2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)第十二章坐標(biāo)系與參數(shù)方程不等式選講絕對值不等式理

PAGEPAGE8肯定值不等式1.肯定值三角不等式(1)定理1：假如a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時，等號成立．幾何說明：用向量a，b分別替換a，b.①當(dāng)a與b不共線時，有|a＋b|＜|a|＋|b|，其幾何意義為兩邊之和大于第三邊；②若a，b共線，當(dāng)a與b同向時，|a＋b|＝|a|＋|b|，當(dāng)a與b反向時，|a＋b|＜|a|＋|b|；由于定理1與三角形之間的這種聯(lián)系，故稱此不等式為肯定值三角不等式．③定理1的推廣：假如a，b是實(shí)數(shù)，那么||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)定理2：假如a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時，等號成立．幾何說明：在數(shù)軸上，a，b，c所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間時，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|.當(dāng)點(diǎn)B不在點(diǎn)A，C之間時：①點(diǎn)B在A或C上時，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；②點(diǎn)B不在A，C上時，|a－c|＜|a－b|＋|b－c|.應(yīng)用：利用該定理可以確定肯定值函數(shù)的值域和最值．2.兩類含肯定值不等式的證明技巧一類是比較簡潔的不等式，往往可通過平方法、換元法去掉肯定值轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明，或利用||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，通過適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)證明．另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含肯定值的不等式，往往可考慮利用一般狀況成立，則特別狀況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明．3.(1)利用肯定值不等式求函數(shù)最值時，要留意利用肯定值的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造肯定值不等式的形式．(2)求最值時要留意等號成立的條件，它也是解題的關(guān)鍵．4.含肯定值的綜合問題，綜合性強(qiáng)，所用到的學(xué)問多，在解題時，要留意應(yīng)用肯定值不等式的性質(zhì)、推論及已知條件，還要留意配方等等價變形，同時在應(yīng)用肯定值不等式放縮性質(zhì)求最值時，還要留意等號成立的條件．5.肯定值不等式的解法(1)含肯定值的不等式|x|<a與|x|>a的解集：不等式a>0a＝0a<0|x|<a(－a，a)??|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：①|(zhì)ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：①利用肯定值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；②利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類探討的思想；③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．6．含有肯定值的不等式的性質(zhì)(1)假如a，b是實(shí)數(shù)，則|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時，等號成立．(2)假如a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)(b－c)≥0時，等號成立．1．（2024?上海）不等式的解集為__________．【答案】【解析】由得，即故答案為：．2．（2024?上海）不等式的解集為__________．【答案】或【解析】由，解得：或，故不等式的解集是或，故答案為：或．3．（2024?上海）不等式的解集為__________．【答案】【解析】，，，故不等式的解集是，故答案為：．4．（2024?江蘇）設(shè)，解不等式．【解析】．，或或，或或，，不等式的解集為．5．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)．（1）畫出的圖象；（2）求不等式的解集．【解析】函數(shù)，圖象如圖所示（2）由于的圖象是函數(shù)的圖象向左平移了一個單位所得，（如圖所示）直線向左平移一個單位后表示為，聯(lián)立，解得橫坐標(biāo)為，不等式的解集為．6．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，不等式化為，即，；當(dāng)時，不等式化為，此時；當(dāng)時，不等式化為，即，．綜上，當(dāng)時，不等式的解集為或；（2）．又，，得或，解得：或．綜上，若，則的取值范圍是，，．7．（2024?江蘇）設(shè)，解不等式．【解析】，，或或，或或，不等式的解集為或．8．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）已知．（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）當(dāng)時，，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，恒成立，；當(dāng)時，恒成立，；綜上，不等式的解集為；（2）當(dāng)時，在上恒成立；當(dāng)時，，，不滿意題意，的取值范圍為：，9．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知．（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若時不等式成立，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，，由，或，解得，故不等式的解集為，，（2）當(dāng)時不等式成立，，即，即，，，，，，，，故的取值范圍為，．10．（2024?新課標(biāo)Ⅱ）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，．當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，恒成立，即，當(dāng)時，，解得，綜上所述不等式的解集為，，（2），，，，，解得或，故的取值范圍，，．11．（2024?