2015-2024年十年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題09 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)小題綜合（解析版）

2013-2024年十年高考真題匯編PAGEPAGE1專題09三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)小題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1任意角和弧度制及求扇形的弧長、面積計算（10年3考）2022·全國甲卷、2020·浙江卷、2015·山東卷了解任意角和弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化，借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義，并能利用三角函數(shù)的定義解決相關(guān)問題，理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（平方關(guān)系+商數(shù)關(guān)系），夠利用公式化簡求值，能借助單位圓的對稱性利用三角函數(shù)定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，能夠運用誘導(dǎo)公式解決相關(guān)問題，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會考查三角函數(shù)化簡求值或特殊角求三角函數(shù)值，需加強復(fù)習(xí)備考能用五點作圖法作出正弦、余弦和正切函數(shù)圖象，并掌握圖象及性質(zhì)，能用五點作圖法作出正弦型、余弦型和正切型函數(shù)圖象，并掌握圖象及性質(zhì)會求參數(shù)及函數(shù)解析式該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會綜合考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，需加強復(fù)習(xí)備考理解并掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，會先平移后伸縮或先伸縮后平移來綜合解決三角函數(shù)的伸縮平移變換，該內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，一般會結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合考查三角函數(shù)的伸縮平移變換，需加強復(fù)習(xí)備考考點2任意角的三角函數(shù)（10年3考）2020·山東卷、2020·全國卷、2018·北京卷考點3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（含弦切互化）（10年8考）2024·全國甲卷、2023·全國乙卷、2021·全國甲卷2021·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2019·江蘇卷2018·全國卷、2018·全國卷、2016·全國卷2016·全國卷、2015·重慶卷、2015·福建卷2015·四川卷考點4誘導(dǎo)公式及其化簡求值（10年3考）2023·全國甲卷、2022·浙江卷2017·全國卷、2017·北京卷考點5三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（基礎(chǔ)）（10年6考）2024·全國甲卷、2024·天津卷、2024·上海卷2024·北京卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷2022·天津卷、2021·北京卷、2021·全國甲卷2021·全國乙卷、2019·北京卷、2018·全國卷2017·山東卷、2017·全國卷考點6三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（拔高）（10年10考）2024·天津卷、2024·全國新Ⅰ卷、2024·全國新Ⅱ卷2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷2023·天津卷、2023·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅱ卷2022·全國甲卷、2022·北京卷、2022·全國新Ⅰ卷2021·全國新Ⅰ卷、2021·全國甲卷、2020·全國卷2020·山東卷、2020·全國卷、2019·全國卷2019·全國卷、2019·全國卷、2019·全國卷2019·全國卷、2018·江蘇卷、2018·全國卷2018·全國卷、2018·北京卷、2017·全國卷2017·全國卷、2017·全國卷、2017·全國卷2016·全國卷、2016·全國卷、2016·山東卷2016·浙江卷、2016·上海、2015·四川卷、2015·安徽卷、2015·北京卷、2015·浙江卷2015·湖南卷考點7三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（壓軸）（10年3考）2017·天津卷、2017·上海卷、2016·天津卷2016·全國卷、2015·上海卷考點8三角函數(shù)的伸縮平移變換（10年9考）2023·全國甲卷、2022·天津卷、2022·浙江卷2022·全國甲卷、2021·全國乙卷、2020·天津卷2020·江蘇卷、2019·天津卷、2018·天津卷2018·天津卷、2017·全國卷、2016·四川卷2016·全國卷、2016·北京卷、2016·全國卷2016·四川卷、2016·全國卷、2016·全國卷2015·山東卷、2015·山東卷、2015·湖南卷考點01任意角和弧度制及求扇形的弧長、面積計算1．（2022·全國甲卷·高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當(dāng)時，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因為是的中點，所以，又，所以三點共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.2．（2020·浙江·高考真題）已知圓錐的側(cè)面積（單位：）為2π，且它的側(cè)面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是．【答案】【分析】利用題目所給圓錐側(cè)面展開圖的條件列方程組，由此求得底面半徑.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，則，解得.故答案為：【點睛】本小題主要考查圓錐側(cè)面展開圖有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.3．（2015·山東·高考真題）終邊在軸的正半軸上的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用終邊落在坐標(biāo)軸上角的表示方法即可求解【詳解】終邊在軸正半軸上的角的集合是故選：A考點02任意角的三角函數(shù)1．（2020·山東·高考真題）已知直線的圖像如圖所示，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出、，即可得出結(jié)果.【詳解】結(jié)合圖像易知，，，則角是第四象限角，故選：D.2．（2020·全國·高考真題）若α為第四象限角，則（

