2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.1.6棱柱棱錐棱臺(tái)和球的表面積學(xué)案新人教B版必修2

PAGEPAGE11．1．6棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積1．了解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面綻開圖．2．理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)和球的表面積的概念．3．會(huì)用公式求棱柱、棱錐、棱臺(tái)、球的表面積．1．直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積名稱側(cè)面綻開圖公式備注直棱柱矩形S直棱柱側(cè)＝chc為底面多邊形的周長(zhǎng)，h為棱柱的高正棱錐三角形S正棱錐側(cè)＝eq\f(1,2)nah′＝eq\f(1,2)ch′a為底面邊長(zhǎng)，c為底面周長(zhǎng)，h′為斜高正棱臺(tái)梯形S正棱臺(tái)側(cè)＝eq\f(1,2)n(a＋a′)h′＝eq\f(1,2)(c＋c′)h′a為下底面邊長(zhǎng)，a′為上底面邊長(zhǎng)，c為下底面周長(zhǎng)，c′為上底面周長(zhǎng)，h′為斜高2．球的表面積公式：S＝4πR2，其中R為球半徑．語言敘述：球面面積等于它的大圓面積的4倍．3．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積名稱側(cè)面綻開圖公式備注圓柱矩形S圓柱側(cè)＝2πRhR為底面圓半徑，h為圓柱的高圓錐扇形S圓錐側(cè)＝eq\f(1,2)cl＝πRlc為底面周長(zhǎng)，l為母線長(zhǎng)，R為底面圓半徑圓臺(tái)扇環(huán)S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l＝eq\f(1,2)(c1＋c2)lr1，r2分別為上、下底面圓半徑，c1，c2分別為上、下底面圓周長(zhǎng)，l為圓臺(tái)的母線1．底面為正方形的直棱柱，它的底面對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(2)，體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(6)，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積是()A．2 B．4C．6 D．8解析：選D．由題意知，底面邊長(zhǎng)為1，直棱柱的高為2，所以S側(cè)＝4×1×2＝8．2．若球的大圓周長(zhǎng)為C，則這個(gè)球的表面積是()A．eq\f(C2,4π) B．eq\f(C2,2π)C．eq\f(C2,π) D．2πC2解析：選C．設(shè)球的半徑為R，則C＝2πR．所以R＝eq\f(C,2π)，所以S＝4π·(eq\f(C,2π))2＝eq\f(C2,π)．3．如圖所示，圓錐的底面半徑為1，高為eq\r(3)，則圓錐的表面積為()A．π B．2πC．3π D．4π解析：選C．設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則l＝eq\r(3＋1)＝2，所以圓錐的表面積S＝π×1×(1＋2)＝3π．4．如何相識(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積之間的改變關(guān)系？解：圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間的改變關(guān)系為：S圓柱側(cè)＝2πrleq\o(←,\s\up7(r1＝r2＝r))S圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)leq\o(→,\s\up7(r1＝0，r2＝r))S圓錐側(cè)＝πrl．簡(jiǎn)潔幾何體的表面積正四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍，高是3，求它的表面積．【解】如圖，設(shè)PO＝3，PE是斜高，因?yàn)镾側(cè)＝2S底．所以4·eq\f(1,2)·BC·PE＝2BC2．所以BC＝PE．在Rt△POE中，PO＝3，OE＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)PE．所以9＋(eq\f(PE,2))2＝PE2，所以PE＝2eq\r(3)．所以S底＝BC2＝PE2＝(2eq\r(3))2＝12．S側(cè)＝2S底＝2×12＝24．所以S表＝S底＋S側(cè)＝12＋24＝36．eq\a\vs4\al()求棱柱、棱錐、棱臺(tái)表面積的基本步驟(1)清晰各側(cè)面的形態(tài)，求出每個(gè)側(cè)面的面積．(2)求出其底面的面積．(3)求和得到表面積．已知一正三棱臺(tái)的兩底面邊長(zhǎng)分別為30cm和20cm，且其側(cè)面積等于兩底面積的和，求棱臺(tái)的高．