新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練習(xí)思想03 數(shù)形結(jié)合思想（講）（原卷版）

第三篇思想方法篇思想03數(shù)形結(jié)合思想（講）考向速覽方法技巧典例分析一．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問(wèn)題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：（1）等價(jià)性原則．在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞．有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說(shuō)明，要注意其帶來(lái)的負(fù)面效應(yīng)．（2）雙方性原則．既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分析容易出錯(cuò)．（3）簡(jiǎn)單性原則．不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合．具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線．二．特別提醒數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度．具體操作時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；（2）用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解；利用數(shù)形結(jié)合探究方程解的問(wèn)題應(yīng)注意兩點(diǎn)（3）在解答題中數(shù)形結(jié)合思想是探究解題的思路時(shí)使用的，不可使用形的直觀代替相關(guān)的計(jì)算和推理論證．三.命題規(guī)律1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想在高考試題中主要有以下幾個(gè)?？键c(diǎn)（1）集合的運(yùn)算及Venn圖；（2）函數(shù)及其圖象；（3）平面向量（4）數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象；（5）方程（多指二元方程）及方程的曲線；（6）對(duì)于研究距離、角或面積的問(wèn)題，往往涉及直線與圓、立體幾何、圓錐曲線等，利用幾何圖形或形數(shù)轉(zhuǎn)換求解；（7）對(duì)于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問(wèn)題，可通過(guò)函數(shù)的圖象求解（函數(shù)的零點(diǎn)、頂點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn)），做好知識(shí)的遷移與綜合運(yùn)用【與函數(shù)方程思想相結(jié)合】．2．?dāng)?shù)形結(jié)合思想常用模型：一次、二次函數(shù)圖象；“對(duì)勾函數(shù)”應(yīng)用單調(diào)性或基本不等式；三角函數(shù)圖象和性質(zhì)；斜率公式；兩點(diǎn)間的距離公式（或向量的模、復(fù)數(shù)的模）；點(diǎn)到直線的距離公式等．01研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等【核心提示】1.函數(shù)圖象與性質(zhì)應(yīng)用問(wèn)題：即通過(guò)函數(shù)圖象來(lái)分析和解決函數(shù)問(wèn)題的方法，對(duì)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)貫穿始終，因此這種方法是最常用的，破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：①分析數(shù)理特征，一般解決問(wèn)題時(shí)不能精確畫出圖象，只能通過(guò)圖象的大概性質(zhì)分析問(wèn)題，因此需要確定能否用函數(shù)圖象解決問(wèn)題；②畫出函數(shù)圖象，畫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)、轉(zhuǎn)化的函數(shù)或構(gòu)造函數(shù)的圖象；③數(shù)形轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化實(shí)際是借助函數(shù)圖象將難以解決的數(shù)理關(guān)系明顯化；④得出結(jié)論，通過(guò)觀察函數(shù)圖象得出相應(yīng)的結(jié)論．2.熟練掌握函數(shù)圖像的變換：由函數(shù)圖象的變換能較快畫出函數(shù)圖象，應(yīng)該掌握平移(上下左右平移)、翻折(關(guān)于特殊直線翻折)、對(duì)稱(中心對(duì)稱和軸對(duì)稱)等基本轉(zhuǎn)化法與函數(shù)解析式的關(guān)系．【典例分析】典例1.（河南省普高聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期測(cè)評(píng)（四））函數(shù)SKIPIF1<0的大致圖象是（