）A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【分析】由題意結(jié)合二倍角公式確定所給的選項是否正確即可.【詳解】方法一：由α為第四象限角，可得，所以此時的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以故選：D.方法二：當(dāng)時，，選項B錯誤；當(dāng)時，，選項A錯誤；由在第四象限可得：，則，選項C錯誤，選項D正確；故選：D.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.3．（2018·北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點P在其中一段上，角以為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是A． B．C． D．【答案】C【詳解】分析：逐個分析A、B、C、D四個選項，利用三角函數(shù)的三角函數(shù)線可得正確結(jié)論.詳解：由下圖可得：有向線段為余弦線，有向線段為正弦線，有向線段為正切線.A選項：當(dāng)點在上時，，，故A選項錯誤；B選項：當(dāng)點在上時，，，，故B選項錯誤；C選項：當(dāng)點在上時，，，，故C選項正確；D選項：點在上且在第三象限，，故D選項錯誤.綜上，故選C.點睛：此題考查三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合思想，作出圖形，找到所對應(yīng)的三角函數(shù)線進行比較.考點03同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（含弦切互化）1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因為，所以，，所以，故選：B.2．（2023·全國乙卷·高考真題）若，則．【答案】【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系求，進而可得結(jié)果.【詳解】因為，則，又因為，則，且，解得或（舍去），所以.故答案為：.3．（2021·全國甲卷·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】，，，，解得，，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出.4．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．【詳解】將式子進行齊次化處理得：．故選：C．【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．5．（2020·全國·高考真題）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.故選：A.【點睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6．（2019·江蘇·高考真題）已知，則的值是.【答案】.【分析】由題意首先求得的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問題，最后切化弦求得三角函數(shù)式的值即可.【詳解】由，得，解得，或.，當(dāng)時，上式當(dāng)時，上式=綜上，【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取轉(zhuǎn)化法，利用分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.7．（2018·全國·高考真題）已知，，則．【答案】【分析】方法一：將兩式平方相加即可解出．【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】兩式兩邊平方相加得，．［方法二］：利用方程思想直接解出，兩式兩邊平方相加得，則．又或，所以．［方法三］：誘導(dǎo)公式＋二倍角公式由，可得，則或．若，代入得，即．若，代入得，與題設(shè)矛盾．綜上所述，．［方法四］：平方關(guān)系＋誘導(dǎo)公式由，得．又，，即，則．從而．［方法五］：和差化積公式的應(yīng)用由已知得，則或．若，則，即．當(dāng)k為偶數(shù)時，，由，得，又，所以．當(dāng)k為奇數(shù)時，，得，這與已知矛盾．若，則．則，得，這與已知矛盾．綜上所述，．【整體點評】方法一：結(jié)合兩角和的正弦公式，將兩式兩邊平方相加解出，是該題的最優(yōu)解；方法二：通過平方關(guān)系利用方程思想直接求出四個三角函數(shù)值，進而解出；方法三：利用誘導(dǎo)公式尋求角度之間的關(guān)系，從而解出；方法四：基本原理同方法三，只是尋找角度關(guān)系的方式不同；方法五：將兩式相乘，利用和差化積公式找出角度關(guān)系，再一一驗證即可解出，該法稍顯麻煩．8．（2018·全國·高考真題）函數(shù)的最小正周期為A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析:將函數(shù)進行化簡即可詳解：由已知得的最小正周期故選C.點睛：本題主要考查三角函數(shù)的化簡和最小正周期公式，屬于中檔題9．（2016·全國·高考真題）若，則A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】試題分析：由，得或，所以，故選A．【考點】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，倍角公式．【方法點撥】三角函數(shù)求值：①“給角求值”將非特殊角向特殊角轉(zhuǎn)化，通過相消或相約消去非特殊角，進而求出三角函數(shù)值；②“給值求值”關(guān)鍵是目標(biāo)明確，建立已知和所求之間的聯(lián)系．10．（2016·全國·高考真題）若，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】.分子分母同時除以，即得：.故選D.11．（2015·重慶·高考真題）若，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】,所以原式，故選C.點睛：三角恒等變換的主要題目類型是求值，在求值時只要根據(jù)求解目標(biāo)的需要，結(jié)合已知條件選用合適的公式計算即可．本例應(yīng)用兩角和與差的正弦（余弦）公式化解所求式子，利用同角關(guān)系式使得已知條件可代入后再化簡，求解過程中注意公式的順用和逆用.本題主要考查兩角和與差的公式.12．（2015·福建·高考真題）若，且為第四象限角，則的值等于A． B． C． D．【答案】D【詳解】∵sina=,且a為第四象限角,∴，則，故選D.13．（2015·四川·高考真題）已知sinα＋2cosα＝0，則2sinαcosα－cos2α的值是.【答案】－1【詳解】由已知可得，sinα＝－2cosα，即tanα＝－22sinαcosα－cos2α＝考點：本意考查同角三角函數(shù)關(guān)系式、三角函數(shù)恒等變形等基礎(chǔ)知識，考查綜合處理問題的能力.考點04誘導(dǎo)公式及其化簡求值1．（2023·全國甲卷·高考真題）若為偶函數(shù)，則．【答案】2【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗即可得解.【詳解】因為為偶函數(shù)，定義域為，所以，即，則，故，此時，所以，又定義域為，故為偶函數(shù)，所以.故答案為：2.2．（2022·浙江·高考真題）若，則，．【答案】【分析】先通過誘導(dǎo)公式變形，得到的同角等式關(guān)系，再利用輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)方程，可求出，接下來再求．【詳解】[方法一]：利用輔助角公式處理∵，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則.故答案為：；.[方法二]：直接用同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程∵，∴，即，又，將代入得，解得，則.故答案為：；.3．（2017·全國·高考真題）函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos(x?)的最大值為A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，則,函數(shù)的最大值為.所以選A.【名師點睛】三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為的形式，再借助三角函數(shù)的圖像研究性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．4．（2017·北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中,角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對稱.若,則.【答案】【詳解】試題分析：因為角與角的終邊關(guān)于軸對稱，所以，所以.【名師點睛】本題考查了角的對稱關(guān)系，以及誘導(dǎo)公式，常用的一些對稱關(guān)系包含：若與的終邊關(guān)于軸對稱，則，若與的終邊關(guān)于軸對稱，則，若與的終邊關(guān)于原點對稱，則.5．（2016·四川·高考真題）=.【答案】【詳解】試題分析：由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式得.【考點】三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式【名師點睛】本題也可以看作來自于課本的題，直接利用課本公式解題，這告訴我們一定要立足于課本．有許多三角函數(shù)的求值問題都是通過三角函數(shù)公式把一般的三角函數(shù)求值化為特殊角的三角函數(shù)求值而得解．考點05三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（基礎(chǔ)）1．（2024·全國甲卷·高考真題）函數(shù)在上的最大值是．【答案】2【分析】結(jié)合輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)，再求給定區(qū)間最值即可.【詳解】，當(dāng)時，，當(dāng)時，即時，.故答案為：22．（2024·天津·高考真題）下列函數(shù)是偶函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)的判定方法一一判斷即可.【詳解】對A，設(shè)，函數(shù)定義域為，但，，則，故A錯誤；對B，設(shè)，函數(shù)定義域為，且，則為偶函數(shù)，故B正確；對C，設(shè)，函數(shù)定義域為，不關(guān)于原點對稱，則不是偶函數(shù)，故C錯誤；對D，設(shè)，函數(shù)定義域為，因為，，則，則不是偶函數(shù)，故D錯誤.故選：B.3．（2024·上?！じ呖颊骖}）下列函數(shù)的最小正周期是的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)輔助角公式、二倍角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系并結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對A，，周期，故A正確；對B，，周期，故B錯誤；對于選項C，，是常值函數(shù)，不存在最小正周期，故C錯誤；對于選項D，，周期，故D錯誤，故選：A．4．（2024·北京·高考真題）設(shè)函數(shù).已知，，且的最小值為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)最值分析周期性，結(jié)合三角函數(shù)最小正周期公式運算求解.【詳解】由題意可知：為的最小值點，為的最大值點，則，即，且，所以.故選：B.5．（2022·全國新Ⅱ卷·高考真題）（多選）已知函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱，則（

