2024學(xué)年上海市楊浦中學(xué)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷附答案解析

學(xué)年上海市楊浦中學(xué)高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷2024.11一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.不等式的解集是________．（結(jié)果用區(qū)間表示）2.已知全集，集合，；則________．（結(jié)果用區(qū)間表示）3.已知函數(shù)，則______，4.函數(shù)的最小正周期為_______.5.已知向量，，若，則__________.6.在二項式展開式中，前三項的系數(shù)依次成________數(shù)列．（填寫“等差”或“等比”）7.已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，的部分圖像如圖所示，設(shè)是由曲線與直線，及軸圍成的平面圖形的面積，則在區(qū)間上，的最大值在________處取到.8.班級4名學(xué)生報名參加兩項區(qū)學(xué)科競賽，每人至少報一項，每項比賽參加的人數(shù)不限，則不同的報名結(jié)果有________種．（結(jié)果用具體數(shù)字表示）9.過拋物線的焦點，傾斜角為的直線交拋物線于（），則的值__________．10.為了提升全民身體素質(zhì)，學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉，某?；@球運動員進行投籃練習(xí).如果他前一球投進則后一球投進的概率為；如果他前一球投不進則后一球投進的概率為.若他第2球投進的概率為，則他第1球投進的概率為__________.11.某沿海四個城市位置如圖所示，其中，，mile，

mile，

mile，位于的北偏東方向.現(xiàn)在有一艘輪船從出發(fā)向直線航行，一段時間到達后，輪船收到指令改向城市直線航行，收到指令時城市對于輪船的方位角是南偏西度，則_________.12.已知空間單位向量，，，，，則最大值是________．二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）．13.函數(shù)是（）A.偶函數(shù)，且沒有極值點 B.偶函數(shù)，且有一個極值點C.奇函數(shù)，且沒有極值點 D.奇函數(shù)，且有一個極值點14.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件15.設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項和為，若，，則符合條件的數(shù)列的個數(shù)是（）A. B. C. D.16.已知，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）①存在實數(shù)解；②共有個不同的復(fù)數(shù)解；③復(fù)數(shù)解的模長都等于；④存在模長大于的復(fù)數(shù)解．A. B. C. D.三、解答題（滿分78分，共有5題）．17.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求的值并直接寫出的單調(diào)性（無需說明理由）；（2）若存在實數(shù)，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．18.如圖所示，已知三棱臺中，，，，，．（1）求二面角余弦值；（2）設(shè)E、F分別是棱、的中點，若平面，求棱臺的體積．19.某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）求樣本成績的；（3）已知落在50,60的平均成績是54，方差是7，落在60,70的平均成績?yōu)?6，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差．20.如圖，在平面直角坐標系中，該點是橢圓上一點，從原點向圓作兩條切線分別與橢圓交于點，，直線、斜率分別記為，.（1）若圓與軸相切于橢圓的右焦點，求圓的方程；（2）若，求證為定值并求出該定值；（3）在（2）的情況下，求的最大值.21.已知，函數(shù).（1）當時，證明：；（2）若恒成立，求a的取值范圍；（3）設(shè)集合，對于正整數(shù)m，集合，記中元素的個數(shù)為，求數(shù)列的通項公式.【答案】1.【解析】【分析】利用分解因式的方法求解不等式.【詳解】不等式，解得，所以不等式的解集為.故答案為：2.【解析】【分析】根據(jù)集合的運算可求得結(jié)果.詳解】由題可得，則，故答案為：.3.【解析】【分析】推導(dǎo)出，從而，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：∵函數(shù)，

