28.2.2 應(yīng)用舉例 人教版數(shù)學(xué)九年級下冊教學(xué)課件

第二十八章銳角三角函數(shù)28.2.2應(yīng)用舉例第1課時人教版數(shù)學(xué)九年級下冊1.會運用解直角三角形和圓的知識解決實際問題.2.知道仰角和俯角的含義，會用三角函數(shù)解決觀測問題.學(xué)習(xí)目標

我們平時觀察物體時，視線相對于水平線來說有哪幾種情況？三種：重疊、向上和向下．提問今天我們就來學(xué)習(xí)與圓和俯角、仰角有關(guān)的解直角三角形問題.新課導(dǎo)入例1

2012年6月18日，“神舟”九號載人航天飛船與“天宮”一號目標飛行器成功實現(xiàn)交會對接.“神舟”九號與“天宮”一號的組合體在離地球表面343km的圓形軌道上運行，如圖.圓和解直角三角形的綜合運用知識點1知識講解當(dāng)組合體運行到地球表面P點的正上方時，從中能直接看到的地球表面最遠的點在什么位置？最遠點與P點的距離是多少(地球半徑約為6400km，π取3.142，結(jié)果取整數(shù))？提問能直接看到的地球表面最遠的點在什么位置？P從組合體中能直接看到的地球表面最遠點，應(yīng)是視線與地球相切時的切點．答思考：在平面圖形中，用什么圖形可表示地球，用什么圖形表示觀測點，請根據(jù)題中的相關(guān)條件畫出示意圖．如圖，用⊙O表示

，點F是

的位置，F(xiàn)Q是⊙O的

，Q為切點，則所求問題為

．

的長地球組合體切線解：在圖中，F(xiàn)Q是⊙O的切線，△FOQ是直角三角形．∵cosα=

=

≈0.9491，∴α≈18.36°．∴的長為PQ

×6400≈

×6400≈2051(km)．如圖是一個勻速旋轉(zhuǎn)的摩天輪示意圖，O為圓心，AB為水平地面，假設(shè)摩天輪的直徑為80m，最低點C離地面6m，旋轉(zhuǎn)一周所用的時間為6min，小明從點C乘坐摩天輪（身高忽略不計），請問：經(jīng)過2min后，小明離地面的高度是多少米？即學(xué)即練解：過E作EG垂直于CO的延長線于點G，∠COE=×360°=120°，∴∠GOE=60°.∴OG=OE·cos∠GOE=20（m）∴小明離地面的高度是OG+OC+CD=20+40+6=66（m）.與俯角、仰角有關(guān)的解直角三角形問題知識點2水平線鉛垂線視點視線仰角俯角思考你能概括出仰角、俯角的概念嗎？

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方時，視線與水平線所成的角叫仰角，視線在水平線下方時，視線與水平線所成的角叫俯角．

如圖，

BCA=

DEB=90

，F(xiàn)B//AC//

DE，從A看B的仰角是

；從B看A的俯角是

；從B看D的俯角是

；從D看B的仰角是

；∠FBD∠BDE

∠FBA

∠BAC

DACEBF水平線即學(xué)即練例2熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°，看這棟樓底部的俯角為60°，熱氣球與樓的水平距離為120m，這棟樓有多高（結(jié)果取整數(shù)）？（1）從熱氣球看一棟樓頂部的仰角為30°→α=30°．（2）從熱氣球看一棟樓底部的俯角為60°→β=60°．（3）熱氣球與高樓的水平距離為120m→AD=120m，AD⊥BC．ABCDαβ

解：如圖，α=30°，β=60°，AD=120．∵tanα=，tanβ=．∴BD=AD·tanα=120×tan30°

=120×

=，

CD=AD·tanβ=120×tan60°

=120×

=．∴BC=BD+CD=

+

=

≈277（m）．例3如圖,小明想測量塔CD的高度.他在A處仰望塔頂,測得仰角為30°,再往塔的方向前進50m至B處,測得仰角為60°,那么該塔有多高?(小明的身高忽略不計,結(jié)果精確到1m).請與同伴交流你是怎么想的，準備怎么去做.現(xiàn)在你能完成這個任務(wù)嗎?要解決這個問題,我們?nèi)孕鑼⑵鋽?shù)學(xué)化.DABC┌50m30°60°答:該塔約有43m高.解:如圖,根據(jù)題意可知,∠A=30°,∠DBC=60°,AB=50m.設(shè)CD=xm,則∠ADC=60°,∠BDC=30°,如圖，求旗桿AB的長度.解：∵AC⊥DC，∴∠C=90°∴∠BDC=45°,BC=DC=40m.∴即學(xué)即練1.如圖，有一圓弧形橋拱，拱的跨度AB=30m，拱形的半徑R=30m，則拱形的弧長等于

