兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版選擇性

人教B版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第二冊第三章排列、組合與二項式定理習(xí)題課——兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.了解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系.2.能綜合運用兩個計數(shù)原理解決一些實際問題.3.提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別聯(lián)系與區(qū)別分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理聯(lián)系分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,解決的都是關(guān)于完成一件事情的不同方法的種數(shù)的問題區(qū)別一分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題區(qū)別二各種方法相互獨立各個步驟互相依存區(qū)別三任何一種方法都可以完成這件事只有各個步驟都完成才算完成這件事2.某單位職工開展無償獻(xiàn)血活動,在體檢合格的員工中,O型血的有18人,A型血的有10人,B型血的有8人,AB型血的有3人.若完成下面兩件事:①從中任選1人去獻(xiàn)血;②從四種血型的人中各選1人去獻(xiàn)血.則不同選法的種數(shù)分別是(

)A.4320,39 B.39,39C.39,4320 D.4320,4320解析:①根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有18+10+8+3=39種不同選法.②根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有18×10×8×3=4

320種不同的選法.答案:C【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)如果完成一件事有兩類辦法,第一類辦法中有m種不同的方法,第二類辦法中有n種不同的方法,那么完成這件事有mn種方法.(×)(2)在分步乘法計數(shù)原理中,只有所有步驟都完成,才能完成這件事.(√)合作探究釋疑解惑探究一組數(shù)問題【例1】

用0,1,2,3,4這五個數(shù)字,(1)可以排成多少個三位數(shù)字的號碼?(數(shù)字允許重復(fù))(2)可以排成多少個三位數(shù)?(各位上的數(shù)字允許重復(fù))(3)可以排成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?解:(1)三位數(shù)字的號碼,首位可以是0,數(shù)字可以重復(fù),故每個位置都有5種排法,依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可以排成5×5×5=125個三位數(shù)字的號碼.(2)排成一個三位數(shù),可以分為三步:第一步,確定百位上的數(shù)字,百位上的數(shù)字不能為0,共有4種方法;第二步,確定十位上的數(shù)字,共有5種方法;第三步,確定個位上的數(shù)字,共有5種方法.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,可以排成4×5×5=100個三位數(shù).(3)能被2整除的數(shù)為偶數(shù),末位數(shù)字可取0,2,4,因此,可以分兩類:一類是末位數(shù)字是0,分兩步,第一步,首位有4種排法,第二步,十位有3種排法,依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,有4×3=12種排法;一類是末位數(shù)字不是0,分三步,第一步,末位有2種排法,即2或4,第二步,排首位,因為0不能在首位,所以有3種排法,第三步,十位有3種排法,依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,有2×3×3=18種排法.依據(jù)分類加法計數(shù)原理,有12+18=30種排法.故可以排成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).延伸探究用本例中的五個數(shù)字可排成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)?解:分四步:第一步定個位,只能從1,3中任取一個,有2種方法;第二步定千位,有3種方法;第三步定百位,有3種方法;第四步定十位,有2種方法.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有2×3×3×2=36個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù).反思感悟?qū)τ诮M數(shù)問題,應(yīng)掌握以下原則:(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字,是采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置(末位或首位)分類,分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成.如果正面分類較多,那么可采用間接法求解;(2)要注意數(shù)字“0”不能排在多位數(shù)的最高位.【變式訓(xùn)練1】

從0,2中選一個數(shù)字,從1,3,5中選兩個數(shù)字,排成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中偶數(shù)的個數(shù)為

,奇數(shù)的個數(shù)為

.

