中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的融入

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的融入目錄1緒論 11.1問題的提出與研究意義 11.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀 11.3研究方法 22數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵及常見的數(shù)學(xué)模型 22.1幾何模型 32.1.1“將軍飲馬”模型 32.1.1“阿波羅尼斯圓”模型 52.2函數(shù)模型 52.2.1一次函數(shù)模型 62.2.2三角函數(shù)模型 62.3不等式模型 72.3.1柯西不等式模型 73數(shù)學(xué)建模思想融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)及意義 73.1數(shù)學(xué)建模思想融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn) 73.2數(shù)學(xué)建模思想融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)及意義 83.2.1調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性自主性 83.2.2培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新性應(yīng)用性 83.2.3促進(jìn)各學(xué)科的交叉融合 93.2.4提高學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng) 94將數(shù)學(xué)建模思想融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的策略 94.1調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，突出數(shù)學(xué)模型的實(shí)際價(jià)值 94.2創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng) 94.3結(jié)合數(shù)學(xué)軟件，提高數(shù)學(xué)建模的效率和準(zhǔn)確性 94.4組織數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽和校外活動(dòng)，拓寬學(xué)生視野 104.5加強(qiáng)教學(xué)反思總結(jié)，不斷優(yōu)化教學(xué)策略 105數(shù)學(xué)建模思想融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的案例設(shè)計(jì) 106研究結(jié)論 13參考文獻(xiàn) 15致謝 16摘要：數(shù)學(xué)建模作為中學(xué)數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，近些時(shí)間以來逐漸滲入到了中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中。數(shù)學(xué)模型不僅有著高度的抽象性，也對(duì)實(shí)際應(yīng)用甚為貼合?；谶@些特點(diǎn)，數(shù)學(xué)建模在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中起到了至關(guān)重要的作用。數(shù)學(xué)模型不僅讓抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)“落地生根”，也在潛移默化中提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)。本文圍繞對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模思想展開論述。第一部分，分析數(shù)學(xué)建模思想的內(nèi)涵、特點(diǎn)、意義；第二部分，數(shù)學(xué)建模思想融入到潛移默化的日常教學(xué)中的策略；第三部分，以教學(xué)設(shè)計(jì)的方式來呈獻(xiàn)其效果，分析其優(yōu)勢(shì)。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模思想；數(shù)學(xué)模型；中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)1緒論1.1問題的提出與研究意義隨著數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)的提出，數(shù)學(xué)建模慢慢進(jìn)入了學(xué)生的視野，在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)模型已經(jīng)開始慢慢與教學(xué)過程融合。如何在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問題抽象化，從而能夠提煉出數(shù)學(xué)模型，也慢慢成為教師教學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)。[1-9]現(xiàn)階段的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，師生雙方都面臨著嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。進(jìn)入中學(xué)以后，由于中學(xué)數(shù)學(xué)的抽象性，學(xué)生往往會(huì)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)束手無策。