∴，

．

故答案為．【點睛】本題主要考查了函數(shù)值的求法，考查函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查方程思想，是基礎(chǔ)題．4.【解析】【分析】將三角函數(shù)進行降次，然后通過輔助角公式化為一個名稱，最后利用周期公式得到結(jié)果.【詳解】，.【點睛】本題主要考查二倍角公式，及輔助角公式，周期的運算，難度不大.5.或【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線坐標表示公式進行求解即可.【詳解】因為，所以有，或，故答案為：或6.等差【解析】【分析】根據(jù)二項展開式寫出前三項的系數(shù)，再由等差數(shù)列的定義即可判斷.【詳解】由二項展開式知，前三項的系數(shù)分別為，所以前三項的系數(shù)依次成等差數(shù)列.故答案為：等差.7.【解析】【分析】根據(jù)圖象，利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得結(jié)果.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義得，，所以的最大值就是的最大值，從圖象上看，在處取得最大值，故答案為：.8.【解析】【分析】由分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理即可求解.【詳解】每名學(xué)生可報一項或兩項，所以有,所以4名學(xué)生共有種.故答案為：9.【解析】【分析】求出拋物線的焦點坐標，利用點斜式設(shè)出直線方程，直線與拋物線聯(lián)立求出交點坐標，利用焦半徑公式求出，的長，從而可得結(jié)果【詳解】由得，直線，直線與拋物線聯(lián)立可得，，，由拋物線定義轉(zhuǎn)化為到準線的距離可得，，，，故答案為.【點睛】與焦點、準線有關(guān)的問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類問題一定要注意點到點的距離與點到直線的距離的轉(zhuǎn)化：（1）將拋線上的點到準線距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，使問題得到解決.10.##【解析】【分析】記事件為“第1球投進”，事件為“第2球投進”，設(shè)，由全概率公式求解即可得出答案.【詳解】記事件為“第1球投進”，事件為“第2球投進”，，由全概率公式可得.解得：.故答案為：.11.【解析】【分析】求出，計算，利用正弦定理再計算，故而．【詳解】解：連結(jié)，在ΔABC中，由余弦定理得：，，由正弦定理得，即，解得，，，在中，由正弦定理得，即，解得，，．故答案為：．12.【解析】【分析】根據(jù)題意在球中討論，結(jié)合空間向量數(shù)量積的應(yīng)用可求出最值.【詳解】因為空間向量，，，是單位向量，所以把向量，，，平移到以為起點，終點在半徑為的球面上，如圖：由，得，所以，同理，令，則，，根據(jù)，兩邊同時平方解得，，所以繞向量所在直線旋轉(zhuǎn)一周得圓錐的側(cè)面，繞向量所在直線旋轉(zhuǎn)一周得圓錐的側(cè)面，因為，所以，則，觀察圖形得當旋轉(zhuǎn)到平面內(nèi)時，向量與的夾角最小，令此最小角為，則，則，，所以的最大值是，故答案為：.【點睛】本題考查了空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵點是將這四個單位向量轉(zhuǎn)化到球中去，結(jié)合圖形更易判斷，求出向量間的夾角，最后結(jié)合兩角差的余弦值可求得最終結(jié)果.13.B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合極值點的定義即可得出結(jié)論.【詳解】畫出的圖象，函數(shù)是偶函數(shù)，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，所以函數(shù)有一個極大值點.故選：B.14.B【解析】【分析】通過舉例的方法，以及基本不等式，結(jié)合充分，必要條件的定義，即可判斷選項.【詳解】若，滿足，但，若，，則，即，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B15.B【解析】【分析】由等比數(shù)列的下標性質(zhì)和前項和公式求解即可；【詳解】當時，由題意得解得；當時，，不滿足，不符合題意；所以符合條件的數(shù)列的個數(shù)是，故選：B.16.C【解析】【分析】設(shè)，利用換元法可求得，從而可判斷的個復(fù)數(shù)解的模都是.詳解】設(shè)，則，可得，則，于是，這兩個的取值都在區(qū)間內(nèi)．故有解，因此有個不同的復(fù)數(shù)解．當時，由于，因此的復(fù)數(shù)解的模長都等于．因此，②③正確，故選：C.17.