解析:若是偶數(shù),則分三步完成:第一步,從0和2中任選一個數(shù)字放在個位,有2種選法;第二步,從1,3,5中選1個數(shù)字放在百位,有3種選法;第三步,從1,3,5中剩下的2個數(shù)字中選1個數(shù)字放在十位,有2種選法.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,偶數(shù)共有2×3×2=12個.若是奇數(shù),則此三位數(shù)可以分成兩種情況,即奇偶奇,偶奇奇.若是奇偶奇的情況,則可以分三步完成:第一步,從1,3,5中選1個數(shù)字放在個位,有3種選法;第二步,從0,2中選1個數(shù)字放在十位,有2種選法;第三步,從1,3,5中剩下的2個數(shù)字中選1個數(shù)字放在百位,有2種選法.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同的選法有3×2×2=12種.若是偶奇奇的情況,則可以分三步完成:第一步,從1,3,5中選1個數(shù)字放在個位,有3種選法;第二步,從1,3,5中剩下的2個數(shù)字中選1個數(shù)字放在十位,有2種選法;第三步,百位上的數(shù)字不能為0,故只能為2,只有1種選法.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同的選法共有3×2×1=6種.故奇數(shù)共有12+6=18個.答案:12

18探究二選(抽)取與分配問題【例2】

現(xiàn)有3名醫(yī)生、5名護(hù)士、2名麻醉師.(1)從中選派1名去參加外出學(xué)習(xí),有多少種不同的選法?(2)從這些人中選出1名醫(yī)生、1名護(hù)士和1名麻醉師組成1個醫(yī)療小組,有多少種不同的選法?解:(1)從中選派1名去參加外出學(xué)習(xí),共有三類不同的選法:第一類,選出的是醫(yī)生,有3種選法;第二類,選出的是護(hù)士,有5種選法;第三類,選出的是麻醉師,有2種選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有3+5+2=10種選法.(2)組成1個醫(yī)療小組,分三步:第一步,選1名醫(yī)生,有3種選法;第二步,選1名護(hù)士,有5種選法;第三步,選1名麻醉師,有2種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有3×5×2=30種選法.反思感悟解決選(抽)取與分配問題的方法(1)當(dāng)涉及對象數(shù)目不大時,一般選用列舉法、樹狀圖法或者圖表法等.(2)當(dāng)涉及對象數(shù)目很大時,一般有兩種方法:①直接法.直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.一般地,若抽取是有順序的,則按分步進(jìn)行;若是按對象特征抽取的,則按分類進(jìn)行.②間接法.先去掉限制條件,計算所有的抽取方法數(shù),再減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.【變式訓(xùn)練2】

有一項活動,需在3名教師、8名男學(xué)生和5名女學(xué)生中選人參加.(1)若只需1人參加,有多少種不同選法?(2)若需教師、男學(xué)生、女學(xué)生各1人參加,有多少種不同選法?(3)若需1名教師、1名學(xué)生參加,有多少種不同選法?解:(1)只需1人參加共有三類選人的方法:第一類,從3名教師中選1人,有3種方法;第二類,從8名男學(xué)生中選1人,有8種方法;第三類,從5名女學(xué)生中選1人,有5種方法.依據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有3+8+5=16種選法.(2)分三步選人:第一步選教師,有3種方法;第二步選男學(xué)生,有8種方法;第三步選女學(xué)生,有5種方法.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有3×8×5=120種選法.(3)可分兩類.第一類:先選1名教師,再選1名男學(xué)生,共有3×8=24種選法;第二類:先選1名教師,再選1名女學(xué)生,共有3×5=15種選法.依據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有24+15=39種選法.探究三涂色與種植問題【例3】

(1)如圖,用五種不同的顏色分別給A,B,C,D四個區(qū)域涂色,相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,若允許同一種顏色多次使用,則不同的涂法種數(shù)為(

)A.280 B.180

C.96

D.60(2)如圖,將3種作物全部種植在這5塊試驗田中,每塊種植一種作物,且相鄰的試驗田不能種同一種作物,則不同的種植方法共有

種.

