第09講 余角和補(bǔ)角（2個知識點(diǎn)+2類熱點(diǎn)題型講練+習(xí)題鞏固）（解析版）-A4

第頁第09講余角和補(bǔ)角課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①余角和補(bǔ)角②余角和補(bǔ)角的性質(zhì)掌握余角與補(bǔ)角的概念及其性質(zhì)，并能夠熟練的對其應(yīng)用。知識點(diǎn)01余角和補(bǔ)角余角：如果兩個角的和等于90°，則這兩個角互余。即若∠1＋∠2＝90°，則∠1與∠2互余或∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。補(bǔ)角：如果兩個角的和等于180°，則這兩個角互補(bǔ)。即若∠1＋∠2＝180°，則∠1與∠2互補(bǔ)或∠1是∠2的補(bǔ)角或∠2是∠1的補(bǔ)角。注意：余角和補(bǔ)角都是兩個角的數(shù)量關(guān)系?！炯磳W(xué)即練1】1．已知∠α＝37°，則∠α的余角度數(shù)是（）A．43° B．53° C．143° D．153°【分析】如果兩個角的和是90°，那么這兩個互為余角，由此計算即可．【解答】解：若∠α＝37°，則∠α的余角為90°﹣37°＝53°，故選：B．【即學(xué)即練2】2．已知∠a＝35°30′12″，則它的補(bǔ)角為（）A．144°29′48″ B．54°29′48″ C．144°30′48″ D．154°29′48″【分析】根據(jù)補(bǔ)角及角度的運(yùn)算可進(jìn)行求解．【解答】解：由題意得：180°﹣35°30′12″＝144°29′48″，所以∠α的補(bǔ)角為144°29′48″，故選：A．知識點(diǎn)02余角和補(bǔ)角的性質(zhì)余角和補(bǔ)角的性質(zhì)：同角的余角相等。即∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠3，則∠1＝∠3。同角的補(bǔ)角相等。即∠1的補(bǔ)角是∠2，∠2的補(bǔ)角是∠3，則∠1＝∠3。等角的余角相等。即若∠1＝∠2，∠1的余角是∠3，∠2的余角是∠4，則∠3＝∠4。等角的補(bǔ)角相等。即若∠1＝∠2，∠1的補(bǔ)角是∠3，∠2的補(bǔ)角是∠4，則∠3＝∠4。一個角的補(bǔ)角比這個角的余角大90°?！炯磳W(xué)即練1】3．若∠1與∠2互補(bǔ)，∠2與∠3互補(bǔ)，則∠1與∠3的關(guān)系為（）A．互余 B．互補(bǔ) C．相等 D．以上都不對【分析】根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵∠1與∠2互補(bǔ)，∠2與∠3互補(bǔ)，∴∠1與∠3相等．故選：C．【即學(xué)即練2】4．若∠A和∠B互為余角，∠B與∠C互補(bǔ)，∠C＝150°．則∠A等于（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】先根據(jù)∠B與∠C互補(bǔ)以及∠C的度數(shù)求出∠B的度數(shù)，然后根據(jù)∠A和∠B互為余角即可求出∠A的度數(shù)．【解答】解：∵∠B與∠C互補(bǔ)，∠C＝150°，∴∠B＝180°﹣150°＝30°，∵∠A和∠B互為余角，∴∠A＝90°﹣30°＝60°．故選：C．題型01求余角和補(bǔ)角【典例1】若∠1＝43°，則∠1的余角是（）A．43° B．47° C．57° D．137°【分析】利用互為余角的兩角之和為90°，從而可求解．【解答】解：∵∠1＝43°，∴∠1的余角為：90°﹣∠1＝47°．故選：B．【變式1】若∠B與∠C互補(bǔ)，∠C＝150°，則∠B＝30°．【分析】根據(jù)度數(shù)之和為180度的兩個角互補(bǔ)求出∠B的度數(shù)．【解答】解：∵∠B與∠C互補(bǔ)，∠C＝150°，∴∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣150°＝30°，故答案為：30°．【變式2】若∠α＝70°，則∠α的余角的補(bǔ)角度數(shù)是（）A．130° B．160° C．30° D．20°【分析】先求出∠α的余角，再求出20°的補(bǔ)角度數(shù)，即可作答．【解答】解：∵∠α＝70°，∴∠α的余角＝90°﹣70°＝20°，∴20°的補(bǔ)角度數(shù)是180°﹣20°＝160°，則∠α的余角的補(bǔ)角度數(shù)是160°．