在不等式、三角函數(shù)、解析幾何、數(shù)列等等的數(shù)學(xué)知識(shí)輪番轟炸之下，學(xué)生難以感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。這打擊了學(xué)生的自信心，可以說中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生來說不易適應(yīng)。對(duì)于教師來說，想要去教授這些知識(shí)也有著重重困難，一方面中學(xué)數(shù)學(xué)的抽象性導(dǎo)致一些理論知識(shí)的難以解釋，另一方面過于知識(shí)灌輸?shù)慕虒W(xué)方式也讓數(shù)學(xué)失去了原本的應(yīng)用性。不同學(xué)生的接受能力不同也導(dǎo)致教學(xué)質(zhì)量的不均。數(shù)學(xué)建模作為中學(xué)數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)之一，對(duì)學(xué)生這方面的培養(yǎng)重要性不言而喻，數(shù)學(xué)模型不僅具有高度抽象性，同時(shí)也對(duì)實(shí)際應(yīng)用息息相關(guān)。在當(dāng)下的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，將建模思想融入數(shù)學(xué)教學(xué)尤為重要。[14]因此，如何將數(shù)學(xué)模型融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)是本文所研究的重要問題。本文的研究意義在于從教與學(xué)方面將數(shù)學(xué)模型融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，并以此培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生對(duì)實(shí)際問題的解決能力，提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀我國(guó)有關(guān)數(shù)學(xué)模型融入課堂的研究經(jīng)歷過較為漫長(zhǎng)的求索過程。自二十世紀(jì)五六十年代起，眾多研究者就已經(jīng)開始由淺入深的向中學(xué)生介紹一些具有實(shí)用性的數(shù)學(xué)模型。2003年的《普通中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》首次將數(shù)學(xué)建模列入課程標(biāo)準(zhǔn)，這也表明國(guó)家對(duì)此的重視?，F(xiàn)階段，我國(guó)主要研究數(shù)學(xué)建模教育價(jià)值、數(shù)學(xué)建模教學(xué)目標(biāo)的發(fā)展、數(shù)學(xué)建模教與學(xué)的三大方面。國(guó)外方面，美國(guó)最早于1975年將數(shù)學(xué)建模列為中學(xué)數(shù)學(xué)教育改革的重點(diǎn)，1985年最先面向大學(xué)生開展數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽。英國(guó)1983年在第一次國(guó)際數(shù)學(xué)建模應(yīng)用會(huì)議討論是否開展有關(guān)數(shù)學(xué)建模的課程。1990年俄羅斯開始使用新版數(shù)學(xué)教科書，進(jìn)一步凸顯數(shù)學(xué)建模的地位。[5]由此可見，無論國(guó)內(nèi)還是國(guó)外均重視數(shù)學(xué)建模思想在數(shù)學(xué)教學(xué)的融入。1.3研究方法文獻(xiàn)研究法：本文通過查閱有關(guān)數(shù)學(xué)模型在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中起到的作用、教學(xué)的案例、部分具體的數(shù)學(xué)模型等相關(guān)文獻(xiàn)，研究概括數(shù)學(xué)模型融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)、意義，對(duì)如何運(yùn)用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行教與學(xué)展開論述。案例研究法：本文通過設(shè)計(jì)融入數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)案例，進(jìn)一步說明數(shù)學(xué)模型對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)起到的積極作用。2數(shù)學(xué)建模的內(nèi)涵及常見的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)建模思想是一種運(yùn)用數(shù)學(xué)的知識(shí)去發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的思考方式。它涉及運(yùn)用一系列標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范的數(shù)學(xué)語言來描述現(xiàn)實(shí)生活中的一些現(xiàn)象和問題，并提取其中的關(guān)鍵性要素來建立一種簡(jiǎn)化、抽象的數(shù)學(xué)問題，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)方法去解決這些問題。數(shù)學(xué)建模的過程一般包括模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、模型分析、模型檢驗(yàn)和模型應(yīng)用等階段?，F(xiàn)如今，數(shù)學(xué)建模已然成為解決生活中實(shí)際問題的重要思路和方法。