）A．在區(qū)間單調(diào)遞減B．在區(qū)間有兩個極值點C．直線是曲線的對稱軸D．直線是曲線的切線【答案】AD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷各選項，即可解出．【詳解】由題意得：，所以，，即，又，所以時，，故．對A，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知在上是單調(diào)遞減；對B，當(dāng)時，，由正弦函數(shù)圖象知只有1個極值點，由，解得，即為函數(shù)的唯一極值點；對C，當(dāng)時，，，直線不是對稱軸；對D，由得：，解得或,從而得：或,所以函數(shù)在點處的切線斜率為，切線方程為：即．故選：AD．6．（2022·全國乙卷·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T，若，為的零點，則的最小值為．【答案】【分析】首先表示出，根據(jù)求出，再根據(jù)為函數(shù)的零點，即可求出的取值，從而得解；【詳解】解：因為，（，）所以最小正周期，因為，又，所以，即，又為的零點，所以，解得，因為，所以當(dāng)時；故答案為：7．（2022·天津·高考真題）已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：①的最小正周期為；②在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及變換法則即可判斷各說法的真假．【詳解】因為，所以的最小正周期為，①不正確；令，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，②正確；因為，，所以，③不正確；由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確．故選：A．8．（2021·北京·高考真題）函數(shù)是A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為 D．偶函數(shù)，且最大值為【答案】D【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)時，取最大值.故選：D.9．（2021·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數(shù)x為．【答案】2【分析】先根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數(shù)或驗證數(shù)值可得.【詳解】由圖可知，即，所以；由五點法可得，即；所以.因為，；所以由可得或；因為，所以，方法一：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，即，解得，令，可得，可得的最小正整數(shù)為2.方法二：結(jié)合圖形可知，最小正整數(shù)應(yīng)該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數(shù)為2.故答案為：2.【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)圖象求解函數(shù)的解析式是本題求解的關(guān)鍵，根據(jù)周期求解，根據(jù)特殊點求解.10．（2021·全國乙卷·高考真題）函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（

）A．和 B．和2 C．和 D．和2【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡，結(jié)合三角函數(shù)周期性和值域求得函數(shù)的最小正周期和最大值.【詳解】由題，，所以的最小正周期為，最大值為.故選：C．11．（2019·北京·高考真題）函數(shù)f(x)=sin22x的最小正周期是．【答案】.【分析】將所給的函數(shù)利用降冪公式進行恒等變形，然后求解其最小正周期即可.【詳解】函數(shù),周期為【點睛】本題主要考查二倍角的三角函數(shù)公式?三角函數(shù)的最小正周期公式，屬于基礎(chǔ)題.12．（2018·全國·高考真題）函數(shù)在的零點個數(shù)為．【答案】【分析】方法一：求出的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值即得零點個數(shù)．【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】由題可知，或解得,或故有3個零點．故答案為：．方法二：令，即，解得，，分別令，得，所以函數(shù)在的零點的個數(shù)為3．故答案為：．【整體點評】方法一：先求出的范圍，再根據(jù)余弦函數(shù)在該范圍內(nèi)的零點，從而解出，是該題的最優(yōu)解；方法二：先求出函數(shù)的所有零點，再根據(jù)題中范圍限制，找出符合題意的零點．13．（2017·山東·高考真題）函數(shù)y＝sin2x＋cos2x的最小正周期為（

）A． B． C．π D．2π【答案】C【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡，再利用周期公式計算可得.【詳解】∵y＝2＝2sin，，故選：C.【點睛】該題考查三角函數(shù)的性質(zhì)與輔助角公式，屬于基礎(chǔ)題目.14．（2017·全國·高考真題）函數(shù)的最小正周期為A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，故選C．【名師點睛】函數(shù)的性質(zhì)：(1).(2)最小正周期(3)由求對稱軸.(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.考點06三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（拔高）一、單選題1．（2024·天津·高考真題）已知函數(shù)的最小正周期為．則在的最小值是（

）A． B． C．0 D．【答案】A【分析】先由誘導(dǎo)公式化簡，結(jié)合周期公式求出，得，再整體求出時，的范圍，結(jié)合正弦三角函數(shù)圖象特征即可求解.【詳解】，由得，即，當(dāng)時，，畫出圖象，如下圖，由圖可知，在上遞減，所以，當(dāng)時，故選：A2．（2024·全國新Ⅰ卷·高考真題）當(dāng)時，曲線與的交點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】畫出兩函數(shù)在上的圖象，根據(jù)圖象即可求解【詳解】因為函數(shù)的的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個交點.故選：C3．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時，曲線與恰有一個交點，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】解法一：令，分析可知曲線與恰有一個交點，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知該交點只能在y軸上，即可得，并代入檢驗即可；解法二：令，可知為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0，即可得，并代入檢驗即可.【詳解】解法一：令，即，可得，令，原題意等價于當(dāng)時，曲線與恰有一個交點，注意到均為偶函數(shù)，可知該交點只能在y軸上，可得，即，解得，若，令，可得因為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則方程有且僅有一個實根0，即曲線與恰有一個交點，所以符合題意；綜上所述：.解法二：令，原題意等價于有且僅有一個零點，因為，則為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0，即，解得，若，則，又因為當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即有且僅有一個零點0，所以符合題意；故選：D.4．（2023·全國甲卷·高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.【詳解】因為向左平移個單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點，作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；所以由圖可知，與的交點個數(shù)為.故選：C.5．（2023·全國乙卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，直線和為函數(shù)的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意分別求出其周期，再根據(jù)其最小值求出初相，代入即可得到答案.【詳解】因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以，且，則，，當(dāng)時，取得最小值，則，，則，，不妨取，則，則，故選：D.6．（2023·天津·高考真題）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且的一個周期為4，則的解析式可以是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意分別考查函數(shù)的最小正周期和函數(shù)在處的函數(shù)值，排除不合題意的選項即可確定滿足題意的函數(shù)解析式.【詳解】由函數(shù)的解析式考查函數(shù)的最小周期性：A選項中，B選項中，C選項中，D選項中，排除選項CD，對于A選項，當(dāng)時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一個對稱中心，排除選項A，對于B選項，當(dāng)時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一條對稱軸，故選：B.7．（2022·全國甲卷·高考真題）設(shè)函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由的取值范圍得到的取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可．【詳解】解：依題意可得，因為，所以，要使函數(shù)在區(qū)間恰有三個極值點、兩個零點，又，的圖象如下所示：

