2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章集合與常用邏輯用語1.4充分條件與必要條件第2課時(shí)充要條件課時(shí)作業(yè)含解析新人教A版必修第一冊

PAGE1-第一章1.4第2課時(shí)A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．設(shè)x∈R，則“x>1”是“|x|>1”的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]由題意可知x>1?|x|>1，但|x|>1x>1.故選A．2．已知x∈R，則{x|x<－1}是{x|x>eq\f(1,2)或x<－1}的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]{x|x<－1}?{x|x>eq\f(1,2)或x<－1}，反之不成立，所以“{x|x<－1}”是“{x|x>eq\f(1,2)或x<－1}”的充分不必要條件．故選A．3．命題“對全部的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是(C)A．a(chǎn)≥4 B．a(chǎn)≤4C．a(chǎn)≥5 D．a(chǎn)≤5[解析]命題“?x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”為真命題，可化為?x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“?x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”為真命題的充要條件為a≥4，而要找的一個(gè)充分不必要條件即為集合{a|a≥4}的真子集，由選擇項(xiàng)可知C符合題意．4．若a，b為實(shí)數(shù)，則ab(a－b)<0成立的一個(gè)充要條件是(D)A．0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．0<eq\f(1,b)<eq\f(1,a)C．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) D．eq\f(1,b)<eq\f(1,a)[解析]ab(a－b)<0?a2b－ab2<0?a2b<ab2?eq\f(a2b,a2b2)<eq\f(ab2,a2b2)?eq\f(1,b)<eq\f(1,a).故選D．二、填空題5．下列說法正確的是__②④__.①x2≠1是x≠1的必要條件；②x>5是x>4的充分不必要條件；③xy＝0是x＝0且y＝0的充要條件；④x2<4是x<2的充分不必要條件．[解析]由x2≠1?x≠1，x≠1x2≠1，即x2≠1是x≠1的充分不必要條件，故①不正確．②正確．③中，由xy＝0x＝0且y＝0，則③不正確．④正確．6．已知p：x<8，q：x<a，且q是p的充分不必要條件，則a的取值范圍為__a<8__.[解析]因?yàn)閜：x<8，q：x<a，且q是p的充分而不必要條件，所以a<8.三、解答題7．已知x，y都是非零實(shí)數(shù)，且x>y，求證：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件是xy>0.[解析]方法一：充分性：由xy>0及x>y，得eq\f(x,xy)>eq\f(y,xy)，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y).必要性：由eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，得eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，即eq\f(y－x,xy)<0.因?yàn)閤>y，所以y－x<0，所以xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件是xy>0.方法二：eq\f(1,x)<eq\f(1,y)?eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0?eq\f(y－x,xy)<0.由條件x>y?y－x<0，故由eq\f(y－x,xy)<0?xy>0.所以eq\f(1,x)<eq\f(1,y)?xy>0，即eq\f(1,x)<eq\f(1,y)的充要條件是xy>0.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是(C)A．0<a≤1 B．a(chǎn)<1C．a(chǎn)≤1 D．0<a≤1或a<0[解析]解法一(干脆法)：當(dāng)a＝0時(shí)，x＝－eq\f(1,2)，符合題意；a≠0時(shí)，若方程兩根一正一負(fù)(沒有零根)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,\f(1,a)<0，))解得a<0；若方程兩根均負(fù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(2,a)<0，,\f(1,a)>0，))解得0<a≤1.綜上所述，充要條件是a≤1.解法二(解除法)：當(dāng)a＝0時(shí)，原方程有一個(gè)負(fù)實(shí)根，可以解除A，D；當(dāng)a＝1時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)根，可以解除B．故選C．2．(多選題)設(shè)全集為U，在下列條件中，是B?A的充要條件的有(BCD)A．A∪B＝B B．(?UA)∩B＝?C．?UA??UB D．A∪?UB＝U[解析]由Venn圖可知，BCD都是充要條件．故選BCD．二、填空題3．設(shè)集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，則“x∈(A∪B)”是“x∈C”的__充要__條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)[解析]A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，∵A∪B＝C，∴“x∈(A∪B)”是“x∈C”的充要條件．4．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分條件，且a≠0，則實(shí)數(shù)a的取值為__－eq\f(1,2)或eq\f(1,3)__.[解析]p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，即x＝－eq\f(1,a).由題意知pq，q?p，所以有－eq\f(1,a)＝2或－eq\f(1,a)＝－3，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,3).綜上可知，a＝－eq\f(1,2)或eq\f(1,3).三、解答題5．是否存在實(shí)數(shù)p，使“4x＋p<0”是“x>2，或x<－1”的充分條件？假如存在，求出p的取值范圍；若不存在，請說明理由．[解析]存在．由4x＋p<0得x<－e