數(shù)學(xué)建模思想將實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型，通過求解這些數(shù)學(xué)模型，以期獲得實(shí)際問題的最佳解決方案。它結(jié)合了計(jì)算機(jī)分析技術(shù)和現(xiàn)實(shí)情況，根據(jù)實(shí)際問題的需要和所擁有的數(shù)據(jù)，采取建立數(shù)學(xué)模型的方式來進(jìn)行分析，并獲得相對(duì)合理的解決方案。數(shù)學(xué)建模的最終目的是求解實(shí)際問題，即在建模的過程中，對(duì)研究對(duì)象的狀態(tài)、活動(dòng)、信息進(jìn)行識(shí)別，并推導(dǎo)出解決問題的新的知識(shí)，為進(jìn)行實(shí)際的推演和處理提供依據(jù)。數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界和為一種特殊目的也就是現(xiàn)實(shí)問題而作的一個(gè)抽象的、簡(jiǎn)化的結(jié)構(gòu)。具體來說，數(shù)學(xué)模型是為了某種目的，用字母、數(shù)字及其它數(shù)學(xué)符號(hào)建立起來的等式或不等式、圖表等描述客觀事物的特征規(guī)律及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式。數(shù)學(xué)模型是對(duì)實(shí)際問題作出的一種數(shù)學(xué)表述，是為了一個(gè)特定目標(biāo)，根據(jù)實(shí)際問題特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一系列必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，得到的由數(shù)字、字母或其他數(shù)學(xué)符號(hào)組成的描述特定對(duì)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)公式或圖形等。數(shù)學(xué)模型源于實(shí)踐，高于實(shí)踐，并不是對(duì)原型的簡(jiǎn)單復(fù)制，而是一種更高層次的思想方法。數(shù)學(xué)模型具有非常廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，在物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等方面都能發(fā)揮重要作用。通過建立數(shù)學(xué)模型的方式，我們不僅可以對(duì)各種實(shí)際現(xiàn)象進(jìn)行定量分析和預(yù)測(cè)，也能更好地去理解和解決實(shí)際問題。同時(shí)，數(shù)學(xué)模型也是科學(xué)研究和技術(shù)創(chuàng)新的重要基礎(chǔ)工具，為各個(gè)領(lǐng)域的進(jìn)步發(fā)展提供了有力的支持。2.1幾何模型在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，幾何方面算是占比較大的一塊，也是趣味性最強(qiáng)的一塊。從平面幾何到立體幾何再到解析幾何，一步步下來，隨著在幾何方面的學(xué)習(xí)越來越深入，幾何模型的魅力就慢慢凸顯出來。2.1.1“將軍飲馬”模型“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”唐朝詩人李欣的詩句暗藏一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題。這個(gè)問題最早在古羅馬時(shí)代就有了。相傳一位羅馬將軍去拜訪亞歷山大城精通物理數(shù)學(xué)的學(xué)者海倫時(shí)帶來一個(gè)問題：將軍每天從軍營(yíng)A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會(huì)，要求怎樣走才能使這段路程最短。這個(gè)問題被稱之為“將軍飲馬”問題廣為流傳。在這個(gè)問題中，我們可以通過建立幾何模型的方式，來將問題進(jìn)行簡(jiǎn)化，如下圖所示，我們將A地、B地看作A點(diǎn)和B點(diǎn)，而飲馬的河流我們用直線l進(jìn)行替代，點(diǎn)P則代表了將軍飲馬的地點(diǎn)。由此，我們可以將將軍走過的路程設(shè)為S，則我們可以得到S=|AP|+|BP|。按照題意，我們只需要找到一個(gè)P點(diǎn)，使得S取到最小值即可。在圖像上，A、B在l同側(cè)要找到點(diǎn)P，使得S取到最小值是不易看出的，所以我們可以運(yùn)用軸對(duì)稱變換的方式，將A、B兩點(diǎn)處于河流l異側(cè)即可，故我們可以作點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A'，使得|AP|=|A'P|這樣我們就可以運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)求出P點(diǎn)位置以及最短的路程。“將軍飲馬”幾何模型為我們求解部分有關(guān)利用軸對(duì)稱變換求最短距離提供了思路和方法，不僅如此，它也令某些最值問題的解決效果顯著，比如下面這道題。已知，0<a,b<12，a+b=12，求a2在這道題目中，如果我們單純運(yùn)用代數(shù)的方式經(jīng)行計(jì)算，雖然也可得到結(jié)果，但是計(jì)算過程繁瑣，求導(dǎo)復(fù)雜，極易出現(xiàn)差錯(cuò)，但是運(yùn)用“將軍飲馬”的幾何模型來則可迎刃而解。我們觀察到無論是a2+4還是b2+9都是以平方和開根號(hào)的形式存在，這讓我們聯(lián)想到了勾股定理，即是邊長(zhǎng)為a和2、按照“將軍飲馬”的幾何模型，將其進(jìn)行軸對(duì)稱變換即可快速得出結(jié)果。其中a+b=12則表示了“河流”的長(zhǎng)度為12，故所求的最小值相當(dāng)于2+322.1.2“阿波羅尼斯圓”模型古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》中有這樣一個(gè)結(jié)論：到兩定點(diǎn)距離之比等于定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓。如下圖所示，點(diǎn)A、B為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=λPB，當(dāng)λ=1時(shí)，P點(diǎn)軌跡為直線；當(dāng)λ≠1時(shí)，P點(diǎn)軌跡為圓，稱之為阿波羅尼斯圓（阿氏圓）。阿波羅尼斯圓在向量最值計(jì)算方面能夠發(fā)揮它的作用。已知向量α，β滿足|α|=1，|β|=|2β?α|，則|β|的最大值為_____________。如圖所示，觀察題設(shè)條件發(fā)現(xiàn)α+(2β?α)=2β即可構(gòu)造出上圖向量2β的終點(diǎn)坐標(biāo)軌跡，利用阿波羅尼斯圓的定義可以構(gòu)造出上圖所示的阿波羅尼斯圓。通過一系列計(jì)算可得該阿氏圓軌跡方程為x?432+y2.2函數(shù)模型函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中接觸到次數(shù)是非常多的，先是初中一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)，再到高中的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，這些基本初等函數(shù)模型涉及到了中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方方面面。2.2.1一次函數(shù)模型作為最先學(xué)習(xí)的初等函數(shù)模型，我們對(duì)于它的熟悉程度是最高的，也是運(yùn)用最多的初等函數(shù)模型。例如下面這道題目。A、B兩地相距31千米，甲、乙兩人分別從A、B兩地出發(fā)，甲的速度是6千米/時(shí)，乙的速度是8千米/時(shí)，若兩人相向而行，甲先出發(fā)半小時(shí)，乙才出發(fā)，問乙出發(fā)幾小時(shí)后與甲相遇？引導(dǎo)學(xué)生分析構(gòu)建數(shù)學(xué)模型：相遇時(shí)甲走的路程+乙走的路程=31千米把這個(gè)實(shí)際問題化成了一個(gè)解方程的數(shù)學(xué)問題，完成了“建模”,我們就可以用方程的知識(shí)求解該問題了?？稍O(shè)乙出發(fā)x小時(shí)后與甲相遇。解：設(shè)乙出發(fā)x小時(shí)后與甲相遇，根據(jù)題意得：6解得：x=2經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意。答：乙出發(fā)2小時(shí)后與甲相遇。2.2.2三角函數(shù)模型三角函數(shù)模型是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要部分，它以自身優(yōu)良的性質(zhì)，在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中發(fā)揮著極大的作用。無論是解三角形還是三角代換，或者是正余弦定理、射影定理，甚至是向量方面的數(shù)量積都有著廣泛應(yīng)用。（2020年江蘇高考題）已知5x2y2+y4在求解這道題目過程中，我們可以通過運(yùn)用三角函數(shù)模型的思想，把x2+y2設(shè)為R2，再將x結(jié)合已知條件可以得到：5R2R所以R2≥45，即所求的2.3不等式模型不等式的種類可謂是紛繁復(fù)雜，有簡(jiǎn)單的不等關(guān)系，也有各式各樣的著名不等式。在中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)不等式的學(xué)習(xí)方面，使用較為頻繁的較為簡(jiǎn)單的不等式當(dāng)屬基本不等式和重要不等式，另外還有柯西不等式、伯努利不等式、均值不等式等等。2.3.1柯西不等式模型二維形式：若a,b,c,d∈R，則(a2+b一般形式：若a1,a當(dāng)且僅當(dāng)bi＝0i＝1,2,…,n或存在一個(gè)數(shù)（2022年全國(guó)甲卷理23，節(jié)選）已知a,b,c均為正數(shù)，且a2+b2+4c在這道題目中活用柯西不等式，可快速得出結(jié)論。由題意根據(jù)柯西不等式可得：12+12+12a2+b3數(shù)學(xué)建模思想融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)及意義3.1數(shù)學(xué)建模思想融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)將數(shù)學(xué)建模融入日常教學(xué)之中具有非常多的特點(diǎn)，無論對(duì)學(xué)生的綜合培養(yǎng)，還是課堂的趣味性，亦或者是對(duì)教師的幫助都具有十分良好的作用和效果。教學(xué)方式的轉(zhuǎn)變：將數(shù)學(xué)模型融入日常教學(xué)中，能夠把教學(xué)方式從傳統(tǒng)的以教師為中心轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫W(xué)生為中心，從單純的知識(shí)傳授生灌硬套轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑?dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索和實(shí)踐。在數(shù)學(xué)模型的建立過程中，不只是需要教師的一步一步引導(dǎo)，更重要的是學(xué)生自主的獨(dú)立思考，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)對(duì)于實(shí)際應(yīng)用的貼合性。這種教學(xué)方式轉(zhuǎn)變有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，也更能培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新思維?？