《oint類與向量》課件

關(guān)節(jié)類和向量關(guān)節(jié)是人體運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵,由多個(gè)連接的骨頭組成。向量則是描述物體方向和大小的數(shù)學(xué)概念,在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)中廣泛應(yīng)用。本節(jié)將詳細(xì)介紹這兩個(gè)重要的概念及其在3D動(dòng)畫中的應(yīng)用。Joint類的基本概念1關(guān)節(jié)自由度Joint類描述機(jī)器人關(guān)節(jié)的空間自由度,決定了關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)范圍。2關(guān)節(jié)屬性Joint類包含關(guān)節(jié)位置、角度、速度、扭矩等關(guān)鍵屬性,用于描述關(guān)節(jié)的狀態(tài)。3運(yùn)動(dòng)學(xué)分析Joint類在機(jī)器人正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析中起關(guān)鍵作用,是建立運(yùn)動(dòng)模型的基礎(chǔ)。Joint類的常見類型萬向節(jié)自由度高，可360度旋轉(zhuǎn)，常用于機(jī)械臂設(shè)計(jì)?；瑒?dòng)關(guān)節(jié)允許沿一個(gè)軸移動(dòng)，廣泛應(yīng)用于各類機(jī)械設(shè)備。鉸鏈關(guān)節(jié)僅允許繞一個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，簡(jiǎn)單可靠，常見于機(jī)械手等。球面關(guān)節(jié)可實(shí)現(xiàn)三個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，多見于機(jī)器人和醫(yī)療設(shè)備。Joint類的定義與分類1Joint類的定義Joint是機(jī)器人和計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中用來表示物體連接點(diǎn)的基本概念。它通過3個(gè)維度來描述位置和姿態(tài)信息。2Joint類的分類Joint可以分為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)和移動(dòng)關(guān)節(jié)兩種主要類型。轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)用于表示繞某個(gè)軸的旋轉(zhuǎn)，而移動(dòng)關(guān)節(jié)用于表示沿某個(gè)軸的平移。3關(guān)節(jié)的自由度不同類型的Joint擁有不同數(shù)量的自由度,表示它在空間中的運(yùn)動(dòng)自由度。常見的有1自由度、2自由度和3自由度的關(guān)節(jié)。Joint類的屬性關(guān)節(jié)自由度關(guān)節(jié)類具有不同的自由度,即可以移動(dòng)的方向和范圍。這決定了關(guān)節(jié)在空間中的運(yùn)動(dòng)能力。關(guān)節(jié)位置和姿態(tài)關(guān)節(jié)類可以表示關(guān)節(jié)在空間中的位置和姿態(tài),包括角度、軸向等信息。這是描述關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的重要參數(shù)。關(guān)節(jié)力矩關(guān)節(jié)類還可以表示關(guān)節(jié)所施加的力矩,這是描述關(guān)節(jié)受力狀態(tài)的關(guān)鍵屬性。Joint類的坐標(biāo)系關(guān)節(jié)類(Joint)是機(jī)器人學(xué)中描述關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的基本單元,它定義了關(guān)節(jié)的坐標(biāo)系。坐標(biāo)系是決定關(guān)節(jié)位置和姿態(tài)的重要參考系,包含原點(diǎn)、坐標(biāo)軸和坐標(biāo)值。