則，解得，即．故選：C．8．（2022·北京·高考真題）已知函數(shù)，則（

）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在上單調(diào)遞減 D．在上單調(diào)遞增【答案】C【分析】化簡得出，利用余弦型函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】因為.對于A選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，A錯；對于B選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，B錯；對于C選項，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，C對；對于D選項，當(dāng)時，，則在上不單調(diào)，D錯.故選：C.9．（2022·全國新Ⅰ卷·高考真題）記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A10．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）下列區(qū)間中，函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式，利用賦值法可得出結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，對于函數(shù)，由，解得，取，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，則，，A選項滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，且，，CD選項均不滿足條件.故選：A.【點睛】方法點睛：求較為復(fù)雜的三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先化簡成形式，再求的單調(diào)區(qū)間，只需把看作一個整體代入的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間內(nèi)即可，注意要先把化為正數(shù)．11．（2020·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)在的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由圖可得：函數(shù)圖象過點，即可得到，結(jié)合是函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的第一個交點即可得到，即可求得，再利用三角函數(shù)周期公式即可得解.【詳解】由圖可得：函數(shù)圖象過點，將它代入函數(shù)可得：又是函數(shù)圖象與軸負(fù)半軸的第一個交點，所以，解得：所以函數(shù)的最小正周期為故選：C【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化能力，還考查了三角函數(shù)周期公式，屬于中檔題.12．（2019·全國·高考真題）若x1=，x2=是函數(shù)f(x)=(>0)兩個相鄰的極值點，則=A．2 B．C．1 D．【答案】A【分析】從極值點可得函數(shù)的周期，結(jié)合周期公式可得.【詳解】由題意知，的周期，得．故選A．【點睛】本題考查三角函數(shù)的極值、最值和周期，滲透了直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取公式法，利用方程思想解題．13．（2019·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)=sin（）(＞0)，已知在有且僅有5個零點，下述四個結(jié)論：①在（）有且僅有3個極大值點②在（）有且僅有2個極小值點③在（）單調(diào)遞增④的取值范圍是[)其中所有正確結(jié)論的編號是A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】本題為三角函數(shù)與零點結(jié)合問題，難度大，通過整體換元得，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像分析得出答案．【詳解】當(dāng)時，，∵f（x）在有且僅有5個零點，∴，∴，故④正確，由，知時，令時取得極大值，①正確；極小值點不確定，可能是2個也可能是3個，②不正確；因此由選項可知只需判斷③是否正確即可得到答案，當(dāng)時，，若f（x）在單調(diào)遞增，則，即，∵，故③正確．故選D．【點睛】極小值點個數(shù)動態(tài)的，易錯，③正確性考查需認(rèn)真計算，易出錯，本題主要考查了整體換元的思想解三角函數(shù)問題，屬于中檔題．14．（2019·全國·高考真題）下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間(，)單調(diào)遞增的是A．f(x)=│cos2x│ B．f(x)=│sin2x│C．f(x)=cos│x│ D．f(x)=sin│x│【答案】A【分析】本題主要考查三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)．畫出各函數(shù)圖象，即可做出選擇．【詳解】因為圖象如下圖，知其不是周期函數(shù)，排除D；因為，周期為，排除C，作出圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞增，A正確；作出的圖象，由圖象知，其周期為，在區(qū)間單調(diào)遞減，排除B，故選A．【點睛】利用二級結(jié)論：①函數(shù)的周期是函數(shù)周期的一半；②不是周期函數(shù)；15．（2019·全國·高考真題）關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①f(x)是偶函數(shù)

②f(x)在區(qū)間（,）單調(diào)遞增③f(x)在有4個零點

④f(x)的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號是A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③【答案】C【分析】化簡函數(shù)，研究它的性質(zhì)從而得出正確答案．【詳解】為偶函數(shù)，故①正確．當(dāng)時，，它在區(qū)間單調(diào)遞減，故②錯誤．當(dāng)時，，它有兩個零點：；當(dāng)時，，它有一個零點：，故在有個零點：，故③錯誤．當(dāng)時，；當(dāng)時，，又為偶函數(shù)，的最大值為，故④正確．綜上所述，①④

正確，故選C．【點睛】畫出函數(shù)的圖象，由圖象可得①④正確，故選C．16．（2018·全國·高考真題）已知函數(shù)，則A．的最小正周期為，最大值為B．的最小正周期為，最大值為C．的最小正周期為，最大值為D．的最小正周期為，最大值為【答案】B【分析】首先利用余弦的倍角公式，對函數(shù)解析式進行化簡，將解析式化簡為，之后應(yīng)用余弦型函數(shù)的性質(zhì)得到相關(guān)的量，從而得到正確選項.【詳解】根據(jù)題意有，所以函數(shù)的最小正周期為，且最大值為，故選B.【點睛】該題考查的是有關(guān)化簡三角函數(shù)解析式，并且通過余弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)得到函數(shù)的性質(zhì)，在解題的過程中，要注意應(yīng)用余弦倍角公式將式子降次升角，得到最簡結(jié)果.17．（2018·全國·高考真題）若在是減函數(shù)，則的最大值是A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，所以由得因此，從而的最大值為，故選：A.18．（2017·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+)，則下列結(jié)論錯誤的是A．f(x)的一個周期為?2π B．y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱C．f(x+π)的一個零點為x= D．f(x)在(,π)單調(diào)遞減【答案】D【詳解】f(x)的最小正周期為2π，易知A正確；f＝cos＝cos3π＝－1，為f(x)的最小值，故B正確；∵f(x＋π)＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正確；由于f＝cos＝cosπ＝－1，為f(x)的最小值，故f(x)在上不單調(diào)，故D錯誤．故選D.19．（2017·全國·高考真題）函數(shù)f(x)=sin(x+)+cos(x?)的最大值為A． B．1 C． D．【答案】A【詳解】由誘導(dǎo)公式可得，則,函數(shù)的最大值為.所以選A.【名師點睛】三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為的形式，再借助三角函數(shù)的圖像研究性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．20．（2016·全國·高考真題）函數(shù)的部分圖象如圖所示，則A．B．C．D．【答案】A【詳解】試題分析：由題圖知，，最小正周期，所以，所以.因為圖象過點，所以，所以，所以，令，得，所以，故選A.【考點】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【名師點睛】根據(jù)圖象求解析式問題的一般方法是：先根據(jù)函數(shù)圖象的最高點、最低點確定A，h的值，由函數(shù)的周期確定ω的值，再根據(jù)函數(shù)圖象上的一個特殊點確定φ值．21．（2016·全國·高考真題）函數(shù)的最大值為A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【詳解】試題分析：因為，而，所以當(dāng)時，取得最大值5，選B.【考點】正弦函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)【名師點睛】求解本題易出現(xiàn)的錯誤是認(rèn)為當(dāng)時，函數(shù)取得最大值.22．（2016·山東·高考真題）函數(shù)的最小正周期是（