鐚W(xué)科性：數(shù)學(xué)建模涉及到很多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的知識(shí)，像在化學(xué)領(lǐng)域的有關(guān)生成物濃度的擬合，在工程方面的路線優(yōu)化、運(yùn)輸路線優(yōu)化等等。把這些涉及各個(gè)學(xué)科的數(shù)學(xué)模型融入數(shù)學(xué)教學(xué)之中，能夠有效的促進(jìn)不同學(xué)科之間的交叉融合，有助于學(xué)生形成更加廣泛的知識(shí)體系，提高學(xué)生自身綜合素質(zhì)。實(shí)踐應(yīng)用：數(shù)學(xué)建模往往是在日常生活中發(fā)現(xiàn)問題，并把問題運(yùn)用數(shù)學(xué)語言和方法進(jìn)行構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，把復(fù)雜的實(shí)際問題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，最后利用這些進(jìn)行求解進(jìn)而解決實(shí)際問題以及一系列與此相關(guān)的問題。可以說數(shù)學(xué)建模源于實(shí)踐又高于實(shí)踐，它非常注重實(shí)踐應(yīng)用。把數(shù)學(xué)建模思想融入教學(xué)過程中，老師可以通過引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)實(shí)際問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法求解，從而讓學(xué)生深刻體驗(yàn)到數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中巨大的應(yīng)用價(jià)值。創(chuàng)新思維：在數(shù)學(xué)模型建立的過程中，學(xué)生往往需要運(yùn)用自己的創(chuàng)新思維。發(fā)現(xiàn)生活中實(shí)際問題，對(duì)其進(jìn)行深入探索需要一定的創(chuàng)造性能力。數(shù)學(xué)建模涉及到數(shù)學(xué)應(yīng)用的方方面面，自然用不同的思維、不同的角度去分析問題，有著不同的體會(huì)、不同的方案。將其融入教學(xué)之后，教師可以通過一些具有挑戰(zhàn)性和開放性的數(shù)學(xué)建模問題，在課堂上講述或是課后作業(yè)的形式，來激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和探索精神。團(tuán)隊(duì)協(xié)作：一個(gè)數(shù)學(xué)建模問題往往需要多人合作才能得以完成，這也就對(duì)學(xué)生具備良好的團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力有著極大的要求。在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，小組合作必不可少，在不同觀點(diǎn)的碰撞中，得以集思廣益，以求得到更加完善的解決方案。在教學(xué)過程中，教師可以組織學(xué)生進(jìn)行小組討論、合作建模等活動(dòng)，從而去培養(yǎng)學(xué)生的溝通表達(dá)和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)：通過將數(shù)學(xué)建模融入教學(xué)，學(xué)生可以更加深入地去理解學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本概念、原理和方法，提高數(shù)學(xué)的知識(shí)儲(chǔ)備。同時(shí)，在數(shù)學(xué)模型的建立之中，學(xué)生需要以科學(xué)的思維方式和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)態(tài)度才能構(gòu)建出合適的數(shù)學(xué)模型。這也為他們未來的學(xué)習(xí)和工作奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)模型作為對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的抽象表述和概括，具有非常廣泛的實(shí)用性，在中學(xué)教學(xué)過程當(dāng)中適當(dāng)?shù)娜谌脒@些數(shù)學(xué)模型，對(duì)教學(xué)而言有著莫大的幫助。3.2數(shù)學(xué)建模思想融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)及意義3.2.1調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性自主性在探索構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被提起，學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性也被調(diào)動(dòng)起來。數(shù)學(xué)建模思想通過建立各種各樣的數(shù)學(xué)模型的方式，調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知欲望，通過將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際問題相結(jié)合，使學(xué)生能夠更加直觀感受到數(shù)學(xué)的魅力和趣味，從而更加投入地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。3.2.2培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新性應(yīng)用性數(shù)學(xué)模型的建立能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和解決問題的能力。