（1）單調(diào)遞減（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的含義可求得的值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義法可求得單調(diào)性；（2）根據(jù)單調(diào)性以及奇函數(shù)性質(zhì)可得，從而得到不等式，求解即可.【小問1詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，定義域為R，則，所以，即，此時，滿足，即為奇函數(shù)，，定義域為R，對，且，則，因為，所以，，，所以，即函數(shù)在R上單調(diào)遞減；【小問2詳解】由，則，又因為為奇函數(shù)，所以，又因為函數(shù)在R上單調(diào)遞減，所以，因為存在實數(shù)，使得，所以，解得，所以的取值范圍為.18.（1）（2）【解析】【分析】（1）由二面角定義可得二面角的平面角為，結(jié)合垂直關(guān)系及余弦定理求其余弦值即可；（2）將棱臺補全為棱錐，利用垂直關(guān)系證明面，進而得到相關(guān)線段垂直并求出線段的長度，根據(jù)求體積.【小問1詳解】因為，，所以二面角的平面角為．因為，，所以，．因為，所以．因為，所以，故二面角余弦值為．【小問2詳解】因為是三棱臺，所以直線、、共點，設(shè)其交點為O，因為E、F分別是棱、的中點，所以直線經(jīng)過點O．因為，，且面，所以面，又面，所以．因為，，所以．因為平面，平面，所以，所以，，故F為的中點．三棱臺的體積．19.（1）；（2）84；（3）總平均數(shù)是62，總方差是37．【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1列式即可得解.（2）根據(jù)頻率分布直方圖先明確樣本成績的所在的范圍，再結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可求解.（3）先分別求出成績落在和內(nèi)的人數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)定義和分層隨機抽樣的方差公式即可求解.【小問1詳解】由頻率之和為1得，解得．【小問2詳解】因為成績落在內(nèi)的頻率為落在內(nèi)的頻率為所以樣本成績落在范圍內(nèi)，設(shè)為m，則，解得，故為84.【小問3詳解】由圖可知，成績在內(nèi)的市民人數(shù)為，成績在內(nèi)的市民人數(shù)為，故．，所以兩組市民成績的總平均數(shù)是62，總方差是37．20.（1）（2）證明見解析，（3）2.5【解析】【分析】（1）求出橢圓的右焦點，將橫坐標代入橢圓方程可得相應(yīng)的縱坐標，繼而可得圓的圓心，圓的方程；（2）因為直線，與圓相切，可得是方程的兩個不相等的實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系推出，再由點在橢圓上，得出.（3）分直線不落在坐標軸上和直線落在坐標軸上兩種情況，推出，即可得出的最大值.【小問1詳解】橢圓的右焦點是，代入，可得，圓的方程：.【小問2詳解】因為直線，與圓相切，所以直線，與圓聯(lián)立，可得，由，即，同理，由，即，可得是方程的兩個不相等的實數(shù)根，，因為點在橢圓上，所以，所以.【小問3詳解】當直線不落在坐標軸上時，設(shè)，，因為，所以，即，因為在橢圓上，所以，整理得，所以，所以，當直線落在坐標軸上時，顯然有，綜上：所以，所以的最大值為2.5.【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標代數(shù)式化為關(guān)于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關(guān)系式，該關(guān)系中含有，或，最后利用韋達定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點、定值、最值問題.21.（1）證明見詳解（2）（3）【解析】【分析】（1）令，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求最小值即可證明；（2）對的值分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求最小值，判斷能否滿足；（3）利用（1）中結(jié)論，，通過放縮并用裂項相消法求，有，可得.【小問1詳解】令，若，則，又因為，．設(shè)，，則，可知?x在上單調(diào)遞增，可得，即，所以.【小問2詳解】因為，由（1）可知：，，原題意等價于對任意恒成立，則，當時，注意到，則，可得，由（1）得，則，可知Fx在上單調(diào)遞增，則，滿足題意；當時，令，，則，因為，可知存在，使得，當時，，，可知φx在上單調(diào)遞減，則，即在上恒成立，可知Fx在上單調(diào)遞減，則，不合題意；綜上所述：a取值范圍為．所以a的取值范圍為.【小問3詳解】由（1）可知時，，則，時，；時，，時，，，則，即，，則，得，又，時，，時，，所以時，都有，，則時，集合A在每個區(qū)間都有且只有一個元素，對于正整數(shù)m