）A． B．π C． D．2π【答案】B【分析】因為，根據(jù)輔助角公式可化簡為，根據(jù)正弦二倍角公式和正弦周期公式，即可求得答案.【詳解】,故最小正周期,故選：B.【點睛】本題主要考查和差倍半的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).此類題目是三角函數(shù)問題中的典型題目，可謂相當(dāng)經(jīng)典.解答本題，關(guān)鍵在于能利用三角公式化簡函數(shù)、進一步討論函數(shù)的性質(zhì)，本題較易，能較好地考查考生的運算求解能力及對復(fù)雜式子的變形能力等.23．（2016·浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)，則的最小正周期A．與b有關(guān)，且與c有關(guān)B．與b有關(guān)，但與c無關(guān)C．與b無關(guān)，且與c無關(guān)D．與b無關(guān)，但與c有關(guān)【答案】B【詳解】試題分析：，其中當(dāng)時，，此時周期是；當(dāng)時，周期為，而不影響周期．故選B．【考點】降冪公式，三角函數(shù)的最小正周期．【思路點睛】先利用三角恒等變換（降冪公式）化簡函數(shù)，再判斷和的取值是否影響函數(shù)的最小正周期．24．（2015·四川·高考真題）下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的周期，函數(shù)的奇偶性，判斷求解即可．【詳解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函數(shù)，函數(shù)的周期為：π，滿足題意，所以A正確y＝sin（2x）＝cos2x，函數(shù)是偶函數(shù)，周期為：π，不滿足題意，所以B不正確；y＝sin2x+cos2xsin（2x），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為π，所以C不正確；y＝sinx+cosxsin（x），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為2π，所以D不正確；故選A．考點：三角函數(shù)的性質(zhì).25．（2015·安徽·高考真題）已知函數(shù)（，，均為正的常數(shù)）的最小正周期為，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】依題意可求ω＝2，又當(dāng)x時，函數(shù)f（x）取得最小值，可解得φ，從而可求解析式f（x）＝Asin（2x），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及誘導(dǎo)公式即可比較大?。驹斀狻拷猓阂李}意得，函數(shù)f（x）的周期為π，∵ω＞0，∴ω2．又∵當(dāng)x時，函數(shù)f（x）取得最小值，∴2φ＝2kπ，k∈Z，可解得：φ＝2kπ，k∈Z，∴f（x）＝Asin（2x+2kπ）＝Asin（2x）．∴f（﹣2）＝Asin（﹣4）＝Asin（4+2π）＞0．f（2）＝Asin（4）＜0，f（0）＝AsinAsin0，又∵4+2π，而f（x）＝Asinx在區(qū)間（，）是單調(diào)遞減的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）．故選A．考點：1.三角函數(shù)的圖象與應(yīng)用；2.函數(shù)值的大小比較.26．（2015·北京·高考真題）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義，A選項為奇函數(shù);B選項為偶函數(shù)；C選項定義域為不具有奇偶性；D選項既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).故選：B.二、多選題27．（2024·全國新Ⅱ卷·高考真題）對于函數(shù)和，下列說法中正確的有（

）A．與有相同的零點 B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對稱軸【答案】BC【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的零點，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項即可.【詳解】A選項，令，解得，即為零點，令，解得，即為零點，顯然零點不同，A選項錯誤；B選項，顯然，B選項正確；C選項，根據(jù)周期公式，的周期均為，C選項正確；D選項，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)的對稱軸滿足，的對稱軸滿足，顯然圖像的對稱軸不同，D選項錯誤.故選：BC28．（2020·山東·高考真題）下圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】首先利用周期確定的值，然后確定的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用誘導(dǎo)公式可得正確結(jié)果.【詳解】由函數(shù)圖像可知：，則，所以不選A,不妨令,當(dāng)時，，解得：，即函數(shù)的解析式為：.而故選：BC.【點睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標(biāo)x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點的坐標(biāo)，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.三、填空題29．（2023·全國新Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個零點，則的取值范圍是．【答案】【分析】令，得有3個根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因為，所以，令，則有3個根，令，則有3個根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.30．（2023·全國新Ⅱ卷·高考真題）已知函數(shù)，如圖A，B是直線與曲線的兩個交點，若，則．