解：如圖，正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，O、O1為兩底面中心，D、D1是BC、B1C1的中點(diǎn)，則DD1為棱臺(tái)的斜高．已知A1B1＝20cm，AB＝30cm，則OD＝5eq\r(3)cm，O1D1＝eq\f(10\r(3),3)cm．由S側(cè)＝S上＋S下，得S側(cè)＝eq\f(1,2)(60＋90)·DD1＝eq\f(\r(3),4)(202＋302)，解得DD1＝eq\f(13\r(3),3)(cm)．在直角梯形O1ODD1中，O1O＝eq\r(DDeq\o\al(2,1)－(OD－O1D1)2)＝eq\r((\f(13\r(3),3))2－(5\r(3)－\f(10\r(3),3))2)＝4eq\r(3)(cm)，即棱臺(tái)的高為4eq\r(3)cm．組合體的面積如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．20π B．24πC．28π D．32π【解析】該幾何體的表面積由圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個(gè)底面圓的面積組成．其中，圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為eq\r((2\r(3))2＋22)＝4，圓柱的底面半徑為2，高為4，故所求表面積S＝π×2×4＋2π×2×4＋π×22＝28π．【答案】Ceq\a\vs4\al()求組合體表面積時(shí)應(yīng)留意的問題(1)首先應(yīng)弄清它的組成，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個(gè)面應(yīng)怎樣求其面積，然后把這些面的面積相加或相減．(2)在求組合體的表面積時(shí)要留意“表面(和外界干脆接觸的面)”的定義，以確保不重復(fù)、不遺漏．如圖所示，一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為2，以相對(duì)兩個(gè)面的中心連線為軸，鉆一個(gè)直徑為1的圓柱形孔，所得幾何體的表面積為多少？解：幾何體的表面積為S＝6×22－π×(0．5)2×2＋2π×0．5×2＝24－0．5π＋2π＝24＋1．5π．球的表面積在球內(nèi)有相距1cm的兩個(gè)平行截面，截面積分別是5πcm2和8πcm2，求球的表面積．【解】(1)當(dāng)球心不在兩截面之間時(shí)，畫出截面圖如圖所示．圓O是球的大圓，A1B1、A2B2分別是兩個(gè)平行截面圓的直徑，過O作OC1⊥A1B1于C1，延長(zhǎng)OC1至邊A2B2于C2．由于A1B1∥A2B2，所以O(shè)C2⊥A2B2．由圓的性質(zhì)可得，C1和C2分別是A1B1和A2B2的中點(diǎn)．設(shè)兩平行平面的半徑分別為r1和r2，且r1>r2，依題意πreq\o\al(2,1)＝8π，πreq\o\al(2,2)＝5π，所以req\o\al(2,1)＝8，req\o\al(2,2)＝5，因?yàn)镺A1和OA2都是球的半徑R，所以O(shè)C1＝eq\r(R2－req\o\al(2,1))＝eq\r(R2－8)，OC2＝eq\r(R2－req\o\al(2,2))＝eq\r(R2－5)，所以eq\r(R2－5)－eq\r(R2－8)＝1，解這個(gè)方程得R2＝9．所以S球＝4πR2＝36π(cm2)．(2)當(dāng)球心在兩截面之間時(shí)，由(1)可得OC1＋OC2＝1，即eq\r(R2－8)＋eq\r(R2－5)＝1無解．故球的表面積為36πcm2．eq\a\vs4\al()求球的表面積的方法(1)把握球的表面積公式S＝4πR2是計(jì)算表面積的關(guān)鍵，半徑與球心是確定球的條件，把握這兩點(diǎn)，球的表面積問題也就迎刃而解了．(2)兩個(gè)球的表面積之比等于這兩個(gè)球的半徑之比的平方．1．兩個(gè)球的半徑之比為1∶3，那么兩個(gè)球的表面積之比為()A．1∶9 B．1∶27C．1∶3 D．1∶1解析：選A．設(shè)兩球的半徑分別為R1，R2，因?yàn)镽1∶R2＝1∶3，所以兩球的表面積之比為S1∶S2＝4πReq\o\al(2,1)∶4πReq\o\al(2,2)＝Req\o\al(2,1)∶Req\o\al(2,2)＝1∶9．2．有三個(gè)球，第一個(gè)球內(nèi)切于正方體，其次個(gè)球與這個(gè)正方體各棱相切，第三個(gè)球過這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，求這三個(gè)球的表面積之比．解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a．(1)正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心，切點(diǎn)是六個(gè)正方形的中心，經(jīng)過四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面如圖(1)，所以有2r1＝a，r1＝eq\f(a,2)，所以S1＝4πreq\o\al(2,1)＝πa2．