解析:(1)按區(qū)域分四步:第一步,A區(qū)域有5種顏色可選;第二步,B區(qū)域有4種顏色可選;第三步,C區(qū)域有3種顏色可選;第四步,由于可重復(fù)使用區(qū)域A中已用過的顏色,因此D區(qū)域也有3種顏色可選.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有5×4×3×3=180種涂法.(2)分別用a,b,c代表3種作物,先安排第一塊田,有3種方法,不妨設(shè)種植a,再安排第二塊田,有2種方法b或c,不妨設(shè)種植b,第三塊田也有2種方法a或c.若第三塊田種植c,則第四、五塊田分別有2種方法,共有2×2=4種方法.若第三塊田種植a,則第四塊田有b或c

2種方法,①若第四塊田種植c,則第五塊田有2種方法;②若第四塊田種植b,則第五塊田只能種植c,共1種方法.依據(jù)基本計數(shù)原理,共有3×2×(2×2+2+1)=42種方法.答案:(1)B

(2)42反思感悟解決涂色(種植)問題的一般思路涂色問題一般是綜合利用兩個計數(shù)原理求解,有幾種常用方法:(1)按區(qū)域的不同,以區(qū)域為主分步計數(shù),用分步乘法計數(shù)原理分析;(2)以顏色為主分類討論,適用于“區(qū)域、點、線段”等問題,用分類加法計數(shù)原理分析;(3)將空間問題平面化,轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題.種植問題按種植的順序分步進(jìn)行,用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)或按種植品種恰當(dāng)選取情況分類,用分類加法計數(shù)原理計數(shù).【變式訓(xùn)練3】

如圖,用紅、黃、綠、黑4種不同的顏色分別給5個區(qū)域涂色,要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色不相同,有多少種不同的涂色方法?解:如圖,將5個區(qū)域分別標(biāo)記為A,B,C,D,E,則A區(qū)域有4種不同的涂色方法,B區(qū)域有3種,C區(qū)域有2種,D區(qū)域有2種,但E區(qū)域的涂色依賴于B區(qū)域與D區(qū)域涂的顏色.若B區(qū)域與D區(qū)域涂的顏色相同,則E區(qū)域有2種涂色方法;若B區(qū)域與D區(qū)域涂的顏色不相同,則E區(qū)域只有1種涂色方法.(1)當(dāng)B區(qū)域與D區(qū)域同色時,依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,有4×3×2×2=48種涂色方法;(2)當(dāng)B區(qū)域與D區(qū)域不同色時,依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,有4×3×2×1×1=24種涂色方法.依據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有48+24=72種不同的涂色方法.【易錯辨析】

因計數(shù)時出現(xiàn)遺漏而致誤【典例】

有紅、黃、藍(lán)旗各3面,每次升1面、2面或3面旗縱向排列在某一旗桿上,表示不同的信號,順序不同也表示不同的信號,一共可以組成多少種不同的信號?錯解:每次升1面旗可組成1種不同的信號;每次升2面旗可組成2種不同的信號;每次升3面旗可組成3種不同的信號.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,一共可以組成1+2+3=6種不同的信號.以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯解中忽略了不同的旗的顏色表示不同的信號,順序不同也表示不同的信號.正解:每次升1面旗可組成3種不同的信號;每次升2面旗可組成3×3=9種不同的信號;每次升3面旗可組成3×3×3=27種不同的信號.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共可組成3+9+27=39種不同的信號.防范措施解決此類問題要仔細(xì)審題,正確理解題意.一般是先分類再分步,分類時要設(shè)計好標(biāo)準(zhǔn),設(shè)計好分類方案,防止重復(fù)和遺漏,分步時要注意步與步之間的連續(xù)性.隨堂練習(xí)1.已知x∈{1,2,3,4},y∈{5,6,7,8},則xy的不同值的個數(shù)為(

)A.2 B.4

C.8

D.15解析:第一步,從集合{1,2,3,4}中選一個數(shù),共有4種選法;第二步,從集合{5,6,7,8}中選一個數(shù),共有4種選法.依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有4×4=16種選法.其中3×8=4×6,所以xy的不同值的個數(shù)為15.答案:D2.有A,B兩種類型的車床各一臺,現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人,其中甲、乙都會操作A,B兩種車床,丙只會操作A種車床,要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車床,則不同的選派方法有(

)A.6種

B.5種

C.4種

D.3種解析:若選甲、乙,則有2種方法;若選甲、丙,則有1種方法;若選乙、丙,則有1種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理,不同的選派方法有2+1+1=4種.答案:C3.（多選題）下列說法中正確的是(

)A.4封信投入到3個不同的信箱共有43種不同的投法B.從2,3,5,7四個