意不等式x2＋y2≤1表示的區(qū)域是邊長為eq\r(2)的正方形，面積為2，∴在x2＋y2≤1所圍區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點落在|x|＋|y|≤1所圍區(qū)域內(nèi)的概率為eq\f(2,π)，故選B.二、多選題11．利用簡潔隨機抽樣的方法抽查某工廠的100件產(chǎn)品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余為不合格品，現(xiàn)在這個工廠隨機抽查一件產(chǎn)品，設事務A為“是一等品”，B為“是合格品”，C為“是不合格品”，則下列結(jié)果正確的是(ABC)A．P(B)＝eq\f(7,10) B．P(A∪B)＝eq\f(9,10)C．P(A∩B)＝0 D．P(A∪B)＝P(C)[解析]由題意知A，B，C為互斥事務，故C正確；又因為從100件中抽取產(chǎn)品符合古典概型的條件，所以P(B)＝eq\f(7,10)，P(A)＝eq\f(2,10)，P(C)＝eq\f(1,10)，則P(A∪B)＝eq\f(9,10)，故A、B，C正確；故D錯誤．故選ABC.12．(2024·課標Ⅰ卷改編)下圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所探討的幾何圖形．此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點，此點取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則(ACD)A．p1＝p2 B．p1＝p3C．p1的最大值為eq\f(2,π＋2) D．p3的最小值為eq\f(π－2,π＋2)[解析]設AB＝c，AC＝b，則區(qū)域Ⅰ的面積S1＝eq\f(1,2)bc；區(qū)域Ⅲ的面積S3＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)－eq\f(1,2)bc，區(qū)域Ⅱ的面積S2＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)－S3＝eq\f(1,2)bc＝S1，由幾何概型可知p1＝p2，故A正確；又整個區(qū)域的面積S＝eq\f(1,8)π(b2＋c2)＋eq\f(1,2)bc，∴p1＝eq\f(\f(1,2)bc,\f(1,8)b2＋c2π＋\f(1,2)bc)＝eq\f(2,\f(b2＋c2,2bc)π＋2)≤eq\f(2,π＋2).(當且僅當b＝c時取等號)，即p1的最大值為eq\f(2,π＋2)，B正確；∴p3＝1－2p1≥eq\f(π－2,π＋2)(當且僅當b＝c時取等號)，即p3的最小值為eq\f(π－2,π＋2)，明顯B錯．故選ACD.三、填空題13．(2024·福建漳州調(diào)研)在半徑為2的圓C內(nèi)任取一點P，則以點P為中點的弦的弦長小于2eq\r(3)的概率為eq\f(3,4).[解析]由題可知，當且僅當弦心距d>eq\r(22－\f(2\r(3),2)2)＝1，即|CP|>1時，以點P為中點的弦的弦長小于2eq\r(3)，由幾何概型的概率公式可得所求概率為eq\f(π×22－π×12,π×22)＝eq\f(3,4).14．有一個底面半徑為1，高為3的圓柱，點O1，O2分別是這個圓柱上底面和下底面的圓心，在該圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到O1，O2的距離都大于1的概率是eq\f(5,9).[解析]由題意，所求概率為1－eq\f(\f(4π,3)×13,π×12×3)＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).15．(2024·廣東六校聯(lián)考)我國傳統(tǒng)的房屋建筑中，常會出現(xiàn)一些形態(tài)不同的窗欞，窗欞上雕刻有各種花紋，構(gòu)成種類繁多的圖案，如圖所示的窗欞圖案，是將半徑為R的圓六等分，分別以各等分點為圓心，以R為半徑畫圓弧，在圓的內(nèi)部構(gòu)成的平面圖形，現(xiàn)在向該圓形區(qū)域內(nèi)的隨機地投擲一枚飛鏢，飛鏢落在黑色部分(忽視圖中的白線)的概率是2－eq\f(3\r(3),π).[解析]∵陰影部分面積為12×(eq\f(1,6)πR2－eq\f(R,2)×eq\f(\r(3)R,2))＝(2π－3eq\r(3))R2，∴飛鏢落在黑色部分的概率為eq\f(2π－3\r(3)R2,πR2)＝2－eq\f(3\r(3),π)，故答案為2－eq\f(3\r(3),π).B組實力提升1.(2024·四川瀘州二診)我國三國時期的數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，該圖是由四個全等的直角三角形組成，它們共同圍成了一個如圖所示的大正方形和一個小正方形，設直角三角形中一個銳角的正切值為3.在大正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自小正方形內(nèi)的概率是(D)A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,3)C．eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)[解析]設直角三角形較短的直角邊的邊長為a，則小正方形的邊長為2a，大正方形的邊長為eq\r(10)a，∴所求概率P＝eq\f(4a2,10a2)＝eq\f(2,5).故選D.2．(2024·福建省廈門市質(zhì)檢)斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”．如圖，矩形ABCD是以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼接而成的，在每個正方形中作一個圓心角為90°的圓弧，這些圓弧所連成的弧線就是斐波那契螺旋線的一部分，在矩形ABCD內(nèi)任取一點，該點取自陰影部分的概率為(B)A．eq\f(π,8) B．eq\f(π,4)C．eq\f(1,4) D．eq\f(3,4)[解析]由圖可知各正方形的邊長為：1,1,2,3,5,8，矩形ABCD的面積為：S1＝8×13＝104，陰影部分面積為：S2＝eq\f(1,4)(π＋π＋4π＋9π＋25π＋64π)＝eq\f(104π,4)，所求概率為：P＝eq\f(\f(104π,4),104)＝eq\f(π,4).3.(2024·福建莆田質(zhì)檢/安徽蕪湖模擬)中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝飾生活或協(xié)作其他民俗活動的民間藝術(shù)，蘊涵了極致的數(shù)學美和豐富的傳統(tǒng)文化信息．現(xiàn)有一幅剪紙的設計圖，其中的4個小圓均過正方形的中心，且內(nèi)切于正方形的兩鄰邊．若在正方形內(nèi)隨機取一點，則該點取自黑色部分的概率為(A)A．eq\f(3－2\r(2)π,2) B．eq\f(π,6)C.eq\f(3－2\r(2)π,4) D．eq\f(π,8)[解析]分析題意可知，陰影部分剛好可以拼湊成一個圓形，設圓的半徑為R，該正方形的邊長為l，eq\r(2)l＝2(eq\r(2)R＋R)，∴l(xiāng)＝(2＋eq\r(2))R，∴所求概率P＝eq\f(πR2,2＋\r(2)2R2)＝eq\f(3－2\r(2)π,2).故選A.4．(2024·石家莊模擬)已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點，eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是(D)A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,2)[解析]以PB，PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，則eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up