故選：B．【變式3】如果一個角的補(bǔ)角是60°，那么這個角的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【分析】根據(jù)度數(shù)之和為180度的兩個角互補(bǔ)進(jìn)行求解即可．【解答】解：∵一個角的補(bǔ)角是60°，∴這個角的度數(shù)是180°﹣60°＝120°，故選：D．題型02余角和補(bǔ)角的性質(zhì)的應(yīng)用【典例1】若∠α的余角為54°32′，則∠α的補(bǔ)角的大小是（）A．35°28′ B．45°38′ C．144°32′ D．154°38′【分析】根據(jù)余角的定義，先求出∠α，再求出它的補(bǔ)角即可．【解答】解：∵∠α的余角為54°32′，∴∠α＝35°28′，∴∠α的補(bǔ)角＝180°﹣35°28′＝144°32′．故選：C．【變式1】如果一個角的補(bǔ)角是110°，則這個角的余角的度數(shù)是（）A．30° B．20° C．70° D．110°【分析】根據(jù)余角和補(bǔ)角的概念列式計算．【解答】解：設(shè)這個角為x，由題意得x+110°＝180°，解得x＝70°，則這個角的余角的度數(shù)是90°﹣70°＝20°．故選：B．【變式2】已知：0°＜∠1＜180°，0°＜∠2＜180°，且∠1的補(bǔ)角等于∠2的余角，則下列結(jié)論一定正確的是（）A．∠1是銳角 B．∠2是鈍角 C．∠1﹣∠2＝90° D．∠1+∠2＝180°【分析】根據(jù)題意一一判斷即可．【解答】解：A．根據(jù)題意得180°﹣∠1＝90°﹣∠2，化簡得∠1﹣∠2＝90°，由于角大于零，則∠1是鈍角，故本選項不符合題意；B．根據(jù)∠2有余角，可以推斷出∠2是銳角，不是鈍角，故本選項不符合題意；C．根據(jù)∠1的補(bǔ)角：180°﹣∠1，∠2的余角：90°﹣∠2，根據(jù)題意得：180°﹣∠1＝90°﹣∠2，化簡得∠1﹣∠2＝90°，故本選項符合題意；D．無法判斷∠1+∠2＝180°，故本選項不符合題意；故選：C．【變式3】如果∠1與∠2互余，∠2與∠3互補(bǔ)，則∠3與∠1的關(guān)系是（）A．∠3＝∠1 B．∠3＝90°+∠1 C．∠3＝90°﹣∠1 D．∠3＝180°﹣∠1【分析】根據(jù)∠1與∠2互余，∠2與∠3互補(bǔ)，可得∠1+∠2＝90°①，∠2+∠3＝180°②，通過求差，可得∠3與∠1的關(guān)系．【解答】解：∵∠1與∠2互余，∠2與∠3互補(bǔ)，∴∠1+∠2＝90°①，∠2+∠3＝180°②，②﹣①得，∠3﹣∠1＝180°﹣90°＝90°，變形為：∠3＝90°+∠1，故選：B．【變式4】如圖，在三角形ABC中，∠ACB＝90°．D是AB邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)D不與A，B重合），過點(diǎn)D，C作射線DE，與邊CB，CA形成夾角分別為∠1，∠2，則∠1與∠2滿足數(shù)量關(guān)系（）A．∠2＝2∠1 B．∠2+∠1＝180° C．∠2+2∠1＝180° D．∠2﹣∠1＝90°【分析】根據(jù)∠2與∠ACD互補(bǔ)，∠1與∠ACD互余可得∠2+∠ACD＝180°，∠1+∠ACD＝90°，列式相減即可得出結(jié)論．【解答】解：由圖可知∠2與∠ACD互補(bǔ)，∠1與∠ACD互余，∴∠2+∠ACD＝180°（1），∠1+∠ACD＝90°（2），（2）﹣（1）得∠2﹣∠1＝90°．故選：D．1．如果一個角的余角是30°，那么這個角的補(bǔ)角的度數(shù)是（）A．30° B．60° C．90° D．120°【分析】先根據(jù)余角的定義求出這個角的度數(shù)，進(jìn)而可求出這個角的補(bǔ)角．【解答】解：由題意，得：180°﹣（90°﹣30°）＝180°﹣60°＝120°．故這個角的補(bǔ)角的度數(shù)是120°．故選：D．2．如圖，將一副直角三角板的直角頂點(diǎn)重疊在一起，可以推導(dǎo)出∠AOC＝∠DOB，最合理的理由是（）A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的補(bǔ)角相等 D．等角的補(bǔ)角相等【分析】根據(jù)同角的余角相等進(jìn)行分析即可．【解答】解：由題意得：∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC+∠BOC＝90°，∠DOB+∠BOC＝190°，∴∠AOC＝∠DOB（同角的余角相等）．