m.20π隨堂練習(xí)2.如圖，身高1.6m的小麗用一個兩銳角分別為30°和60°的三角尺測量一棵樹的高度，已知她與樹之間的距離為6m，那么這棵樹高大約為

m(結(jié)果精確到0.1m，其中小麗眼睛距離地面高度近似為身高).5.13.某校課外活動小組在距離湖面7m高的觀測臺A處，看湖面上空一熱氣球P的仰角為37°，看P在湖中的倒影P′的俯角為53°（P′為P關(guān)于湖面的對稱點）．請你算出這個熱氣球P距湖面的高度PC約為多少米？解：設(shè)過點A的水平線交PP′于點D，則DC=AB=7，設(shè)AD=x.則PD=AD·tan37°≈34x.P′D=AD·tan53°≈43x.∵P′、P關(guān)于直線BC對稱，∴PC=P′C.即PD+DC=P′D-DC.4.已知鐵環(huán)的半徑為5個單位（每個單位為5cm），設(shè)鐵環(huán)中心為O，鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切點為M，鐵環(huán)與地面接觸點為A，∠MOA=α，且sinα=．（1）求點M離地面AC的高度BM；（2）設(shè)人站立點C與點A的水平距離AC等于11個單位，求鐵環(huán)鉤MF的長度.拓展練習(xí)解：（1）過點M作MD⊥OA于D.則四邊形ABMD是矩形.∴BM=AD，AB=DM.又MD=OM·sinα=5×5×=15.∴AD=OA-OD=5,∴BM=5cm.延長DM交FC于點E.ME=BC=AC-AB=11×5-15=40.又∵∠FME=∠MOD=α,cosα=,在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.水平線鉛垂線視點視線仰角俯角課堂小結(jié)第二十八章銳角三角函數(shù)28.2.2應(yīng)用舉例第2課時人教版數(shù)學(xué)九年級下冊1.能根據(jù)方向角畫出相應(yīng)的圖形，會用解直角三角形的知識解決方位問題.

2.知道坡度與坡角的含義，能利用解直角三角形的知識解決與坡度有關(guān)的實際問題.學(xué)習(xí)目標畫出方向圖（表示東南西北四個方向的）并依次畫出表示東南方向、西北方向、北偏東65度、南偏東34度方向的射線.北南西東北偏東65度南偏東34度東南西北溫故知新例1

一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80nmile的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時，B處距距離燈塔P有多遠（結(jié)果取整數(shù)）？方向角類型的解直角三角形問題知識點1思考：根據(jù)題意，你能畫出示意圖嗎？知識講解提問結(jié)合題目的條件，你能確定圖中哪些線段和角？PA=80，∠A=65°，∠B=34°.要求的問題是什么？你能寫出解答過程嗎？PB之間的距離.解：如圖在Rt△APC中，

PC=PA·cos（90°-65°）

=80×cos25°≈72.505．在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB=，∴PB=

=≈130（nmile）．

a.將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題；b.根據(jù)問題中的條件，適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)等解直角三角形；c.得到數(shù)學(xué)問題的答案；d.得到實際問題的答案.