在建立數(shù)學(xué)模型的過程中，學(xué)生需要靈活運(yùn)用自己所學(xué)的各種數(shù)學(xué)知識(shí)，并結(jié)合實(shí)際情況對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行深入的分析和推理，以期尋求到問題的解決方案。在一次次數(shù)學(xué)模型的建立當(dāng)中，學(xué)生的邏輯性思維和創(chuàng)造性思維得到有效的訓(xùn)練，同時(shí)他們的解決實(shí)際問題能力也得到了極大提高。3.2.3促進(jìn)各學(xué)科的交叉融合數(shù)學(xué)模型還能夠加強(qiáng)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系。數(shù)學(xué)作為一種基礎(chǔ)學(xué)科，像一棵樹的樹干一樣，支撐著各個(gè)學(xué)科的枝葉生長(zhǎng)。在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中，其他學(xué)科如物理、化學(xué)、工程也得到了極大的發(fā)展。而數(shù)學(xué)模型作為實(shí)際問題的一類抽象表述，更加體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的高度概括性。通過充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模型的跨學(xué)科性，將數(shù)學(xué)應(yīng)用在其他學(xué)科領(lǐng)域，可以讓學(xué)生更加深入地去理解這些學(xué)科中的數(shù)學(xué)原理和應(yīng)用方法，促進(jìn)各學(xué)科之間的融合和交叉。3.2.4提高學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)數(shù)學(xué)模型有助于提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)。在數(shù)學(xué)模型的建立過程中，學(xué)生不僅僅需要過硬的專業(yè)知識(shí)，也要有強(qiáng)大的創(chuàng)新思維和精益求精的探索精神。同時(shí)，建模過程也需要學(xué)生具備耐心、細(xì)心、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)葍?yōu)良品質(zhì)?？梢哉f數(shù)學(xué)模型能夠反饋出學(xué)生的學(xué)習(xí)水平和應(yīng)用水平，幫助教師更好的培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)。4將數(shù)學(xué)建模思想融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的策略4.1調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，突出數(shù)學(xué)模型的實(shí)際價(jià)值根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生的認(rèn)知水平，教師可以進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，加入一些與現(xiàn)實(shí)生活緊密相關(guān)的數(shù)學(xué)建模實(shí)例。這些實(shí)例可以涉及各個(gè)領(lǐng)域，如經(jīng)濟(jì)、物理、生物等，用以展示數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用之廣泛和作用之大。通過讓學(xué)生了解各種數(shù)學(xué)建模在解決實(shí)際問題中發(fā)揮的作用，來讓學(xué)生更加積極的投入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中。4.2創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)開展數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)在教學(xué)過程中，教師可以創(chuàng)設(shè)一些具有實(shí)際意義的挑戰(zhàn)性問題情境，引導(dǎo)學(xué)生自由開展數(shù)學(xué)建模活動(dòng)。這些問題可以來自于日常生活，也可以來自于當(dāng)下的社會(huì)熱點(diǎn)或科學(xué)研究領(lǐng)域，用意在于讓學(xué)生更加靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法去分析和解決這些問題。4.3結(jié)合數(shù)學(xué)軟件，提高數(shù)學(xué)建模的效率和準(zhǔn)確性數(shù)學(xué)建模往往需要進(jìn)行大量的計(jì)算和分析，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)軟件(如MATLAB、Python等）來進(jìn)行建模和求解。通過簡(jiǎn)單教授這些軟件的使用方法，教師可以幫助他們提高數(shù)學(xué)建模的效率和準(zhǔn)確度。同時(shí)，數(shù)學(xué)軟件還可以提供可視化公式、圖表等，來幫助學(xué)生更加清晰直觀地理解數(shù)學(xué)模型。4.4組織數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽和校外活動(dòng)，拓寬學(xué)生視野教師可以組織學(xué)生參加各種數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽和課外活動(dòng)，如數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽等。