故選：A．3．如圖，是一副三角尺的擺放位置，下列說法正確的是（）A．∠α和∠β互余 B．∠α和∠β互補(bǔ) C．∠α和∠β相等 D．∠α+∠β＝105°【分析】根據(jù)平角的定義，得到∠α+∠β＝90°，即可得出結(jié)論．【解答】解：由圖可知：∠α+90°+∠β＝180°，∴∠α+∠β＝90°，∴∠α和∠β互余；故選：A．4．一個角的補(bǔ)角是72°3'，則他的余角是（）A．22°3' B．17°57' C．107°57' D．沒有余角【分析】根據(jù)補(bǔ)角和余角的定義，以及度分秒的進(jìn)制進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：∵一個角的補(bǔ)角為72°3?，∴這個角＝180°﹣72°3′＝179°60′﹣72°3′＝107°57′，∵107°57′＞90°，∴這個角沒有余角．故選：D．5．如圖，一副三角尺按不同的位置擺放，擺放位置中∠α＝∠β的圖形個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)直角三角板可得第一個圖形∠β＝45°，進(jìn)而可得∠α＝45°；根據(jù)余角和補(bǔ)角的性質(zhì)可得第二個圖形、第四個圖形中∠α＝∠β，第三個圖形∠α和∠β互補(bǔ)．【解答】解：根據(jù)角的和差關(guān)系可得第一個圖形∠α＝∠β＝45°，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得第二個圖形∠α＝∠β，第三個圖形∠α+∠β＝180°，不相等，根據(jù)同角的余角相等可得第四個圖形∠α＝∠β，因此∠α＝∠β的圖形個數(shù)共有3個，故選：C．6．如圖，已知∠AOC＝∠BOD＝90°，且∠AOD＝128°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．38° B．48° C．52° D．60°【分析】求出∠COD＝128°﹣90°＝38°，即可得到∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝52°【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝128°，∴∠COD＝128°﹣90°＝38°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝90°﹣38°＝52°．故選：C．7．若∠1與∠2互為余角，∠1與∠3互為補(bǔ)角，則下列結(jié)論：①∠3﹣∠2＝90°；②∠3+∠2＝270°﹣2∠1；③∠3﹣∠1＝2∠2；④∠3＜∠1+∠2．其中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】根據(jù)互余的兩角之和為90°，互補(bǔ)的兩角之和為180°，即可求出有關(guān)的結(jié)論．【解答】解：∵∠1+∠2＝90°（1），∠1+∠3＝180°（2），∴（2）﹣（1）得，∠3﹣∠2＝90°，∴①正確．（1）+（2）得，∠3+∠2＝270°﹣2∠2，∴②正確．（2）﹣（1）×2得，∠3﹣∠1＝2∠2，∴③正確．由∠1+∠3＝180°，∠1+∠2＝90°，得，∠3＝180°﹣∠1＝2∠1+2∠2﹣∠1＝∠1+2∠2，∴∠3＞∠1+∠2，∴④錯誤．故選：B．8．下列說法中，錯誤的是（）①若∠1+∠2+∠3＝180°，則這三個角互補(bǔ)②若線段AC＝CB，則點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)③一個角的補(bǔ)角一定是銳角④若∠α與∠β互余，則∠α的補(bǔ)角比∠β大90°A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④【分析】根據(jù)補(bǔ)角、余角定義以及線段中點(diǎn)的定義進(jìn)行逐個判斷即可．【解答】解：因為補(bǔ)角是兩個角之和是180°的關(guān)系，故①錯誤；若線段AC＝CB，則點(diǎn)C不一定是線段AB的中點(diǎn)，如故②錯誤；因為一個角的補(bǔ)角不一定是銳角，比如30°的補(bǔ)角是150°，是一個鈍角，故③錯誤；若∠α與∠β互余，則∠α+∠β＝90°，∴（180°﹣∠α）﹣∠β＝180°﹣（∠α+∠β）＝180°﹣90°＝90°，即∠α的補(bǔ)角比∠β大90°，故④正確．