【答案】【分析】設(shè)，依題可得，，結(jié)合的解可得，，從而得到的值，再根據(jù)以及，即可得，進而求得．【詳解】設(shè)，由可得，由可知，或，，由圖可知，，即，．因為，所以，即，．所以，所以或，又因為，所以，．故答案為：．【點睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出以及函數(shù)的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵．31．（2021·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則.【答案】【分析】首先確定函數(shù)的解析式，然后求解的值即可.【詳解】由題意可得：，當(dāng)時，，令可得：，據(jù)此有：.故答案為：.【點睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標(biāo)x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點的坐標(biāo)，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸螅瑒t可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.32．（2020·全國·高考真題）關(guān)于函數(shù)f（x）=有如下四個命題：①f（x）的圖象關(guān)于y軸對稱．②f（x）的圖象關(guān)于原點對稱．③f（x）的圖象關(guān)于直線x=對稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號是．【答案】②③【分析】利用特殊值法可判斷命題①的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷命題②的正誤；利用對稱性的定義可判斷命題③的正誤；取可判斷命題④的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對于命題①，，，則，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于軸對稱，命題①錯誤；對于命題②，函數(shù)的定義域為，定義域關(guān)于原點對稱，，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，命題②正確；對于命題③，，，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，命題③正確；對于命題④，當(dāng)時，，則，命題④錯誤.故答案為：②③.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的奇偶性、對稱性以及最值的求解，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.33．（2019·全國·高考真題）函數(shù)的最小值為．【答案】.【分析】本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，轉(zhuǎn)化得到二倍角的余弦，進一步應(yīng)用二倍角的余弦公式，得到關(guān)于的二次函數(shù)，從而得解.【詳解】，，當(dāng)時，，故函數(shù)的最小值為．【點睛】解答本題的過程中，部分考生易忽視的限制，而簡單應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)，出現(xiàn)運算錯誤．34．（2018·江蘇·高考真題）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的值是．【答案】.【詳解】分析：由對稱軸得，再根據(jù)限制范圍求結(jié)果.詳解：由題意可得，所以，因為，所以點睛：函數(shù)（A>0,ω>0）的性質(zhì)：(1)；(2)最小正周期；(3)由求對稱軸；(4)由求增區(qū)間;由求減區(qū)間.35．（2018·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，若對任意的實數(shù)都成立，則的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)題意取最大值，根據(jù)余弦函數(shù)取最大值條件解得的表達(dá)式，進而確定其最小值.【詳解】因為對任意的實數(shù)x都成立，所以取最大值，所以，因為，所以當(dāng)時，取最小值為.【點睛】函數(shù)的性質(zhì)（1）.（2）周期（3）由求對稱軸，最大值對應(yīng)自變量滿足，最小值對應(yīng)自變量滿足，（4）由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.36．（2017·全國·高考真題）函數(shù)（）的最大值是．【答案】1【詳解】化簡三角函數(shù)的解析式，可得，由，可得，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值1．37．（2017·全國·高考真題）函數(shù)的最大值為.【答案】【分析】利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，通過正弦函數(shù)的有界性求解即可．【詳解】解：函數(shù)f（x）＝2cosx+sinx（cosxsinx）sin（x+θ），其中tanθ＝2，可知函數(shù)的最大值為：．故答案為．【點睛】通過配角公式把三角函數(shù)化為的形式再借助三角函數(shù)圖象研究性質(zhì)，解題時注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征．一般可利用求最值．38．（2016·上海·高考真題）方程在區(qū)間上的解為．【答案】【詳解】試題分析：化簡得：，所以，解得或（舍去），又，所以.【考點】二倍角公式及三角函數(shù)求值【名師點睛】已知三角函數(shù)值求角，基本思路是通過化簡，得到角的某種三角函數(shù)值，結(jié)合角的范圍求解.本題難度不大，能較好地考查考生的邏輯推理能力、基本計算能力等.39．（2015·浙江·高考真題）函數(shù)的最小正周期是，單調(diào)遞增區(qū)間是.【答案】，【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步求出函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間．【詳解】解：函數(shù)f（x）＝sin2x+sinxcosx+1，則：，則函數(shù)的最小正周期T，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），單點遞增區(qū)間為：[]（k∈Z），故答案為π；[]（k∈Z），【點睛】本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．40．（2015·湖南·高考真題）已知>0,在函數(shù)y=2sinx與y=2cosx的圖像的交點中，距離最短的兩個交點的距離為2，則=.【答案】【詳解】由題根據(jù)三角函數(shù)圖像與性質(zhì)可得距離最短的交點坐標(biāo)可以為,.考點：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)【名師點睛】正、余弦函數(shù)的圖像既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.應(yīng)把三角函數(shù)的對稱性與奇偶性結(jié)合，體會二者的統(tǒng)一.這樣就能理解條件“距離最短的兩個交點”一定在同一個周期內(nèi)，本題也可從五點作圖法上理解.考點07三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（壓軸）1．（2017·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)，，其中，.若，，且的最小正周期大于，則A．， B．， C．， D．，【答案】A【詳解】由題意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故選A．【考點】求三角函數(shù)的解析式【名師點睛】有關(guān)問題，一種為提供函數(shù)圖象求解析式或某參數(shù)的范圍，一般先根據(jù)圖象的最高點或最低點確定，再根據(jù)周期或周期或周期求出，最后再利用最高點或最低點坐標(biāo)滿足解析式，求出滿足條件的值，另一種時根據(jù)題目用文字形容的函數(shù)圖象特點，如對稱軸或曲線經(jīng)過的點的坐標(biāo)，根據(jù)題意自己畫出圖象，再尋求待定的參變量，題型很活，求或的值或最值或范圍等.2．（2017·上?！じ呖颊骖}）設(shè)、，且，則的最小值等于【答案】【詳解】由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，，所以，即，所以，所以.3．（2016·天津·高考真題）已知函數(shù)，.若在區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】先把化成，求出的零點的一般形式為，根據(jù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點可得關(guān)于的不等式組，結(jié)合為整數(shù)可得其相應(yīng)的取值，從而得到所求的取值范圍.【詳解】由題設(shè)有，令，則有即.因為在區(qū)間內(nèi)沒有零點，故存在整數(shù)，使得，即，因為，所以且，故或，所以或，故選：D.【點睛】本題考查三角函數(shù)在給定范圍上的零點的存在性問題，此類問題可轉(zhuǎn)化為不等式組的整數(shù)解問題，本題屬于難題.4．（2016·全國·高考真題）已知函數(shù)為的零點，為圖象的對稱軸，且在單調(diào)，則的最大值為A．11 B．9C．7 D．5【答案】B【分析】根據(jù)已知可得ω為正奇數(shù)，且ω≤12，結(jié)合x為f（x）的零點，x為y＝f（x）圖象的對稱軸，求出滿足條件的解析式，并結(jié)合f（x）在（，）上單調(diào)，可得ω的最大值．【詳解】∵x為f（x）的零點，x為y＝f（x）圖象的對稱軸，∴，即，（n∈N）即ω＝2n+1，（n∈N）即ω為正奇數(shù)，∵f（x）在（，）上單調(diào)，則，即T，解得：ω≤12，當(dāng)ω＝11時，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此時f（x）在（，）不單調(diào)，不滿足題意；當(dāng)ω＝9時，φ＝kπ，k∈Z，∵|φ|，∴φ，此時f（x）在（，）單調(diào)，滿足題意；故ω的最大值為9，故選B．【點睛】本題將三角函數(shù)的單調(diào)性與對稱性結(jié)合在一起進行考查,題目新穎,是一道考查能力的好題.注意本題求解中用到的兩個結(jié)論：①的單調(diào)區(qū)間長度是最小正周期的一半;②若的圖像關(guān)于直線對稱,則或.5．（2015·上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù)，若存在滿足，且（，），則的最小值為．【答案】【詳解】因為，所以，因此要使得滿足條件的最小，須取即考點：三角函數(shù)性質(zhì)考點08三角函數(shù)的伸縮平移變換1．（2023·全國甲卷·高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，則的圖象與直線的交點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.【詳解】因為向左平移個單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點，作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；所以由圖可知，與的交點個數(shù)為.故選：C.2．（2022·天津·高考真題）已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：①的最小正周期為；②在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及變換法則即可判斷各說法的真假．【詳解】因為，所以的最小正周期為，①不正確；令，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，②正確；因為，，所以，③不正確；由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確．故選：A．3．（2022·浙江·高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出．【詳解】因為，所以把函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象．故選：D.