關(guān)節(jié)類的坐標(biāo)系通常采用右手坐標(biāo)系,其中x軸指向前方,y軸指向左側(cè),z軸指向上方。這種坐標(biāo)系可以直觀地描述機(jī)器人手臂或腿部的運(yùn)動(dòng)軌跡和位置關(guān)系。Joint類的位置與姿態(tài)表示空間位置Joint類的空間位置可以用三維笛卡爾坐標(biāo)系(X,Y,Z)來表示?？臻g姿態(tài)關(guān)節(jié)的空間姿態(tài)可以通過三個(gè)歐拉角(Roll,Pitch,Yaw)來描述。坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換通過旋轉(zhuǎn)矩陣可以在不同坐標(biāo)系之間進(jìn)行位置和姿態(tài)的轉(zhuǎn)換。向量的概念向量的定義向量是既有大小又有方向的數(shù)學(xué)實(shí)體,可以用來描述物理世界中的速度、力、位移等物理量。向量的表示向量通常用粗體字母或帶箭頭的符號(hào)來表示,如a、v?。向量的大小稱為?；蜷L(zhǎng)度,方向用角度表示。向量的作用向量可以用來描述物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),并進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算,如加法、減法、數(shù)乘等,進(jìn)而解決實(shí)際問題。向量的三種表示形式坐標(biāo)向量向量可以由起始點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)成的數(shù)組表示,例如(x,y,z)。這種形式直觀且便于計(jì)算運(yùn)算。分量形式向量也可以由各個(gè)分量值構(gòu)成的數(shù)組表示,例如(a,b,c)。這種形式更加簡(jiǎn)潔,適用于抽象數(shù)學(xué)計(jì)算。單位向量向量還可以由方向和大小兩部分構(gòu)成,其中方向用單位向量表示,大小用長(zhǎng)度或范數(shù)表示。這種形式直觀形象。向量的基本運(yùn)算1向量加法兩個(gè)向量相加，結(jié)果仍是一個(gè)向量2向量減法兩個(gè)向量相減，結(jié)果仍是一個(gè)向量3向量數(shù)乘向量乘以一個(gè)標(biāo)量，結(jié)果仍是一個(gè)向量向量的基本運(yùn)算包括向量加法、向量減法和向量數(shù)乘。這些基本運(yùn)算是學(xué)習(xí)線性代數(shù)的基礎(chǔ),能夠幫助我們更好地理解向量在幾何空間中的性質(zhì)和運(yùn)用。向量的加減運(yùn)算1向量的加法將兩個(gè)向量相加獲得新的向量2向量的減法從一個(gè)向量中減去另一個(gè)向量得到新的向量3向量的線性組合使用標(biāo)量因子將多個(gè)向量相加向量的加法和減法是兩種基本的向量運(yùn)算。通過這些運(yùn)算，我們可以構(gòu)建更復(fù)雜的向量表達(dá)式來描述物理和幾何關(guān)系。理解這些基本運(yùn)算對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)更高級(jí)的向量代數(shù)概念和應(yīng)用非常重要。向量的數(shù)乘運(yùn)算1概念向量的數(shù)乘指的是將一個(gè)向量與一個(gè)實(shí)數(shù)相乘的運(yùn)算。結(jié)果仍然是一個(gè)向量。2性質(zhì)數(shù)乘運(yùn)算滿足交換律、分配律和結(jié)合律等性質(zhì)。對(duì)向量進(jìn)行數(shù)乘可以改變其長(zhǎng)度和方向。3應(yīng)用數(shù)乘運(yùn)算在許多場(chǎng)景中有廣泛應(yīng)用,如縮放向量大小、改變變換方向等。它是向量代數(shù)中的一項(xiàng)基本運(yùn)算。向量的內(nèi)積運(yùn)算1定義兩個(gè)向量的內(nèi)積定義為這兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)分量乘積的和。2計(jì)算通過坐標(biāo)乘以對(duì)應(yīng)坐標(biāo)并求和來計(jì)算內(nèi)積。