(2)球與正方體各棱的切點(diǎn)在每條棱的中點(diǎn)，過球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖(2)，2r2＝eq\r(2)a，r2＝eq\f(\r(2),2)a，所以S2＝4πreq\o\al(2,2)＝2πa2．(3)正方體的各個(gè)頂點(diǎn)在球面上，過球心作正方體的對(duì)角面得截面，如圖(3)，所以有2r3＝eq\r(3)a，r3＝eq\f(\r(3),2)a，所以S3＝4πreq\o\al(2,3)＝3πa2．綜上可得S1∶S2∶S3＝1∶2∶3．1．棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面都可以綻開成平面，它們的表面積都是依據(jù)綻開圖的性質(zhì)求得．運(yùn)用側(cè)面綻開圖解決有關(guān)問題是特別重要的手段，它體現(xiàn)了空間與平面問題相互轉(zhuǎn)化的思想方法．2．棱柱、棱錐和棱臺(tái)的側(cè)面積公式的內(nèi)在聯(lián)系必需明確，這樣有利于相識(shí)這三種幾何體的本質(zhì)，也有利于區(qū)分這三種幾何體．正棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積公式之間的關(guān)系如下：1．在求面積的問題中，要留意應(yīng)用所學(xué)的幾何體的定義和性質(zhì)．2．對(duì)于面積的計(jì)算，有些可以用表示數(shù)字的字母進(jìn)行計(jì)算，有些可以保留精確值及表示圓周率的字母π，有些實(shí)際應(yīng)用的問題要依據(jù)要求的精確度取值．3．將正棱錐的高與斜高混淆，對(duì)幾個(gè)重要的三角形應(yīng)用不嫻熟，導(dǎo)致錯(cuò)誤．事實(shí)上正棱錐的高是頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足間的距離；而斜高是頂點(diǎn)向底面多邊形的邊作垂線，頂點(diǎn)與垂足間的距離．1．一個(gè)幾何體的三視圖如圖，該幾何體的表面積為()A．280 B．292C．360 D．372解析：選C．由三視圖知，該幾何體由上、下2個(gè)長(zhǎng)方體組合而成．下面長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為8、10、2，上面長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6、2、8，所以S表＝2×10×8＋2×(8＋10)×2＋2×(2＋6)×8＝360．故選C．2．矩形的邊長(zhǎng)分別為1和2，分別以這兩邊為軸旋轉(zhuǎn)，所形成的幾何體的側(cè)面積之比為()A．1∶2 B．1∶1C．1∶4 D．4∶1解析：選B．以邊長(zhǎng)為1的邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的圓柱的側(cè)面積S1＝2π×2×1＝4π，以邊長(zhǎng)為2的邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的圓柱的側(cè)面積S2＝2π×1×2＝4π，所以S1∶S2＝4π∶4π＝1∶1．3．一個(gè)圓錐的底面半徑為2，高為2eq\r(3)，則圓錐的側(cè)面積為________．解析：S側(cè)＝πRl＝π×2×eq\r(22＋(2\r(3))2)＝8π．答案：8π4．已知棱長(zhǎng)為1，各面都是正三角形的四面體，則它的表面積是________．答案：eq\r(3)[學(xué)生用書P87(單獨(dú)成冊(cè))])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知某長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為1，2，3，則該長(zhǎng)方體的表面積為()A．22 B．20C．10 D．11解析：選A．所求長(zhǎng)方體的表面積S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3)＝22．2．底面是菱形的直棱柱，它的體對(duì)角線的長(zhǎng)分別是9和15，高是5，則這個(gè)棱柱的側(cè)面面積是()A．130 B．140C．150 D．160解析：選D．如圖，直棱柱ABCD-A1B1C1D1，AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝5，BD1＝9，A1C＝15，可求得AC＝eq\r(A1C2－AAeq\o\al(2,1))＝eq\r(152－52)＝10eq\r(2)，BD＝eq\r(BDeq\o\al(2,1)－DDeq\o\al(2,1))＝eq\r(92－52)＝2eq\r(14)．所以AB＝BC＝C1B1＝A1B1＝eq\r(50＋14)＝8，所以棱柱側(cè)面積為4×5×8＝160．3．若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比為()A．