4．（2022·全國甲卷·高考真題）將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后得到曲線C，若C關(guān)于y軸對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由平移求出曲線的解析式，再結(jié)合對稱性得，即可求出的最小值.【詳解】由題意知：曲線為，又關(guān)于軸對稱，則，解得，又，故當(dāng)時，的最小值為.故選：C.5．（2021·全國乙卷·高考真題）把函數(shù)圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解法一：從函數(shù)的圖象出發(fā)，按照已知的變換順序，逐次變換，得到，即得，再利用換元思想求得的解析表達(dá)式；解法二：從函數(shù)出發(fā)，逆向?qū)嵤└鞑阶儞Q，利用平移伸縮變換法則得到的解析表達(dá)式.【詳解】解法一：函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應(yīng)當(dāng)?shù)玫降膱D象，根據(jù)已知得到了函數(shù)的圖象，所以，令,則,所以,所以；解法二：由已知的函數(shù)逆向變換，第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，第二步：圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，即為的圖象，所以.故選：B.6．（2020·天津·高考真題）已知函數(shù)．給出下列結(jié)論：①的最小正周期為；②是的最大值；③把函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】對所給選項結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因為，所以周期，故①正確；，故②不正確；將函數(shù)的圖象上所有點向左平移個單位長度，得到的圖象，故③正確.故選：B.【點晴】本題主要考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，邏輯分析那能力，是一道容易題.7．（2020·江蘇·高考真題）將函數(shù)y=的圖象向右平移個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是.【答案】/【分析】先根據(jù)圖象變換得解析式，再求對稱軸方程，最后確定結(jié)果.【詳解】當(dāng)時故答案為：【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換、正弦函數(shù)對稱軸，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.8．（2019·天津·高考真題）已知函數(shù)是奇函數(shù)，將的圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為.若的最小正周期為，且，則A． B． C． D．【答案】C【解析】只需根據(jù)函數(shù)性質(zhì)逐步得出值即可．【詳解】因為為奇函數(shù)，∴；又，，又∴，故選C．【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的求值問題，解題關(guān)鍵是求出函數(shù)．9．（2018·天津·高考真題）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】A【分析】由題意首先求得平移之后的函數(shù)解析式，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為：.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，即，令可得一個單調(diào)遞增區(qū)間為：.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，即，令可得一個單調(diào)遞減區(qū)間為：，本題選擇A選項.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判斷等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.10．（2018·天津·高考真題）將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)A．在區(qū)間上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間上單調(diào)遞減C．在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】A【詳解】分析：首先確定平移之后的對應(yīng)函數(shù)的解析式，然后逐一考查所給的選項是否符合題意即可.詳解：由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：將的圖象向右平移個單位長度之后的解析式為：.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，即，令可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為，選項A正確，B錯誤；函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，即，令可得函數(shù)的一個單調(diào)遞減區(qū)間為，選項C，D錯誤；本題選擇A選項.點睛：本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.11．（2017·全國·高考真題）已知曲線C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+)，則下面結(jié)論正確的是A．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2B．把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2C．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2D．把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2【答案】D【詳解】把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=cos2x圖象，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的圖象，即曲線C2，故選D．點睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言.函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).12．（2016·四川·高考真題）為了得到函數(shù)y=sin的圖象，只需把函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點A．向左平行移動個單位長度B．向右平行移動個單位長度C．向上平行移動個單位長度D．向下平行移動個單位長度【答案】A【詳解】試題分析：為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度，故選A.【考點】三角函數(shù)圖象的平移【名師點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的平移，函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得的圖象，而函數(shù)的圖象向上平移個單位長度得的圖象．左、右平移涉及的是的變化，上、下平移涉及的是函數(shù)值的變化．13．（2016·全國·高考真題）若將函數(shù)y=2sin2x的圖像向左平移個單位長度，則平移后圖像的對稱軸為A．x=（k∈Z）B．x=（k∈Z）C．x=（k∈Z）D．x=（k∈Z）【答案】B【詳解】試題分析：由題意得，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到，由，得，即平移后的函數(shù)的對稱軸方程為，故選B．考點：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【方法點晴】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，著重考查了三角函數(shù)的圖象變換及三角函數(shù)的對稱軸方程的求解，通過將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的解析式，即可求解三角函數(shù)的性質(zhì)，同時考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力以及推理與運算能力．14．（2016·北京·高考真題）將函數(shù)圖象上的點向左平移（）個單位長度得到點，若位于函數(shù)的圖象上，則（）A．，的最小值為 B．，的最小值為C．，的最小值為 D．，的最小值為【答案】A【詳解】由題意得，，可得，因為位于函數(shù)的圖象上所以，可得，s的最小值為，故選A.【名師點睛】三角函數(shù)圖象的變換，有兩種選擇：一是先伸縮再平移，二是先平移再伸縮．特別注意：①平移變換時，當(dāng)自變量x的系數(shù)不為1時，要將系數(shù)先提出；②翻折變換要注意翻折的方向；③三角函數(shù)名不同的圖象變換問題，應(yīng)先將三角函數(shù)名統(tǒng)一，再進行變換.15．（2016·全國·高考真題）函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象至少向右平移個單位長度得到．【答案】【詳解】試題分析：,故應(yīng)至少向右平移個單位.考點：1、三角恒等變換；2、圖象的平移.16．（2016·四川·高考真題）為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點A．向左平行移動個單位長度B．向右平行移動個單位長度C．向左平行移動個單位長度D．向右平行移動個單位長度【答案】D【詳解】試題分析：由題意，為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，故選D.【考點】三角函數(shù)圖象的平移【名師點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的平移，在函數(shù)的圖象平移變換中要注意“”的影響，變換有兩種順序：一種的圖象向左平移個單位得的圖象，再把橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得的圖象，另一種是把的圖象橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變，得的圖象，再向左平移個單位得的圖象．17．（2016·全國·高考真題）若將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，則平移后圖象的對稱軸為（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】試題分析：由題意得，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到，由，得，即平移后的函數(shù)的對稱軸方程為，故選C．18．（2016·全國·高考真題）將函數(shù)的圖象向右平移個周期后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】函數(shù)的周期為，將函數(shù)的圖象向右平移個周期即個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為，故選D.19．（2015·山東·高考真題）要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象A．向左平移個單位B．向右平移個單位C．向左平移個單位D．向右平移個單位【答案】B【詳解】因為函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象向右平移個單位．本題選擇B選項.點睛：三角函數(shù)圖象進行平移變換時注意提取x的系數(shù)，進行周期變換時，需要將x的系數(shù)變?yōu)樵瓉淼摩乇?，要特別注意相位變換、周期變換的順序，順序不同，其變換量也不同．20．（2015·山東·高考真題）要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象A．向左平移個單位B．向右平移個單位C．向左平移個單位D．向右平移個單位【答案】B【詳解】因為函數(shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象向右平移個單位．本題選擇B選項.點睛：三角函數(shù)圖象進行平移變換時注意提取x的系數(shù)，進行周期變換時，需要將x的系數(shù)變?yōu)樵瓉淼摩乇?，要特別注意相位變換、周期變換的順序，順序不同，其變換量也不同．21．（2015·湖南·高考真題）將函數(shù)的圖像向右平移個單位后得到函數(shù)的圖像，若對滿足的，，有，則A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：向右平移個單位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故選D.考點：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).【名師點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題，高考題對于三角函數(shù)的考查，多以為背景來考查其性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵：一是會化簡，熟悉三角恒等變形，對三角函數(shù)進行化簡；二是會用性質(zhì)，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性，周期性，對稱性，奇偶性等.專題09三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)小題綜合考點十年考情（2015-2024）命題趨勢考點1任意角和弧度制及求扇形的弧長、面積計算（10年3考）2022·全國甲卷、2020·浙江卷、2015·山東卷了解任意角和弧度制的概念，能進行弧度與角度的互化，借助單位圓理解三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義，并能利用三角函數(shù)的定義解決相關(guān)問題，理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式（平方關(guān)系+商數(shù)關(guān)系），夠利用公式化簡求值，能借助單位圓的對稱性利用三角函數(shù)定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式，能夠運用誘導(dǎo)公式解決相關(guān)問題，該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會考查三角函數(shù)化簡求值或特殊角求三角函數(shù)值，需加強復(fù)習(xí)備考能用五點作圖法作出正弦、余弦和正切函數(shù)圖象，并掌握圖象及性質(zhì)，能用五點作圖法作出正弦型、余弦型和正切型函數(shù)圖象，并掌握圖象及性質(zhì)會求參數(shù)及函數(shù)解析式該內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般會綜合考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，需加強復(fù)習(xí)備考理解并掌握三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，會先平移后伸縮或先伸縮后平移來綜合解決三角函數(shù)的伸縮平移變換，該內(nèi)容是新高考卷的載體內(nèi)容，一般會結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)綜合考查三角函數(shù)的伸縮平移變換，需加強復(fù)習(xí)備考考點2任意角的三角函數(shù)（10年3考）2020·山東卷、2020·全國卷、2018·北京卷考點3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（含弦切互化）（10年8考）2024·全國甲卷、2023·全國乙卷、2021·全國甲卷2021·全國新Ⅰ卷、2020·全國卷、2019·江蘇卷2018·全國卷、2018·全國卷、2016·全國卷2016·全國卷、2015·重慶卷、2015·福建卷2015·四川卷考點4誘導(dǎo)公式及其化簡求值（10年3考）2023·全國甲卷、2022·浙江卷2017·全國卷、2017·北京卷考點5三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（基礎(chǔ)）（10年6考）2024·全國甲卷、2024·天津卷、2024·上海卷2024·北京卷、2022·全國新Ⅱ卷、2022·全國乙卷2022·天津卷、2021·北京卷、2021·全國甲卷2021·全國乙卷、2019·北京卷、2018·全國卷2017·山東卷、2017·全國卷考點6三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（拔高）（10年10考）2024·天津卷、2024·全國新Ⅰ卷、2024·全國新Ⅱ卷2024·全國新Ⅱ卷、2023·全國甲卷、2023·全國乙卷2023·天津卷、2023·全國新Ⅰ卷、2023·全國新Ⅱ卷2022·全國甲卷、2022·北京卷、2022·全國新Ⅰ卷2021·全國新Ⅰ卷、2021·全國甲卷、2020·全國卷2020·山東卷、2020·全國卷、2019·全國卷2019·全國卷、2019·全國卷、2019·全國卷2019·全國卷、2018·江蘇卷、2018·全國卷2018·全國卷、2018·北京卷、2017·全國卷2017·全國卷、2017·全國卷、2017·全國卷2016·全國卷、2016·全國卷、2016·山東卷2016·浙江卷、2016·上海、2015·四川卷、2015·安徽卷、2015·北京卷、2015·浙江卷2015·湖南卷考點7三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（壓軸）（10年3考）2017·天津卷、2017·上海卷、2016·天津卷2016·全國卷、2015·上海卷考點8三角函數(shù)的伸縮平移變換（10年9考）2023·全國甲卷、2022·天津卷、2022·浙江卷2022·全國甲卷、2021·全國乙卷、2020·天津卷2020·江蘇卷、2019·天津卷、2018·天津卷2018·天津卷、2017·全國卷、2016·四川卷2016·全國卷、2016·北京卷、2016·全國卷2016·四川卷、2016·全國卷、2016·全國卷2015·山東卷、2015·山東卷、2015·湖南卷考點01任意角和弧度制及求扇形的弧長、面積計算1．（2022·全國甲卷·高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當(dāng)時，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，分別求出，再根據(jù)題中公式即可得出答案.【詳解】解：如圖，連接，因為是的中點，所以，又，所以三點共線，即，又，所以，則，故，所以.故選：B.2．（2020·浙江·高考真題）已知圓錐的側(cè)面積（單位：）為2π，且它的側(cè)面積展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面半徑（單位：）是．【答案】【分析】利用題目所給圓錐側(cè)面展開圖的條件列方程組，由此求得底面半徑.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，則，解得.故答案為：【點睛】本小題主要考查圓錐側(cè)面展開圖有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.3．（2015·山東·高考真題）終邊在軸的正半軸上的角的集合是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用終邊落在坐標(biāo)軸上角的表示方法即可求解【詳解】終邊在軸正半軸上的角的集合是故選：A考點02任意角的三角函數(shù)1．（2020·山東·高考真題）已知直線的圖像如圖所示，則角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角【答案】D【分析】本題可根據(jù)直線的斜率和截距得出、，即可得出結(jié)果.【詳解】結(jié)合圖像易知，，，則角是第四象限角，故選：D.2．（2020·全國·高考真題）若α為第四象限角，則（