故選：C．9．如圖，點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn)，OC平分∠AOE，∠DOE＝90°，則以下結(jié)論：①∠AOD與∠BOE互為余角；②∠AOD＝∠COE；③∠BOE＝2∠COD；④若∠BOE＝58°，則∠COE＝61°．其中正確的是（）A．只有①④ B．只有①③④ C．只有③④ D．①②③④【分析】根據(jù)補(bǔ)角以及角平分線的定義解決此題．【解答】解：①由∠DOE＝90°，得∠AOD+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝90°，那么∠AOD與∠BOE互為余角，故①正確．②由OC平分∠AOE，得∠AOC＝∠COE，無法推斷得到∠AOD＝∠COE，故②錯誤．③設(shè)∠COD＝x，由∠DOE＝90°，得∠COE＝90°﹣x．由OC平分∠AOE，得∠AOC＝∠COE，那么∠AOD＝90°﹣2x，進(jìn)而推斷出∠BOE＝2x，也就是說∠BOE＝2∠COD，故③正確．④由∠BOE＝58°，得∠AOE＝180°﹣∠BOE＝122°．由OC平分∠AOE，得∠COE＝＝61°，故④正確．綜上：正確的有①③④．故選：B．10．按如圖的方法折紙，下列說法不正確的是（）A．∠1與∠3互余 B．∠2＝90° C．AE平分∠BEF D．∠1與∠AEC互補(bǔ)【分析】利用折疊的性質(zhì)及余角和補(bǔ)角的定義進(jìn)行分析即可判斷．【解答】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，∠1＝∠AEB，∠3＝∠FEC，∵∠1+∠AEB+∠3+∠FEC＝180°，∴2（∠1+∠3）＝180°，即∠1+∠3＝90°，故A不符合題意；∴∠2＝90°，故B不符合題意，C符合題意；∵∠1+∠AEC＝180°，故D不符合題意．故選：C．11．如果一個角的余角是37°，那么這個角的補(bǔ)角是127°．【分析】如果兩個角的和為90°，那么這兩個角互為余角；如果兩個角的和為180°，那么這兩個角互為補(bǔ)角；由此計算即可．【解答】解：如果一個角的余角是37°，那么這個角為90°﹣37°＝53°，所以這個角的補(bǔ)角是180°﹣53°＝127°，故答案為：127°．12．已知一個角的余角是這個角的4倍，那么這個角的度數(shù)是18°．【分析】設(shè)這個角的度數(shù)為α，則它的余角度數(shù)為（90°﹣α），然后根據(jù)已知條件列出方程4α＝90°﹣α，由此解出α即可．【解答】解：設(shè)這個角的度數(shù)為α，則它的余角度數(shù)為（90°﹣α），∴依題意得：4α＝90°﹣α，解得：α＝18°，∴這個角的度數(shù)為18°，故答案為：18°．13．已知∠α與∠β互余，∠β與∠γ互補(bǔ)，寫出∠α與∠γ的數(shù)量關(guān)系：∠γ﹣∠α＝90°．【分析】根據(jù)互為余角的定義得，∠β＝90°﹣∠α，再根據(jù)互為補(bǔ)角的定義得∠β+∠γ＝180°，然后將∠β＝90°﹣∠α代入即可得出答案．【解答】解：∵∠α與∠β互余，∴∠α+∠β＝90°，∴∠β＝90°﹣∠α，∵∠β與∠γ互補(bǔ)，∴∠β+∠γ＝180°，∴90°﹣∠α+∠γ＝180°，∴∠γ﹣∠α＝90°．故答案為：∠γ﹣∠α＝90°．14．已知∠y是∠α的補(bǔ)角，∠β是∠y的補(bǔ)角，若∠a＝（2n﹣30）°，∠β＝（60﹣n）°，則∠y的度數(shù)為150°．【分析】根據(jù)題意∠a和∠β的度數(shù)相等，解出n的值，求出∠a的度數(shù)，再根據(jù)互為補(bǔ)角的兩個角的和為180度，求出∠y的度數(shù)．【解答】解：∵（2n﹣30）°＝（60﹣n）°，∴n＝30°，∴∠a＝2×30°﹣30°＝30°，∴∠y＝180°﹣30°＝150°，故答案為：150°．15．如圖（射線OD在∠AOC內(nèi)部），∠AOC與∠BOD都是直角，則下列說法正確的是①③④⑤．（填序號）①若∠COD＝30°，則∠AOB＝150°．②圖中共有5個角．③∠AOD＝∠BOC．④∠AOB與∠DOC的和不變．⑤∠AOD＝45°時，OC平分∠BOD．【分析】①先根據(jù)余角的定義求出∠AOD，再根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解；②根據(jù)圖形即可系和等量關(guān)系即可求解；③根據(jù)同角的余角相等即可求解；④根據(jù)角的和差關(guān)系即可求解⑤根據(jù)角平分線的定義即可解答．