這些活動(dòng)可以為學(xué)生提供更專業(yè)的平臺(tái)，更多的實(shí)踐機(jī)會(huì)和更大的挑戰(zhàn)，讓他們?cè)趯?shí)際操作中鍛煉數(shù)學(xué)建模能力和解決問題的能力。同時(shí)，通過與其他學(xué)校的交流和比拼，學(xué)生還可以拓展自己的視野和認(rèn)識(shí)更多的數(shù)學(xué)建模方法和技巧。4.5加強(qiáng)教學(xué)反思總結(jié)，不斷優(yōu)化教學(xué)策略教師在將數(shù)學(xué)建模思想融入日常教學(xué)中時(shí)，需要不斷進(jìn)行教學(xué)反思和總結(jié)。通過反思自己的教學(xué)過程和方法，教師可以發(fā)現(xiàn)其中的不足，并及時(shí)調(diào)整改進(jìn)。同時(shí)，教師還可以通過總結(jié)和分享自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，與其他教師相互交流和學(xué)習(xí)，不斷優(yōu)化自己的教學(xué)策略和方法。5數(shù)學(xué)建模思想融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的案例設(shè)計(jì)下面以周期函數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)為例來展示數(shù)學(xué)模型融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的方式。《周期函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容及其解析：內(nèi)容：正弦函數(shù)的性質(zhì)、周期函數(shù)的定義、最小正周期的概念、最小正周期的求法三角函數(shù)的最小正周期內(nèi)容解析(1)內(nèi)容的本質(zhì)：周期函數(shù)是高中數(shù)學(xué)知識(shí)當(dāng)中的一個(gè)十分重要的概念，它具有一個(gè)非常優(yōu)美且重要的性質(zhì)——周期性。在日常生活中，周期性有很多的例子，比如七天一個(gè)星期、單擺的擺動(dòng)、潮汐的漲幅等等，而在數(shù)學(xué)當(dāng)中，最典型的一類周期函數(shù)就是有關(guān)三角函數(shù)的。周期函數(shù)的周期性使得函數(shù)圖像在平面直角坐標(biāo)系當(dāng)中有著優(yōu)美的形態(tài)，周而復(fù)始的循環(huán)也賜予了其優(yōu)良的性質(zhì)。(2)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想及方法：在從正弦函數(shù)到周期函數(shù)的轉(zhuǎn)變、三角函數(shù)最小正周期的求法中，我們可以采用建立數(shù)學(xué)模型的方法進(jìn)行過渡，并歸納出公式，體現(xiàn)了化歸的思，周期函數(shù)極其圖像也蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想。(3)知識(shí)的上下位關(guān)系：本節(jié)課承接上文的關(guān)于三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，從“現(xiàn)象，概念，表示，性質(zhì)，判定，應(yīng)用”的過程先由關(guān)于三角函數(shù)概念的學(xué)習(xí)到用數(shù)學(xué)語言來表示三角函數(shù)，再接著分析其性質(zhì)引申出周期函數(shù)，并運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方式來建立周期函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，并提出其概念和表示，最后帶入最小正周期的定義，歸納周期函數(shù)最小正周期的求法。周期函數(shù)的優(yōu)良性狀對(duì)后期函數(shù)的綜合學(xué)習(xí)有著莫大的幫助。二、教學(xué)目標(biāo)及其解析：1.教學(xué)目標(biāo)(1)理解周期函數(shù)的周期性，并能判斷什么函數(shù)是周期函數(shù)。(2)理解最小正周期的概念，并能求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的最小正周期。(3)理解三角函數(shù)是周期函數(shù)，并能通過公式求有關(guān)三角函數(shù)的函數(shù)的最小正周期。2.目標(biāo)解析達(dá)成以上目標(biāo)的標(biāo)志是：能夠發(fā)現(xiàn)出一些初等函數(shù)的周期性，并通過其分析這些初等函數(shù)的性質(zhì)。能夠求部分周期函數(shù)的最小正周期。能夠分析并歸納出各類含三角函數(shù)的周期函數(shù)的最小正周期，并歸納公式。教學(xué)重難點(diǎn)周期函數(shù)定義的歸納，最小正周期的求法三、課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)：1.回顧舊知，導(dǎo)入新課上一節(jié)課我們簡(jiǎn)單分析了正余弦函數(shù)的一些性質(zhì)以及他們圖像的畫法，我們來簡(jiǎn)單回顧一下：正弦函數(shù)余弦函數(shù)函數(shù)圖像定義域RR值域?1，1?1，1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在2kπ?π2,2kπ+在2kπ,2kπ+π單調(diào)遞減，在2kπ+π,2kπ+2π單調(diào)遞增。在生活中，我們也能夠見到很多像正余弦函數(shù)那樣周而復(fù)始的現(xiàn)象，比如說我們一星期有七天，從星期一、星期二到星期日然后循環(huán)到下一個(gè)星期的星期一，又比如鐘表指針在表盤上周而復(fù)始的一圈又一圈，還有潮汐現(xiàn)象?？梢哉f周期現(xiàn)象隱藏在生活中的方方面面。在數(shù)學(xué)中，我們也有這樣的的周期性現(xiàn)象，就比如我們學(xué)習(xí)到的正余弦函數(shù)。