2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系2.1.1平面學(xué)案含解析新人教A版必修2

PAGE其次章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2．1.1平面[目標(biāo)]1.理解平面的概念，會(huì)畫一個(gè)平面及會(huì)表示平面；2.會(huì)用符號(hào)語言表示空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系；3．駕馭三個(gè)公理并會(huì)簡潔應(yīng)用．[重點(diǎn)]平面的畫法、表示；用符號(hào)語言描述點(diǎn)與直線、直線與平面、點(diǎn)與平面的關(guān)系；三個(gè)公理及簡潔應(yīng)用．[難點(diǎn)]對(duì)平面的理解及三個(gè)公理的簡潔應(yīng)用．學(xué)問點(diǎn)一平面的概念[填一填]1．概念：平面是從生活中抽象出來的，具有以下特點(diǎn)：①平；②無限延展；③沒有厚?。?．畫法：(1)通常用平行四邊形來表示平面．(2)當(dāng)平面水平放置時(shí)，通常把平行四邊形的銳角畫成45°，且橫邊長是鄰邊長的2倍；當(dāng)平面豎直放置時(shí)，通常把平行四邊形的一組對(duì)邊畫成鉛垂線．3．表示法：一般用希臘字母α，β，γ，…來表示，還可以用代表平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫英文字母表示，如平面ABCD、平面AC.[答一答]1．課桌面、黑板面、海面是平面嗎？提示：雖然課桌面、黑板面、海面給我們以平面的形象，但是平面是無限延展的，所以它們不是平面．2．如下圖所示，平面(1)和平面(2)哪個(gè)大？提示：平面無厚薄、無大小，是無限延展的，所以兩個(gè)平面之間無法比較大?。?．我們常用平行四邊形表示平面，所以平行四邊形就是一個(gè)平面，這句話對(duì)嗎？提示：不對(duì)，我們通常用平行四邊形表示平面，但平面是無限延展的，所以平行四邊形不是一個(gè)平面．學(xué)問點(diǎn)二eq\o(\s\up7(點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系的),\s\do5(三種語言表示))[填一填][答一答]4．如圖，點(diǎn)A∈平面ABC；點(diǎn)A?平面BCD；BD?平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝BC.學(xué)問點(diǎn)三平面的基本性質(zhì)[填一填][答一答]5．假如線段AB在平面α內(nèi)，那么直線AB在平面α內(nèi)嗎？為什么？提示：直線AB在平面α內(nèi)，因?yàn)榫€段AB在平面α內(nèi)，所以線段AB上的全部點(diǎn)都在平面α內(nèi)，故線段AB上A，B兩點(diǎn)肯定在平面α內(nèi)，由公理1可知直線AB在平面α內(nèi)．6．經(jīng)過三點(diǎn)有多少個(gè)平面？提示：當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，由公理2可知，經(jīng)過這三點(diǎn)有且只有一個(gè)平面．而當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，經(jīng)過這三點(diǎn)有多數(shù)個(gè)平面．7．若兩個(gè)平面相交，則有幾條交線？若點(diǎn)P是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，那么點(diǎn)P在哪里？提示：兩個(gè)平面相交只有一條交線，點(diǎn)P在交線上．類型一平面的概念、畫法及表示[例1](1)給出下列命題：①書桌面是平面；②8個(gè)平面重疊起來要比6個(gè)平面重疊起來厚；③有一個(gè)平面的長是50m，寬為20m；④平面是肯定平的、無厚度、可以無限延展的抽象的數(shù)學(xué)概念．其中正確命題的個(gè)數(shù)為________．(2)下圖中的兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的是__________________________________________．[分析]依據(jù)平面的特征及表示來推斷．[解析](1)由平面的概念知，平面是平滑、無厚度、可無限延展的，可以推斷命題④正確，其余的命題都不符合平面的概念，所以命題①②③都不正確．(2)對(duì)于①，圖中沒有畫出平面α與平面β的交線，另外圖中的實(shí)線、虛線也沒有依據(jù)畫法原則去畫，因此①的畫法不正確．同樣的道理，也可知②③圖形的畫法不正確，④中圖形畫法正確．[答案](1)1(2)④(1)平面是無限延展的，不能度量其面積；平面沒有厚薄之分，不能度量其體積；平面可以用隨意平面圖形來表示．(2)在平面幾何中，凡是所引的協(xié)助線都要畫成虛線，但在立體幾何中，能望見的線要畫成實(shí)線，看不見的線要畫成虛線．[變式訓(xùn)練1]下列對(duì)平面的描述語句：①安靜的太平洋面就是一個(gè)平面；②平面ABCD的面積為100cm2；③三角形、圓、平行四邊形都可以表示平面；④平面可以看成空間中點(diǎn)的集合，它當(dāng)然是一個(gè)無限集．其中正確的是③④.解析：序號(hào)正誤緣由分析①×太平洋面只是給我們以平面的形象，而平面是抽象的，且無限延展的②×平面不能度量大小③√三角形、圓、平行四邊形都是平面圖形，可以用來表示平面④√平面是空間中點(diǎn)的集合，是無限集類型二eq\o(\s\up7(用符號(hào)語言表示點(diǎn)、直線、平面),\s\do5(之間的關(guān)系))[例2](1)用文字語言表述語句“l(fā)?α，m∩α＝A，A?l”表示的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，并畫出圖形；(2)用符號(hào)語言表示下圖所表示的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系．[解](1)直線l在平面α內(nèi)，直線m與平面α相交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A不在直線l上，圖形如圖所示．(2)題圖表示的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系可用符號(hào)語言表示為α∩β＝l，m?α，n?