3性質(zhì)內(nèi)積滿足交換律和分配律等基本性質(zhì)。向量的內(nèi)積運(yùn)算是向量空間中最基本的運(yùn)算之一，能夠反映兩個(gè)向量之間的關(guān)系。內(nèi)積定義簡(jiǎn)單明了,通過計(jì)算即可得到向量之間的夾角余弦值,為后續(xù)的向量分析和計(jì)算提供了重要依據(jù)。向量的外積運(yùn)算1相互垂直向量a和b所對(duì)應(yīng)的外積c是一個(gè)與a和b都垂直的向量。2方向確定外積c的方向遵循右手螺旋定則。3大小計(jì)算外積c的大小等于a和b的面積。向量的外積是一種特殊的向量運(yùn)算,它可以用來計(jì)算兩個(gè)向量所張成的平行四邊形的面積,并且得到的結(jié)果仍然是一個(gè)向量。外積運(yùn)算不滿足交換律,但是滿足其他向量運(yùn)算的基本性質(zhì)。向量的范數(shù)向量范數(shù)表示向量的大小或長(zhǎng)度L1范數(shù)（曼哈頓范數(shù)）各分量絕對(duì)值之和L2范數(shù)（歐式范數(shù)）各分量平方和的平方根L∞范數(shù)（最大絕對(duì)值范數(shù)）所有分量絕對(duì)值中的最大值向量的范數(shù)是一種度量向量大小的指標(biāo)。常見的三種范數(shù)分別是L1范數(shù)、L2范數(shù)和L∞范數(shù)，表示方式各不相同。在實(shí)際應(yīng)用中可根據(jù)需要選擇合適的范數(shù)。向量的單位向量定義單位向量是指長(zhǎng)度為1的向量，用來表示方向而不具有大小。計(jì)算方法將向量除以其長(zhǎng)度（范數(shù)）即可得到單位向量。應(yīng)用單位向量廣泛應(yīng)用于物理、幾何、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等領(lǐng)域，用于描述方向。向量的線性組合定義向量的線性組合是指將一組向量按照一定的系數(shù)相加得到的新向量。這是向量空間中最基本的運(yùn)算之一。表示方法向量的線性組合可以用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為:v=a1u1+a2u2+...+anun，其中a1,a2,...,an為標(biāo)量系數(shù)。性質(zhì)向量的線性組合滿足加法和數(shù)乘的基本性質(zhì),是向量空間的基本運(yùn)算之一。向量的線性相關(guān)性定義如果一組向量可以表示為另一組向量的線性組合,則稱這組向量是線性相關(guān)的。否則,稱這組向量是線性無關(guān)的。判斷標(biāo)準(zhǔn)若一組向量中存在一個(gè)向量可以表示為其他向量的線性組合,則這組向量是線性相關(guān)的。如果所有向量都不可以表示為其他向量的線性組合,則這組向量是線性無關(guān)的。應(yīng)用場(chǎng)景線性相關(guān)性在矩陣?yán)碚?、線性代數(shù)、信號(hào)處理等眾多領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用,用于判斷向量組的獨(dú)立性和表示方式。向量空間的概念向量空間定義向量空間是一個(gè)由向量組成的集合,具有加法和數(shù)乘兩種基本運(yùn)算,滿足一系列代數(shù)公理。向量在此集合中相互之間可以執(zhí)行加法和數(shù)乘運(yùn)算。向量空間的性質(zhì)向量空間具有封閉性、交換性、結(jié)合性等基本代數(shù)性質(zhì),使向量運(yùn)算可以按照預(yù)期方式進(jìn)行。這些性質(zhì)保證了向量空間作為一個(gè)良好的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。向量空間的應(yīng)用向量空間廣泛應(yīng)用于物理、工程、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域,用于描述和分析各種實(shí)際問題中涉及的向量和線性關(guān)系。向量空間是線性代數(shù)的核心概念。向量空間的性質(zhì)1封閉性向量空間中任意兩個(gè)向量的加法和數(shù)乘都屬于該向量空間。2線性相關(guān)性向量空間內(nèi)存在線性相關(guān)的向量,即某些向量可以用其他向量的線性組合表示。