那么對(duì)于像正余弦函數(shù)這種，周而復(fù)始的周期性現(xiàn)象，我們能否用一個(gè)數(shù)學(xué)模型來表示呢？建立模型，總結(jié)概念通過圖像我們知道，正弦函數(shù)是由一些完全相同的“小波浪”首尾相連組成的，而一個(gè)“小波浪”在x軸上的長(zhǎng)度是2π，也就是說對(duì)于任意一個(gè)角度，它的正弦函數(shù)值和這個(gè)角加上2π的正弦函數(shù)值是相同的，即si那么同學(xué)們能夠根據(jù)上述的有關(guān)正弦函數(shù)的周期性描述，來概括出周期函數(shù)的定義嗎？對(duì)于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，f(x+T)=f(x)都成立，就把函數(shù)y=f(x)叫周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。如果一個(gè)函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)就叫做·的最小正周期。有關(guān)周期函數(shù)的定義已經(jīng)給出，那么接下來，老師有幾個(gè)問題想要和同學(xué)們進(jìn)行探討一下：(1)如果T(T≠0)是f(x)的周期，那么?T也是f(x)的周期嗎？(2)如果T(T≠0)是f(x)的周期，那么nT（n為任意非零整數(shù)）也是f(x)的周期嗎？(3)如果T1與T2都是f(x)的周期，那么T1(4)如果T(T≠0)是f(x)的周期，那么F(x)=f(kx+b)是周期函數(shù)嗎？它的周期是什么？教師板書演示證明：如果T是f(x)的周期，我們可以得到f(x)=f(x+T)，那么根據(jù)這個(gè)模型，我們可以得到f(x?T)=f((x?T)+T)，即f(x?T)=f(x)，如果我們將x?T看成x+(?T)，那么原式就可以看做f(x)=f(x+(?T))，所以我們說，如果T(T≠0)是f(x)的周期，那么?T也是f(x)的周期。那么同學(xué)們，命題(2)該怎么去證明呢？我們可以發(fā)現(xiàn)，要證明nT也是f(x)的周期，只需要證明f(x)=f(x+nT)即可，我們已有的條件是f(x)=f(x+T)只需要讓這個(gè)等式遞推到n下去即可，即有f(x)=f(x+T)=f(x+2T)=f(x+3T)=?f(x+nT)，所以我可以很輕松的得到nT(n為任意非零整數(shù))也是同樣的方法，接下來請(qǐng)同學(xué)們自己證明命題(3)和命題(4)。我們可以發(fā)現(xiàn)，證明關(guān)于周期函數(shù)的命題，離不開f(x+T)=f(x)這個(gè)模型，將這個(gè)模型遞推下去，或者將其中x看做各式各樣代數(shù)式的整體，從而應(yīng)用周期函數(shù)的周期性，我們可以得到很多有規(guī)律的結(jié)論。周期函數(shù)作為高中知識(shí)當(dāng)中的重要一環(huán)，其作用不容小覷。例題講解，加深印象例1已知函數(shù)f(x)是R上周期為5的周期函數(shù)，f(1)=2024，求f(21)的值。解：由于f(x)=f(x+nT)（n為任意非零整數(shù)），則有f(21)=f(1+4×5)=f(1)=2024.例2求fx=Asi解：假設(shè)f(x)的最小正周期為T，那么就有f(x+T)=f(x)，即Asin(ω(x+T)+ψ)=Asin(ωx+ψ)也就是Asin(ωx+ψ+ωT)=Asin(ωx+ψ)，根據(jù)sinx的最小正周期為2π，ω>0，我們可以得到ωT=2π，所以f(x)的最小正周期為T=2π歸納整理，課堂小結(jié)今天我們學(xué)習(xí)了什么是周期函數(shù)，大家還記得周期函數(shù)的定義嗎？我們通過對(duì)正余弦函數(shù)的分析,得到了有關(guān)周期函數(shù)的模型f(x+T)=f(x)，針對(duì)這一模型給出了周期函數(shù)的定義，進(jìn)而提出了最小正周期的概念，也運(yùn)用了這個(gè)數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行命題的驗(yàn)證和題目的解答。6研究結(jié)論本文通過對(duì)數(shù)學(xué)模型內(nèi)涵的闡述，列舉中學(xué)數(shù)學(xué)常見的數(shù)學(xué)模型，分析數(shù)學(xué)模型滲入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的特點(diǎn)與意義，最后以具體教學(xué)設(shè)計(jì)為例，展現(xiàn)將數(shù)學(xué)模型融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的狀況。其研究結(jié)論如下：(1)當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，并沒有很好的將數(shù)學(xué)建模思想的融入課堂，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的理解還處于較為淺顯的狀態(tài)。(2)把數(shù)學(xué)建模思想融入中學(xué)數(shù)學(xué)課堂具有諸多益處，包括且不限于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力、提高學(xué)生溝通表達(dá)能力、加強(qiáng)學(xué)生解決問題的能力以及提高學(xué)生的綜合素養(yǎng)。(3)將數(shù)學(xué)建模思想融入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的形式有很多，包括且不限于課堂上引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型、課后練習(xí)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力、組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽等。參考文獻(xiàn)陳晶.融入