）A． B．C． D．典例2.（2022·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如圖1所示，則圖2對(duì)應(yīng)的函數(shù)有可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例3.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)．若橢圓C上存在兩點(diǎn)A，B滿足SKIPIF1<0，且A，B，O三點(diǎn)共線，則橢圓C的離心率的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<002構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍【核心提示】含有參數(shù)的分類討論問(wèn)題主要包括:(1)含有參數(shù)的不等式的求解;(2)含有參數(shù)的方程的求解;(3)函數(shù)解析式中含參數(shù)的最值與單調(diào)性問(wèn)題;(4)二元二次方程表示曲線類型的判定等.求解這類問(wèn)題的一般思路是:結(jié)合參數(shù)的意義及參數(shù)對(duì)結(jié)果的影響進(jìn)行分類討論.討論時(shí),應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況,參數(shù)有幾何意義時(shí)還要考慮適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.【典例分析】典例4.（全國(guó)·高考真題（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例5.（2020·天津高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0若函數(shù)SKIPIF1<0恰有4個(gè)零點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例6.（2015·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若存在唯一的整數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<003構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系【核心提示】熟練掌握常見函數(shù)的圖象以及函數(shù)圖象的變換：由函數(shù)圖象的變換能較快畫出函數(shù)圖象，應(yīng)該掌握平移(上下左右平移)、翻折(關(guān)于特殊直線翻折)、對(duì)稱(中心對(duì)稱和軸對(duì)稱)等基本轉(zhuǎn)化法與函數(shù)解析式的關(guān)系．【典例分析】典例7.【多選題】（2022秋·福建泉州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)為SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)為SKIPIF1<0，則下列不等式中成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例8.（2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例9.（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的極大值點(diǎn)，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<004構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問(wèn)題和證明不等式【核心提示】向量、復(fù)數(shù)、圓錐曲線等數(shù)學(xué)概念具有明顯的幾何意義，可利用圖形觀察求解有關(guān)問(wèn)題；靈活應(yīng)用一些幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，如斜率、距離公式等．應(yīng)用幾何意義法解決問(wèn)題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：①比值——可考慮直線的斜率；②二元一次式—可考慮直線的截距；③根式分式——可考慮點(diǎn)到直線的距離；④根式——可考慮兩點(diǎn)間的距離.【典例分析】典例10.（2021·天津·高考真題）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0且交AB于點(diǎn)E．SKIPIF1<0且交AC于點(diǎn)F,則SKIPIF1<0的值為____________；SKIPIF1<0的最小值為____________．典例11.（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=23，BC=2，AA1=27，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上動(dòng)點(diǎn)，AP+PC1典例12.（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)證明：當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；(2)若存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域?yàn)镾KIPIF1<0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．05構(gòu)建幾何模型研究代數(shù)問(wèn)題【核心提示】1.在解決問(wèn)題的過(guò)程中對(duì)題目中的一些代數(shù)式進(jìn)行幾何意義分析，將其轉(zhuǎn)化為與幾何結(jié)構(gòu)相關(guān)的問(wèn)題，通過(guò)解決幾何問(wèn)題達(dá)到解決代數(shù)問(wèn)題的目的．此方法適用于難以直接解決的抽象問(wèn)題，可利用圖形使其直觀化，再通過(guò)圖形的性質(zhì)快速解決問(wèn)題．破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：①分析特征，一般從圖形結(jié)構(gòu)、性質(zhì)等方面分析代數(shù)式是否具有幾何意義．②進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把要解決的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題．③得出結(jié)論，將幾何問(wèn)題得出的結(jié)論回歸到代數(shù)問(wèn)題中，進(jìn)而得出結(jié)論．2.幾何圖形有關(guān)的最值問(wèn)題，若通過(guò)代數(shù)方法計(jì)算則小題大做，計(jì)算繁雜，解題時(shí)要充分考慮幾何關(guān)系，充分利用“三角形兩邊之和大于第三邊”、“兩點(diǎn)之間線段最短”等幾何結(jié)論.【典例分析】典例13.（2023春·河南·高三河南省淮陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例14.（2022·浙江新昌·高三期末）如圖，正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是側(cè)面SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.記SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例15.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）求方程SKIPIF1<0的實(shí)根個(gè)數(shù)．06構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值等問(wèn)題【核心提示】1.在解析幾何的解題過(guò)程中，通常要數(shù)形結(jié)合，挖掘題中所給的代數(shù)關(guān)系式和幾何關(guān)系式，構(gòu)建解析幾何模型并應(yīng)用模型的幾何意義求最值或范圍；常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式主要有：①比值——可考慮直線的斜率；②二元一次式——可考慮直線的截距；③根式分式——可考慮點(diǎn)到直線的距離；④根式——可考慮兩點(diǎn)間的距離.2.圓錐曲線數(shù)形結(jié)合法：是根據(jù)圓錐曲線中許多對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)度、數(shù)式等都具有一定的幾何意義，挖掘題目中隱含的幾何意義，采用數(shù)形結(jié)合思想，快速解決某些相應(yīng)的問(wèn)題．破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：①畫出圖形，畫出滿足題設(shè)條件的圓錐曲線的圖形，以及相應(yīng)的線段、直線等；②數(shù)形求解，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，利用圓錐曲線的定義、性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓與圓錐曲線的位置關(guān)系等進(jìn)行分析與求解；③得出結(jié)論，結(jié)合題目條件進(jìn)行分析，得出所要求解的結(jié)論．3.破解圓錐曲線問(wèn)題的關(guān)鍵是畫出相應(yīng)的圖形，注意數(shù)和形的相互滲透，并從相關(guān)的圖形中挖掘?qū)?yīng)的信息進(jìn)行研究．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化有兩種：①通過(guò)數(shù)形結(jié)合建立相應(yīng)的關(guān)系式；②通過(guò)代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為二元二次方程組的解的問(wèn)題進(jìn)行討論．【典例分析】典例16.（2022·安徽省舒城中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例17.（2023春·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,i為虛數(shù)單位,則SKIPIF1<0的最大值是_______．典例18.（2023·吉林·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0圖象上不同的兩個(gè)點(diǎn)，則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍是___________.07構(gòu)建方程模型或函數(shù)模型，結(jié)合其圖象研究零點(diǎn)的范圍與個(gè)數(shù)問(wèn)題【核心提示】討論方程的解(或函數(shù)零點(diǎn))的問(wèn)題一般可以構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩條曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).構(gòu)造函數(shù)時(shí)，要先對(duì)方程進(jìn)行變形，盡量構(gòu)造兩個(gè)比較熟悉的函數(shù).方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題可通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題；fx<gx可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝fx和函數(shù)y＝gx圖象的位置關(guān)系問(wèn)題.【典例分析】典例19.【多選題】（2023春·廣東韶關(guān)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，的零點(diǎn)分別為，則（

）A． B．C． D．典例20.（2023春·北京大興·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________.典例21.（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若SKIPIF1<0，SK