你能小結(jié)出利用解直角三角形的知識解決實際問題的一般思路嗎？問你認為貨船繼續(xù)向西航行途中會有觸礁的危險嗎?B25oC201.審題，畫圖.大海中有一個小島A,該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨船由東向西航行,開始在A島南偏東55°的B處,往西行駛20海里后到達該島南偏東25°的C處之后,貨船繼續(xù)向西航行.55°被觀測點A（參考數(shù)據(jù)：sin55o≈0.819,cos55o≈0.574,tan55o≈1.428,sin25o≈0.423,cos25o≈0.906,tan25o≈0.466)北D觀測點即學(xué)即練BC20DAx2.確定已知和未知.3.設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，列方程CDAx25o解：根據(jù)題意可知，∠BAD=55°，∠CAD=25°，BC=20海里.設(shè)AD=x，則答:貨輪繼續(xù)向西航行途中沒有觸礁的危險.4.解方程，結(jié)論.55oBDAx坡度類型的解直角三角形問題知識點2Lhα問題：我們經(jīng)常說某某山的坡度很陡，那么坡度究竟是指什么呢？提問你能根據(jù)圖示給出坡度的定義嗎？坡面的垂直高度h和水平寬度L的比叫坡度（或叫坡比）用字母表示為.坡面與水平面的夾角記作α（叫坡角）則tanα=.12例2如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，斜面坡度i=1:1.5是指坡面的鉛直高度AF與水平寬度BF的比，斜面坡度i=1:3是指DE與CE的比，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求：

（1）坡角α

和β

的度數(shù)；（2）斜坡AB的長(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)．解：（1）∵tanα＝1:1.5，tanβ＝1:3，

利用計算器可求得α≈33.7°，β≈18.4°；（2）∵tanα＝1:1.5，又AF＝6m，

∴BF＝9m，由勾股定理得AB≈10.8m.如圖,水庫大壩的截面是梯形ABCD,其中AD∥BC,壩頂AD=6m,坡長CD=8m.坡底BC=30m,∠ADC=135°.(1)求∠ABC的大小（精確到1°）;(2)如果壩長100m,那么修建這個大壩共需多少土石料(結(jié)果精確到0.01m3).ABCD即學(xué)即練ABCD6m8m30m135°解：（1）過點D作DE⊥BC于點E,過點A作AF⊥BC于點F.E┐F┌∴∠ABC≈17°.答:∠ABC約為17°.（2）再求體積!先算面積!答:修建這個大壩共需土石料約10182.34m3.1.已知外婆家在小明家的正東方，學(xué)校在外婆家的北偏西40°，外婆家到學(xué)校與小明家到學(xué)校的距離相等，則學(xué)校在小明家的（）A.南偏東50° B.南偏東40°C.北偏東50° D.北偏東40°D隨堂練習(xí)2.如圖，某村準備在坡度為i=1:1.5的斜坡上栽樹，要求相鄰兩棵樹之間的水平距離為5m，則這兩棵樹在坡面上的距離AB為

m.（結(jié)果保留根號）3.為方便行人橫過馬路，打算修建一座高5m的過街天橋.已知天橋的斜面坡度為1:1.5，計算斜坡AB的長度(結(jié)果取整數(shù)).解：，AC=5，∴BC=1.5×5=7.5.4.某型號飛機的機翼形狀如圖所示.根據(jù)圖中數(shù)據(jù)計算AC,BD和AB的長度(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位).解：如圖所示，在Rt△BDE中，BE=5.00，∠DBE=30°,∴DE=BE·tan30°=,在Rt△ACF中，CF=BE=5.00，∠FCA=45°，∴AF=CF=5.00，∴AC=CF=5≈7.07(m).∴AB=BF-AF=DE+CD-AF

=+3.40-5.00≈1.29(m).5、如圖，在一次暖氣管道的鋪設(shè)工作中，工程是由A點出發(fā)沿正西方向進行的，在A點的南偏西60°的方向上有一所學(xué)校，學(xué)校占地是以B點為中心方圓100米的圓形，當(dāng)工程進行了200米時到達C處，此時B在C的南偏西30°的方向上，請根據(jù)題中所提供的信息計算、分析一下，工程繼續(xù)進行下去，是否會穿過學(xué)校？解：過點B作BD⊥AD于點D，EA⊥CA于點A，F(xiàn)C⊥CA于點C，

由題意得∠BAE=60°，∠BCF=30°∴∠CAB=30°，

∴∠DCB=60°，∴∠DBC=30°，

∴∠CBA=∠CBD-∠CAB=30°，

∴∠CAB=∠CBA，∴AC=CB=200m，

∴在Rt△BCD中，BD=BC?sin60°