江蘇省徐州市高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試題（考試時間120分鐘試卷滿分150分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的.1.若全集，，，則.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由并集、補(bǔ)集運(yùn)算的定義直接求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所?故選：C2.命題：的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用全稱量詞命題的否定是存在題詞命題，再直接寫出命題的否定.【詳解】命題：是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題：的否定是：，故選：C3.若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】解法一：由化簡得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【詳解】解法一：因?yàn)椋?，所以，即，即，所?所以“”是“”的充要條件.解法二：充分性：因?yàn)椋?，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，即，即，所?所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.解法三：充分性：因?yàn)椋?，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成?所以“”是“”的充要條件.故選：C4.若，則（）.A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對數(shù)式化為指數(shù)式再求解．【詳解】∵，∴，，∴，故選：A．5.已知，則的最小值為（）.A.10 B.9 C.26 D.11【答案】D【解析】【分析】由基本不等式即可求解.【詳解】因，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為11.故選：D6.下列各組函數(shù)中，圖象不完全相同的是（）.A.和； B.和.C.和 D.，和，【答案】B【解析】【分析】根據(jù)各項(xiàng)函數(shù)解析式判斷它們的定義域及對應(yīng)圖象是否完全相同，即可得答案.【詳解】A：由解析式，兩函數(shù)的定義域均為，故與的圖象相同，不符；B：對于，其定義域?yàn)?，對于，其定義域?yàn)?，在上，即它們部分圖象相同，符合；C：由解析式，兩函數(shù)的定義域均為，則，與圖象相同，不符；D：顯然，和，的對應(yīng)法則和定義域都相同，即圖象相同，不符.故選：B7.若是方程的根，則（）.A. B. C.7 D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合韋達(dá)定理，通過平方關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)方程的另一根為，由韋達(dá)定理可得：，即，同時，所以，故選：C8.已知函數(shù).若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先討論、分別求得、，再討論并結(jié)合解析式，列不等式求參數(shù)m的范圍.【詳解】當(dāng)時，由，若時，，即，故；若時，，即，故；此時；當(dāng)時，由，所以或，即或（舍），若時，，即，顯然無解；若時，，即，故；此時；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列命題為真命題的是（）.A.若，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，則【答案】AD【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)及對勾函數(shù)的單調(diào)性逐個判斷即可.詳解】對于A：若，則正確；對于B：取，滿足，，顯然不成立，錯誤；對于C：取，滿足，，顯然不成立，錯誤，對于D：構(gòu)造函數(shù)：，由對勾函數(shù)的單調(diào)性知其在上遞增，又，所以，即，正確；故選：AD10.已知集合，集合，，則可能的取值是（）.A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】求出集合，由已知條件可得，根據(jù)集合的包含關(guān)系即可求得.【詳解】由集合，解得，因?yàn)?，所以，由集合可知，?dāng)時，解得，則，解得，與前提矛盾；當(dāng)時，不等式的解集為，則由可知，，解得，故可能取值為或.故選：AB11.若，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項(xiàng)的真假，其中D選項(xiàng)，利用三角換元及三角恒等變換進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，故A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故C正確；因?yàn)樽冃慰傻茫O(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時，即時，此時，取到最大值2，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的定義域?yàn)開__________.【答案】且【解析】【分析】由定義域的概念列出不等式求解即可.【詳解】由題意可得：，解得：且，所以定義域?yàn)椋呵遥蚀鸢笧椋呵?3.若，則的值為___________.【答案】2【解析】【分析】由指對數(shù)的互換及對數(shù)運(yùn)算即可求解.【詳解】由，可得：，所以，所以，故答案為：214.噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級：聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車A1080電動汽車B1040已知在距離燃油汽車、電動汽車的m處測得實(shí)際聲壓分別為，，則______.【答案】100【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)聲壓級定義及表格數(shù)據(jù)，應(yīng)用指對數(shù)關(guān)系求，，即可得結(jié)果.【詳解】由，則，由，則，所以.故答案為：100四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.計(jì)算：（1）（2）（3）【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)根式與指數(shù)式的互化結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得解；（2）利用換底公式及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（3）利用換底公式和根式與指數(shù)式的互化，再結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得解.【小問1詳解】原式=.【小問2詳解】原式=.【小問3詳解】原式=.16.設(shè)全集為，集合，.（1）當(dāng)時，求；（2）若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）解分式不等式得集合，然后由集合的運(yùn)算法則計(jì)算；（2）由是的必要條件得，然后根據(jù)集合的包含關(guān)系求解，注意分類討論．【小問1詳解】當(dāng)時，，或，=，；【小問2詳解】因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以.當(dāng)，,即時，符合題意；當(dāng)，即時，，或，化簡得：，或.綜上所述：或17.設(shè)命題，使得不等式恒成立；命題，使得一次函數(shù)的圖象不在軸下方.（1）若命題為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若命題，中恰有一個為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）問題轉(zhuǎn)化成恒成立，進(jìn)而可求解.（2）由真假，和假真兩類情況討論即可；【小問1詳解】當(dāng)命題為真命題時，,，.因?yàn)榈膶ΨQ軸為：，，所以當(dāng)時，取得最小值為，所以.解得：.【小問2詳解】當(dāng)命題為真命題時，則有，.因?yàn)楫?dāng)，的最大值為.所以.解得：，或.當(dāng)真假時，，解得.當(dāng)假真時，，解得.綜上所述：.18.如圖，某房地產(chǎn)開發(fā)公司要在矩形地塊上規(guī)劃出一塊五邊形地塊建造住宅區(qū).住宅區(qū)不能占用文物區(qū)，文物區(qū)可看作以為直角的等腰直角，設(shè)計(jì)時過作了一條直線，與交于，與交于；由實(shí)地測量知：，，.（1）設(shè)，將住宅區(qū)的面積表示為的函數(shù)，并注明定義域；（2）應(yīng)如何設(shè)計(jì)，可使住宅區(qū)的面積最大？并求出最大面積.【答案】（1），；（2），住宅區(qū)的面積最大值為.【解析】【分析】（1）過點(diǎn)作垂直于，垂直為，根據(jù)已知及得，應(yīng)用面積公式及，即可得關(guān)系式，注意定義域范圍；（2）令，則，再應(yīng)用基本不等式求最值，注意取值條件，即可得結(jié)果.【小問1詳解】過點(diǎn)作垂直于，垂直為，在等腰中，，，由得：，即，故，所以，所以，.【小問2詳解】令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取“=”.答：當(dāng)時，住宅區(qū)的面積最大，最大值為.19.已知二次函數(shù).（1）設(shè)，，證明：；（2）已知集合是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在非零常數(shù)，使得對任意實(shí)數(shù)，有恒成立.判斷函數(shù)是否屬于集合，并說明理由；（3）若對任意，不等式恒成立，求的最大值.【答案】（1）證明見解析（2），理由見解析（3）【解析】【分析】（1）由子集的定義證明；（2）根據(jù)新定義用反證法證明；（3）由不等式恒成立，結(jié)合判別式有，于是有，把不等式右邊化為的形式，并換元：，再利用對勾函數(shù)性質(zhì)及不等式的性質(zhì)求得結(jié)論．【小問1詳解】若，顯然有；若，設(shè)，則有；從而，故有；綜