3內(nèi)積向量空間中可以定義內(nèi)積運(yùn)算,使向量空間具有內(nèi)積結(jié)構(gòu)。4投影向量在向量空間中可以進(jìn)行正交投影,得到在某個(gè)子空間上的投影向量。向量空間的基與維數(shù)向量空間的基向量空間中的一組線性無關(guān)的向量稱為該向量空間的基。基可以唯一地表示向量空間中任一向量。向量空間的維數(shù)向量空間的維數(shù)為基中向量的個(gè)數(shù)。維數(shù)反映了向量空間的大小和復(fù)雜度?；c坐標(biāo)表示向量空間中任一向量都可以用基向量的線性組合來表示?；蛄康南禂?shù)即為該向量在該基下的坐標(biāo)。正交基與正交向量正交基的概念正交基是線性無關(guān)的向量集合，其中任意兩個(gè)向量都是正交的。這種向量集合構(gòu)成了一個(gè)向量空間的基。正交向量的性質(zhì)正交向量滿足內(nèi)積為0的條件，即它們之間沒有任何線性相關(guān)性。這樣的向量集合具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)。Gram-Schmidt正交化通過Gram-Schmidt正交化過程，可以從一組線性無關(guān)的向量構(gòu)造出一組正交基。這是一種重要的數(shù)學(xué)工具。Gram-Schmidt正交化過程選取一組線性無關(guān)向量從給定的向量集合中選取一組線性無關(guān)的向量作為初始基。正交化過程采用Gram-Schmidt正交化方法，將初始基正交化得到正交基。單位化正交基將正交基向量單位化得到標(biāo)準(zhǔn)正交基。向量在正交基上的表示任意向量都可以表示為標(biāo)準(zhǔn)正交基上的線性組合。向量在正交基上的表示在正交基中表示向量可以大大簡(jiǎn)化向量的計(jì)算和分析。通過正交基的性質(zhì)，我們可以將向量唯一地分解為沿每個(gè)正交基向量的分量。這種表示形式使向量的幾何意義更加清晰，并簡(jiǎn)化了向量的各種運(yùn)算。1分量表示向量在正交基上的表示由各分量組成2正交性正交基向量彼此正交，相互獨(dú)立3唯一性向量在正交基上的分解是唯一的仿射空間的概念坐標(biāo)系仿射空間中存在一個(gè)坐標(biāo)系,用于描述空間中的位置和方向關(guān)系。線性性質(zhì)仿射空間具有線性性質(zhì),可以進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)等線性變換。變換性質(zhì)仿射空間中的點(diǎn)可以經(jīng)過各種線性變換,如平移、縮放、旋轉(zhuǎn)等。仿射空間的性質(zhì)封閉性仿射空間中的任意兩個(gè)向量的和仍然屬于該空間,保持了向量空間的基本性質(zhì)。平行性仿射空間中的向量可以平行移動(dòng),不會(huì)改變其方向和大小,這種性質(zhì)在幾何變換中很重要。齊性仿射空間中的所有點(diǎn)都具有相同的性質(zhì),沒有特殊的區(qū)分,體現(xiàn)了幾何對(duì)象的均勻性?？汕度胄苑律淇臻g可以嵌入到更高維的空間中,保持了幾何對(duì)象的基本性質(zhì)。仿射空間中的線性變換1定義線性變換是仿射空間中的一種特殊變換,它保持了向量之間的線性關(guān)系。它可以表示為矩陣乘法的形式。2性質(zhì)線性變換具有保持加法和數(shù)乘的性質(zhì),即它能將向量的加法和數(shù)乘保持不變。3應(yīng)用線性變換在圖形變換、機(jī)器學(xué)習(xí)、計(jì)算機(jī)視覺等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用,是仿射幾何的基礎(chǔ)。仿射變換的性質(zhì)1保持直線性仿射變換保持直線和平面的直線性,即直線變直線,平面變平面。2保持平行性仿射變換保持相互平行的直線或平面在變換后仍然平行。3不保持長(zhǎng)度和角度仿射變換一般不會(huì)保持長(zhǎng)度和角度,只會(huì)保持比例關(guān)系。4可逆性仿射變換通常是可逆的,存在唯一的逆變換來恢復(fù)原狀。幾何變換的分類平移變換將圖形沿一定方向和距離移動(dòng)的變換。保留形狀和大小不變。旋轉(zhuǎn)變換將圖形繞某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度的變換