【解答】解：∵∠AOC與∠BOD都是直角，∴①若∠COD＝30°，則∠AOD＝60°，則∠AOB＝150°，故正確；②根據(jù)圖形圖中共有6個角，分別為：∠AOD，∠DOC，∠COB，∠AOC，∠DOB，∠AOB，故錯誤；③∠AOD＝∠BOC，故正確；④∵∠AOB+∠DOC＝90°+90°＝180°，∴∠AOB與∠DOC的和不變，故正確；⑤∵∠AOC與∠BOD都是直角，∠AOD＝45°，∴∠DOC＝45°，∴OC平分∠BOD，故正確，所以說法正確的是：①③④⑤．故答案為：①③④⑤．16．已知一個銳角的補(bǔ)角比這個角的余角的3倍大30°，求這個角的度數(shù)．【分析】根據(jù)余角、補(bǔ)角的定義即可解答．【解答】解：設(shè)這個銳角等于x°．根據(jù)題意，得180﹣x＝3（90﹣x）+30．解得x＝60．答：這個銳角的度數(shù)是60°．17．已知O為直線AB上一點(diǎn)，∠COE＝90°，OF平分∠AOE．若∠COF＝35°，求∠AOC、∠BOE的度數(shù)．【分析】先求出∠EOF的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義即可求出∠AOE的度數(shù)，從而求出∠AOC的度數(shù)；根據(jù)∴∠BOE+∠AOE＝180°即可求出∠BOE的度數(shù)．【解答】解：∵∠COE＝90°，∠COF＝35°，∴∠EOF＝∠COE﹣∠COF＝90°﹣35°＝55°，∵OF平分∠AOE，∴∠AOE＝2∠EOF＝2×55°＝110°，∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝110°﹣90°＝20°，∵O為直線AB上一點(diǎn)，∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣110°＝70°．18．將直角三角板OMN的直角頂點(diǎn)O放在直線AB上，∠BON＝60°，射線OC平分∠AON．（1）求∠AOM的度數(shù)；（2）試說明OM平分∠AOC．【分析】（1）∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON；（2）先算出∠AON，再算出∠AOC，可得∠AOM與∠AOC的關(guān)系，可得OM平分∠AOC．【解答】（1）解：∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝30°，∴∠AOM的度數(shù)為30°；（2）證明：∠AON＝∠AOM+∠MON＝120°，∵射線OC平分∠AON，∴∠AOC＝∠AON＝60°，∵∠AOM＝30°＝∠AOC，∴OM平分∠AOC．19．新定義：如果兩個角的和為120°，我們稱這兩個角互為“兄弟角”．已知∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∠AOB與∠AOC互為“兄弟角”，∠AOB與∠AOD互余．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)B在∠AOC的內(nèi)部，且點(diǎn)B，點(diǎn)D在OA的同側(cè)時：①若∠BOC＝60°，則α＝30°．②若，射線OM在∠AOC內(nèi)部，且滿足∠COM＝3∠AOM，求∠EOM的度數(shù)（用含α的式子表示）．（2）直接寫出∠COD所有可能的度數(shù)：30°或210°﹣2α（可用含α的式子表示）．【分析】（1）①由“兄弟角”的定義可得∠AOC＝120°﹣α，再根據(jù)角的和差可得∠AOB＝60°﹣α，然后得到方程60°﹣α＝α即可解答；②先說明∠AOD＝90°﹣α，，然后化成草圖，再根據(jù)題意列方程求解即可；（2）由余角的定義可得∠AOD＝90°﹣α，再由（1）可得∠AOC＝120°﹣α，然后根據(jù)角的和差即可解答．【解答】解：（1）①∵∠AOB與∠AOC互為“兄弟角”，∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∴∠AOB+∠AOC＝120°，即∠AOC＝120°﹣α，∵∠AOC＝∠BOC+∠AOB，∴∠AOB＝∠AOC﹣∠BOC＝120°﹣α﹣60°＝60°﹣α，∵∠AOB＝α（15°＜α＜45°），∴60°﹣α＝α，解得：α＝30°．故答案為：30