）A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0【答案】D【分析】由題意結(jié)合二倍角公式確定所給的選項是否正確即可.【詳解】方法一：由α為第四象限角，可得，所以此時的終邊落在第三、四象限及軸的非正半軸上，所以故選：D.方法二：當(dāng)時，，選項B錯誤；當(dāng)時，，選項A錯誤；由在第四象限可得：，則，選項C錯誤，選項D正確；故選：D.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的符號，二倍角公式，特殊角的三角函數(shù)值等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.3．（2018·北京·高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，是圓上的四段?。ㄈ鐖D），點P在其中一段上，角以為始邊，OP為終邊，若，則P所在的圓弧是A． B．C． D．【答案】C【詳解】分析：逐個分析A、B、C、D四個選項，利用三角函數(shù)的三角函數(shù)線可得正確結(jié)論.詳解：由下圖可得：有向線段為余弦線，有向線段為正弦線，有向線段為正切線.A選項：當(dāng)點在上時，，，故A選項錯誤；B選項：當(dāng)點在上時，，，，故B選項錯誤；C選項：當(dāng)點在上時，，，，故C選項正確；D選項：點在上且在第三象限，，故D選項錯誤.綜上，故選C.點睛：此題考查三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合思想，作出圖形，找到所對應(yīng)的三角函數(shù)線進行比較.考點03同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（含弦切互化）1．（2024·全國甲卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因為，所以，，所以，故選：B.2．（2023·全國乙卷·高考真題）若，則．【答案】【分析】根據(jù)同角三角關(guān)系求，進而可得結(jié)果.【詳解】因為，則，又因為，則，且，解得或（舍去），所以.故答案為：.3．（2021·全國甲卷·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二倍角公式可得，再結(jié)合已知可求得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】，，，，解得，，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查三角函數(shù)的化簡問題，解題的關(guān)鍵是利用二倍角公式化簡求出.4．（2021·全國新Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達(dá)式，代入即可得到結(jié)果．【詳解】將式子進行齊次化處理得：．故選：C．【點睛】易錯點睛：本題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負(fù)，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．5．（2020·全國·高考真題）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】用二倍角的余弦公式，將已知方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程，求解得出，再用同角間的三角函數(shù)關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】，得，即，解得或（舍去），又.故選：A.【點睛】本題考查三角恒等變換和同角間的三角函數(shù)關(guān)系求值，熟記公式是解題的關(guān)鍵，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6．（2019·江蘇·高考真題）已知，則的值是.【答案】.【分析】由題意首先求得的值，然后利用兩角和差正余弦公式和二倍角公式將原問題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問題，最后切化弦求得三角函數(shù)式的值即可.【詳解】由，得，解得，或.，當(dāng)時，上式當(dāng)時，上式=綜上，【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，滲透了邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).采取轉(zhuǎn)化法，利用分類討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.7．（2018·全國·高考真題）已知，，則．【答案】【分析】方法一：將兩式平方相加即可解出．【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】兩式兩邊平方相加得，．［方法二］：利用方程思想直接解出，兩式兩邊平方相加得，則．又或，所以．［方法三］：誘導(dǎo)公式＋二倍角公式由，可得，則或．若，代入得，即．若，代入得，與題設(shè)矛盾．綜上所述，．［方法四］：平方關(guān)系＋誘導(dǎo)公式由，得．又，，即，則．從而．［方法五］：和差化積公式的應(yīng)用由已知得，則或．若，則，即．當(dāng)k為偶數(shù)時，，由，得，又，所以．當(dāng)k為奇數(shù)時，，得，這與已知矛盾．