β，l∩n＝P，m∥l.1用文字語言、符號(hào)語言表示一個(gè)圖形時(shí)，首先細(xì)致視察圖形有幾個(gè)平面、幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何，試著用文字語言表示，再用符號(hào)語言表示.2要留意符號(hào)語言的意義.如點(diǎn)與直線的位置關(guān)系只能用“∈”或“?”，直線與平面的位置關(guān)系只能用“?”或“?”.[變式訓(xùn)練2]把下列符號(hào)敘述所對(duì)應(yīng)的圖形的序號(hào)填在題后的橫線上：(1)A?α，a?α：③.(2)α∩β＝a，P?α，且P?β：④.(3)a?α，a∩α＝A：①.(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：②.類型三公理的應(yīng)用命題視角1：共面問題[例3]過直線l外一點(diǎn)P引兩條直線PA，PB和直線l分別相交于A，B兩點(diǎn)，求證：三條直線PA，PB，l共面．[分析]依據(jù)條件點(diǎn)P，A，B確定一個(gè)平面，再證直線l，PA，PB在這個(gè)平面內(nèi)．[證明]如圖，∵點(diǎn)P，A，B不共線，∴點(diǎn)P，A，B確定一個(gè)平面α.∴P∈α，A∈α，B∈α.∴PA?α，PB?α.又A∈l，B∈l，∴l(xiāng)?α.∴PA，PB，l共面．證明點(diǎn)、線共面的兩種方法方法一：先由確定平面的條件確定一個(gè)平面，然后再證明其他的點(diǎn)、線在該平面內(nèi)．方法二：先由有關(guān)點(diǎn)、線確定一個(gè)平面α，再由其余元素確定一個(gè)平面β，然后依據(jù)有關(guān)定理，證明這兩個(gè)平面重合．[變式訓(xùn)練3]如圖，已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：直線a，b，c，l共面．證明：∵a∥b，∴a和b確定一個(gè)平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.故l?α.又a∥c，∴a和c確定一個(gè)平面β.同理l?β.即l和a既在α內(nèi)又在β內(nèi)，且l與a相交，故α，β重合，即直線a，b，c，l共面．命題視角2：共線與共點(diǎn)問題[例4]如右圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且直線EH與直線FG交于點(diǎn)O.求證：B，D，O三點(diǎn)共線．[分析]解答本題只要證明點(diǎn)O在平面ABD與平面CBD的交線BD上即可．[證明]∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH?平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理O∈平面BCD，即O∈(平面ABD∩平面BCD)，∴O∈BD，即B，D，O三點(diǎn)共線．1證明三點(diǎn)共線的常用方法：,方法一：首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn).依據(jù)公理3知，這些點(diǎn)都在交線上.,方法二：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明另一點(diǎn)也在其上.2證明三線共點(diǎn)的思路是：先證兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線經(jīng)過這點(diǎn)，把問題轉(zhuǎn)化為證明點(diǎn)在直線上的問題.[變式訓(xùn)練4]在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點(diǎn)，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DFFC＝DHHA＝23，求證：EF，GH，BD交于一點(diǎn)．證明：如圖，因?yàn)镋，G分別為BC，AB的中點(diǎn)，所以GE∥AC.又因?yàn)镈FFC＝DHHA＝23，所以FH∥AC，從而FH∥GE，故E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)共面．所以四邊形EFHG是一個(gè)梯形，GH和EF交于一點(diǎn)O.因?yàn)镺在平面ABD內(nèi)，又在平面BCD內(nèi)，所以O(shè)在這兩平面的交線上，而這兩個(gè)平面的交線是BD，且交線只有這一條，所以點(diǎn)O在直線BD上．這就證明白GH和EF的交點(diǎn)也在BD上，所以EF，GH，BD交于一點(diǎn).1．下列四個(gè)選項(xiàng)中的圖形表示兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的是(D)解析：畫兩個(gè)相交平面時(shí)，被遮住的部分用虛線表示．2．若點(diǎn)Q在直線b上，b在平面β內(nèi)，則Q，b，β之間的關(guān)系可記作(B)A．Q∈b∈βB．Q∈b?βC．Q?b?βD．Q?b∈β解析：∵點(diǎn)Q(元素)在直線b(集合)上，∴Q∈b.又∵直線b(集合)在平面β(集合)內(nèi)，∴b?β，∴Q∈b?β.3．設(shè)平面α與平面β交于直線l，A∈α，B∈α，且直線AB∩l＝C，則直線AB∩β＝C.解析：∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.4．(1)空間隨意4點(diǎn)，沒有任何3點(diǎn)共線，它們最多可以確定4個(gè)平面．(2)空間5點(diǎn)，其中有4點(diǎn)共面，它們沒有任何3點(diǎn)共線，這5個(gè)點(diǎn)最多可以確定7個(gè)平面．解析：(1)可以想象三棱錐的4個(gè)頂點(diǎn)，它們總共確定4個(gè)平面．(2)可以想象四棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)，它們總共確定7個(gè)平面．5．如圖，已知D，E分別是△ABC的邊AC，BC上的點(diǎn)，平面α經(jīng)過D，E兩點(diǎn)．(1)作直線AB與平面α的交點(diǎn)P；(2)求證：D，E，P三點(diǎn)共線．解：(1)延長AB交平面α于點(diǎn)P，如圖所示．(2)證明：∵平面ABC∩平面α＝DE，P∈AB，AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.又∵P∈α，∴P在平面α與平面ABC的交線DE上，即P∈DE，∴D，E，P