新課標(biāo)Ⅰ）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，，求的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，，是開口向下，對稱軸為的二次函數(shù)，，當(dāng)時，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時的解集為，；當(dāng)，時，，．當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且．綜上所述，的解集為，；（2）依題意得：在，恒成立，即在，恒成立，則只需，解得，故的取值范圍是，．12．（2024?新課標(biāo)Ⅲ）已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求的取值范圍．【解析】（1），，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，恒成立，故；綜上，不等式的解集為．（2）原式等價于存在使得成立，即，設(shè)．由（1）知，，當(dāng)時，，其開口向下，對稱軸方程為，；當(dāng)時，，其開口向下，對稱軸方程為，；當(dāng)時，，其開口向下，對稱軸方程為，（2）；綜上，，的取值范圍為，．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2024?安慶模擬）已知函數(shù)，則不等式的解集為A． B． C．，， D．【答案】C【解析】由，得，作出函數(shù)與的圖象如圖，當(dāng)時，由，得，再令，當(dāng)時，該函數(shù)為增函數(shù)，而（1），時，函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，由對稱性可得，時，函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由圖可知，不等式的解集為，，．故選．2．（2024?內(nèi)江三模）已知函數(shù)，函數(shù)的定義域?yàn)椋?）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求解不等式．【解析】（1），，的定義域?yàn)?，恒成立，，的取值范圍為，．?）．，或或，或或，，不等式的解集為，．3．（2024?運(yùn)城模擬）已知函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）若的解集包含，，求的取值范圍．【解析】（1）時，當(dāng)時，等價于，解得，當(dāng)時，等價于，該不等式不成立，當(dāng)時，等價于，解得所以不等式的解集為．（2）的解集包含，，即，時恒成立，即恒成立，即恒成立，即恒成立，所以，解得或所以的取值范圍是．4．（2024?東湖區(qū)校級模擬）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）當(dāng)時，若的圖象與軸圍成的三角形面積等于6，求的值．【解析】（1）當(dāng)時，．，或或，或或，，不等式的解集為．（2）當(dāng)時，，當(dāng)時，令，則或，又由，得，的圖象與軸圍成的三角形面積等于6，，解得或（舍．5．（2024?安徽模擬）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求不等式；（2）對隨意．關(guān)于的不等式總有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由已知，不等式即為，則或或解得或或，故不等式的解集為，．（2）對隨意．關(guān)于的不等式總有解，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最小值．又（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故只需，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．6．（2024?碑林區(qū)校級模擬）已知，．（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）求（2）（3）的最小值．【解析】（1）當(dāng)時，．，或，或，，不等式的解集為．（2）（2）（3），關(guān)于的函數(shù)（2）（3）在上單的遞減，在上單的遞增，當(dāng)時，（2）（3）的最小值為．7．（2024?松原模擬）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，解不等式；（2）若對隨意成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，．，或或，，不等式的解集為．（2），，又對隨意成立，，，，實(shí)數(shù)的取值范圍是，．8．（2024?來賓模擬）設(shè)函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若的解集不為空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），，或或，或或，不等式的解集為或或．（2）的解集不為空集等價于恒成立，即恒成立，，，或，或，的取值范圍為，，．9．（2024?鼓樓區(qū)校級模擬）已知．（1）若，求的最小值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）若，則，故（2）；（2）令得，此時，所以，．10．（2024?青羊區(qū)校級模擬）已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）已知，若成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題知，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，即，解得，當(dāng)時，即，無解，綜上可得．（2）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），令，時，，要使不等式恒成立，只需，即．11．（2024?東湖區(qū)校級模擬）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求不等式的解集；（Ⅱ）當(dāng)時，若的圖象與軸圍成的三角形面積等于6，求的值．【解析】（Ⅰ）當(dāng)時，，因?yàn)椋寓佼?dāng)時，則，解得，即；②當(dāng)時，則，無解；③當(dāng)時，則，解得，綜上，，即解集為：．（Ⅱ）當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，綜上，，畫出函數(shù)的圖象如圖所示：則與軸圍成的三個頂點(diǎn)分別為：，由題設(shè)可得：，化簡得，解得或不合題意，舍去故的值是．12．（2024?讓胡路區(qū)校級三模）已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式的解集不是空集，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）由題意得．①當(dāng)時，不等式可化為，解得，所以．②當(dāng)時，不等式可化為，解得，所以．③當(dāng)時，不等式可化為，解得，所以．綜上可得不等式的解集為．（2）由（1）知，對于