1∶2 B．1∶eq\r(3)C．1∶eq\r(5) D．eq\r(3)∶2解析：選C．設(shè)圓錐的高為a，則底面半徑為eq\f(a,2)，所以S底＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(πa2,4)，S側(cè)＝π·eq\f(a,2)·eq\r(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),4)πa2，所以eq\f(S底,S側(cè))＝eq\f(1,\r(5))，故選C．4．已知球的表面積為16π，則它的內(nèi)接正方體的表面積S的值是()A．4π B．32C．24 D．12π解析：選B．設(shè)球的內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為a，由題意知球的半徑為2，則3a2＝16，所以a2＝eq\f(16,3)，正方體的表面積S＝6a2＝6×eq\f(16,3)＝32．5．若一個(gè)正三棱柱(底面是等邊三角形)的三視圖如圖所示，則這個(gè)三棱柱的表面積為()A．18eq\r(3) B．15eq\r(3)C．24＋8eq\r(3) D．24＋16eq\r(3)解析：選C．由三視圖知，底面正三角形的高為2eq\r(3)，設(shè)邊長(zhǎng)為a，則eq\f(\r(3),2)a＝2eq\r(3)，所以a＝4．S底＝2×eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝8eq\r(3)，又棱柱的高為2，所以S側(cè)＝3×4×2＝24．所以S表面積＝24＋8eq\r(3)．6．若圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等，圓柱、球的表面積分別記為S1、S2，則eq\f(S1,S2)＝________．解析：由題意可得圓柱的底面直徑和高都與球的直徑相等，設(shè)球的半徑為1，則S1＝6π，S2＝4π．所以S1∶S2＝3∶2．答案：eq\f(3,2)7．正方體的表面積是a2，它的頂點(diǎn)都在球面上，則這個(gè)球的表面積是________．解析：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為x，球的半徑為R，則6x2＝a2，得x＝eq\f(\r(6),6)a．球的半徑R＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(6),6)a＝eq\f(\r(2),4)a．則S球＝4πR2＝eq\f(π,2)a2．答案：eq\f(π,2)a28．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，依據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是________．解析：該幾何體是由球和圓柱組成的組合體．S球＝4πR2＝4π，S圓柱側(cè)＝2πRh＝6π，S底＝2πR2＝2π，所以S表面積＝4π＋6π＋2π＝12π．答案：12π9．正三棱錐底面邊長(zhǎng)為a，高為eq\f(\r(3),3)a，求此棱錐的側(cè)面積．解：如圖，設(shè)斜高h(yuǎn)′，則h′＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)a))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)a))\s\up12(2))＝eq\f(\r(15),6)a，所以側(cè)面積S＝3×eq\f(1,2)×eq\f(\r(15),6)a×a＝eq\f(\r(15),4)a2．10．已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形．主視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為8、高為4的等腰三角形，左視圖是一個(gè)底邊長(zhǎng)為6、高為4的等腰三角形．(1)推斷該幾何體的形態(tài)；(2)求該幾何體的體積V與側(cè)面積S．解：(1)由已知可得該幾何體是一個(gè)底面為矩形，高為4，頂點(diǎn)在底面的射影是矩形中心的四棱錐．(2)作出該幾何體的直觀圖，如圖，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，則AB＝8，BC＝6，PO＝4．V＝eq\f(1,3)×(8×6)×4＝64．在Rt△POF中，PF＝eq\r(16＋16)＝4eq\r(2)，所以S△PBC＝eq\f(1,2)×6×4eq\r(2)＝12eq\r(2)，在Rt△POE中，PE＝eq\r(16＋9)＝5，所以S△PAB＝eq\f(1,2)×8×5＝20，所以側(cè)面積為2(12eq\r(2)＋20)＝24eq\r(2)＋40．[B實(shí)力提升]11．球面上三點(diǎn)A、B、C，若AB＝18，BC＝24，AC＝30，且球心到△ABC所在平面的距離等于球半徑的一半，則這個(gè)球的表面積為()A．eq\f(4